Generalità sulle funzioni di tre variabili

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1 Integrale upericiale onsideriamo la unzione t,, z Generalità sulle unzioni di tre variabili A i tratta di una unzione di tre variabili,, z in quanto ad ogni terna di valori assegnati ad,, z corrisponde un solo valore di t. Il dominio della unzione A è, in generale un volume o una porzione i supericie gobba, proprio perché le terne,, z descrivono punti dello spazio R. osì, ad esempio, dire che la unzione t,, z è deinita nei punti,, z tali che z R vuole dire che tale unzione acquista valori determinati in tutti i punti interni o sulla superice della sera di raggio R col centro coincidente con l origine degli assi cartesiani. ire che la unzione t,, z che è deinita nei punti,, z tali z R vuole dire che tale unzione acquista valori determinati in ogni punto della superice della sera di raggio R col centro coincidente con l origine degli assi cartesiani. osa dobbiamo intendere quando diciamo che la unzione t,, z continua nei punti della supericie di equazione valori,, z che soddisa l equazione,, z è unzione dei punti,, è una unzione deinita e F,, z? igniica che per ogni terna di F,, z (punti della supericie ) la unzione P z della supericie e si può scrivere:,, t z P upponiamo che sia possibile esplicitare rispetto alla variabile z l equazione,, z cioè che l equazione di si possa scrivere: z, B La unzione,,, variabili, ottenuta sostituendo la ed il suo dominio coincide con quello della unzione z, B nella A, diventa unzione delle sole, cioè col dominio del piano O che si ottiene proiettando la supericie sul piano O. In tal modo ad ogni coppia, corrisponde un valore di z, (igura..) ed alla terna,, z, corrisponde un valore della unzione t,, z,,,. iò vuole dire che la supericie è incontrata in un solo punto da ogni retta parallela all asse z

2 Integrale upericiale La unzione di due variabili z, spazio Versore normale ad una supericie rappresenta, geometricamente, una supericie dello R, cioè non giacente interamente su di un piano. Meglio se diciamo che il graico della unzione, è una supericie gobba la cui equazione cartesiana è data dalla []. Qualche volta l equazione di una supericie gobba è data in orma implicita: F,, Un punto P,, z di una supericie gobba di equazione F,, z è detto punto semplice se in esso esistono continue e non tutte nulle le tre derivate prime parziali: F F F F, F, Fz z e le tre derivate parziali prime sono contemporaneamente nulle nello stesso punto o almeno una di esse non esiste, il punto P è detto punto singolare. Una retta è perpendicolare in un punto P semplice della supericie se è perpendicolare ad ogni curva passante per P e giacente su. F F F i può dimostrare che il vettore: F i F j Fz k i j k z è perpendicolare ad ogni curva passante per P e quindi perpendicolare ad in P,, z. Una retta, (e quindi anche un vettore) è perpendicolare ad in P, se è perpendicolare in P ad ogni curva gobba passante per P e giacente su. Il vettore (che dipende soltanto dal punto semplice P e non dalle ininite curve di passanti per 5 P) ha modulo: F F F F F Fz z 6

3 Integrale upericiale e coseni direttori (coseni degli angoli ormati da e dai versori i, j, k dei tre assi F F F F Fz cartesiani): cos n, cos n, cos nz Il versore n in P (versore normale) vale: cioè: F z 7 F F Fz n cosni cosn j cosnzk i j k [8] e l equazione della supericie è del tipo z,, allora la orma implicita assume una delle due espressioni: 9 F( z,, z) z (, ) F( z,, z) (, ) z el primo caso abbiamo: i j k cos n, cos n, cos nz Il cosnz è sempre positivo. i parla in questo caso di versore normale positivo. Questo vuole dire che il versore normale n è orientato in modo da ormare sempre un angolo acuto (al più retto) con l asse z. el secondo caso ( ) abbiamo: cos cos cos n ni n j nzk i j k Fig... i j k 5 cos n, cos n, cos nz 6 Il cosnz è sempre negativo. i parla in questo caso di versore normale negativo.

4 Integrale upericiale iò vuole dire che il versore normale n è orientato in modo da ormare sempre un angolo ottuso (al più retto) col versore k dell asse z. cos cos cos n n i n j nz k i j k 7.. Integrale supericiale di una unzione continua ia una porzione di supericie regolare e sia: PP( u, v) O ( u, v) i ( u, v) j z( u, v) k cioè ( u,v) ( u,v) z z( u,v) una sua rappresentazione parametrica regolare, il cui dominio base supporremo regolare. F,, z la sua equazione cartesiana sotto orma implicita z, la sua equazione cartesiana sotto orma esplicita ia inoltre (,, ) z una unzione continua in ogni punto P z,, di. ividiamo la supericie in n parti ognuna delle quali ha area i ( i,,, n) e consideriamo la somma integrale : n i ( P) Il limite di questa somma integrale quando n in modo che il diametro massimo di ciascuna i parte elementare tenda a zero è detto integrale supericiale della unzione (,, z ) esteso alla porzione di supericie e si denota con uno dei seguenti simboli: n (,, z) d ( P) d Lim ( P) i i n ma i i

5 Integrale upericiale 5 Vediamo adesso come è possibile calcolare un integrale supericiale. upponiamo che la supericie abbia equazione z, i punti del dominio normale, proiezione ortogonale di sul piano O. e questa unzione sia deinita e continua in tutti onsideriamo nel piano O e nel dominio un elemento ininitesimo di supericie d dd Questa supericie ininitesima d, proiettata ortogonalmente su, dà l elemento ininitesimo di supericie d. e n è il versore normale positivo a d in un suo punto interno P,, z, la relazione che intercorre tra d e d è: d dd d cos nz e n osse il versore normale negativo avremmo: 8 9 d dd d cos nz In ogni caso, comunque sia orientata la normale a d è: d dd d cos nz Tutto questo perché d d e d sono quantità sempre positive. ia (,, z ) una unzione (di tre variabili) continua in tutti i punti della supericie. Risulta: dd (,, z) d (,, z) (,, z) dd cos nz cioè l integrale supericiale si riduce ad un integrale doppio. Formule simili si ottengono se ha equazione g(, z) oppure p(, z). e la supericie è data in orma parametrica: la ormula [] diventa: ove è il dominio del piano ( u,v) ( u,v) z z( u,v) (,, z) d [ ( u,v), ( u,v), z( u,v)] J J J du dv Ou v corrispondente al dominio del piano O. EG F J J J J, J, J sono i minori del secondo ordine della matrice Jacobiana: J( u, v) u v u v z u z v u u ( u), u z u ( u),..., zv z(v) v

6 6 Integrale upericiale (,v) u u J u J ( u, v ) v v z u u J z ( u, v ) v v z u u con: z v v J J J EG F se: z z z E F u u uu v u v u v z G v v v Le equazioni parametriche della supericie potrebbero essere espresse mediante coordinate polari. In questo caso avremmo: cos sins z (, ) ( cos, sin ) g(, ) e la supericie è rotonda allora una sua rappresentazione parametrica è la seguente: Risulta: E g u F G u ucos v u sin v z g u (,, z) d [ ( u, v), ( u, v), z( u, v)] u gu du dv e F,, z è l equazione della supericie abbiamo e quindi: F F F F F Fz z (,, z) d (,, z) F F Fz dd 5 alcolare il seguente integrale supericiale limitata dai piani z e z. cono z : z, z 6 d dove è la parte di supericie del d d

7 Integrale upericiale 7 5 z R, : 5 d d d d Questo integrale doppio può essere acilmente risolto utilizzando le coordinate polari: cos sins Al dominio del piano O corrisponde il dominio del piano O, R : O 5 5 cos sin 5 d d d d d d d d eterminare il valore del seguente integrale di supericie z d dove è la parte di ellissoide di equazione z situata nel semipiano z. : z z z La parte considerata di ellissoide è rappresentata dalla unzione: z il cui dominio si ricava risolvendo la disequazione:, R :

8 8 Integrale upericiale La parte considerata di ellissoide può essere rappresentata, utilizzando le coordinate polari, dalle seguenti equazioni parametriche: cos sins z cos cos Al dominio del piano O corrisponde il dominio del piano O, R : O J J z cos sin z z sin cos, sin cos, cos J cos sin, sin J cos sin, cos sin sin cos cos sin i j k 6 cos 6 sin 6 cos 6 sin J J J 6 cos in 6 6 J J J z d d d dd d d d d d d

9 Integrale upericiale 9 alcolare l integrale supericiale (,, z) d z d esteso alla supericie di equazione z con z h ed h. z d z z, z h h, R : h h L integrale supericiale si risolve come un integrale doppio: al posto di d si pone d d, al posto di z si pone la sua espressione, cioè:. Il dominio di integrazione è la regione del piano O in cui si proietta la supericie sulla quale è deinito l integrale supericiale. el caso in esame la supericie è una supericie conica, con il vertice nell origine degli assi cartesiani, che si proietta nella circonerenza di equazione: h in virtù della limitazione z h e ricordando che risulta h. z d dd dd Passando a coordinate polari cos sins otteniamo: h h Al dominio del piano O corrisponde il dominio del piano O T R h, : O h T h h h z d d d d d d d T h h

10 Integrale upericiale alcolo dell area di una supericie curva (gobba) esprime l area della el caso in cui (,, z) l integrale supericiale (,, z) d d supericie. e la unzione (,, z ) è identicamente uguale all unità, allora la [] ci ornisce l area della supericie di equazione z, : [] d d La stessa area, in coordinate polari, è data da: g g d d d d dove le ormule 5 cos, sin consentono il cambio delle variabili. z (, ) ( cos, sin ) g(, ) ove è il dominio del piano O corrispondente al dominio del piano O. Quindi le equazioni parametriche della supericie sono: e F,, z è l equazione della supericie abbiamo cos sins z (, ) ( cos, sin ) g(, ) e quindi: z 5 d F F F d d e la supericie è data in orma parametrica: abbiamo: d J J J du dv ( u,v) ( u,v) z z( u,v) ove è il dominio del piano Ou v corrispondente al dominio del piano O.

11 Integrale upericiale z a alcolare l area della parte di supericie di paraboloide rotondo z a ( ) contenuta nel I ottante ed intercettata dai piani ed. a o a a = Posto (, ) a ( ) otteniamo:, d d d d essendo il settore circolare indicato in igura. Passando da coordinate cartesiane a coordinate 8 polari otteniamo: d d d d a a