Introduzione ai modelli Modellazione agli elementi finiti Esempi pratici di modellazione

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1 Introduzione ai modelli Modellazione agli elementi finiti Esempi pratici di modellazione

2 Ci sono modelli: Fisici in laboratorio (in scala) Fisici in sito (scala 1:1) Numerici Un modello numerico è una simulazione matematica di un processo fisico reale

3 Vantaggi dei modelli numerici rispetto a quelli fisici 1) più veloci da preparare 2) più scenari 3) assenza di deformazioni di scala 4) risultati in ogni punto del dominio 5) più condizioni al contorno 6) assenza di pericolo

4 Una buona modellazione necessita di: pianificare il modello, prevedere i risultati semplificare la geometria; modellare soltanto nell ambito dei componenti essenziali cominciare con un modello semplice e in seguito più complesso esperimenti numerici per verificare la validità interrogarsi sul significato dei risultati ricordare che il modello creato rispecchia una situazione reale.

5 Modellazione agli elementi finiti Il termine elementi finiti deriva dal fatto che il dominio di integrazione viene suddiviso in un determinato numero di sottodomini all interno dei quali le equazioni differenziali che governano il problema vengono risolte in maniera approssimata.

6 Dal Teorema di Weierstrass Una funzione f è continua nell intervallo [a,b] fissato un arbitrario ε > 0, esiste un polinomio P(x) tale che: f P(x) < ε Cioè ogni funzione continua può essere sufficientemente approssimata da un polinomio di grado sufficientemente elevato. Più è elevato il grado, migliore sarà l approssimazione.

7 Una volta suddiviso il dominio di integrazione in intervalli, si procede ad approssimare la funzione incognita con delle funzioni ad andamento noto, scegliendo, come incognite del problema trattato, i soli valori ai nodi (hj). Dalla soluzione delle equazioni algebriche si otterranno i valori nodali del campo approssimato; quelli interni agli intervalli vengono valutati in base alle funzioni di approssimazione utilizzate.

8 Fasi della modellazione La modellazione agli elementi finiti consiste in 3 fasi fondamentali 1) discretizzazione 2) definizione delle proprietà dei materiali 3) definizione delle condizioni al contorno

9 Discretizzazione (meshing) Suddividere un continuo in tanti piccoli elementi finiti ottenendo: Nodi, elementi, rete (mesh) Nodi I nodi si introducono per questi motivi: 1) la posizione serve a valutare la geometria 2) servono ad unire tutti gli elementi in un dominio 3) servono a descrivere la distribuzione delle incognite principali dell elemento (quota piezometrica o la pressione dell acqua interstiziale) 4) tutte le equazioni agli elementi finiti sono riferite ai nodi

10 Elementi e regioni: Rete Elementi incompatibili Elementi compatibili

11 Risoluzione dei sistemi di equazioni

12 Alcuni problemi della matematica del continuo possono essere risolti in modo esatto tramite un algoritmo. Questi algoritmi sono chiamati metodi diretti. (Es.: l'algoritmo di Gauss-Jordan per risolvere i sistemi di equazioni lineari,) Tuttavia, per la maggior parte dei problemi numerici non ci sono metodi diretti. In tali casi, è spesso possibile usare un metodo iterativo. Un tale metodo inizia da un tentativo, e trova approssimazioni successive che convergono alla soluzione.

13 Modulo Metodo iterativo Si ha convergenza quando la soluzione prodotta non cambia più di una certa definita quantità (tolleranza) anche nelle successive iterazioni Diagrammi residuo n iterazioni 20 iterazioni nessuna convergenza 125 iterazioni convergenza raggiunta

14 Software di modellazione Visual ModFlow Modelli 3-dimensioni - Saturi Seep/W (Suite GeoStudio) Modelli 2-dimensioni - Parzialmente saturi

15 Esempio di modellazione con Visual ModFlow Dati del problema Falda artesiana i=0,0001 T = 0.02 m 2 /s 2 pozzi a d=500 m posti lungo direz. ortog. al moto Emungimento da entrambi Q=30 l/s Fasi della realizzazione 1 Condizioni iniziali h=1 m 2 1 Pozzo h=0 m 3 2 Pozzi h=0 m 4 2 Pozzi h= 1m

16 Ambiente di Lavoro File di condizioni iniziali Motore di calcolo e Unità di misura Parametri idraulici T = e x f = 0.02 se e=100m, f= Mezzo isotropo Estensione problema x x 100 m Griglia 100 righe 100 colonne 50 strati

17 Condizioni al contorno (Input) i=0,0001 L=10000m h=1m h 1 = 200 m h 2 = 199 m Copiare a tutti i livelli del modello

18 Condizioni iniziali (Input) (Initial Specified Heads)

19 Fase di calcolo (Run)

20 Risultati (Output)

21 Transitorio 1 1 pozzo, h=0 x = 5000m; y = 4750m

22 Risultati (Output)

23 Transitorio 2 Risultati (Output) 2 pozzi, h=0 x1 = 5000m; y1= 4750m x2 = 5000m; y2 = 5250m

24 Sovrapposizione degli effetti 2 pozzi h = 1m Pozzo 1 x=5000, y = 4750 Q = m^3/d Pozzo 2 x=5000, y = 5250 Q = m^3/d Visualizzazione dati input e griglia in modalità 3-dimensionale

25 Risultati (Output)

26 Altri esempi di modellazione con Visual ModFlow

27 Esempio di modellazione con Seep/W Mezzo parzialmente saturo stratificato Conducibilità idraulica k(h) = k s e αh Contenuto d acqua V acqua /V tot ϑ(h) = ϑ r + (ϑ s - ϑ r ) e αh Sia per entrambi gli strati α=0.1 cm -1, ϑ s = 0.40 e ϑ r = 0.06.

28 Caso 1 Riduzione di portata specifica da 0.9 cm/h a 0.1 cm/h ks1= 10 cm/h; ks2 = 1 cm/h

29 Caso 2 Aumento di portata specifica da 0.1 cm/h a 0.9 cm/h ks1= 1 cm/h; ks2 = 10 cm/h

30 Creazione del modello con SEEP/W 1 - Creazione file di condizioni iniziali Ambiente di Lavoro Unità di misura e scala Griglia e Snap

31 Moto vario (Transient): condizioni iniziali=quota di pelo libero iniziale (Initial Water Table) Impostazione tipo di analisi Convergenza: default ; Iterative equation solver n 250 Iterazioni Incrementi di tempo: 1000 da 360 s T finale = 100 ore

32 Immissione funzioni idrauliche (1/2) Vol.Water Content (contenuto d acqua ) ϑ(h) = ϑ r + (ϑ s - ϑ r ) e ah Tabella: P [-5.0, 0] h = p/γ ϑ r ϑ s α P (kpa) h (m) ϑ ( h)( Vol. Water Content (m³/m³) (x 0.001) Pressure (kpa)

33 Immissione funzioni idrauliche (2/2) Hydraulic Conductivity (conducibilità idraulica ) k(h) = k s e ah Tabella: P [-5.0, 0] h = p/γ K S1 α P(kPa) h(m) k(h) K S2 α P(kPa) h(m) k(h) 2.77E E E E E E E E E E E E E E E E Conductivity (m/sec) 1e-005 1e-006 1e Pressure (kpa)

34 Definizione materiali e regioni (es. caso 1) Material properties #1 (k s1 ϑ) col. arancio #2 (k s2 ϑ) col. marrone Draw Regions (creare 2 files differenti per ciascun caso) Mesh Forma quadrangolare (default) z=4cm Edges = L tot / z = 25 La maglia (caso 1) è formata da 2 regioni ciascuna 1m x 1m, per un totale di 1250 elementi e 1326 nodi.

35 Condizioni al contorno 1)Condizione iniziale quota di pelo libero (graficamente) a y=0 2)Per i contorni laterali portata unitaria nulla (Unit Flux q=0) 3)Per il contorno inferiore quota piezometrica nulla (Pressure Head P=0) 4)Per il contorno superiore immissione di portata unitaria q=0.9 cm/h (Unit Flux=2.5e-6 m/s)

36 Verifica e ottimizzazione Verify/Optimize Solve

37 Visualizzazione risultati CONTOUR DRAW GRAPH Y (m) 1.0 Y (m) Pressure Head (m) Pressure Head (m) Caso 1 Caso 2

38 2- Costruzione del modello per il transitorio da t=0 a t= 100 ore Esempio: caso 1 Riduzione di portata da 0.9 a 0.1 cm/h Dopo aver salvato con nome Le condizioni iniziali saranno importate dal time step finale del file di condizioni iniziali Nella Analysis Settings salvare i risultati dei seguenti time steps: T=0 ore =0 s T=0,1 ore =360 s T=1 ora =3600 s T=4 ore =14400 s T=10 ore =36000 s T=30 ore = s T=100 ore = s Le condizioni al contorno Per i contorni laterali portata unitaria nulla (Unit Flux q=0) Per il contorno inferiore quota piezometrica nulla (Pressure Head P=0) Per il contorno superiore immissione di portata unitaria q=0.1 cm/h (Unit Flux=2.77e-7 m/s)

39 Esportazione dati e confronto Time Step t=0 ore 0.00 Brunone Seep z (m) p/γ (m) N.B. : T=0 ore per il transitorio = T=100 ore cond. iniziali

40 Altri esempi di modellazione con Seep/W e altri moduli GeoStudio Seep/W Slope/W Quake/W Sigma/W