Dottorato di Ricerca in Rischio Sismico. Mappe di scuotimento nell immediato post-evento. Maria Lancieri

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1 Mappe di scuotimento nell immediato post-evento Come includere sorgente e propagazione complesse Maria Lancieri Dottorato di Ricerca in Rischio Sismico

2 Università degli Studi di Napoli Federico II Polo delle Scienze e delle Tecnologie Maria Lancieri Mappe di scuotimento nell immediato post-evento Come includere sorgente e propagazione complesse Tesi di Dottorato di Ricerca in Rischio Sismico XVII Ciclo Tutore: Prof. A. Zollo Cotutore: Prof. P. Capuano Il Coordinatore Prof. Paolo Gasparini Dottorato di Ricerca in Rischio Sismico

3 Indice Introduzione v 1 La simulazione del moto sismico Descrizione cinematica della sorgente sismica Proprietà del campo d onda di spostamento in condizione di far field Comportamento dello spettro sismico ad alte frequenze Modello di faglia con propagazione unidirezionale Dove si colloca il modello di sorgente usato in questo contesto Calcolo delle funzioni di Green: Metodo dei numeri d onda discreti Studio deterministico di scenario per il terremoto dell Irpinia Il terremoto dell Irpinia del Metodo di simulazione dello strong motion Modelli di sorgente Momento sismico dell evento a 20s Modello di velocità Validazione del modello cinematico di sorgente Quantità di picco Forme d onda Andamenti spettrali

4 ii INDICE Quantità integrali Mappe di scenario per la regione Campania Mappe di Danno Conclusioni Inversione di un modello di velocità usando le FGE: teoria Piccoli terremoti come funzioni di Green empiriche Principi di teoria dell inversione Formulazione del problema inverso Soluzione ai minimi quadrati del problema inverso lineare Metodi inversi non lineari Algoritmo genetico Proposta per una strategia di inversione Inversione di un modello di velocità usando le FGE: applicazioni nel dominio del tempo e della frequenza Inversione nel dominio del tempo Dalla parametrizzazione al calcolo della funzione costo Studio sulla sensibilità dei parametri Studio di fattibilità Inversione nel dominio della frequenza Parametrizzazione del mezzo Scelta dell intervallo di frequenze su cui operare Problema diretto: Calcolo della FGT nelle frequenze di interesse Funzione costo Algoritmo di ottimizzazione Esempi di inversione nel dominio della frequenza: Inversione in un modello ad uno strato Dipendenza dal numero di frequenze Correlazione tra la velocità di propagazione e la profondità dello strato

5 INDICE iii Utilizzo di due eventi per l inversione Esempi di inversione nel dominio della frequenza: Inversione in un modello a due strati Prospettive Conclusioni 143

6 iv INDICE

7 Introduzione Il presente lavoro di tesi si colloca nell ambito dello studio deterministico della pericolosità sismica che entra nel contesto più generale della valutazione del rischio sismico, il cui fine è quello di mitigare il danno sismico legato ad eventi futuri. Il rischio sismico è la probabilità che le conseguenze economiche e sociali di un evento superino un certo valore, in un sito di interesse, durante un tempo di esposizione. Tale probabilità viene calcolata attraverso la determinazione delle quantità che concorrono alla sua definizione: - La pericolosità sismica, definita come lo studio della pericolosità potenziale degli effetti naturali dovuti ad un terremoto nel sito di interesse. - La vulnerabilità sismica, ovvero la probabilità, da parte di categorie di elementi a rischio di subire danno per effetto di un terremoto di una certa severità. - L esposizione, intesa come analisi quantitativa e qualitativa degli elementi esposti al rischio sismico In particolare la pericolosità sismica può essere studiata mediante un approccio di tipo probabilistico ed un approccio di carattere deterministico. Nell approccio probabilistico, la descrizione della pericolosità comprende gli effetti di tutti i terremoti ritenuti capaci di incidere sul sito di interesse, per un certo periodo di tempo. Questo tipo di analisi è utile per tracciare mappe di pericolosità per una regione molto estesa. L approccio deterministico studia l effetto di un unico evento per arrivare ad una descrizione della pericolosità di tipo scenario. In tale approccio la pericolosità sismica

8 vi Introduzione viene stimata simulando il moto del suolo in un particolare sito in esame e valutando il valore assunto dai parametri strong motion di interesse ingegneristico (accelerazioni del suolo, andamenti spettrali, quantità integrali quali intensità di Arias, CAV e intensità spettrale). Appare quindi evidente che lo studio deterministico di probabilità ha come nucleo centrale l introduzione di metodologie di simulazione di forti terremoti. Lo strumento teorico di base per la simulazione del moto sismico è il teorema di rappresentazione: il moto del suolo registrato sulla superficie di un mezzo elastico generato da una sorgente posta al suo interno è descrivibile come la combinazione del contributo di sorgente e della risposta del mezzo di propagazione ad una sollecitazione impulsiva (funzione di trasferimento o di Green del mezzo). Il teorema di rappresentazione è la teoria che lega, in maniera semplice, gli effetti della sorgente sismica e della propagazione delle onde dalla sorgente al ricevitore, offrendo, quindi, la possibilità di trattare separatamente le due problematiche. Ed è proprio seguendo tale logica che è stato impostato e sviluppato il presente lavoro di tesi la cui tematica principale è lo sviluppo di tecniche di simulazione di strong motion per applicazioni ingegneristiche. In particolare, una prima parte della tesi è centrata sul problema della descrizione della sorgente sismica, mentre nella seconda verrà affrontato il problema della modellazione del mezzo di propagazione. Tra i modelli di sorgente sismica più utilizzati nell ambito della simulazione dei terremoti a fini ingegneristici, vi è il modello di sorgente puntiforme: il ricevitore vede arrivare in fase tutti i contributi provenienti da ciascuna parte del piano di faglia. Tale approssimazione è valida quando ci si trova a grande distanza dalla sorgente e le dimensioni del piano di faglia e l effetto di direttività della sorgente sono trascurabili. Quando non è possibile utilizzare un modello di sorgente puntiforme, ad esempio nel caso in cui si sta effettuando uno studio di scenario in prossimità della faglia (condizione di near source) o quando l effetto di direttività della sorgente ha avuto un ruolo importante nel sito di interesse, l alternativa è quella di modellare l in-

9 vii tero piano di faglia con una collezione di punti sorgente disposti ai nodi di una griglia, che si attivano quando vengono raggiunti dal fronte di rottura. La somma dei momenti sismici delle sorgenti elementari è pari al momento sismico associato al piano di faglia che si sta modellando. Per usare questo tipo di metodo per la simulazione del moto del suolo è necessaria una buona conoscenza dell evento: la geometria del piano di faglia, la forma della dislocazione sulla superficie (nel caso di una descrizione cinematica del processo di frattura) o il regime iniziale di sforzi che ha generato il moto sismico (descrizione dinamica). Queste informazioni sono molto difficili da ottenere; inoltre questo tipo di modellazione è molto costosa in termini computazionali e quindi non sempre facilmente applicabile. Come alternativa a tali descrizioni della sorgente sismica, nel secondo capitolo del lavoro di tesi viene proposta una tecnica di simulazione dell effetto di sorgente in cui il piano di faglia viene modellato con un insieme di sorgenti puntiformi con meccanismo a doppia coppia, disposte a profondità ipocentrale lungo una linea con direzione parallela allo strike. I tempi di nucleazione di ciascuna sorgente dipendono dalla velocità di rottura assunta. Un simile modello consente di tener conto il verso della rottura e dell effetto di direttività. Il metodo è stato applicato al terremoto dell Irpinia del 23 novembre I motivi alla base di tale scelta sono legati in parte all indubbia importanza di tale evento per la determinazione della pericolosità sismica in Italia meridionale, in parte al fatto che sia uno degli eventi italiani più documentati ed è stato quindi semplice ottenere dagli studi pregressi informazioni sulla geometria della sorgente e sul modello cinematico di rottura. Tale evento è a frattura multipla, ed è quindi particolarmente indicato per uno studio in cui si è interessati a comprendere ed evidenziare il contributo della frattura sul danno riportato. L applicazione di tale modello di sorgente congiuntamente al calcolo della funzione di Green in campo completo ha condotto a risultati incoraggianti, in un intervallo di frequenze che arriva a circa 5Hz. Nella simulazione dello strong motion per applicazioni ingegneristiche l intervallo di frequenze di interesse sulla base dell interazione tra il moto del

10 viii Introduzione suolo e la risposta della struttura va da 0.1 a 20Hz. Tuttavia solo la parte a bassa frequenza del segnale sismico è di carattere deterministico, mentre quella ad alte frequenze è di natura stocastica. Inoltre la modellazione deterministica ad alte frequenze richiede una conoscenza molto dettagliata delle eterogeneità del mezzo, difficile ottenere ed estremamente oneroso in termini di risorse computazionali. Partendo da queste osservazioni, nella seconda parte del lavoro di tesi viene proposto un metodo per modellare il contributo di propagazione in campo completo per un mezzo unidimensionale (strati piani paralleli) ottenuto a partire dall informazione a basse frequenze portata dai terremoti di piccola magnitudo (funzioni di Green empiriche). Nel terzo capitolo verranno discussi gli elementi teorici alla base di questa idea, (metodo della funzioni di Green empiriche e principi di teoria dell inversione) e verrà discussa la proposta metodologica avanzata. Nel quarto capitolo, verranno invece presentati alcuni risultati relativi agli studi di fattibilità ed affidabilità del metodo di inversione proposto, che attualmente rimane in via di ampliamento e sviluppo.

11 Capitolo 1 La simulazione del moto sismico La struttura analitica per lo studio del moto sismico all interno della Terra deve comprendere le tre seguenti componenti: una descrizione della sorgente sismica, le equazioni che descrivono la propagazione della perturbazione dal punto in cui ha origine fino a quello in cui viene registrata, una teoria che leghi la descrizione della sorgente sismica ad una particolare soluzione dell equazione del moto cercata. Nell ambito di una descrizione cinematica della sorgente sismica, la teoria che lega la sorgente e la propagazione è il teorema di rappresentazione: lo spostamento u generato da una discontinuità dello spostamento [u j (ξ, τ)] attraverso una superficie interna Σ ha componenti: u i (x, t) = + dτ Σ [u j (ξ, τ)]c jkpq Gip, q(x, t; ξ, τ)ν k dσ(ξ) (1.1) dove c ijkl sono i moduli elastici che intervengono nella legge di Hooke; Gip, q(x, t; ξ, τ) è la derivata della funzione di Green rispetto a ξ q, e ν k è la normale alla superficie Σ La funzione di Green rappresenta la risposta del mezzo di propagazione ad una sollecitazione impulsiva unidirezionale. L unico caso in cui la funzione di Green può essere scritta esplicitamente è quando il mezzo è omogeneo, isotropo ed illimitato e la sua espressione è

12 2 La simulazione del moto sismico data da: G ip (x, t; ξ, τ) = 1 4πρ (3γ iγ p δ ip ) 1 r 3 r β r α t δ(t τ t ) πρα 2γ iγ p (t r δ τ r ) α 1 4πρβ 2(γ iγ p δ ip ) 1 (t r δ τ r ) β (1.2) dove γ è il vettore unitario che punta dalla sorgente puntiforme ξ al ricevitore x e r = x ξ Il termine che si attenua con la distanza come 1 è detto di r 3 near field mentre i termini che si attenuano come come 1 sono di far field. r A partire dal teorema di rappresentazione e dall espressione della funzione di Green in un mezzo omogeneo isotropo e illimitato, verranno discussi alcuni strumenti teorici utilizzati nel corso del lavoro. 1.1 Descrizione cinematica della sorgente sismica Proprietà del campo d onda di spostamento in condizione di far field La condizione di far field equivale alla condizione di Fraunhofer per l ottica lineare (L << λ). Se la stazione di registrazione è a distanza molto maggiore delle dimensioni lineari della faglia Σ, si può assumere che la distanza r e i coseni direttori γ i non dipendono dalle coordinate sul piano di faglia. Sostituendo i termini di far field dell equazione 1.2 nel teorema di rappresentazione si ottengono le espressioni per gli spostamenti associati alla fase P e alla fase S: u P γ ( i i = c 4πρα 3 jkpq γ p γ q ν k n j u ξ, t r ) dσ r 0 Σ α u S i = δ ip γ i γ ( p c 4πρβ 3 jkpq γ q ν k n j u ξ, t r ) dσ (1.3) r 0 Σ β

13 1.1 Descrizione cinematica della sorgente sismica 3 dove [u j (ξ, t)] = n j u(ξ, t) (1.4) la funzione scalare u(ξ, t) è la funzione sorgente o la funzione di slip nel caso di sorgente dislocativa. In genere poichè u può variare rapidamente nel tempo e nello spazio, di conseguenza il tempo di ritardo all interno degli integrandi della (1.3) deve includere le variazioni di r con ξ. Il fattore generale di ampiezza r 1 0 è basato sulla distanza r 0 del ricevitore da un punto qualsiasi della faglia. L equazione (1.3) consente di ricavare in maniera molto semplice le caratteristiche del moto delle onde sismiche di volume in condizione di far field. Dalle relazioni γ i γ i = 1 e γ i (δ ij γ i γ p ) = 0 appare evidente che il moto delle particelle investite da un onda P (particle motion) è perpendicolare al piano di faglia (parallelo alla normale γ), mentre è parallelo per quelle investite da un onda S. L ampiezza delle onde si attenua come l inverso della distanza ed è inversamente proporzionale alla velocità delle onde al cubo. L ampiezza delle onde S è quindi α3 β 3 ( 5) maggiore di quella delle onde P. Il fattore c jkpq γ p γ q ν k n j rappresenta il radiation pattern delle onde P, determinato dall orientazione del piano (ν k ), la direzione della discontinuità dello spostamento (n j ) e la direzione della stazione rispetto alla faglia (γ p ). In maniera analoga se si considerano i vettori γ e γ ortogonali sulla superficie perpendicolare a γ, l ampiezza della radiazione delle onde S emesse è pari a c jkpq γ p γ qν k n j nella direzione γ e a c jkpq γ p γ qν k n j nella direzione γ. La forma dello spostamento per le onde P ed S è descritta dal termine che esprime la dipendenza temporale e sono dei semplici integrali dalla forma: ( x ξ ) Ω(x, t) = u ξ, t dσ(ξ) (1.5) Σ c con c velcità si propagazione dell onda. Sviluppando in serie di Taylor l espressione della distanza tra il ricevitore posto in x e l elemento di sorgente dσ x ξ e trascurando i termini di ordine superiore al primo si ottiene 1 : r r 0 (ξ γ) (1.6) 1 l errore relativo a tale approssimazione è trascurabile solo se è valida la condizione di far field L << λ

14 4 La simulazione del moto sismico Figura 1.1: L origine delle coordinate è fissata su di una superficie di faglia finita Sostituendo la (1.6) nella (1.5) si ottiene: ( Ω(γ, t) = u La cui trasformata di Fourier è: Σ Ω(γ, ω)e iωr 0 c = Σ ξ, t r 0 (ξ γ) c ) dσ (1.7) ( ) u ξ, ω e iω(ξ γ/c) dσ (1.8) La parte destra ha la forma di una doppia trasformata di Fourier nello spazio, espressa da: Σ ( ) u ξ, ω e i(ξ k) dσ = f(k) Se la trasformata fosse nota per tutti i k nello spazio dei numeri d onda, sarebbe possibile invertire il doppio integrale e determinare u(ξ, ω) in funzione di ξ completamente, partendo da osservazioni far field. Sfortunatamente l equazione (1.1.1) mostra che la trasformata non è nota per tutti i numeri d onda k ma solo per la proiezione di ωγ/c su Σ. L intervallo di numeri d onda investigabili è quindi ristretto a k paralleli a Σ e k ω/c. Ne segue che non è possibile studiare i dettagli della sorgente sismica a scale di lunghezza più piccole della minore lunghezza d onda osservata.

15 1.1 Descrizione cinematica della sorgente sismica Comportamento dello spettro sismico ad alte frequenze. Quando la frequenza ω si avvicina a zero lo spettro di Fourier Ω(x, ω) dello spostamento far field tende ad un valore costante: Ω(x, ω 0) = u(ξ, t 0) dσ poichè u(ξ, ω 0) = u(ξ, t)exp(iωt) dt Σ ed inoltre u(ξ, ω 0) = u(ξ, t) dt = u(ξ, t ) otteniamo Ω(x, ω 0) = u(ξ, ω ) dσ (1.9) Σ Quindi Ω(x, ω 0) tende all integrale della dislocazione finale sul piano di faglia. In altri termini lo spettro dello spostamento far field a basse frequenze tende ad un valore costante proporzionale al momento sismico definito come: M 0 = µua = µ dislocazione media Area della faglia (1.10) Questo risultando è vero per qualsiasi funzione di dislocazione sul piano di faglia, e afferma che l andamento spettrale a basse frequenze è indipendente dai dettagli del processo che ha portato al valore finale di dislocazione. Se l area della superficie di faglia è infinitesima e la dislocazione varia come un gradino nel tempo, la forma d onda far-field è una funzione delta di Dirac e quindi lo spettro è piatto nell intero range di frequenze Modello di faglia con propagazione unidirezionale Da quanto discusso fino ad ora appare chiaro che le forme d onda osservate in campo lontano non possono determinare in maniera univoca la funzione sorgente δu(ξ, t). È quindi utile determinare un insieme utile di parametri

16 6 La simulazione del moto sismico Figura 1.2: Rottura unidirezionale su di una faglia rettangolare (in alto) il piano di faglia, (in basso) θ = 0 è la normale al piano di faglia, Ψ = 0 è la direzione di propagazione della rottura

17 1.1 Descrizione cinematica della sorgente sismica 7 che possano descrivere in maniera adeguata la funzione sorgente. Descriviamo il piano di faglia come un rettangolo di lunghezza L e larghezza W. La rottura ha inizio in corrispondenza di uno dei lati della faglia e si propaga con velocità v lungo L. Introducendo un sistema di coordinate (ξ 1, ξ 2 ) parallele alla lunghezza e alla larghezza del piano di faglia la propagazione della rottura è descritta da: u(ξ, t) = f(t ξ 1 /v) se 0 < ξ 1 < L e se 0 < ξ 2 < W = 0 se ξ 1 < 0 oξ 1 < Lo se ξ 2 > 0 oξ 2 > W (1.11) introducendola nell equazione (1.7) si ottiene: Ω(x, t) = W L 0 0 f(t r 0 c ξ 1 v + ξ 1γ 1 + ξ 2 γ 2 ) dξ 1 dξ 2 (1.12) c Assumendo che W e ξ 2 γ 2 sono piccoli e chiamando Ψ l angolo tra la direzione del ricevitore e quella della propagazione della rottura, l equazione (1.12) diventa: Ω(x, t) = W L 0 [ f t r 0 c ξ 1( 1 v cosψ ) ] dξ 1 (1.13) c Lo spostamento descritto dalla (1.13) è proporzionale al moto medio f(t r 0 /c) valutato su di un intervallo di tempo di L[1/v (cosψ/c)]. L effetto della propagazione della rottura su di una faglia di dimensione finita ha l effetto di addolcire le forme d onda. Lo spettro di Fourier è dato da: Ω(x, ω) = iωwf(ω)e iωr 0/c Con X = (ωl/2)[1/v (cosψ/c)] L 0 [ exp iωξ 1 ( 1 v cosψ c = iωf(ω)wl sinx [ X exp i( ωr 0 π + X)] (1.14) c 2 L effetto della finitezza della faglia sullo spettro di ampiezza è l andamento come un seno cardinale ( sinx ) che produce dei nodi a X = π, 2π,.... Il primo X nodo corrisponde al periodo 2π/ω = L[1/v (cosψ)/c]. Per alte frequenze l inviluppo dell andamento spettrale decade con ω 1 Questo effetto lisciante è più debole nella direzione di propagazione della rottura (Ψ = 0) ed è più ] )

18 8 La simulazione del moto sismico forte nella direzione opposta (P si = π). Per completare la descrizione della faglia rettangolare unidimensionale sono necessari altri due parametri. La dislocazione finale D e il tempo di salita (rise time T) che caratterizzano la funzione di dislocazione f(t). Nel modello di Haskell(1964) è stata usata la funzione rampa f(t) = 0 t < 0 = Dt/T 0 < t < T Calcolando la trasformata di Fourier si ottiene: Ω(x, t) = WLD sinx X = D T < t (1.15) 1 e1ωt ωt (1.16) L effetto del tempo di salita è quello di aggiungere uno smoothing aggiuntivo. Quindi un modello di propagazione lungo un piano di faglia di lunghezza finita, associato ad un tempo finito di risalita produce uno spettro che si attenua come ω 2 ad alte frequenze. I cinque parametri di sorgente introdotto sono quindi (i) Lunghezza della faglia L (ii) Larghezza della faglia W (iii) Velocità di rottura v (iv) Distribuzione finale di dislocazione D (v) Rise time Dove si colloca il modello di sorgente usato in questo contesto Esistono delle ragioni bene precise per cui nell ambito di questo lavoro è stato introdotto il modello di Haskell: In primis, il modello di Haskell consente di

19 1.2 Calcolo delle funzioni di Green: Metodo dei numeri d onda discreti 9 definire tutti parametri necessari per la modellazione cinematica del processo di frattura, fornendo il back ground necessario lo sviluppo del particolare modello di sorgente presentato e applicato in quest ambito. Tale modello, (come accennato nell introduzione e discusso nel dettaglio nel II capitolo) consiste nel modellare un intero piano di faglia con una collezioni di sorgenti puntiformi disposte in direzione parallela allo strike. Da un punto di vista geometrico, potrebbe essere interpretato come un modello di Haskell larghezza W infinitesima. La fondamentale differenza tra il modello di Haskell e la linea sorgente proposta ed utilizzata, risiede nel fatto che nel modello di Haskell la radiazione sismica viene emessa solo in corrispondenza dei quattro vertici della faglia, generando in spostamento una forma d onda trapezoidale. Il segnale in accelerazione è quindi composto da da due spike di ampiezza infinita, assolutamente non realistici. (per una discussione quantitativa di questo problema rimando alla lettura di [3], [6]) Nel modello linea,invece, l energia emessa nel processo totale di frattura viene distribuita su più sorgenti puntiformi che emettono radiazione sismica. Quanto discusso fino ad ora si riferisce ad un modello di terra omogeneo, mentre il modello di propagazione utilizzato in quest ambito è un modello unidimensionale a strati piani paralleli, in cui il contributo di ciascuna sorgente elementare viene propagato al ricevitore per mezzo della funzione di Green calcolata in campo completo sfruttando il metodo dei numeri d onda discreti di Bouchon [7], che verrà illustrato in seguito. 1.2 Calcolo delle funzioni di Green: Metodo dei numeri d onda discreti La funzione di Green per un mezzo elastico stratificato può essere espressa come un doppio integrale sulla frequenza e sui numeri d onda orizzontali. Il metodo dei numeri d onda discreti si basa sul fatto che l integrale sui numeri d onda può essere espresso mediante una somma discreta. Questa discretizzazione si ottiene scrivendo la radiazione emessa dalla sorgente come

20 10 La simulazione del moto sismico Figura 1.3: Configurazione del modello un numero infinito di sorgenti viene distribuito orizzontalmente distanziale di un intervallo L. La distanza tra una delle sorgenti e il punto di osservazione è d. λ è la lunghezza d onda della radiazione sovrapposizione delle radiazioni emesse da un insieme infinito di sorgenti concentriche, distanziate di un certo intervallo radiale pari a L. La scelta della dimensione degli intervalli dipende dalla lunghezza dell intervallo di tempo desiderata per la risposta della sorgente e determina l insieme discreto dei numeri d onda che contribuiscono alla soluzione Si consideri un modello bidimensionale, come quello illustrato in figura (1). Sia L l intervallo tra le sorgenti e λ la lunghezza d onda della radiazione, la direzione della radiazione è data dalla relazione L sin θ = nλ conn = 0, ±1, ±2,... (1.17) dove θ è misurata rispetto alla normale al piano orizzontale che contiene le sorgenti. Il termine L sin θ rappresenta la differenza tra i percorsi dei raggi emessi da due sorgenti adiacenti, mentre il termine di destra dell equazione esprime la condizione per la interferenza costruttiva. Questa relazione è simile alla legge di diffrazione per un fascio luminoso che attraversa un reticolo (Fraunhofer,1823) o a quella per i raggi x che attraversano un reticolo cristallino (Bragg, 1912). La radiazione irraggiata da una sorgente lineare in un mezzo omogeneo infinito può essere rappresentata come un onda cilindrica, o come sovrapposizione di onde piane. Indicando con x e z gli assi orizzontale e verticale, posti nel piano normale all asse della sorgente, ciascun effetto

21 1.2 Calcolo delle funzioni di Green: Metodo dei numeri d onda discreti 11 osservabile, quale spostamento o stress, può essere scritto nella forma: F(x, z, ω) = + f(k, z, ω)e ikx dk (1.18) dove k indica la componente orizzontale del numero d onda. La validità dell equazione può essere estesa anche al caso di un mezzo stratificato. Se introduciamo un infinità di sorgenti distribuite lungo l asse orizzontale delle x, distanziate fra loro di una distanza pari a L, l equazione (1.18) diventa: G(x, z, ω) = + f(k, z, ω)e ikx + m= e ikml dk (1.19) Usando un risultato di teoria delle distribuzioni (Schwarz, 1966), la sommatoria può essere scritta: + m= [ ] e ikml = 2π δ(kl) modulo2π dove δ indica la distribuzione di Dirac. Quindi l equazione (1.19) diventa: (1.20) dove G(x, z, ω) = + m= g(n, z, ω) = 2π L f ( 2π L n, z, ω ) g(n, z, ω)e i2π L nλ (1.21) Il prossimo passo consiste nel valutare la trasformata di Fourier dell equazione (1.18) ad una distanza x = d dall origine. A tale scopo notiamo che l antitrasformata dell equazione (1.18) e quella dell equazione (1.21) coincidono fino all arrivo di una fase di disturbo proveniente dalla sorgente posta alla distanza orizzontale di (L d) dal ricevitore. Quindi indicando con T il tempo di arrivo di tale perturbazione la funzione f(t) = + per 0 < t < T può essere scritta come: f(t) = + + e iωt m= F(x, z, ω)e iωt dω (1.22) g(n, z, ω)e i2π L nλ dω (1.23)

22 12 La simulazione del moto sismico Se la serie converge, per N molto grandi l equazione (1.23) diventa: f(t) = + +N e iωt m= N g(n, z, ω)e i2π L nλ dω (1.24) Poiché la risposta temporale del sistema di sorgenti è infinitamente lunga, l uso della trasformata discreta di Fourier crea un effetto di aliasing nella soluzione temporale. Questo effetto può essere rimosso introduce una parte immaginaria nella frequenza, scelta in modo tale che le perturbazioni che non rientrano nella finestra temporale di nostro interesse vengano attenuate abbastanza da essere considerate trascurabili. Indicando con ω r e con ω i la parte reale e la parte immaginaria della frequenza, la risposta impulsiva può essere riscritta come: f(t) = e ω it + +N e iωrt m= N g(n, z, ω r )e i2π L nλ dω r (1.25) In sintesi il metodo dei numeri d onda discreti consiste nel calcolare il segnale sismico emesso da una sorgente puntiforme assumendo una simmetria cilindrica del mezzo. Quindi il segnale registrato in una certa stazione è dato da un doppio integrale sulla profondità z, e sulla lunghezza d onda radiale λ. Descrivendo la sorgente come un insieme di infinite sorgenti concentriche è possibile scrivere l integrale su λ come una somma (1.19). Il vantaggio del metodo sta nel fatto che a partire da strutture geologiche relativamente semplici si possono ottenere sismogrammi complessi.

23 Capitolo 2 Studio deterministico di scenario per il terremoto dell Irpinia La regione colpita dal terremoto dell Irpinia (Ms=6.9) nel 1980, situata lungo la catena appeninica meridionale, è una delle aree della penisola italiana con più alta pericolosità sismica. Questo evento ha prodotto danni ingenti ed elevate ampiezze del moto del suolo su di una vasta area. Queste caratteristiche sono collegate principalmente ad un processo di frattura multipla durante il quale si sono attivati tre diversi segmenti di un sistema sub-parallelo di faglie normali. Lo scopo principale di questo studio è investigare quanto la complessità della sorgente può aver influenzato il moto del suolo registrato alla superficie terrestre e la distribuzione areale dei parametri di strong motion. Viene utilizzato un approccio puramente deterministico per simulare lo scenario per il moto del suolo nell intera regione Campania generato dall evento irpino, basandosi sull attuale conoscenza della storia della rottura e della geometria del sistema multiplo di faglie. Il modello cinematico della sorgente è stato calibrato confrontando i dati osservati e i dati sintetici nel dominio delle frequenze e del tempo. Sono state calcolate le mappe per i principali parametri

24 14 Studio deterministico di scenario per il terremoto dell Irpinia dello strong motion insieme a mappe di danno per diverse classi di edifici e livelli di danno per l intera regione Campania. 2.1 Il terremoto dell Irpinia del 1980 Il terremoto dell Irpinia del 1980 è un evento a frattura multipla caratterizzato da tre sub-eventi con tempi di nucleazione di circa 0, 20 e 40 sec lungo tre differenti sub-faglie normali. La geometria dei segmenti di faglia, la dimensione e il meccanismo focale sono stati studiati diffusamente utilizzando approcci differenti e un data set multidisciplinare (fig.2.1). Westaway & Jackson (1987) [33] hanno utilizzato congiuntamente registrazioni sismometriche ed accelerometriche ed osservazioni geologiche e geodetiche per proporre una ricostruzione della geometria di faglia e dell andamento temporale della funzione sorgente. Bernard & Zollo (1989) [4] hanno proposto un analisi dettagliata del moto del suolo near source e dei dati geodetici (integrando le forme d onda telesimiche modellate da Westaway & Jackson nel 1987 e gli studi sulle repliche condotti da Deschamps e King nel 1984 [11]) per vincolare il timing, la geometria e la cinematica del processo di frattura di ciascun sub-evento. Nel presente studio vengono usati i parametri di sorgente del modello sviluppato da Bernard & Zollo (1989) (fig. 2.2 e tab. 2.1). Sub-evento Coordinate ipocentrali Meccanismo focale Momento sismico dip, strike, rake (Nm) 0 sec 15 o E o N , 315, e19 20 sec 15 o E2640 o N40 20, 300, e18-8.0e18 40 sec 15 o E12140 o N51 70, 124, e18 Tabella 2.1: Da Bernard & Zollo (1989) [4] Il valore del momento sismico relativo all evento più a sud è mostrato in rosso.

25 2.1 Il terremoto dell Irpinia del Figura 2.1: Global fault model from geodetic data set [28]. Figura 2.2: Sketch of the rupture process and associated mechanisms for the Irpinia, November 23, 1980 earthquake [4].

26 16 Studio deterministico di scenario per il terremoto dell Irpinia Figura 2.3: Modello a singola sorgente Le stelle rosse rappresentano i punti sorgente posizionati nelle coordinate ipocentrali dei sub-eventi con tempi di nucleazione di 0s, 20s e 40s rispettivamente. La durata della STF è di 3 secondi. 2.2 Metodo di simulazione dello strong motion Con lo scopo principale di simulare i parametri strong motion sono stati calcolati i sismogrammi in campo completo per un mezzo di propagazione a strati piano paralleli usando il metodo dei numeri d onda discreti ([8] e [10]). Nei prossimi paragrafi verranno discussi il modello di sorgente costruito e le caratteristiche elastiche del mezzo di propagazione Modelli di sorgente Verranno di seguito descritti alcuni modelli di sorgente sismica utilizzati per la simulazione dei forti movimenti del suolo. Un modello di sorgente molto usato per le applicazioni ingegneristiche è la sorgente puntiforme. In questa approssimazione tutti i contributi della radiazione sismica provenienti da ciascun elemento del piano di faglia arrivano al ricevitore in fase. Questo

27 2.2 Metodo di simulazione dello strong motion 17 tipo di approssimazione può essere applicata solo quando le dimensioni lineari della sorgente sono trascurabili rispetto alle distanze di osservazione e quando può essere trascurato l effetto di direttività. È stata effettuata una simulazione per l area irpina usando tre sorgenti puntiformi posizionate nell ipocentro di ciascun sub-evento (fig. 2.3). La funzione sorgente elementare usata è un triangolo con durata peri all inverso della frequenza d angolo e ampiezza proporzionale al momento sismico associato a ciascun piano di faglia. In questa fase preliminare del lavoro l attenzione è focalizzata sulla forma e sulla durata degli eventi. Nella fig. 2.4 viene mostrato il confronto tra i dati osservati e le forme d onda sintetiche in accelerazione, velocità e spostamento nelle stazioni di Bisaccia e Mercato San Severino. La complessità delle forme d onda ottenute è interamente legata alla funzione di Green calcolata per il campo completo. In velocità e spostamento il segnale é completamente dominato dalla forma a triangolo della funzione sorgente. A causa delle grandi dimensioni lineari del sistema di faglie coinvolte nell evento, questo modello è chiaramente non appropriato per una simulazione nell area irpina. Infatti nell intervallo di distanze considerato il segnale registrato contiene più informazioni circa i dettagli del processo di rottura piuttosto che sugli effetti di propagazione e di sito. L alternativa alla sorgente puntiforme è l utilizzo della sorgente estesa. Il piano di faglia viene suddiviso in una griglia di sorgenti puntiformi che emettono un segnale allorquando vengono raggiunte dal fronte di rottura ad un tempo pari a d v r dove d è la distanza della sorgente elementare dal punto di nucleazione. Questa descrizione è molto difficile da utilizzare se non sono note le informazioni circa la distribuzione di dislocazione sul piano di faglia. Inoltre è molto onerosa in termini di tempi di calcolo. Come alternativa alla sorgente puntiforme e ad un modello di faglia estesa, in questo lavoro il processo di rottura è stato descritto come una combinazione di sorgenti disposte lungo una linea che si attivano lungo i tre segmenti di faglia usando una velocità di rottura costante pari a 3 Km/s per tutti i

28 18 Studio deterministico di scenario per il terremoto dell Irpinia Figura 2.4: Forme d onda sintetiche per le stazioni di Bisaccia e Mercato San Severino. I dati sintetici (linea rossa) sono stati simulati con una sorgente puntiforme. I dati reali (linea nera) provengono dalla rete dell ENEL. segmenti, in accordo con le stime di Bernard & Zollo [4]. L evento a 0 sec è stato descritto da una linea sorgente con un verso di propagazione bilaterale. Entrambe le rotture associate agli eventi a 20 e 40 sec sono unilaterali e si propagano verso sud-est. Le tre linee sorgente sono state posizionate alla profondità ipocentrale stimata di 8, 5 e 5 Km per gli eventi di 0, 20 e 40 sec rispettivamente (fig. 2.5). Come mostrato nel prossimo paragrafo, tutte le linee sorgente giacciono all interno della piattaforma carbonatica (profondità 2.5Km - 15Km). Il modello linea sorgente è costruito posizionando una serie di sorgenti puntiformi con meccanismo a doppia coppia in maniera uniforme lungo una linea. Le sorgenti sono tutte caratterizzate dallo stesso meccanismo focale,

29 2.2 Metodo di simulazione dello strong motion 19 Figura 2.5: Modelli di sorgente con una e due linee per faglia. Box destro: le stelline rosse rappresentano i punti di nucleazione. L evento a 0s è stato descritto con una sorgente lunga 40Km posta a 8Km di profondità (linea rossa.) Le stelline rosse sono i punti di nucleazione. Gli eventi a 20 sec e 40 sec sono stati descritti con linee sorgenti lunghe 20Km e 10Km rispettivamente, posizionate a 5Km di profondità. Box sinistro: Gli eventi sono modellati con 2 linee sorgente con lo stesso verso di propagazione. durata della sorgente e momento sismico (fig. 2.6). La somma dei momenti delle sorgenti puntuali appartenenti alla stessa linea è uguale al momento sismico del sub-evento corrispondente. Per impostare correttamente la spaziatura delle sorgenti lungo le linee, i fattori di cui tener conto sono (fig. 2.6): Frequenza massima: la massima frequenza simulata dipende dalla durata di ciascuna sorgente elementare. Condizione di anti-aliasing: allo scopo di riprodurre un segnale coerente, i contributi emessi da ciascuna sorgente elementare devono sovrapporsi: la durata di ciascuna sorgente elementare deve essere maggiore del tempo impiegato dalla rottura per spostarsi alla sorgente immediatamente successiva. Per scegliere una spaziatura ottimale delle sorgenti lungo la linea, allo scopo di ridurre l effetto di aliasing spaziale, è stata effettuata una serie di

30 20 Studio deterministico di scenario per il terremoto dell Irpinia simulazioni con diverse spaziature e durate delle sorgenti. In fig. 2.6 sono stati riportati i parametri scelti per una simulazione con frequenza massima di 8Hz. Per ridurre l effetto delle fasi di nucleazione e di arresto che danno origine a picchi anomali sui segnali sintetici (fig. 2.7), è stato effettuato un tapering della distribuzione di momento sismico per i punti sorgente posizionati agli estremi della linea (fig. 2.6). I valori del momento associato a ciascuna sorgente sono stati rinormalizzati in modo da conservare il momento sismico totale.

31 2.2 Metodo di simulazione dello strong motion 21 Figura 2.6: Criteri seguiti per la costruzione della linea sorgente. Spaziatura fra le sorgenti, durata e tapering dei valori del momento. Nel riquadro sono mostrati i valori ei parametri usati per la simulazione con massima frequenza di 8Hz.

32 22 Studio deterministico di scenario per il terremoto dell Irpinia Figura 2.7: Taper effect. Riduzione dell ampiezza dei picchi per i sintetici alla stazione di Calitri. In accelerazione i cerchi rossi corrispondono alle fasi di nucleazione, i blu a quelle di arresto. L effetto è visibile anche in velocità (cerchi verdi)).

33 2.2 Metodo di simulazione dello strong motion 23 Il tempo di calcolo richiesto per un modello di linea sorgente con N punti è circa N volte il tempo impiegato per la simulazione con una sorgente puntiforme. Ad esempio: se la simulazione del segnale relativo alla singola sorgente ad un ricevitore impiega 20s, la stessa simulazione con 703sorgenti richiederà un tempo di circa 4 ore. Questo modello è ancora molto semplice rispetto alla reale complessità della sorgente, ma i segnali sintetici prodotti sono molto migliori di quelli ottenuti precedentemente. In particolare durata e la spaziatura e temporale tra le fasi di arrivo di ciascun sub-evento sono riprodotte in maniera soddisfacente, il ce conferma la validità del modello di sorgente utilizzato. I segnali di velocità e spostamento hanno delle forme complesse in grado di riprodurre l andamento di alcune fasi presenti nel segnale reale. L aver utilizzato un modello semplice di sorgente e di propagazione ha come effetto la produzione di segnali più poveri in contenuto e in ampiezza nelle parti di raccordo tra un sub-evento e il successivo.

34 24 Studio deterministico di scenario per il terremoto dell Irpinia Figura 2.8: Forme d onda sintetiche per le stazioni di Bisaccia e Mercato San Severino. Confronto tra i dati reali (linea rossa) e i sintetici (linea nera) generati con 3 linee sorgente.

35 2.2 Metodo di simulazione dello strong motion 25 Per migliorare la durata dei sintetici è possibile modellare ciascun piano di faglia con l uso di un ulteriore sorgente linea (fig. 2.5). Non è affatto banale trovare la giusta profondità e il momento sismico da attribuire a tale linea, per ottenere un contributo realistico al segnale. ad esempio, per la simulazione alla stazione di Mercato San Severino (fig. 2.9), Il contributo delle sorgenti superficiali produce ampiezze chiaramente troppo elevato rispetto a quelle dei dati reali. A tali difficoltà si aggiunge il fatto che una simulazione di questo tipo richiede tempi di calcolo ancora più lunghi (il doppio rispetto al caso precedente), rendendo questo tipo di simulazione non adatta per uno studio di scenario su vasta area. Figura 2.9: Forme d onda sintetiche per le stazioni di Bisaccia e Mercato San Severino. Confronto tra i dati reali (linea rossa) e i sintetici (linea nera) generati con linee sorgenti 3 addizionali ad una profondità di 3Km.

36 26 Studio deterministico di scenario per il terremoto dell Irpinia Ci sono moltissimi modi per raffinare la descrizione della sorgente sismica e produrre segnali sempre più complessi e realistici. Ma come discusso in precedenza per far ciò occorrono molte informazioni sul processo di rottura e risorse di calcolo molto avanzate. Oltre che la sorgente, si potrebbe pensare di complicare il mezzo di propagazione e calcolare la funzione di Green in mezzi 2D e/o introdurre le variazioni laterali dei parametri elastici del modello. Questo modello offre una valida alternativa per studi di scenario strong motion in situazioni di post-evento. È infatti sufficiente disporre di una geometria e orientazione delle faglie di massima, estrapolata in base alla conoscenza delle strutture geologiche esistenti, la localizzazione dell evento principale e la distribuzione dei precursori e delle repliche sull area, anche il verso della rottura può essere individuato sulla base di simili osservazioni. La sorgente linea descritta in precedenza conduce al calcolo di forme d onda complesse in grado di riprodurre le fasi più energetiche e la durata dei tre sub-eventi in un ampio intervallo di frequenze, con tempi di calcolo relativamente brevi, pertanto è un modello adeguato allo scopo del presente lavoro.

37 2.2 Metodo di simulazione dello strong motion 27 Modello di Complessità Tempo di calcolo Forme d onda Frequenza sorgente della geometria 3 punti Nessuna 1 min buoni tempi di primo arrivo per 4 Hz i tre sub eventi STF 3s Dominanza della STF filt Hz 1 Linea Semplice 4 h buon timing delle asi dei 3 subeventi 8Hz 703 sources Buona durata delle fasi più energetiche 2 Linee Semplice 8 h migliora la durata dei sub-eventi 8Hz 1406 sources aumentano le ampiezze delle fasi secondarie Tabella 2.2: Tavola sinottica dei modelli di sorgente utilizzati. I valori di frequenza indicati sono relativi ai valori dei parametri fissai per simulare le forme d onda mostrate nelle figure precedenti. I tempi di calcolo per stazione sono stati stimati per un Pentium 4 3Ghz CPU freq -1GB RAM personal computer.

38 28 Studio deterministico di scenario per il terremoto dell Irpinia Figura 2.10: Variation of the 20s event seismic moment. Accelerograms for the Rionero and Calitri receivers. Left panel, the moment for the 20s event is 4e18 Nm as suggested from Bernard and Zollo. Right panel: the moment for the 20s event is 8e18 Nm Momento sismico dell evento a 20s Il metodo di simulazione descritto usa modelli molto semplici di sorgente e propagazione e non include gli effetti di sito, è quindi molto difficile riprodurre l ampiezza esatta del moto registrato. Tuttavia è interessante simulare correttamente il rapporto tra le ampiezze dei tre eventi. Guardando le forme d onda riportate in figura 2.12, 2.8 e 2.9, l ampiezza delle fasi relative all evento a 20s risulta sistematicamente sottostimata. I valori per il momento sismico di tale evento proposti da Bernard e Zollo, sono stati ottenuti sulla base dei dati geodetici che suggeriscono un valore di dislocazione medio per ciascun piano di faglia. Ad esempio il valore di dislocazione per l evento a 20s, assumendo un dip di 60 o è di 0.3m, tuttavia l estensione massima del piano in direzione SE non è ancora ben vincolata [5], quindi è possibile modificare il momento sismico di tale evento senza rigettare i risultati degli studi precedenti. Sono state effettuate diverse simulazioni riscalando il momento sismico di tale evento. Risultati soddisfacenti sono stati ottenuti raddoppiando il valore del momento sismico come mostrato in figura 2.10.

39 2.2 Metodo di simulazione dello strong motion Modello di velocità The Southern Appennines is a duplex system orogenically transported over the flexured southwestern margin of the Apulian foreland [27]. The duplex system consists of a complex architecture of carbonate horses deriving from the Apulian Carbonate Platform, which is over-trusted by rootless nappes. [23] Il modello unidimensionale mostrato in tabella 2.3 è stato ottenuto sulla base del modello geologico/geofisico proposto da Improta et al. [23] per la regione dell Irpinia. Gli strati più superficiali riproducono la sequenza sedimentaria dei depositi del Quaternario della valle del Bradano, e del bacino di Lagonegro, caratterizzati da velocità relativamente basse delle onde P ed S. La principale discontinuità a 2.5Km di profondità rappresenta il top dei calcari del Mesozoico che corrispondono alla piattaforma carbonatica Apula. La discontinuità più profonda rappresenta il basamento caratterizzato da alte velocità delle onde P ed S. Si n noti che l area investigata è un ambiente crostale caratterizzato da importanti variazioni laterali di velocità. [23]. Usare un modello di velocità 1D è una approssimazione molto forte. Quest osservazione è importante per un corretto confronto tra i dati reali e i sintetici.

40 30 Studio deterministico di scenario per il terremoto dell Irpinia Figura 2.11: Sezione schematica delle strutture superficiali dell Appennino meridionale attraverso la regione irpina. (a)plio-pleistocene deposits of the Bradano Trought; (b) trust sheets-top successions (Upper Miocene - Early Pleistocene); (c) Sicilide and Sannio nappes (Paleogene-Lower Miocene); (d) Western Carbonate Platform (Mesozoic - Paleogene) and Upper Miocene flysch deposits associated with the foredeep phase; (e) Lagonegro Basin upper sequence (Upper Cretaceous - Upper Miocene); (f) Lagonegro Basin lower sequence (Lower Triassic - Lower Cretaceous); (g) Apulia Carbonate Platform (Triassic Upper Miocene); (h) Verrucano Fm. (Permian - Lower Triassic); (i) thrusts and normal faults; (l) boundary of the main tectono-stratigraphic units. From [23] h(m) V p (m/s) V s (m/s) ρ(g/cm 3 ) Q p Q s Tabella 2.3: 1-D velocity model. 1-D velocity model synthetized for the Southern Apenninic chain. The Qp and Qs are the quality factors for P and S waves respectively.

41 2.2 Metodo di simulazione dello strong motion 31 I valori di Qp e Qs che appaiono nella tabella 2.3, sono i fattori di qualità per le onde P e le onde S rispettivamente. Il fattore di qualità è descrive l attenuazione anelastica delle rocce e rappresenta la perdita di energia per ciclo: 1 Q(f) = E 2πE (2.1) La figura 2.12 mostra l effetto dell attenuazione anelastica sui dati sintetici calcolati per la stazione di Bisaccia. In un mezzo poco attenuante l evento sintetico a 0s è caratterizzato da un picco di accelerazione del suolo troppo forte rispetto al dato reale (pannello di sinistra), come conseguenza l accelerazione, la velocità e lo spostamento di picco sono sistematicamente sovrastimati. Correggendo il modello di velocità con i valori di Q mostrati in tabella 2.3, le ampiezze dei picchi decrescono ad un valore consistente con quello reale.

42 32 Studio deterministico di scenario per il terremoto dell Irpinia Figura 2.12: Effetto dell attenuazione anelastica delle quantità di picco per la stazione di Bisaccia. Le linee rosse sono i dati reali, le nere quelli sintetici per un mezzo poco attenuante(qp=100 Qs=50). Nel pannello di sinistra è mostrato lo stesso confronto nel mezzo attenuante descritto nella tabella 2.3. Questo effetto viene osservato a tutte le stazioni.

43 2.3 Validazione del modello cinematico di sorgente Validazione del modello cinematico di sorgente Allo scopo di verificare la validità del modello di simulazione, sono stati confrontati quantità di picco, quantità integrali, andamenti spettrali e forme d onda per i dati sintetici e quelli reali registrati dalla rete sismica di sorveglianza dell ENEL. La scelta delle stazioni è stata basata sulla posizione geografica di ciascuna stazione rispetto ai piani di faglia e sulla qualità del segnale registrato. (fig.2.13) Quantità di picco La frequenza massima simulata di 8Hz rappresenta un buon limite superiore per la valutazione del moto del suolo com estabilito in figura 2.14, dal confronto tra i parametri strong motion misurati sui dati reali filtrati passa basso a 8Hz e non filtrati. Le prime quantità confrontate sono le accelerazioni le velocità e gli spostamenti di picco del suolo (fig. 2.28). La definizione di distanza adoperata è quella di minima distanza dalla proiezione superficiale del top della faglia, comunemete usata per le leggi di attenuazione. Gli andamenti sono riprodotti in maniera soddisfacente. Ad eccezione delle staioni di Tricarico e Sturno che mostrano evidenti discrepanze, il valor medio del rapporto tra PGA sintetici e reali è circa 1. La stazione di Tricarico (distante 40Km) mostra accelerazione, velocità e spostamento di picco del suolo 6 volte più alte dei valori reali. Questo può essere dovuto ad effetti di sito molto importanti sul segnale registrato, insieme ad una sovrastima dell effetto di direttività, proveniente dalla propagazione della rottura lungo i piani di faglia degli eventi di 20s e 40s. Alla stazione di Sturno (distante 10Km), invece, dove gli effetti di sito determinano un forte guadagno di ampiezza il PGA è sottostimato di un fattore 2. Anche la stazione di Benevento (distante 23Km) mostra un PGA 1.96

44 34 Studio deterministico di scenario per il terremoto dell Irpinia volte maggiore del reale, effetto probabilmente dovuto alla propagazione della rottura sul piano dell evento a zero secondi. Questi commenti preliminari devono essere supportati dal confronto tra le forme d onda sintetiche e quelle reali e tra gli andamenti spettrali. Le stesse osservazioni valgono per i PGV e i PGD. A scopi ingegneristici i valori di PGA simulati comportano un errore trascurabile nella valutazione dell intensità macrosismica che, come verrà discusso in seguito, dipende dal logaritmo base 10 del PGA.

45 2.3 Validazione del modello cinematico di sorgente 35 Figura 2.13: Distribuzione geografica dei siti di registrazione (cerchietti neri). La rete di sorveglianza sismica dell ENEL era composta da accelerografi SMA-1 della Kinemetrics Questi strumenti analogici lavorano a soglia di trigger senza registrare alcuna finestra di pre-evento. Di conseguenza la fase P del primo evento registrato non appare mai nella registrazione. In alcune stazioni questo ha determinato la perdita di uno dei tre segnali, ad esempio nelle stazioni di Auletta Brienza and Tricarico non compare l evento a 0 secondi, mentre a Benevento è stato tagliato quello a 40s. Questo limite delle registrazioni reali può complicare il confronto tra i dati.

46 36 Studio deterministico di scenario per il terremoto dell Irpinia Figura 2.14: Picchi di accelerazione velocità e spostamento misurati sui dai reali. I diamanti neri rappresentano i valori di picco misurati sui dati non filtrati, i rossi pieni gli stessi valori stimati sui dati filtrati passo basso a 8Hz. I valori di PGV e PGD, controllati dalle intermedie e basse frequenza coincidono a tutte le stazioni. Figura 2.15: Confronto tra i dati sintetici (rombetti neri) e reali (rombetti rossi) per le accelerazioni, velocità e spostamenti di picco. La distanza usata è la minima distanza dal top della faglia.

47 2.3 Validazione del modello cinematico di sorgente Forme d onda La seconda fase della procedura di validazione del metodo prevede il confronto tra le forme d onda tra le registrazioni reali e quelle sintetiche in velocità accelerazione e spostamento. Poichè il tempo origine dei dati reali non è disponibile, per allineare i sintetici e i reali, sono stati usati i tempi di lettura delle fasi relative all evento di 40s presenti nel lavoro di Bernard e Zollo [4]. Come osservato nel primo paragrafo i segnali ottenuti mostrano delle forme d onda complesse nonostante siano stati sati modelli semplici di velocità e dislocazione. Questo risultato è in parte dovuto alla complessità della geometria delle sorgenti, in parte all aver simulato il campo d onda completo. La complessità del processo di sorgente determina l intera durata dei segnali con le relative variazioni di ampiezza nei diversi siti per i diversi sub-eventi. Per verificare la validità del modello di sorgente è particolarmente interessante osservare le forme d onda in spostamento. Lo spostamento è un filtro passa-basso naturale che rimuove gli effetti dovuti alla eterogeneità del mezzo e mostra la complessità del modello di sorgente, inoltre lo spostamento del suolo è uno dei parametri di maggiore interesse ingegneristico. Le stazioni di Bagnoli, Torre del Greco,Sturno,Bisaccia,Calitri e Auletta mostrano delle forme d onda in spostamento particolarmente interessanti, perchè riproducono le fasi osservate sui segnali reali. L interpretazione del segnale per le altre stazioni presenta maggiori difficoltà. Le possibili cause della non sempre corretta valutazione delle ampiezze sono state già discusse nel corso del lavoro.

48 38 Studio deterministico di scenario per il terremoto dell Irpinia

49 2.3 Validazione del modello cinematico di sorgente 39

71 2.3 Validazione del modello cinematico di sorgente Andamenti spettrali Per studiare la bontà del modello di attenuazione anelastico utilizzato, sono stati riportati gli spettri di accelerazione in un scala lineare logaritmica per entrambe le componenti orizzontali del moto, vengono inoltre mostrati gli spettri di risposta (damping del 5%). In molte staioni gli effetti della simulazione sembrano essere troppo forti rispetto ai dati reali: nell intervallo di frequenze di 4-8Hz l ampiezza spettrale sintetica è sistematicamente sottostimata rispetto a quella reale. Questo può apparire in contraddizione con il buon accorda tra i picchi di accelerazione sintetici e reali: l ampiezza dell accelerazione è controllata proprio dalle alte frequenze. Tale apparente contraddizione si spiega osservando che un terremoto di alta magnitudo (M w = 6.9) come quello in esame è caratterizzato da frequenze d angolo dell ordine di 0.5Hz. il buon accordo spettrale a queste frequenze spiega la buona riproduzione dei valori di PGA.

72 62 Studio deterministico di scenario per il terremoto dell Irpinia Figura 2.16: Confronto tra gli spettri di accelerazione e di risposta per la stazione di Bagnoli. La linea rossa è il dato reale, la nera tratteggiata il dato sintetico.

73 2.3 Validazione del modello cinematico di sorgente 63 Figura 2.17: Confronto tra gli spettri di accelerazione e di risposta per la stazione di Mercato San Severino. La linea rossa è il dato reale, la nera tratteggiata il dato sintetico.

74 64 Studio deterministico di scenario per il terremoto dell Irpinia Figura 2.18: Confronto tra gli spettri di accelerazione e di risposta per la stazione di Torre del Greco. La linea rossa è il dato reale, la nera tratteggiata il dato sintetico. The spectral behavior are quite different, this could depends on a wrong modeling of Q factor for the deepest layer or /and the site effects.

75 2.3 Validazione del modello cinematico di sorgente 65 Figura 2.19: Confronto tra gli spettri di accelerazione e di risposta per la stazione di Benevento. La linea rossa è il dato reale, la nera tratteggiata il dato sintetico.

76 66 Studio deterministico di scenario per il terremoto dell Irpinia Figura 2.20: Confronto tra gli spettri di accelerazione e di risposta per la stazione di Sturno. La linea rossa è il dato reale, la nera tratteggiata il dato sintetico.

77 2.3 Validazione del modello cinematico di sorgente 67 Figura 2.21: Confronto tra gli spettri di accelerazione e di risposta per la stazione di Bovino. La linea rossa è il dato reale, la nera tratteggiata il dato sintetico.

78 68 Studio deterministico di scenario per il terremoto dell Irpinia Figura 2.22: Confronto tra gli spettri di accelerazione e di risposta per la stazione di Bisaccia. La linea rossa è il dato reale, la nera tratteggiata il dato sintetico.

79 2.3 Validazione del modello cinematico di sorgente 69 Figura 2.23: Confronto tra gli spettri di accelerazione e di risposta per la stazione di Calitri. La linea rossa è il dato reale, la nera tratteggiata il dato sintetico.

80 70 Studio deterministico di scenario per il terremoto dell Irpinia Figura 2.24: Confronto tra gli spettri di accelerazione e di risposta per la stazione di Rionero. La linea rossa è il dato reale, la nera tratteggiata il dato sintetico.

81 2.3 Validazione del modello cinematico di sorgente 71 Figura 2.25: Confronto tra gli spettri di accelerazione e di risposta per la stazione di Auletta. La linea rossa è il dato reale, la nera tratteggiata il dato sintetico. La componente nord presenta un andamento migliore, questo potrebbe essere legato al fatto che sulla est si osserva umore ambientale che sporca il segnale

82 72 Studio deterministico di scenario per il terremoto dell Irpinia Figura 2.26: Confronto tra gli spettri di accelerazione e di risposta per la stazione di Brienza. La linea rossa è il dato reale, la nera tratteggiata il dato sintetico.

83 2.3 Validazione del modello cinematico di sorgente 73 Figura 2.27: Confronto tra gli spettri di accelerazione e di risposta per la stazione di Tricarico. La linea rossa è il dato reale, la nera tratteggiata il dato sintetico.

84 74 Studio deterministico di scenario per il terremoto dell Irpinia Quantità integrali L ultimo confronto effettuato coinvolge alcuni parametri che descrivono la severità dell eccitazione sismica, utili per scopi ingegneristici: intensità di Arias,[2], intensità spettrale secondo Housner SI H [19], durata dello strong motion (SMD) secondo Trifunac e Brady T TB [31]. L intensità di Arias 2.2 è una misura del contenuto totale di energia dell eccitazione sismica ed è definita dalla seguente relazione: I 0 = π 2g te 0 ẍ 2 (t)dt (2.2) Dove I 0 è l intensità di Arias, t e la durata sismica totale, ẍ 2 il quadrato dell accelerazione del suolo. In accordo con Housner [19], la definizione di intensità spettrale è data dalla relazione: SI H = PSV (T, ξ)dt (2.3) dove, PSV è la curva di pseudo-velocità, T è il periodo naturale e ξ il coefficiente di damping. La durata dello strong motion secondo Trifunac & Brady [31] è il tempo che intercorre tra il 5% e il 95% del diagramma di Husid ed è definito dalla seguente relazione: T TB = T 0.95 T 0.05 (2.4) T TB è la durata del moto del suolo, T 0.95 è il tempo corrispondente al 95% del diagramma di Husid e T 0.05 è il tempo in corrispondenza al 5% del diagramma di Husid. Il diagramma di Husid [20] riflette la distribuzione temporale dell energia dell accelerogramma. È definito come integrale nel tempo del quadrato dell accelerazione sismica del suolo, normalizzato per il contenuto energetico totale come definito nella seguente relazione: H(t) = t 0 te 0 ẍ 2 dt ẍ 2 dt (2.5)

85 2.3 Validazione del modello cinematico di sorgente 75 H(t) è il diagramma di Husid in funzione del tempo t, ẍ è l accelerazione sismica del suolo e t e è la durata sismica totale. Le intensità di Arias sono gravemente sottostimate in molte stazioni. Se si ricorda che gli accelerogrammi sintetici hanno una forma molto semplice rispetto ai dati reali, questo risultato non è affatto sorprendente ed è riconducibile alle approssimazioni sul modello di sorgente e di velocità su cui si basa il metodo. Risultati migliori sono stati ottenuti confrontando le intensità di Housner. Le durate secondo Trifunac & Brady sono abbastanza buone in diverse stazioni e fortemente discrepanti ad altre. Questo risultato può non apparire particolarmente soddisfacente ma risulta comunque incoraggiante se confrontato con studi effettuati sfruttando modelli di sorgente puntiforme [16].

86 76 Studio deterministico di scenario per il terremoto dell Irpinia Figura 2.28: Arias Intensity, Housner spectrum intensity and duration after Trifunac and Brune. The distance is the minimum distance to the top of the fault.

87 2.4 Mappe di scenario per la regione Campania Mappe di scenario per la regione Campania La metodologia per la simulazione dello strong motion proposta risulta molto utile per simulare il moto del suolo laddove non sono disponibili registrazioni di dati reali e per effettuare uno studio deterministico di scenario per un intera area di interesse. Usando il modello cinematico descritto precedentemente, è stata effettuata una imponente simulazione del moto del suolo ai nodi di una griglia che copre un area di Km 2 con spaziatura di 20 Km. Il confronto tra le mappe di PGA ottenute interpolando i dati sintetici e quelli osservati (fig. 2.29) mostra un soddisfacente accordo della distribuzione areale media dei valori di PGA. Non è corretto effettuare un confronto tra gli andamenti poiché nel caso reale è determinato dalla posizione geografica delle stazioni, tuttavia è interessante notare come nelle due mappe è presente la stessa forma allungata in direzione NW-SE determinata dallo strike delle faglie. Vengono inoltre mostrate mappe di PGV e di intensità di Arias (fig e 2.31) (figure dati osservati da ricalcolare)

88 78 Studio deterministico di scenario per il terremoto dell Irpinia ' ' 0.2 km ' 14 00' 14 30' 15 00' 15 30' 16 00' PGA Distribution (g) ' ' km ' 14 00' 14 30' 15 00' 15 30' 16 00' PGA Distribution (g) Figura 2.29: Comparison between PGA maps over the investigated area. Up panel, observed PGA interpolation. Down panel synthetic PGA distribution over the interest area.

89 2.4 Mappe di scenario per la regione Campania ' ' 2 km ' 14 00' 14 30' 15 00' 15 30' 16 00' PGV Distribution (cm/s) Figura 2.30: Velocity map for the Campania area

90 80 Studio deterministico di scenario per il terremoto dell Irpinia 41 00' 40 30' km ' 14 00' 14 30' 15 00' 15 30' 16 00' Arias Intensity Distribution (gals) Figura 2.31: Arias maps for the Campania area

91 2.4 Mappe di scenario per la regione Campania Mappe di Danno La distribuzione di intensità Mercalli osservata sull area colpita dal terremodo dell Irpinia del 1980 è caratterizzata dallo stesso andamento predominante in direzione nord-est sud-ovest (fig ) osservato sulle mappe di PGA, PGV e intensità di Arias. L anomalia presente in tale mappa è una asimmetria verso nord di alti valori di danno rispetto all area a sud, per capire se tali andamenti possono essere ricondotti ad un effetto di sorgente è stato effettuato un confronto tra le mappe di intensità Mercalli osservata e l intensità Mercalli simulata a sfruttando i PGA sintetici. La relazione che collega il PGA e l intensità Mercalli per la regione irpina è (Emolo at al. personal communication): I m = 4.10log(pga) 0.84 (2.6) Questa relazione è stata ottenuta applicando la procedura usata da Wald [32] per i terremoti californiani, ai terremoti registrati in Irpinia dalla rete accelerometrica di sorveglianza dell ENEL. La mappa di intesità Mercalli valutata usando il PGA simulato la bedrock riproduce la distribuzione spaziale del danno, correlandolo alle proprietà del processo di frattura. Nell area epicentrale il valori di intensità vengono simulati con un errore di circa un grado: in molte situazioni il danno predetto ha un valore compreso tra il IX e il X grado della scala Mercalli mentre il valore misurato va dal VIII al IX grado. Tali valori di intensità corrispondono ad una descrizione di danni molto gravi alle strutture con collassi parziali o totali. Lungo le coste del golfo di Napoli l intensità macrosismica viene sottostimata di due gradi, un errore di predizione di questo tipo è più consistente, poichè sottostima in maniera significativa i danni riportati nell area. In fine, nell area a sud-est il danno è di nuovo sovrastimato di un grado, si prevede un danno compreso tra il VII e VIII grado contro un danno medio osservato del VI -VII grado. È interessante osservare come in quest area nonostante i cattivi confronti delle quantità strong motion i danni sono comunque simulati in maniera soddisfacente.

93 2.4 Mappe di scenario per la regione Campania 83 La scala di Mercalli di intensità fornisce una descrizione globale del danno in termini di edifici e di elementi non strutturali e di perdita di vite umane. Le curve di vulnerabilità, invece, consentono di descrivere in maniera quantitativa il danno atteso sull area di interesse per una specifica categoria di edifici, in funzione dei parametri strong motion. Esse forniscono la stima della probabilità di una popolazione di strutture di raggiungere o superare diversi stati limite in funzione dati livelli della severità dello scuotimento del suolo. Rossetto ed Elnashay [29] hanno ricavato le curve di vulnerabilità relative all evento dell Irpinia el 1980 per la tipologia predominante delle costruzioni in calcestruzzo (pre-seismic code bare frames) mostrate in figura La probabilità di superare i diversi livelli di danno è espressa in termini di PGA. La scala di danno usata è la HRC-scale proposta dagli autori stessi, in cui il livello di danno moderato corrisponde al terzo livello della scala EMMS98. Usando la mappe di PGA simulate e le curve di vulnerabilità di Rossetto ed Elnashay, è stato simulato uno scenario di danno per l area di interesse. L area di di maggiore probabilità di eccedenza di danno è quella tra i tre segmenti di faglia che risente maggiormente del rilascio di energia durante il processo di frattura. Come previsto dall analisi degli andamenti dei pga anche le zone in posizione direttiva rispetto alle faglie presentano probabilitità percentuali alte.

94 84 Studio deterministico di scenario per il terremoto dell Irpinia 1.0 Fragility Curves 0.8 P(d D PGA ) PGA (g) Figura 2.32: Rossetto and Elnashay vulnerability curves for Campania 1980 buildings The black curve correspond to a slight damage level, the green to a light damage level, the red to a moderate damage of level, the blue to a extended damage level

95 2.4 Mappe di scenario per la regione Campania ' 40 30' km ' 14 00' 14 30' 15 00' 15 30' 16 00' Moderate Damage Concrete Structures Synthetic Data Figura 2.33: Probability of exceeding a moderate damage for unfilled bare concrete structures.

96 86 Studio deterministico di scenario per il terremoto dell Irpinia 2.5 Conclusioni Nella prima parte del lavoro di tesi è stato proposto un modello di sorgente sismica per le simulazioni dei forti movimenti del suolo per applicazioni di carattere ingegneristico, composto da un insieme di sorgenti puntiformi disposte lungo una linea in direzione parallela allo strike. Questo tipo di modellazione rispetto alla sorgente puntiforme offre il vantaggio di tener conto della geometria della sorgente e dell effetto di direttività. Rispetto ai modelli di sorgente estesa offre dei tempi di calcolo relativamente bassi e la possibilità di costruire mappe di scuotimento a partire da poche informazioni ottenibili da una rete sismica nell immediato post-evento (finestra temporale di circa 100s) Una componente non trascurabile di tale metodo è la valutazione delle funzioni di Green in campo completo che arricchisce il segnale delle informazioni portati dalle fasi secondarie. I risultati ottenuti sulla base del confronto con in reali, attraverso le forme d onda, gli andamenti spettrali e i parametri strong-motion più comuni di interesse ingegneristico, ha messo in evidenza alcuni importanti risultati. Un modello di media difficoltà di sorgente come quello presentato riesce a simulare la forma d onda in spostamento in molte stazioni, confermando la bontà del modello cinematico della sorgente adottato. Anche il PGA è ben simulato a molte stazioni, tranne in alcune situazioni dove gli effetti locali hanno fortemente influenzato l ampiezza del moto. Questi incoraggianti risultati hanno consentito di avanzare verso la realizzazione dell obiettivo principale del lavoro, comprendere quanto la sorgente sismica possa influenzare il danno prodotto in superficie da un simile evento. A tale scopo sono state valutate le mappe di scuotimento, di intensità macrosismica e di danno per una determinata tipologia strutturale. Un risultato interessante è che anche nell area a sud-ovest (che corrisponde al territorio lucano) dove le simulazioni del moto non erano delle più incoraggianti le intensità macrosismiche sono state stimate con un errore accettabile. Ancora, si è osservato che il danno più elevato corrisponde all area compresa tra i tre segmenti di faglia, ed un tale risultato è tutto legato all aver introdotto una geometria complessa. Studi di questo tipo possono offrire un valido supporto

97 2.5 Conclusioni 87 anche per la pianificazione di interventi in area epicentrale, consentendo di individuare in maniera preventiva quali comuni sono più a rischio nel caso di innesco di determinate strutture geologiche.

99 Capitolo 3 Inversione di un modello di velocità usando le FGE: teoria Una buona conoscenza delle caratteristiche elastiche e geometriche del mezzo di propagazione per il calcolo delle funzioni di Green è fondamentale non solo nell ambito della simulazione dello strong motion, ma anche per lo studio della sorgente sismica. Tale conoscenza viene ottenuta mediante tecniche di inversione di dati di sismica attiva o passiva. La sismica attiva utilizza segnali generati da sorgenti artificiali per lo studio delle proprietà elastiche del sottosuolo. Il pieno controllo sulla geometria di acquisizione e sulle caratteristiche delle sorgenti, consente di ottenere immagini dettagliate della struttura della parte superiore della crosta ( 10km). Gli esperimenti di sismica attiva risentono fortemente dei problemi di equivalenza tra profondità delle strutture e velocità del mezzo. La sismica passiva, invece, sfrutta le informazioni contenute nelle forme d onda generate dagli eventi sismici. I terremoti rappresentano un laboratorio naturale per lo studio del mezzo di propagazione poiché campionano il mezzo dall interno risolvendo in parte i problemi di equivalenza presentati dalla sismica attiva, inoltre permettono di esplorare vaste aree geografiche ad un costo più basso rispetto ad una campagna di esplorazione sismica e a maggiori profondità. L informazione è però più difficile da interpretare, in quanto è

100 90 Inversione di un modello di velocità usando le FGE: teoria necessario conoscere la posizione ipocentrale e il tempo origine degli eventi che devono essere invertiti contemporaneamente al modello di velocità. Nella seconda parte del lavoro di tesi sarà proposto un metodo di inversione per la determinazione di un modello di velocità unidimensionale che sfrutta le informazioni sulla propagazione contenute nelle registrazioni dei piccoli terremoti usati come funzioni di Green empiriche (FGE). I terremoti di piccola magnitudo sono caratterizzati da frequenze d angolo elevate, al di sotto delle quali il contributo di sorgente può essere assimilato ad una delta di Dirac spaziale e temporale; di conseguenza, il sismogramma registrato in superficie rappresenta la riposta impulsiva o funzione di Green empirica del mezzo. L idea alla base del metodo è di studiare le caratteristiche del mezzo di propagazione mediante il confronto tra le funzioni di Green empiriche e le funzioni di Green teoriche calcolate in campo completo. L aspetto innovativo rispetto alle tecniche standard di sismica risiede nel passare da un analisi cinematica del segnale sismico, basata sullo studio dei tempi di primo arrivo, ad un analisi energetica basata sullo studio dell intera forma d onda. Il modello di velocità 1D ottenuto con questa tecnica può essere impiegato nella simulazione dello strong motion fino a frequenze di 5-8Hz, come evidenziato dai risultati esposti nel capitolo precedente. 3.1 Piccoli terremoti come funzioni di Green empiriche Hartzell nel 1978 [18] ebbe per primo l idea di utilizzare i terremoti di piccola magnitudo per stimare in maniera empirica la funzione di trasferimento del mezzo di propagazione. La registrazione in superficie del segnale emesso dai piccoli terremoti ha un andamento spettrale caratterizzato da frequenze di taglio elevate, al di sotto delle quali la sorgente può essere assimilata ad una delta di Dirac spaziale e temporale. In tale intervallo di frequenza, quindi, il segnale rappresenta proprio la risposta del mezzo ad una sollecitazione impulsiva. La condizione

101 3.1 Piccoli terremoti come funzioni di Green empiriche 91 alla base di tale metodo è che il segnale venga registrato al bedrock e non risenta di effetti di sito non lineari. Il principio delle funzioni di Green empiriche (FGE) viene applicato soprattutto nel campo della simulazione dei forti terremoti [18] e nello studio della sorgente sismica [26]. Per tali applicazioni in genere si usano le repliche dei grandi terremoti poiché queste avvengono in prossimità dell evento sismico principale, vengono registrate alle stesse stazioni, quindi contengono la stessa risposta strumentale, e rappresentano l effetto della propagazione sul grande evento. Mueller nel 1985, propose di usare il concetto di funzione di Green empirica allo scopo di studiare la funzione sorgente temporale di un evento. Il metodo consiste nel deconvolvere il segnale dell evento in esame per quello della replica usata come funzione di Green empirica. Poiché la funzione sorgente dell evento di piccola magnitudo è paragonabile ad una delta di Dirac nel tempo, il risultato della deconvoluzione, opportunamente corretto per il momento sismico della FGE, rappresenta la funzione temporale di sorgente dell evento principale. Il dominio di applicazione delle FGE, in linea con l oggetto di studio del presente lavoro di tesi, è quello della simulazione dei forti movimenti del suolo, la cui formulazione originale è stata proposta da Hartzell nel 1978 ed è riportata nella formula 3.1: S(t) = n [s i (t) R i (t)]h(t τ i ) (3.1) i=1 Il piano di faglia relativo all evento principale viene discretizzato con n punti sorgenti; il moto S(t) generato dall evento di grandi dimensioni viene espresso come somma di n contributi dati dalla combinazione delle funzioni di Green empiriche s i (t), e di una funzione peso R i (t), opportunamente sfasate di τ i per mezzo della funzione H di Heaviside. Alla base di questo metodo, oltre la condizione di assenza di effetti non lineari nei segnali registrati e di posizione ipocentrale della FGE prossima a quella dell evento registrato, vi è l ipotesi di similarità tra grandi e piccoli eventi: la forma spettrale degli eventi deve

102 92 Inversione di un modello di velocità usando le FGE: teoria obbedire alle leggi di scala. Un ulteriore condizione per l applicabilità del metodo è che i meccanismi focali dei piccoli e del grande evento siano simili. Il punto cruciale del metodo proposto da Hartzell è la forma analitica e il significato fisico del fattore peso R i, oggetto di studio e discussione fra i molti autori che hanno investigato e applicato questo metodo [24], [21], [22]) Una della formulazioni più interessanti è quella proposta da Herrero e Bernard [1] nell ambito del lavoro sul modello di dislocazione K 2 in cui la funzione di peso è proporzionale alla dislocazione sul piano di faglia S(t) = x y s(x, y, t) σ u(x, y) v σ δ(t τ r )dxdy (3.2) dove s(x,y,t) è la funzione di Green empirica, σ la dimensione della sorgente che la genera e v σ la velocità di dislocazione che la caratterizza, u(x, y)δ(t τ r ) è la funzione di dislocazione il cui andamento spaziale viene descritto dal modello K 2, mentre la dipendenza temporale è del tipo delta di Dirac. Questo tipo di approccio sembra risolvere il limite teorico sulla somma coerente dei segnali in un ampio intervallo di frequenza che caratterizza i metodi di simulazione di strong motion per modelli composti di faglia, limite formalizzato e discusso da Turmakin [14]. Per poter applicare con successo il metodo di somma di FGE per la simulazione dello strong motion è necessario disporre di un gran numero di registrazioni di piccoli eventi caratterizzati da una ampia distribuzione degli ipocentri sul piano di faglia dell evento in esame. Tale richiesta è fondamentale per la simulazione del campo d onda in condizioni di near fault. La metodologia illustrata è quindi applicabile nel caso in cui esista una rete sismica stabile attiva in area epicentrale che fornisca le registrazioni e le informazioni circa la localizzazione e il meccanismo focale dei piccoli eventi. Per rendere la distribuzione dei piccoli eventi uniforme sul piano di faglia del forte evento da simulare, condizione necessaria per applicare la formula (3.1), si dovrebbe introdurre una tecnica di interpolazione di FGE. In questo lavoro di tesi viene proposta una soluzione alternativa all inter-

103 3.2 Principi di teoria dell inversione 93 polazione di FGE, che consiste nell utilizzo dei piccoli eventi per invertire un modello di velocità a strati piani paralleli, che, integrato con il modello di sorgente sismica descritto nel capitolo precedente, può essere utilizzato per la simulazione di forti terremoti. L idea di base è quella di confrontare funzioni di Green empiriche registrate da una rete con funzioni di Green teoriche calcolate in campo completo per un mezzo stratificato. La scelta di invertire un modello di velocità unidimensionale nasce dai risultati del lavoro presentato nel capitolo precedente, che ha evidenziato come i dati registrati sono interpretabili con modelli relativamente semplici del mezzo di propagazione e della sorgente. L aspetto centrale del metodo che verrà illustrato consiste nello stabilire quale tipo di informazione (ampiezze relative delle fasi sismiche, andamenti spettrali) si intende utilizzare e come sfruttarla per definire la funzione costo da introdurre nell algoritmo di inversione. A tale scopo sono stati effettuati dei test nel dominio del tempo e della frequenza per stabilire il tipo di informazione più adatta alla risoluzione del problema inverso. Prima di addentrarci nei dettagli di tale discussione, verranno illustrati sinteticamente i principi di base della teoria dell inversione. 3.2 Principi di teoria dell inversione Sia S un sistema fisico descritto completamente da un insieme di parametri m. m = m 1 m 2. m m (3.3) Questi parametri potrebbero non essere tutti direttamente misurabili; è possibile definire operativamente alcuni dati osservabili d che dipendono dai

104 94 Inversione di un modello di velocità usando le FGE: teoria valori dei parametri del sistema. d = d 1 d 2. d n (3.4) Si assume che i parametri e i dati del sistema siano correlati per mezzo di una qualche teoria matematica detta modello. Il modello può essere espresso mediante una o più equazioni implicite espresse in forma vettoriale: f (d;m) = 0 (3.5) Risolvere il problema diretto significa ricavare i valori dei dati a partire da valori arbitrari dei parametri del modello. Risolvere il problema inverso significa dedurre i valori dei parametri del modello dalla misura dei valori dei dati osservati. L insieme dei dati osservati di solito sovradetermina alcuni parametri del modello mentre lascia gli altri indeterminati. Tale indeterminazione è legata a due cause: la mancanza intrinseca di dati e le incertezze sperimentali. Il primo caso è, ad esempio, quello della sismica a riflessione in cui esistono infinite combinazioni di profondità dei riflettori e velocità dello strato in grado di riprodurre il tempo di arrivo della fase al ricevitore. Per risolvere tali problemi è necessario introdurre vincoli a-priori o set di dati complementari. La seconda ragione di indeterminazione è l incertezza della conoscenza: le teorie fisiche che portano alla risoluzione del problema diretto sono semplici simulazioni di una realtà più complessa. La procedura scientifica da seguire per lo studio di un sistema fisico può essere schematizzata nei seguenti tre passi [30]: Parametrizzazione del sistema fisico : Ricerca di un insieme di parametri del modello che caratterizza completamente il sistema Formulazione del problema diretto : Definizione di un modello matematico per il sistema fisico che consenta di predire i risultati delle misure una volta assegnati i valori dei parametri del modello

105 3.2 Principi di teoria dell inversione 95 Formulazione del problema inverso : Determinazione dei parametri del modello a partire dai dati I primi due punti sono legati alla natura del sistema fisico in esame, e saranno pertanto discussi in seguito. La teoria dell inversione è invece di carattere generale e verrà approfondita nei prossimi paragrafi Formulazione del problema inverso Si consideri un problema di inversione in cui i parametri sono [m 1,...,m m ] e i dati sono [d 1,...,d n ]. Il modello che li lega può essere rappresentato nella forma f 1 = (d,m) = 0 f 2 = (d,m) = 0 (3.6)... f L = (d,m) = 0 In molti casi è possibile separare i dati dai parametri del modello e ottenere L = N equazioni lineari rispetto ai dati, ma che dipendono in maniera generalmente non lineare dai parametri per mezzo di una funzione G: f (d;m) = 0 = d G(m) (3.7) L equazione 3.7 è la base dei metodi inversi Soluzione ai minimi quadrati del problema inverso lineare Nel caso in cui la funzione G sia lineare (o linearizzata) la 3.7 può essere scritta in maniera esplicita come: d j = M G ij m j (3.8) j=1 Il metodo più semplice per risolvere il problema inverso lineare 3.8 è basato sulla misura della distanza tra i dati osservati e quelli previsti sulla base di

106 96 Inversione di un modello di velocità usando le FGE: teoria un dato modello m est di prova. Tra tutti i modelli viene scelto quello per il quale i dati predetti siano il più vicino possibile a quelli osservati[12]. Per ogni osservazione si definisce un errore di predizione (misfit). e i = d obs i d pre i (3.9) Il modello di best fit è quello definito dall insieme di parametri che rendono minimo l errore complessivo definito come: E 2 = N [d Gm] 2 (3.10) i=1 Minimizzare la funzione di misfit E equivale a risolvere l equazione: E 2 m k = 2 ( N d i i=1 ) M G ij m j G ik = 0 (3.11) j=1 che conduce a : N d i G ik = i=1 ( N M G ij m j )G ik (3.12) i=1 j=1 che scritta in notazione vettoriale diventa: G T d = G T Gm (3.13) da cui: m = ( G T G ) 1 G } {{ } d (3.14) Inversa generalizzata Che rappresenta la soluzione ai minimi quadrati del problema inverso lineare. In questo ambito di tesi vengono applicate tecniche di inversione per ottenere i parametri elastici che caratterizzano il mezzo di propagazione a partire dalle informazioni contenute nelle forme d onda dei sismogrammi o nei loro andamenti spettrali, un problema di questo tipo ha una formulazione fortemente non lineare: è necessario ricorrere ai metodi inversi non lineari.

107 3.2 Principi di teoria dell inversione Metodi inversi non lineari L unico modo per risolvere un problema inverso non lineare consiste nel trovare il modello che meglio giustifica i dati osservati minimizzando la distanza tra questi e quelli teorici previsti sulla base del modello. La ricerca degli estremi della funzione costo (misfit), definita come una misura di tale scostamento, viene risolta dai metodi di ottimizzazione. Tali metodi si distinguono in due principali categorie: metodi di ricerca locale che cercano il minimo della funzione costo nell intorno di una soluzione di prova (metodi hill climbing, downhill simplex). metodi di ricerca globale che investigano l intero spazio dei parametri (algoritmo genetico, simulated annealing). I metodi di ottimizzazione locali sono molto sensibili alla presenza di estremi relativi, di conseguenza sono sconsigliati nelle situazioni in cui la funzione costo è multimodale e l estremo assoluto ricopre solo una piccola regione nello spazio dei parametri. Un altra situazione in cui si preferisce usare i metodi di esplorazione globale è quella in cui lo spazio dei parametri è di dimensione molto elevata, poiché un investigazione dell intero spazio con metodi locali può essere molto costosa in termini di tempi di calcolo. Tali considerazioni consento di individuare le prestazioni richieste ad un metodo di ottimizzazione globale [12]: - prestazione assoluta: è richiesto un buon grado di accuratezza della soluzione ottenuta. - prestazione globale: qual è il grado di certezza con cui si può affermare che la soluzione ottenuta è un estremo assoluto nello spazio dei parametri? - prestazione relativa: il processo di ricerca di tale funzione non deve essere eccessivamente dispendioso in termini di lavoro numerico.

108 98 Inversione di un modello di velocità usando le FGE: teoria I metodi di ottimizzazione sono progettati per soddisfare alla prima e alla terza richiesta, mentre per rispondere alla seconda è necessario disporre di opportune ipotesi iniziali di lavoro Algoritmo genetico La tecnica di investigazione globale utilizzata in questo lavoro di tesi è l algoritmo genetico (AG). La soluzione al problema di ottimizzazione viene ottenuta in base ad un processo evoluzionistico, basato sul principio di selezione naturale sviluppato nell ambito della teoria darwiniana. Tale principio asserisce che gli individui dotati di maggiore adattabilità all ambiente lasciano in media una progenie più numerosa. Le proprietà fondamentali necessarie affinché si realizzi il processo evolutivo sono: l ereditarità (ciascun individuo porta in sé le caratteristiche genetiche che hanno reso più idoneo il genitore) e la variabilità (devono coesistere diversi individui adatti in maniera diversa all ambiente, affinché la selezione naturale possa agire). Sfruttando la terminologia della genetica, si definisce cromosoma una stringa di parametri scelti per descrivere il modello, la popolazione è un insieme di cromosomi. Il fitness, che esprime la capacità dell individuo ad adattarsi all ambiente circostante, è legato al valore assunto dalla funzione costo: la ricerca del minimo assoluto della funzione costo coincide con la scelta del cromosoma che all interno di una certa popolazione sia caratterizzato dal fitness più elevato. Gli operatori dell algoritmo genetico sono: 1. Codifica del cromosoma: Il cromosoma viene scritto come una stringa binaria, contenente la successione dei parametri. 2. Crossover: il crossover opera su cromosomi selezionati e crea nuovi individui combinando in maniera random i caratteri dei genitori 3. Mutazione: La mutazione opera in maniera casuale dei cambiamenti sui cromosomi ottenuti dall operazione di crossover. Lo scopo della

109 3.2 Principi di teoria dell inversione 99 Figura 3.1: Esempio di ricerca del minimo di una funzione usando l AG dal web M. Obitko 1998 mutazione è quello di prevenire la caduta di tutte le soluzioni contenute nella popolazione in un minimo locale. La figura 3.1 aiuta a capire il modus operandi dell algoritmo genetico. Il problema illustrato è la ricerca del minimo assoluto della funzione disegnata in azzurro. Ciascun individuo selezionato all interno della popolazione originaria è caratterizzato da un certo fitness (indicato con un segmento verde sulla funzione). Mediante le operazioni di crossover e mutazione si ottengono nuovi individui caratterizzati a loro volta da un certo fitness. I figli vanno a comporre la nuova popolazione dalla quale spiccherà uno o più individui caratterizzati dal valore di fitness migliore, evidenziato da un segmento rosso sulla funzione. Reiterando questa operazione il segmento rosso convergerà nel minimo assoluto della funzione risolvendo cosi il problema di ottimizzazione. Gli algoritmi genetici differiscono dagli altri metodi di ottimizzazione per i seguenti motivi [17]: lavorano su insiemi di parametri codificati e non su i parametri stessi;

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