Raggi di curvatura delle curve su una superficie: I teoremi di Meusnier ed Eulero

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1 aggi di curvatura delle curve su una superficie: I teoremi di Meusnier ed Eulero Dato un generico punto P su una superficie, per esso passano infinite curve appartenenti alla superficie. Possiamo distinguerle in diverse tipologie: SEZIONI NOMALI CUVE PIANE { SEZIONI OBLIQUE CUVE SGHEMBE Le sezioni normali si ottengono sezionando la superficie con un piano contenente la normale in P, le sezioni oblique sezionandola con un piano qualsiasi passante per P, le curve sghembe sono invece generiche curve non piane Tutte queste curve per il fatto di appartenere a una stessa superficie devono avere qualche relazione tra loro. In particolare: ) le loro tangenti in P appartengono tutte allo stesso piano (piano tangente alla superficie in P) ) i loro raggi di curvatura in P sono legati da alcune importanti relazioni tra cui i teoremi di Eulero e di Meusnier

2 Si assuma come sistema di riferimento la TENA EULEIANA Pxyz con origine in P, asse z coincidente con la normale alla superficie, assi x ed y sul piano tangente alla superficie. Si consideri una generica curva appartenente alla superficie e passante per P. La tangente alla curva giace sul piano tangente (xy) e forma con l asse x un angolo. La normale principale alla curva non coincide in generale con la normale alla superficie ma forma con essa un angolo θ Con questa particolare scelta del sistema di riferimento, i coseni direttori della normale alla superficie (componenti del versore) rispetto agli assi x ed y si annullano: cos xn 0, cos yn 0 da cui 0, y L angolo θ è l angolo znp, quindi è dato dal 3 coseno direttore della normale principale (formule di Frenet): z x o o 0 d z, da cui si ottiene d z

3 Partiamo da questa relazione dz d z dx dy dx d x dx dy dy d y + + x y x + + x + x y y y che può essere scritta in forma compatta introducendo i cosiddetti r x simboli x dx di, + y s dy Monge: x y e ricordando l'espressione dei coseni direttori della tangente : dx cos xt cos, cos yt cos(90 ) Sostituendo e semplificando si ottiene :, t y d z e svolgiamo la derivata : sin dy r0 cos + s0 sin cos + t0 sin Analizziamo questa espressione : r 0, s 0, t 0 sono derivate della equazione della superficie calcolate in P, quindi sono quantità costanti una volta definito il punto P il rapporto / è solo funzione dell angolo, quindi è costante per tutte le curve che abbiano la stessa tangente Da questa espressione e dalle considerazioni sopra fatte derivano alcune importanti conseguenze, tra le quali i teoremi di Meusnier e di Eulero 3

4 ) Data una superficie, consideriamo due particolari curve aventi la stessa tangente in un punto P: - una curva gobba generica - la curva piana ottenuta intersecando la superficie con il piano osculatore alla curva gobba Per quanto visto sopra dovrà essere: ma essendo θθ (la normale principale alla curva gobba per definizione è contenuta nel piano osculatore), conseguentemente dovrà risultare ovvero le due curve hanno lo stesso raggio di curvatura Ciò permette di studiare localmente una curva gobba come curva piana (più semplice) ) Teorema di Meusnier: in maniera analoga, consideriamo due altre curve in un punto P: - una curva piana generica (sezione obliqua) il cui piano formi un angolo θ con la normale alla superficie - la sezione normale per P avente la stessa tangente t della sezione obliqua 4

5 Per la sezione normale si ha θ 0, da cui Detto il raggio di curvatura della sezione normale ed quello della sezione obliqua, si ha pertanto: da cui si ottiene: (Teorema di Meusnier) Il raggio di curvatura di una sezione piana obliqua la cui normale formi con la normale alla superficie un angolo θ è pari al raggio di curvatura della sezione normale avente la stessa tangente moltiplicato per il coseno di θ Questo teorema e quello precedente permettono di calcolare il raggio di curvatura di una curva qualsiasi (gobba) per mezzo di quello della sezione normale avente stessa tangente (molto più semplice da studiare) 3) Teorema di Eulero: raggi di curvatura delle sezioni normali L espressione di / per una sezione normale diventa: r0 cos + s0 sin cos + t0 sin Questa formula esprime la variazione del raggio delle sezioni normali in un punto P di una superficie al variare dell angolo (che possiamo sin da ora chiamare azimut per il significato che assumerà sull ellissoide terrestre) Dalla formula sopra se ne può ricavare una più adatta all uso pratico mediante la seguente costruzione geometrica: Si riporta un segmento di lunghezza radice di sulla tangente alla sezione normale e lo si proietta sugli assi x ed y della terna euleriana 5

6 Sostituendo nella formula di / le proiezioni del segmento si ottiene: r0 x + s0xy + t0 y che è l equazione di un ellisse sul piano xy E l ellisse che il segmento descrive al variare di, e pertanto rappresenta graficamente la variazione del raggio di curvatura delle sezioni normali al variare di : E una variazione di tipo ellittico, con un valore massimo e un valore minimo lungo due direzioni ortogonali le cui corrispondenti sezioni normali vengono dette sezioni normali principali Se si effettua una rotazione di assi assumendo come x e y le direzioni principali, nell equazione dell ellisse sparisce il termine in xy. Dalla precedente espressione di / si ha: per 0 r 0 /, per 90 t 0 /, da cui sostituendo si ottiene: cos + sin (Teorema di Eulero) importante formula che permette di calcolare il raggio di curvatura di una sezione normale qualsiasi in funzione dei due raggi principali 6

7 Alcune conseguenze del Teorema di Eulero ) L ellisse è simmetrica rispetto a entrambi i suoi assi. Ne consegue che due sezioni normali aventi le tangenti simmetriche rispetto a una delle due sezioni normali principali, hanno lo stesso raggio di curvatura (v. figura) ) E possibile calcolare il valor medio del raggio di curvatura delle infinite sezioni normali per P al variare di m 0 d per la simmetria dell'ellisse e ricavando l'integrale si può calcolare così: 4 Dividiamo numeratore e denominatore per cos 0 0 d cos + tan cos + sin 0 d integriamo per sostituzione ponendo d dal teorema di Eulero : m dt [ arctan t] t t tan e d cos dt E detto raggio medio gaussiano, è il raggio della sfera che meglio approssima la superficie nell intorno di P (SFEA LOCALE) 7