La congettura di Poincaré
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- Luciano Chiari
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1 La congettura di Poincaré Francesco Paoli Filosofia della scienza, Francesco Paoli (Filosofia della scienza, ) La congettura di Poincaré 1 / 33
2 Una domanda semplice... Che forma ha la Terra? Come ha fatto l uomo a capirlo? Francesco Paoli (Filosofia della scienza, ) La congettura di Poincaré 2 / 33
3 Cosa vuol dire dimensione? Definition Un oggetto geometrico è n-dimensionale se ci si può muovere sopra di esso lungo n direzioni indipendenti di movimento. Ad esempio, la sfera è un oggetto bidimensionale: per specificare posizione e moto di un corpo sulla superficie terrestre bastano latitudine e longitudine. La sfera solida (o palla 3D) è tridimensionale: oltre a latitudine e longitudine, occorre specificare la profondità. rancesco Paoli (Filosofia della scienza, ) La congettura di Poincaré 3 / 33
4 Cos è la topologia? E la scienza che studia quelle proprietà degli oggetti geometrici (invarianti topologici) che rimangono inalterate in seguito a trasformazioni biunivoche e bicontinue (omeomorfismi). Poincaré la chiamava analysis situs. In 2D: si può piegare, tendere, comprimere, torcere... Ma non strappare o saldare. La topologia degli oggetti bidimensionali è detta topologia delle superfici. Francesco Paoli (Filosofia della scienza, ) La congettura di Poincaré 4 / 33
5 Qualche definizione (1) Definition Uno spazio topologico è una coppia ordinata T = X, T, dove X è un insieme non vuoto e T (X ) è tale che: T, X T ; T è chiuso rispetto a intersezioni finite e unioni arbitrarie. Gli elementi di T si dicono aperti di T. Se B T è tale che ogni aperto in T è unione di elementi di B, allora B è una base di T. Vedremo che le superfici sono particolari spazi topologici. rancesco Paoli (Filosofia della scienza, ) La congettura di Poincaré 5 / 33
6 Qualche definizione (2) Definition Uno spazio topologico T = X, T si dice spazio di Hausdorff se per ogni x, y X, x = y, esistono aperti disgiunti U, V T tale che x U e y V. Definition Una famiglia di insiemi F è un ricoprimento aperto di T = X, T se X F e F T. Definition Uno spazio topologico T = X, T si dice compatto se ogni suo ricoprimento aperto ha un sottoricoprimento finito. rancesco Paoli (Filosofia della scienza, ) La congettura di Poincaré 6 / 33
7 Omeomorfismo Definition Due superfici sono omeomorfe (o topologicamente equivalenti) quando sono trasformabili l una nell altra mediante un omeomorfismo. Superfici omeomorfe condividono tutti gli invarianti topologici. Per dimostrare che due superfici non sono omeomorfe basta trovare un invariante topologico che le differenzia. rancesco Paoli (Filosofia della scienza, ) La congettura di Poincaré 7 / 33
8 Invarianti topologici nelle superfici: presenza di bordi (1) La sfera e il toro sono superfici chiuse: non hanno bordi. Il foro del toro non è una caratteristica della superficie, ma dello spazio 3D circostante: non sarebbe percepita da un ipotetico abitante del toro. Francesco Paoli (Filosofia della scienza, ) La congettura di Poincaré 8 / 33
9 Invarianti topologici nelle superfici: presenza di bordi (2) Il disco e il disco forato sono superfici aperte: hanno rispettivamente uno e due bordi. L abitante del disco che giungesse al bordo dovrebbe cambiare faccia per proseguire il movimento. Francesco Paoli (Filosofia della scienza, ) La congettura di Poincaré 9 / 33
10 Invarianti topologici nelle superfici: orientabilità (1) La sfera, il toro, il disco e la fascia cilindrica (2 bordi) sono superfici orientabili: un cerchietto orientato in senso orario, fatto scorrere sulla superficie, non cambia orientamento. Francesco Paoli (Filosofia della scienza, ) La congettura di Poincaré 10 / 33
11 Invarianti topologici nelle superfici: orientabilità (2) Il nastro di Moebius (1 bordo) e la bottiglia di Klein sono superfici non orientabili: un cerchietto orientato in senso orario, fatto scorrere sulla superficie, cambia orientamento! La bottiglia di Klein può essere vista come due nastri di Moebius incollati. Francesco Paoli (Filosofia della scienza, ) La congettura di Poincaré 11 / 33
12 Bottiglia di Klein artigianale Francesco Paoli (Filosofia della scienza, ) La congettura di Poincaré 12 / 33
13 Invarianti topologici nelle superfici: caratteristica di Eulero (1) Definition La caratteristica di Eulero di una superficie S è il numero naturale V E + F dove V, E ed F sono, rispettivamente, i vertici, gli spigoli e le facce di una qualsiasi mappa (grafo) che ricopre S. Si tratta di una buona definizione: la caratteristica di Eulero di una qualsiasi superficie è costante (è una proprietà della superficie, non delle mappe che la ricoprono). Sfera: caratteristica di Eulero 2. Toro: caratteristica di Eulero 0. rancesco Paoli (Filosofia della scienza, ) La congettura di Poincaré 13 / 33
14 Classificazione delle superfici (1) chiuse { orientabili non orientabili aperte { orientabili non orientabili Theorem (Teorema di classificazione delle superfici, Heegard-Dehn, 1907). 1 Tutte le superfici chiuse orientabili di caratteristica di Eulero 2 2n sono omeomorfe a una sfera con n manici. 2 Tutte le superfici aperte orientabili di caratteristica di Eulero 2 2n sono omeomorfe a una sfera forata con n manici. 3 Tutte le superfici chiuse non orientabili di caratteristica di Eulero 2 n sono omeomorfe a una sfera con n calotte di Moebius. 4 Tutte le superfici aperte non orientabili di caratteristica di Eulero 2 n sono omeomorfe a una sfera forata con n calotte di Moebius. rancesco Paoli (Filosofia della scienza, ) La congettura di Poincaré 14 / 33
15 Classificazione delle superfici (2) Gli invarianti topologici: presenza di bordi, orientabilità, caratteristica di Eulero sono quindi suffi cienti per una classificazione completa delle superfici. Francesco Paoli (Filosofia della scienza, ) La congettura di Poincaré 15 / 33
16 Dalle superfici alle varietà Le varietà sono generalizzazioni delle superfici a un numero arbitrario di dimensioni. Formalmente: Definition Una varietà a n dimensioni è uno spazio di Hausdorff con una base numerabile, tale che ogni punto appartiene a un aperto omeomorfo a R n. Una varietà a n dimensioni ha localmente le stesse proprietà dello spazio euclideo n-dimensionale R n. Una superficie è una varietà bidimensionale. Quindi, una superficie ha localmente le stesse proprietà del piano euclideo R 2. rancesco Paoli (Filosofia della scienza, ) La congettura di Poincaré 16 / 33
17 Un idea intrigante La superficie terrestre è la superficie bidimensionale di una varietà tridimensionale (la sfera 3D). Il nostro universo potrebbe essere la superficie tridimensionale di un oggetto a quattro dimensioni? Francesco Paoli (Filosofia della scienza, ) La congettura di Poincaré 17 / 33
18 Flatlandia Un mondo a due dimensioni! Gli abitanti sono bidimensionali e non riescono a concettualizzare gli oggetti tridimensionali. Francesco Paoli (Filosofia della scienza, ) La congettura di Poincaré 18 / 33
19 Come spiegare un cubo a un abitante di Flatlandia? sezioni bidimensionali; proiezioni bidimensionali; sviluppo; metodo dinamico (quadrato che si sposta lungo una dimensione ad esso perpendicolare). Francesco Paoli (Filosofia della scienza, ) La congettura di Poincaré 19 / 33
20 Ipercubo (proiezione tridimensionale) Francesco Paoli (Filosofia della scienza, ) La congettura di Poincaré 20 / 33
21 Ipercubo (sviluppo tridimensionale) Francesco Paoli (Filosofia della scienza, ) La congettura di Poincaré 21 / 33
22 Ipercubo (immagine dinamica) Francesco Paoli (Filosofia della scienza, ) La congettura di Poincaré 22 / 33
23 Ipersfera L ipersfera può essere vista come la superficie tridimensionale di una sfera solida quadridimensionale. In generale, l n-sfera è la superficie n-dimensionale di una sfera solida n + 1-dimensionale. Francesco Paoli (Filosofia della scienza, ) La congettura di Poincaré 23 / 33
24 Gruppi Definition Un gruppo è un algebra G = G,, 1, 1 di tipo 2, 1, 0 che soddisfa le seguenti identità: G1 x (y z) (x y) z; G2 x 1 x 1 x; G3 x x 1 1 x 1 x. rancesco Paoli (Filosofia della scienza, ) La congettura di Poincaré 24 / 33
25 Gruppi: esempi I numeri interi (con l operazione di addizione) I numeri razionali (con l operazione di addizione) I numeri razionali diversi da 0 (con l operazione di moltiplicazione) Le permutazioni di un insieme Le isometrie di un triangolo equilatero I vettori del piano cartesiano Il gruppo banale Francesco Paoli (Filosofia della scienza, ) La congettura di Poincaré 25 / 33
26 Cicli in una varietà Sia data una varietà V è un punto A su di essa. Un ciclo di base A è un cammino che parte da A e ritorna in A. La composizione di due cicli k, j di base A è il ciclo di base A ottenuto percorrendo prima il ciclo k e poi il ciclo j. Notazione: k j. Francesco Paoli (Filosofia della scienza, ) La congettura di Poincaré 26 / 33
27 Cicli in una varietà (1) Sia data una varietà è un punto A su di essa. Un ciclo di base A è un cammino che parte da A e ritorna in A. La composizione di due cicli k, j di base A è il ciclo di base A ottenuto percorrendo prima il ciclo k e poi il ciclo j. Notazione: k j. L inverso di un ciclo k di base A è il ciclo di base A che percorre lo stesso cammino di k ma in senso inverso. Notazione: k. Il ciclo nullo c A è il ciclo di base A di lunghezza 0. Sia Cyc (A) l insieme dei cicli di base A. L algebra Cyc (A),,, c A non è un gruppo. Francesco Paoli (Filosofia della scienza, ) La congettura di Poincaré 27 / 33
28 Cicli in una varietà (2) Definition Due cicli di base A sono omotopi se possono essere deformati in modo continuo l uno nell altro. Lemma La relazione di omotopia ω è una relazione di equivalenza su Cyc (A) Theorem L algebra H (V, A) = Cyc (A) /ω, /ω, /ω, c A /ω è un gruppo, detto gruppo fondamentale della varietà V rispetto a A. rancesco Paoli (Filosofia della scienza, ) La congettura di Poincaré 28 / 33
29 Varietà semplicemente connesse Definition Una varietà V = X, T è semplicemente connessa se per ogni A X, il gruppo fondamentale H (V, A) è il gruppo banale. In parole povere: una varietà è semplicemente connessa se, preso un suo qualsiasi punto A, ogni ciclo di base A è deformabile in modo continuo in un punto. rancesco Paoli (Filosofia della scienza, ) La congettura di Poincaré 29 / 33
30 Esempi La sfera è semplicemente connessa; il toro non è semplicemente connesso. Francesco Paoli (Filosofia della scienza, ) La congettura di Poincaré 30 / 33
31 Congettura di Poincaré Ogni varietà n-dimensionale, chiusa, compatta e semplicemente connessa è omeomorfa alla n-sfera. Poincarè: vera per n = 1, n = 2. Smale (1960): vera per n 5; Freedman (1981): vera per n = 4. Il caso critico è n = 4: è vero che ogni varietà tridimensionale, chiusa, compatta e semplicemente connessa è omeomorfa all ipersfera? Francesco Paoli (Filosofia della scienza, ) La congettura di Poincaré 31 / 33
32 Wanted! Come ogni ricercato che si rispetti, anche questo ha una taglia sulla testa. Il Clay Institute (2000) include la congettura di Poincaré tra i problemi del millennio e mette in palio $ per chi dovesse dimostrarla. Francesco Paoli (Filosofia della scienza, ) La congettura di Poincaré 32 / 33
33 Grisha Perelman Francesco Paoli (Filosofia della scienza, ) La congettura di Poincaré 33 / 33
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