APPUNTI DI CONTROLLI AUTOMATICI

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1 GIUSEPPE CALAFIORE APPUNTI DI CONTROLLI AUTOMATICI CLUT

2 Classe L A TEX: clut.cls opzioni: grande 2006 C.L.U.T. Editrice Proprietà letteraria riservata Stampato in Italia da STAMPATRE Torino Copyright C.L.U.T. - Torino ISBN Edizioni C.L.U.T. - Torino Corso Duca degli Abruzzi, Torino Tel Fax RIPRODUZIONE TOTALE O PARZIALE VIETATA

3 control tr.v. 1. To exercise authoritative or dominating influence over; direct. 2. To adjust to a requirement; regulate. 3. To hold in restraint; check. 4. To reduce or prevent the spread of. 5. To verify or regulate by conducting a parallel experiment or by comparing with another standard. 6. To verify (an account, for example) by using a duplicate register for comparison. [Middle English controllen, from Anglo- Norman contreroller, from Medieval Latin contra rotulare, to check by duplicate register, from contra rotulus, duplicate register: Latin contra-, contra- + Latin rotulus, roll, diminutive of rota, wheel.]

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5 Presentazione Nello scrivere questi appunti non mi sono inventato nulla. La teoria classica dei controlli automatici è infatti una disciplina molto ben consolidata, trattata ampiamente in svariati testi quali [6, 9, 10], per citarne solo alcuni. I temi presentati in questi appunti sono direttamente influenzati dai testi citati, così come da molti altri testi di riferimento, nonché dagli insegnamenti che a mia volta ho ricevuto dai docenti più anziani del Politecnico di Torino. Questo testo nasce comunque dall esigenza di rendere accessibili in maniera semplice e diretta gli argomenti di base dei controlli automatici agli studenti dei corsi di Laurea triennali in Ingegneria, e dovrebbe essere inteso come strumento di coadiuzione e supporto alle lezioni in aula. La trattazione muove dal presupposto che le nozioni fondamentali relative alla modellistica e all analisi generale dei sistemi dinamici siano già state acquisite dallo studente in moduli didattici propedeutici, quali Teoria dei Sistemi o Fondamenti di Automatica. Per questi argomenti preliminari si prenderà come riferimento il testo [2]. In questi appunti si introduce il problema fondamentale del controllo di un impianto lineare ad un ingresso e una uscita, tramite un architettura in retroazione sulla misura dell uscita. In una prima parte di analisi del sistema di controllo, si discutono varie forme grafiche di rappresentazione della risposta armonica del sistema, quali i diagrammi di Bode, i diagrammi polari e di Nyquist, e i diagrammi di Nichols. Questi strumenti vengono poi utilizzati per dedurre informazioni critiche sul sistema controllato, quali i margini di stabilità e le bande di funzionamento e di reiezione dei disturbi. Si passa poi a considerare le diverse specifiche di progetto che vengono tipicamente imposte su un sistema di controllo, quali VII

6 VIII Presentazione specifiche sul comportamento stazionario, sulla precisione, sulla reiezione dei disturbi, sulla sensitività, sul comportamento transitorio e in frequenza, etc. Vengono quindi presentate alcune tecniche classiche di sintesi del compensatore, quali la sintonizzazione dei parametri per i compensatori proporzionali-integrativi-derivativi (PID), ed il progetto di reti di compensazione lead-lag e di filtri notch. Un successivo capitolo discute alcune estensioni alla tecnica base di progetto, quali la sintesi a due gradi di libertà, la precompensazione dei disturbi ed il controllo in cascata. Il testo si conclude fornendo alcuni cenni sulle tecniche di discretizzazione ed implementazione digitale della legge di controllo. La maggior parte delle metodologie presentate nel testo sono corredate da esempi ed esercizi numerici. A supporto delle simulazioni numeriche viene utilizzato nel testo l ambiente di calcolo numerico Matlab, nella versione 7.0. Un errata corrige per questo testo è disponibile alla pagina web di riferimento: che contiene anche parte dei codici Matlab utilizzati, oltre che eventuali aggiornamenti. Concludo con un ringraziamento a Cosimo Greco a Marina Indri e a Nicola Sacco per aver letto una bozza preliminare di questo testo, fornendomi utili commenti, e con un augurio agli studenti affinché questo mio lavoro possa aiutarli a comprendere le basi della materia e stimolare in loro curiosità verso lo studio più avanzato dei Controlli Automatici. G.C. Torino, Novembre 2005

7 Indice 1 Un Esempio Introduttivo Come far girare a velocità costante un motore elettrico Il caso in cui non ci sia il disturbo La sensitività alle variazioni dei parametri L effetto di un disturbo costante L architettura di controllo in retroazione La sensitività alle variazioni dei parametri L effetto di un disturbo costante Il comportamento dinamico I diagrammi a blocchi Morale Diagrammi di Bode Formalismo per funzioni di trasferimento La questione delle radici complesse Conversioni tra rappresentazioni Risposta armonica e diagrammi di Bode Diagrammi di Bode di modulo Diagrammi di Bode di fase Diagrammi Polari e di Nyquist Diagrammi polari Diagrammi di Nyquist Il principio dell argomento Diagrammi di Nichols IX

8 X Indice 4 Stabilità dei Sistemi Retroazionati La stabilità in catena chiusa Il criterio di Nyquist Stabilità al variare del guadagno di anello Margini di stabilità Robustezza alla perturbazioni di modulo Robustezza alle perturbazioni di fase Robustezza alle perturbazioni additive Robustezza alle perturbazioni moltiplicative Margini di stabilità su Bode, Nyquist e Nichols La trasformazione di retroazione e i luoghi a M e N costante L anello di controllo L anello di controllo a retroazione unitaria Condizioni di stabilità per l anello a retroazione unitaria L anello di controllo con un guadagno nel ramo di retroazione Cenni sul Luogo delle Radici Proprietà del luogo delle radici Esempi di tracciamento del luogo delle radici Le Specifiche sul Sistema di Controllo Specifiche statiche Risposta in regime stazionario ai segnali polinomiali Errore di inseguimento del riferimento Attività stazionaria sul comando Effetto del disturbo d 1 sull uscita Struttura a bassa frequenza del controllore Risposta stazionaria per sistemi con guadagno nel ramo di retroazione Specifiche sulla risposta in frequenza Specifiche sulla funzione di sensitività S(s) Specifiche sulla sensitività complementare T(s) Specifiche sull attività del comando Specifiche sulla risposta transitoria Zeri a fase non minima e undershoot Limiti strutturali alle prestazioni del controllo Gli integrali di Bode e di Poisson

9 Indice XI La stabilizzabilità dell impianto Le Reti Classiche di Compensazione Le reti ad azione derivativa Le reti ad azione integrativa Reti integro-derivative Procedura di progetto di una rete lead-lag Filtri notch Filtri di guardia Progetto per cancellazione I regolatori standard Il tuning dei regolatori PID Il Controllo a Due Gradi di Libertà Analisi dell architettura a due gradi di libertà Progetto del prefiltro Vincoli strutturali su Ḡry Scelta del modello di riferimento di base Esempio di progetto a due gradi di libertà Precompensazione del disturbo Cenni sul controllo in cascata Il servomeccanismo di posizione Controllo del pendolo inverso Elementi di Controllo Digitale Tecniche di discretizzazione del controllore Approssimazione per invarianza della risposta all impulso Approssimazione per invarianza della risposta al gradino Approssimazione tramite trasformazione bilineare (metodo di Tustin) Discretizzazione per mappatura poli-zeri Effetto del filtro di tenuta Il filtro anti-aliasing Esempio di progetto di controllo digitale A Trasformate di Laplace 277 B Criteri di Routh e Hurwitz 280

10 XII Indice B.1 Criterio di Routh B.2 Criterio di Hurwitz B.2.1 Condizione necessaria di Hurwitz Indice analitico 290 Bibliografia 294