Appunti di complemento per le lezioni del corso di Matematica Finanziaria L OPERAZIONE DI AMMORTAMENTO

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1 Appunti di copleento per le lezioni del corso di Mateatica Finanziaria L OPERAZIONE DI AMMORTAMENTO

2 Preessa Il presente testo di appunti è stato scritto per fornire agli studenti un supporto didattico aderente alla trattazione degli aortaenti, così co è stata svolta a lezione. È da intendersi quindi coe testo integrativo rispetto ai paragrafi 5.4 e 5.5 del libro G. Castellani, M. De Felice, Franco Moriconi, Manuale di finanza - I. Tassi d interesse. Mutui e obbligazioni, per brevità indicato in seguito coe Libro. La trattazione dell argoento non è pertanto esaustiva e si rianda, dove opportuno, al Libro.. Operazione di rendita e operazione di aortaento Si definisce rendita una operazione finanziaria costituita da un insiee finito o infinito di pagaenti positivi, periodici, detti rate della rendita quale, per esepio, l operazione:,r,...,,2,...,. r/s { R }/{ } 2 R Talvolta si usa parlare di operazione di rendita riferendosi ad una operazione di scabio di un iporto S esigibile, di solito, in una data antecedente alla scadenza della pria rata, con la rendita r. Più precisaente si parla di operazione di rendita in senso proprio se si fa riferiento alla parte ce effettua l investiento, pagando S per poi ricevere le rate. Viceversa, dal punto di vista della controparte, si tratta, più precisaente, di una operazione di riborso o aortaento di un debito S ediante il pagaento delle rate di aortaento R,R 2,...,R : x/t { S,-R,-R }/{ } 2,...,-R 0,,2,...,. Gli aortaenti costituiscono l argoento della ateatica finanziaria in cui ci si pone il problea di definire le odalità di restituzione del debito S, detto ance soa utuata (con riferiento ad un contratto di utuo e di corresponsione degli interessi. La soa utuata può essere restituita in unica soluzione, al oento del pagaento dell ultia rata, oppure un po alla volta nel corso dell operazione, si parla in tal caso di aortaenti progressivi. In ogni caso, l operazione deve soddisfare le due seguenti condizioni: a l operazione deve essere equa secondo la legge di capitalizzazione coposta o esponenziale, al tasso di interesse periodale i coerente con la periodicità di pagaento delle rate (condizione di equità; b l iporto utuato S deve venire restituito copletaente (condizione di ciusura. Esistono vari tipi di aortaenti, ce sono utilizzati nella pratica e ce si possono fare rientrare in due scei generali: gli aortaenti a rate posticipate e gli aortaenti a rate anticipate. 2. L aortaento a rate posticipate L operazione di aortaento a rate posticipate è la seguente: x/t { S,-R,-R 2,...,-R } /{ 0,,2,..., } dove la rata R si copone di un una quota capitale C (con C 0 e di una quota interesse I (v. ance il paragrafo.2.3 del Libro: R C + I, 2,...,. 2

3 Le rate devono soddisfare la condizione di equità S R (+ i 0 e le quote capitale, ce vengono pagate per restituire il debito S, devono soddisfare la condizione di ciusura C S. Per deterinare le quote interesse, introduciao la nozione di debito residuo. Definiao D il debito residuo in, valutato dopo il pagaento della rata R. Si a ed è inoltre D S C C,...,- D S e D 0. 0 Poicé la quota interesse + I, esigibile in, atura nell intervallo [ -,] all inizio dell intervallo, le quote interesse sono deterinate nel odo seguente I i D -, 2,...,. Sussiste un iportante legae tra la nozione di debito residuo e quella di ontante. sul debito residuo valutato Consideriao il problea dell estinzione anticipata del prestito in un istante t, con t < +. Il ontante in t dell operazione finanziaria x/t è (v. la definizione di ontante al paragrafo 4.5 del Libro M(t,x S ( + i t t- R (+ i. rappresenta la soa da pagare in t per estinguere il debito S, avendo già pagato ance le rate,..., ; infatti, l operazione finanziaria S,-R,-R,...,-R risulta equa. { 2,-M(t, x }/{ 0,,2,...,, t} Pertanto il ontante M(t,x rappresenta il debito residuo in t. R, Si a allora ce il ontante M(,x, 0,...,, rappresenta il debito residuo in, dopo il pagaento delle rate,,...,, in quanto è la soa da pagare per estinguere anticipataente il prestito. R Proviao ce si a M(,x Diostrazione D 0,..., Si diostra per induzione sfruttando la relazione ricorrente del ontante (v. il paragrafo 4.5 del Libro: M(,x M(, x ( + i R,, 2,...,. Poicé M(0,x S D0 è provata la base induttiva. 3

4 Proviao il passo induttivo, cioè ce se allora si a È infatti Poicé I + i C M(,x D S M(+,x + S C D + M(+,x M(, x ( i D ( i D si a M(+,x Infine, se si a M(,x 0 D. + I + C + D + R + M(, x ( i + I + C + C + S C C + S C D +. + Proviao infine ce se le quote capitale sono assegnate in odo da soddisfare la condizione di ciusura C S e se le quote interesse sono deterinate nel odo seguente I i D -, 2,..., con D S C C,, 2,..., -, il debito residuo dopo il pagaento della rata R, + D S e D 0, allora le rate soddisfano la condizione di equità 0 Diostrazione S R (+ i 0. Dalla relazione ricorrente per il ontate si può scrivere la relazione ricorrente per il debito residuo: D D - ( + i R,, 2,...,. Si a allora R - D ( i + D,, 2,...,. Moltiplicando entrabi i ebri per (+ i e soando si ottiene R (+ i D D (+ i S ed è così provata la condizione di equità. Poicé l operazione finanziaria x/t è equa, si a: W(,x M(,x + V(,x 0, quindi 0 M(,x V(,x, 0,,...,. 4

5 Si a pertanto D M(,x V(,x 2 ( ( R + (+ i R + 2 (+ i... R (+ i, 0,,..., -. Si noti ce il valore residuo V(,x a il significato di bilancio finanziario dell operazione finanziaria x/t e si a V(,x<0 per < e V(,x0. Con questo significato, il valore residuo può essere valutato ad un tasso di valutazione i diverso dal tasso i per il quale l operazione finanziaria è equa. In questo caso si a V(,x R e se i i si a V(,x M(,x. 2 + (+ i R + 2 (+ i... R (+ i Esepi di aortaenti a rate posticipate sono i seguenti: ( aortaento con restituzione del capitale in unica soluzione (v. i paragrafi.2.6 e del Libro in cui C 0, per,..., e C S; aortaento a quote capitale costanti (v. i paragrafi.2.6 e del Libro in cui C S/, per,..., ; aortaento a rate costanti (v. i paragrafi.2.6, 5.4. e 5.5. del Libro. 3. L aortaento a rate anticipate L operazione di aortaento a rate anticipate è la seguente: x/t { - R 0,-R,-R 2,...,-R - } 0,,2,..., - S /{ } dove la rata R si copone di un una quota capitale C (con C 0 e di una quota interesse I : R C + I 0,,..., -. Si noti ce indiciao con R la rata pagata in, 0,,..., -. Se, in particolare, R 0 C0 cioè I 0 0, si a un aortaento a rate posticipate con debito iniziale D S e rate di aortaento R, R 2,..., R - tali ce C S C0. 0 C 0 Se, invece, R 0 C0 + I0 con I 0 > 0, siao propriaente nel caso dell aortaento a rate anticipate in cui le quote interesse sono pagate in via anticipata. Se C 0 0 e I 0 > 0 si a l aortaento con anticipazione degli interessi, in cui le quote interesse sono anticipate e le quote capitale sono posticipate. Le rate devono soddisfare la condizione di equità S - R (+ i 0 0 e le quote capitale devono soddisfare la condizione di ciusura - C S. 0-5

6 Per quanto riguarda la definizione di debito residuo, affincé sussista coe nell aortaento a rate posticipate l uguaglianza tra debito residuo e ontante in, occorre odificare opportunaente sia la definizione di debito residuo sia quella di ontante. Definiao D, 0,,...,, il debito residuo in pria del pagaento della rata R. Si a allora: ed è inoltre 0 D S e D 0. - D S C C, 2,..., -, 0 - Poicé la quota interesse, +, data la definizione di debito residuo D, le quote interesse sono deterinate nel odo seguente I d D + 0,,..., -, essendo d i /(+i il tasso di interesse anticipato. I, esigibile in, atura nell intervallo [ ] Per quanto riguarda il ontante in, 0,,...,, odificiao l usuale definizione di ontante valutando il ontante in, pria del pagaento della rata R. Si definisce allora e si pone M (0, x S ( i R ( i M (, x S +,,..., Si a allora ce il ontante in, M (, x, a il significato di soa da pagare in per estinguere il debito S, avendo già pagato ance le rate R { - R,-R,-R,...,-R,-M (, } S x, 0,..., -; infatti, l operazione finanziaria /{ 0,,2,..., -,} risulta equa. Pertanto il ontante M (, x rappresenta il debito residuo in pria del pagaento della rata R, in quanto è la soa da pagare per estinguere anticipataente il prestito. Proviao ce si a M (, x D Diostrazione 0,...,. Si diostra per induzione sfruttando la seguente relazione ricorrente del ontante M (, x [ M ( -, x R - ] ( + i,,..., ce si verifica iediataente. Si a infatti M (, x S ( + i - - R (+ i [ S ( + i -- R (+ i 0 [ M ( -, x R - ] ( + i. R ] ( i - + Dalla relazione ricorrente per il ontante in dell operazione finanziaria x/t si a allora: M ( -, x M (, x ( + i + R -,, 2,...,. 6

7 Poicé M (, x 0, per la posizione D 0 è provata la base induttiva: 0 D M (, x. Proviao il passo induttivo, cioè ce se allora si a È infatti D M (, x S M M ( -, x S Infine, se 0 si a - C -2 C ( -, x M (, x D ( + i + d D ( + C D i + R - C S C + C ( C + C + + K + C + C S M (0, x M (, x D ( + i + d ( D ( i D ( + i + - ( + i + i + R C + d D + C -2 C D. D ( i D ( + i + - ( + i + + C 0 + dd + C 0 + C 0 D + C 0 ( C + C2 + K + C + C 0 S 0 D. È così provato ce M (, x D, 0,,...,. Proviao ce se le quote capitale sono assegnate in odo da soddisfare la condizione di ciusura - 0 C S. e se le quote interesse sono deterinate nel odo seguente I d D + 0,,..., -, con - D S C C,, 2,..., -, il debito residuo pria il pagaento della rata R, 0 D 0 S e D 0 Diostrazione -, allora le rate soddisfano la condizione di equità S - R (+ i 0. 0 Dalla relazione ricorrente per il ontate si può scrivere la relazione ricorrente per il debito residuo: + D [ D R ] ( i +, 0,,..., -. 7

8 Si a allora R D Moltiplicando entrabi i ebri per D ( i + +, 0,,..., -. (+ i e soando si ottiene R (+ i D 0 D (+ i S. È così provata la condizione di equità. Poicé l operazione finanziaria x/t è equa, si a: W(,x 0. Affincé sussista la scoposizione del valore in ontante e valore residuo, considerando la definizione di ontante M (, x occorre odificare opportunaente la definizione di valore residuo. Si definisce 2 V (, x R R + (+ i R + 2 (+ i... R -(+ i Essendo W(,x M (, x + V (, x 0, si a allora M (, x V (, x, 0,,..., -. ( - Si a pertanto D M (, x V (, x 2 ( ( - R R + (+ i R + 2 (+ i... R -(+ i, 0,,..., -, ed è inoltre D M (, x W(,x 0. Si noti ce il valore residuo V (, x a il significato di bilancio finanziario dell operazione finanziaria x/t e si a V (, x <0 per < e V (, x 0. Con questo significato, il valore residuo può essere valutato ad un tasso di valutazione i diverso dal tasso i per il quale l operazione finanziaria è equa. In questo caso si a 2 V (, x ( - R R + (+ i R + 2 (+ i... R -(+ i e se i i si a V (, x M (, x. Esepi di aortaenti a rate anticipate sono i seguenti: aortaento con restituzione del capitale in unica soluzione e quote interesse anticipate in cui C 0, per 0,..., e C S; I d S, per 0,,..., -; aortaento con anticipazione degli interessi in cui si anno quote interesse anticipate e quote capitale posticipate; quindi R 0 I0, R C + I per,..., -, R C ; aortaento a rate costanti anticipate (v. il paragrafo del Libro. 8