La logica dei se e dei ma: linguaggio matematico e linguaggio naturale a confronto

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1 La logica dei se e dei ma: linguaggio matematico e linguaggio naturale a confronto Daniele Mundici Dipartimento di Matematica Università di Firenze Viale Morgagni 67/a Firenze

2 Gian-Carlo Rota e Stanislav Ulam

3 le congiunzioni e, ma...la logica moderna non è neppure in grado di distinguere tra e e ma. La logica odierna sostiene che e e ma hanno lo stesso significato, ma chiunque parli usa e e ma con un significato decisamente diverso G-C. Rota, Pensieri Discreti, pagina 174

4 cosa può esser capitato al ma negli ultimi tre millenni, per essere confuso con e? in principio c era un solo valore di verità: il VERO poi i greci introdussero un secondo valore di verità, il FALSO (o ASSURDO) scoprendo, per assurdo, che i numeri primi sono infiniti scoprendo, per assurdo, che lato e diagonale del quadrato non sono multipli interi di nessun segmento comune senza questi due valori di verità non ci sarebbe la scienza moderna, che parla il linguaggio della matematica

5 il linguaggio matematico è rudimentale, come gli oggetti di cui parla: punti, numeri quando vogliamo dire che due affermazioni principali sono contrastanti (avverse) usiamo la congiunzione ma la matematica, che pur usa spesso questa congiunzione, le ha tolto tutto il colore avversativo decretando che ma è equivalente a & (ossia e ) mi piego ma non mi spezzo = mi piego e non mi spezzo la logica della matematica mantiene solo quelle parti del discorso che si sposano bene con il duopolio vero-falso

6 vero e falso prediligono solo due congiunzioni e un avverbio vero e falso si sposano bene con la negazione se un affermazione A è falsa, la sua negazione A è vera; se A è vera, allora A è falsa in simboli, vero=falso, falso=vero vero e falso si sposano bene con le due congiunzioni &, v (che simboleggia vel ): vero&vero=vero, vero&falso=falso, etc. quasi impossibile negare una frase con il ma

7 la banale grammatica di &, v, repetita non iuvant: A & A = A la congiunzione & è commutativa e associativa la disgiunzione v è commutativa e associativa legge di de Morgan: (A v B) = A & B legge della doppia negazione: A = A

8 al se è andata peggio che al ma la matematica non può fare a meno della congiunzione se, (condizione necessaria, condizione sufficiente) ha introdotto la notazione A >B per dire se A allora B, decretando che voglia dire o non A oppure B. Insomma, A > B = ( A) v B (A >B) = (( A) v B) = A & B (de Morgan) = A & B (per la legge di doppia negazione) il se diviene una caricatura di se stesso, con curiose conseguenze (prendete appunti daranno da pensare ai più sensibili tra di voi)

9 l impoverimento del se matematico: i quattro casi possibili di A >B (A=premessa, B=conclusione) ESERCIZIO: i matematici danno valore di verità a queste 4 frasi, che nel linguaggio comune suonano stonate: 1. se 1+1=2 allora 3+4=7 2. se 2 è dispari allora 3+4 = 8 3. se 2 è dispari allora 3+4=7 4. se 24 è divisibile per 3 allora 3+4=8 SOLUZIONE: 1 Vero, 2 Vero, 3 Vero, 4 Falso. 2 e 3 sono un esempio del principio ex falso quodlibet le frasi ci suonano stonate perché noi usiamo il se in A >B soprattutto, quando ignoriamo i valori di verità si A e B

10 Lea, candidata-sindaco a Rio Bo, viene a sapere questa notizia: esiste un Tizio che, se lui vota per Lea, allora tutti votano per Lea 1. è vera la frase? 2. vale la pena che Lea cerchi di rintracciare Tizio? in prima battuta sembrerebbe che Tizio sia una sorta di opinion-maker capace di influenzare tutti gli abitanti di Rio Bo : se lui vota per Lea tutti votano per Lea ma, come sempre, attenzione al se

11 questa è una TAUTOLOGIA, ossia una verità assoluta, chiunque sia Lea e per ogni elezione municipale. Dimostrazione: CASO 1: Tutti votano per Lea. Allora basta prendere come Tizio il primo elettore che incontriamo per strada. CASO 2: Qualcuno non vota per Lea. Allora basta prendere costui come il Tizio che, se vota lui per Lea, allora tutti la votano. Visto che lui non vota per Lea, la premessa è falsa, e quindi banalmente è vero che se lui vota per Lea tutti votano per Lea. QED

12 questa tautologia ci spinge ad approfondire il se nel linguaggio naturale, in opposizione al se matematico questo Tizio che se lui vota Lea allora tutti votano Lea, non è un procacciatore di voti per Lea Lea non può contare su Tizio: non sappiamo neanche se Tizio voterà per lei. Anzi Tizio dipende dall esito del voto. se (come succederà quasi sicuramente) non tutti votano per Lea, chi rende vera la frase è l ex falso quodlibet applicato a qualsiasi Tizio che non abbia votato per lei

13 la fortuna dei valori di verità il valore di verità falso è stato aggiunto al vero, consentendo meravigliose dimostrazioni in aritmetica e geometria la fortuna della logica bivalente, coi suoi connettivi &, v,, si giustifica col successo della matematica nelle scienze infatti la matematica usa solo questi connettivi ma per elaborare informazione noi ogni giorno usiamo un linguaggio più complesso del linguaggio matematico bivalente come i greci andarono al di là del vero, usando il falso, per potenziare il linguaggio logico-matematico così noi dobbiamo andare ancora più in là, per capire il linguaggio naturale, in particolare l uso del se

14 il se va ben oltre la logica classica noi diciamo se A allora B quando i giochi non sono ancora fatti: non si sa ancora il valore di verità di A né quello di B: azzardiamo un collegamento tra loro nella frase se studio avrò un buon lavoro ci è sconosciuto il futuro, ma tentiamo un collegamento di causa-effetto, tra eventi futuri la ragione per cui usiamo una frase come se studio avrò un buon lavoro è perchè sotto questa frase c è una scommessa e così succede di solito quando usiamo il se

15 dove i giochi non sono ancora fatti, e anzi circola danaro attorno al se

16 anche nella frase non so se...c è una scommessa se riuscirò a pagare il mutuo se camperò fino a novant anni se l Italia andrà in default entro un anno...eppure posso (e in certi casi, devo) scommettere che sarà o non sarà così

17 da dove vengono le leggi che governano le nostre scommesse se un evento accadrà o no? Gli eventi a cui assegnamo una probabilità di solito sono irripetibili. Noi assegnamo loro una probabilità non calcolando la loro frequenza, ma in base ad altre considerazioni. Bruno de Finetti volle vederci chiaro

18 la risposta di de Finetti (1931) quando assegnamo valori di probabilità a un evento non possiamo fare misure ripetute per vederne la frequenza siamo mossi da un principio di coerenza: le mie valutazioni non devono potersi tradurre in scommesse in cui io perda danaro comunque vadano le cose prendiamo in considerazione questo evento la Francia segnerà nel suo prossimo incontro col Brasile ossia, vediamo come girano i soldi

19 il nostro calcio-scommesse due giocatori Ada il bookmaker Blaise lo scommettitore

20 Ada pubblica la sua quota q(f) = 0.6, e chiede ADA: Caro Blaise, che montepremi m vuoi vincere se la Francia fa goal con il Brasile? BLAISE: voglio vincere m = 1000 euro ADA: ti vendo una se-cambiale di 1000 euro, cioè ti pagherò il montepremi m se la Francia segna 0.6=quota BLAISE: quanto costa la tua se-cambiale? ADA: un prezzo stracciato: solo 600 euro, 1000=montepremi ossia, appunto, m moltiplicato per la mia quota q(f)=0.6: paghi 600 per vincere 1000.

21 la quota q(f) di Ada è lo sconto la quota q(f) che Ada mette sull evento F è lo sconto che è disposta a fare a Blaise Blaise deve pagare oggi al bookmaker Ada il montepremi mq(f) di m euro scontato della quota q(f), e domani può vincere m euro Blaise paga un prezzo tanto più scontato quanto più bassa è la quota q(f) di Ada chissà se questa quota q(f)=0.6 va bene a Blaise...

22 Blaise si lamenta della quota 0.6 cara Ada, il prezzo non mi pare affatto stracciato come dici tu non mi va di pagare 600 euro per la tua se-cambiale di 1000 euro ma io sono uno scommettitore famoso (ho scommesso anche con il Padreterno) visto che a te 0.6 sembra una quota giusta, ho una proposta da farti ADA: sentiamo...

23 la proposta di Blaise: scambiamoci i ruoli BLAISE: ti propongo un montepremi m negativo, di 1000 euro ADA: cioè? BLAISE: ti vendo io ora una se-cambiale di 1000 euro, da pagarti se la Francia segna un goal ADA: quanto mi costa la tua cambiale? BLAISE: 600 euro, un prezzo stracciato! 1000 moltiplicato per la tua quota 0.6 ADA: Non sei famoso solo tu. Io sono Ada, il bookmaker reversibile. Accetto!

24 il primo tentativo di Ada F 1 l Italia vincerà il prossimo mondiale di calcio F 2 vincerà la Francia F 3 nessuna delle due vincerà ecco le quote assegnate da Ada a questi tre eventi q 1 = 0.4 q 2 = 0.3 q 3 = 0.1 intuitivamente sentiamo che le quote di Ada sono troppo basse e questo la manderà in rovina

25 se Blaise mette m 1 =m 2 =m 3 = 1000 euro Blaise paga 1000 x ( ) = 800 euro in ogni mondo possibile w, uno e uno solo dei tre eventi si verificherà, e Blaise riceverà da Ada 1000 euro il bilancio totale in qualsiasi mondo possibile w è 200 euro allora Ada rivede le sue quote

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