Integrazione delle funzioni di più variabili

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1 Integrzione delle funzioni di più vribili L. Pndolfi 11 novembre 25 Nel cso delle funzioni di un sol vribile, è stto nturle definire l integrle su un intervllo. Nel cso di funzioni di più vribili un scelt rgionevole per il dominio di integrzione non è ovvi. Noi sceglieremo come domini di integrzione gli insiemi che sono delimitti d grfici di funzioni, ciscun delle quli è continu su un intervllo limitto e chiuso. Tli insiemi si chimernno domini di integrzione. Notimo che ogni dominio di integrzione è chiuso e limitto. Ci limiteremo trttre l integrzione delle sole funzioni continue. Ciò è sufficiente per mostrre che le idee fondmentli che si usno per costruire l integrle multiplo sono le medesime che si usno per costruire l integrle di funzioni di più vribili, con un differenz importnte: sul pino non si introduce un relzione d ordine; e quindi non si introdurà per l integrle multiplo un concetto nlogo quello di integrle orientto che si introduce nel cso delle funzioni di un vribile. 1 1 Integrzione delle funzioni di due vribili Si un dominio di integrzione nel pino (x, y) e si f(x, y) un funzione continu su. ecomponimo nell unione 1 2 n ove i è un trpezoide o differenz di due trpezoidi di funzioni definite sul medesimo intervllo. Procedimo in questo modo: definimo l integrle di f(x, y) su ciscuno dei domini i e quindi definimo l integrle su come somm degli integrli su i. Illustrimo quindi come si definisce l integrle di un funzione f(x, y) sul trpezoide di un funzione g(x) definit su un intervllo [, b. Indichimo con T tle trpezoide. 1 esiste però nel pino un verso positivo di rotzione. Questo permetterà di introdurre integrli orientti sulle superfici. 1

2 Figur 1: y 1 M.5 m b x Il trpezoide T è contenuto nel rettngolo di bse il segmento [, b e di ltezz il segmento [m, M, con m = min x [,b g(x), M = mx x [,b g(x). ividimo [, b in N prti uguli con i punti =, k = + k b N. Considerimo quindi i rettngoli di bse [ k, k+1 e per ltezz l mssim possibile, comptibilmente col ftto che il rettngolo debb essere contenuto in T. Suddividimo or nche il segmento [m, M dell sse delle ordinte in L trtti uguli. Si ved l figur 1. In questo modo il trpezoide dell funzione viene d essere pprossimto d un rete di NL rettngolini, che indichimo con R i,j, i N 1, j L 1. Ciscuno di questi rettngoli h re b M m N L. Indichimo con U l loro unione. Osservzione 1 Notimo che nessuno dei rettngolini è cvllo del grfico di g(x) e che U T. ltr prte, orlndo U con rettngolini ciscuno di 2

3 re b M m N L si trov un insieme U + che contiene T. L differenz tr le ree di U + e di U è l più 2(b )(M m)/l e quindi tende zero per L +. Costruimo or le somme [ s N,L = i,j S N,L = i,j min f(x, y) (x,y) R i,j [ mx f(x, y) (x,y) R i,j M m L M m L b N b N Queste somme sono estese tutti i rettngoli che pprtengono d U. Esttmente come nel cso delle funzioni di un vribile, si prov che infittendo il reticolto del pino, i numeri s N,L crescono mentre i numeri S N,L decrescono. Inoltre s N,L S R,S qulunque sino le suddivisioni che si sino scelte. Vle: S N,L s N,L [ b mx f(x, y) min f(x, y) (x,y) R i,j (x,y) R i,j N unque, (i,j) R i,j inf{s N,L } = sup{s N,L } M m L e questo numero si chim l integrle doppio di f(x, y) sul trpezoide T. Esso si indic col simbolo f(x, y) dx dy Osservzione 2 Notimo: T nessuno dei rettngoli di U debord d T. Ci si può chiedere cos ccde se si f un costruzione nlog, m prtire d U +. Usndo l osservzione 1, si prov fcilmente che il vlore trovto per l integrle è il medesimo si lvorndo con U che con U +. Se x i,j è un qulsisi punto di R i,j si h min f(x, y) f(x i,j ) mx f(x, y). (x,y) R i,j (x,y) R i,j Quest osservzione mostr che sostituendo in s N,L il vlore f(x i,j ) min (x,y) Ri,j f(x, y), ncor s N,L pprossim l integrle di f(x, y). Anlog osservzione per S N,L. 3.

4 E ovvio dll costruzione che bbimo ftto che se f(x, y) è positiv, llor il suo integrle si interpret come il volume del solido compreso tr l insieme del pino z = ed il grfico dell funzione. Si in prticolre se sceglie f(x, y) identicmente ugule d 1, si trov un numero che h senso interpretre come re del dominio di integrzione. ltr prte, l re di un trpezoide si può clcolre medinte l integrle di un funzione di un sol vribile. Ci si può quindi chiedere se i due numeri clcolti con questi due metodi diversi vengno coincidere. Più vnti vedremo che l rispost è positiv. Tlvolt, un integrle di un funzione di due vribili si chim nche integrle doppio. Per contrsto, l integrle di un funzione di un sol vribile, b f(x) dx si chim nche integrle semplice. 1.1 Le proprietà dell integrle Le proprietà dell integrle sono le stesse come nel cso degli integrli semplici: l linerità: se α e β sono numeri e f(x, y), g(x, y) sono funzioni continue sullo stesso dominio di integrzione, vle [αf(x, y) + βg(x, y) dx dy = α f(x, y) dx dy+β g(x, y) dx dy ; monotoni: f(x, y) g(x, y) per ogni (x, y) implic f(x, y) dx dy ll monotoni si deduce f(x, y) dx dy g(x, y) dx dy. f(x, y) dx dy. Anche il teorem dell medi si può riformulre. Indichimo con A() l re di, clcolt sommndo le ree delle singole regioni che l compongono. 4

5 Vle: ( A() Ne segue: min f(x, y) (x,y) ) f(x, y) dx dy A() ( mx f(x, y) (x,y) Teorem 3 Se ɛ è un circonferenz di rggio ɛ e centro fissto vle lim f(x, y) dx dy =. ɛ ɛ 1.2 Riduzione di integrli doppi d integrli iterti Tornimo considerre le somme s N,L ed S N,L che servono per definire l integrle doppio. Considerimo per esempio le s N,L : s N,L = i,j [ min f(x, y) (x,y) R i,j M m L b N. Clcolimo le somme prim di tutto sommndo i termini che corrispondono rettngolini che pprtengono ll stess strisci verticle, ossi scrivendo [ s N,L = i,j = [ i j min f(x, y) (x,y) R i,j min f(x, y) (x,y) R i,j M m L M m L b N b N. Fissimo un punto x i in ciscuno degli intervlli [ i, i+1 ). Si mostr che per L + tende zero l differenz tr l prentesi grff e l integrle g(xi ) f(x i, y) dy ove x i è un qulsisi punto dell intervllo [ i, i+1 ). e quindi che s N,L = i,j [ min f(x, y) (x,y) R i,j M m L b N = i b N g(xi ) ). f(x i, y) dy + ɛ(l, N) con lim ɛ(l, N) = ; 5

6 M, per N +, le somme N 1 i= b N g(xi ) convergono ll integrle dell funzione di x g(x) f(x, y) dy, f(x i, y) dy ossi ll integrle iterto di f(x, y). unque, per clcolre f(x, y) dx dy si può procedere come segue: 1. Si proiett ortogonlmente sull sse delle scisse, ottenendo un intervllo [, b; 2. Si trcci l rett prllel ll sse delle ordinte e che pss d x [, b. Si indic con S x l intersezione di tle rett con. L insieme S x è unione di un numero finito di intervlli. 3. Si h: f(x, y) dx dy = b [ S x f(x, y) dy dx. Nturlmente l stess procedur vle nche scmbindo il ruolo dell sse delle scisse con quello dell sse delle ordinte. Considerimo un cso prticolre: supponimo che si il trpezoide dell funzione k(x), x [, b, e che l funzione integrnd si identicmente ugule d 1. Si inoltre k(x) non negtiv. In tl cso, 1 dx dy = [ b k(x) 1 dy dx = b k(x) dx. Si risponde così positivmente ll questione sollevt nell Osservzione 2. Il metodo visto riduce il clcolo di un integrle doppio quello di un integrle iterto, e quindi quello di due integrli semplici. Però esso può nche usrsi l contrrio, per ricondurre il clcolo di un integrle iterto clcolto prim rispetto d x e poi rispetto d y l clcolo di un integrle doppio; e quindi l clcolo di un integrle iterto clcolto prim rispetto d y e poi rispetto d x. Qundo si oper in questo modo su un integrle iterto si dice che si scmbi l ordine d integrzione. 6

7 2 Integrzione delle funzioni di tre vribili L integrzione delle funzioni di tre vribili si introduce in modo del tutto nlogo quell reltiv funzioni di due vribili. Prim di tutto si scelgono i domini di integrzione elementri : questi sono i solidi delimitti di grfici di due funzioni, per esempio φ(x, y) z ψ(x, y) con (x, z), dove è un dominio di integrzione per funzioni di due vribili. Come dominio di integrzione per funzioni di tre vribili intendimo l unione di un numero finito di tli domini elementri. Ciò detto è fcile dividere un dominio di integrzione in piccoli prllelepipedi e costruire le nloghe delle somme s N ed S N e quindi definire f(x, y, z) dx dy dz come limite comune lle due successioni s N ed S N. Si ottiene così un integrle che si chim nche integrle triplo e per cui vlgono tutte le proprietà elencte l prgrfo 1.1, intendendo or che le funzioni dipendno d tre vribili, continue su un dominio di integrzione contenuto in R 3. Anche il Teorem 5 vle per gli integrli tripli. Invece, l formul di riduzione d integrli tripli d integrli iterti v riesmint esplicitmente. 3 Formul di riduzione per gli integrli tripli Il clcolo degli integrli tripli si può ricondurre l clcolo di integrli iterti. Illustrimo il metodo nel cso prticolre in cui il dominio di integrzione è compreso tr due grfici Indichimo con = {(x, y, z) φ(x, y) z ψ(x, y)}. z = {(x, y) w per cui (x, y, w) } ossi l proiezione ortogonle di sul pino z =. unque: se (x, y) / z llor l rett verticle per (x, y) non intersec ; 7

8 se (x, y) z llor l rett verticle per (x, y) intersec nel segmento verticle di estremi (x, y, φ(x, y)) e (x, y, ψ(x, y)). Si noti che questo segmento potrebbe essere ridotto d un punto. Vle: f(x, y, z) dx dy dz = z [ ψ(x,y) f(x, y, z) dz φ(x,y) dx dy. In questo modo il clcolo dell integrle triplo si è ricondotto l clcolo di un integrle semplice, seguito d quello di un integrle doppio 2. Si può nche procedere in modo diverso: supponimo di spere che z si delimitto d due grfici, per esempio z = {(x, y) h(y) x k(y)} e si [, b il dominio comune d h(y) e k(y). Allor vle: f(x, y, z) dx dy dz = [ b y f(x, y, z) dx dz dove y è l intersezione di col pino prllelo gli ssi x e z, pssnte per il punto (, y, ) 3. dy 4 Alcuni jcobini che è importnte ricordre Le trsformzioni di coordinte che si usno più comunemente sono le trsformzioni coordinte polri o ellittiche nel pino, coordinte cilindriche o sferiche nello spzio. Si h: 2 questo metodo di riduzione si chim nche metodo di riduzione per fili. 3 questo metodo di riduzione si chim nche metodo di riduzione per strti. 8

9 coordinte polri ellittiche Nel pino jcobino ρ bρ coordinte cilindriche sferiche Nello spzio jcobino ρ ρ 2 sin φ Si noti che nell formul di cmbimento di coordinte per gli integrli multipli compre il vlore ssoluto dello jcobino, mentre l tvol precedente riport lo jcobino per sottolinere che i sistemi di coordinte che bbimo introdotto, con le coordinte che si susseguono nell ordine indicto nell definizione delle coordinte, hnno jcobino positivo. unque l mtrice jcobin di tli trsformzioni non lter l orientzione di R Cmbimento di vribili negli integrli doppi Nel cso degli integrli semplici, sotto opportune ipotesi si prov l formul b f(x) dx = φ 1 (b) φ 1 () f(φ(t))φ (t) dt. Si noti però che φ 1 () può nche essere mggiore di φ 1 (b), ciò che è lecito perché nel cso degli integrli semplici bbimo definito l integrle orientto. ltr prte, quest formul non si prov usndo direttmente le proprietà dell integrle. Piuttosto si prov che quest formul vle per il clcolo delle primitive, e quindi nche per il clcolo dell integrle grzie l teorem fondmentle del clcolo integrle. Mostrimo come quest formul, sotto opportune ipotesi, si poss nche giungere direttmente dll definizione di integrle semplice. Si f(x) un funzione continu definit su in intervllo [, b e si x = φ(t) un funzione monoton strettmente crescente d un intervllo [α, β su [, b, che è nche derivbile. Bisogn ricordre questi ftti: nell definizione di integrle l suddivisione dell intervllo [, b non è necessrimente ftt medinte punti equidistnti; 9

10 nell definizione di integrle, si possono considerre le somme con punti ξ i ( i, i+i ) qulsisi. n f(ξ i )[ i+1 i (1) i=1 Qundo l finezz dell prtizione tende zero, le somme (1) tendono ll integrle b f(x) dx. Essendo l funzione φ monoton e suriettiv, ogni i proviene d un unico α i, i = φ(α i ). unque l somm (1) è nche ugule n f(ξ i )[φ(α i+1 ) φ(α i ). i=1 Quest non è un somm di quelle che conducono ll definizione di un integrle, m d ess fcilmente si riconduce. Inftti, dl Teorem di Lgrnge, esiste un punto c i tle che [φ(α i+1 ) φ(α i ) = φ (c i )(α i+1 α i ). Ricordndo che i numeri ξ i si possono scegliere in modo rbitrrio, sceglimo ξ i = φ(c i ). L monotoni di φ mostr che c i (α i, α i+1 ). In questo modo l (1) diviene n f(φ(c i ))φ (c i )[α i+1 α i. (2) i=1 L finezz dell prtizione di [, b tende zero se e solo se tende zero l finezz dell prtizione di [α, β. Qundo l finezz dell prtizione tende zero, le somme (1) tendono ll integrle di f(x), quelle di (2) tendono ll integrle di f(φ(t))φ (t). ltr prte le due somme hnno lo stesso vlore e quindi si trov b f(x) dx = β Osservzione 4 Notimo esplicitmente: α f(φ(t))φ (t) dt. 1

11 in questo clcolo l crescenz di φ si è ust: è α i < α i+1 proprio perchè φ è crescente. Se invece φ decresce, srà β < α e in (2) si h α i+1 < α i e quindi l limite si trov b f(x) dx = β α f(φ(t))φ (t) dt. M or β < α e quindi riordinndo l ordine degli estremi di integrzione si trov b α f(x) dx = f(φ(t))φ (t) dt α = β β f(φ(t))[ φ (t) dt = α β f(φ(t)) φ (t) dt. il ruolo del numero φ (c): è il coefficiente che trsform l lunghezz di [α i, α i+1 nell lunghezz di [ i, i+1. Si noti che se φ non si nnull su [, b (estremi inclusi) esistono numeri m, M tli che m α i α i+1 i i+1 M α i α i+1. Nel cso degli integrli semplici, l formul vle nche senz richiedere l monotoni di φ perchè, intuitivmente, se per t che percorre [α, β il punto φ(t) percorre più volte un intervllo [x, x [, b; deve percorrerlo un numero dispri di volte, in versi opposti; e grzie ll esistenz dell integrle orientto, i contributi dei pssggi 2 e 3 si elidono, lo stesso per i pssggi 4 e 5 ecc. Un fenomeno nlogo non potrà versi per funzioni di più vribili e quindi in tl cso dovremo imporre φ di essere biunivoc. Vedimo or quli problemi si incontrno nel cercre di estendere il rgionmento ppen ftto funzioni di più vribili. In questo cso dovremo vere f(x, y) definit su un dominio di integrzione e dovremo vere un trsformzione (x, y) = Φ(u, v) = (φ 1 (u, v), φ 2 (u, v)) d un dominio di integrzione nel dominio di integrzione T. L Φ dovrà essere biunivoc d su e differenzibile (un ulteriore condizione si dirà in seguito). L integrle di f(x, y) si definisce suddividendo in tnti piccoli rettngoli, dicimo R i. Un rettngolo R i è immgine medinte Φ di un sottoinsieme R i di che però non è un rettngolo. Se l Φ è linere R è un prllelogrmm, ltrimenti è un figur più compless. Ciò nonostnte, si potrà tentre di ripetere gli rgomenti visti sopr se: 11

12 si potrà trovre un relzione tr l re di R i e quell di R i ; l re dei rettngoli R i tende zero se e solo se l re degli insiemi R i tende zero. L relzione tr l re di R i e quell di R i trsformzione Φ si linere: è è not nel cso in cui l (re di R i ) = det Φ (re di R i ). Qui Φ indic l mtrice dell trsformzione Φ, clcolt rispetto coordinte ortogonli. Nel cso non linere un formul nlog ll precedente ncor vle, con un errore che è di ordine superiore rispetto ll re di R, qundo quest tende zero. Questo risponde ll prim questione. L second richiest, l re degli R i tende zero se e solo se l re degli R i tende zero, è soddisftt qundo det Φ su. Con queste informzioni, nel cso in cui Φ si un trsformzione linere è reltivmente fcile provre il risultto seguente, mimndo l dimostrzione vist sopr per il cso di funzioni di un vribile. Nel cso in cui Φ si non linere, il risultto seguente vle ncor m l dimostrzione è piuttosto compless: Teorem 5 Sino e due domini di integrzione. Si (x, y) = Φ(u, v) = (φ 1 (u, v), φ 2 (u, v)) un trsformzione invertibile d su. Supponimo che quest trsformzione si di clsse C 1 su un regione Ω che contiene. Si det J(u, v) lo jcobino dell trsformzione. Supponimo che det J(u, v) non si nnulli su. Sotto queste condizioni vle: f(x, y) dx dy = f(φ 1 (u, v), φ 2 (u, v)) det J(u, v) du dv. Come bbimo detto, questo teorem estende il teorem di cmbimento di vribili negli integrli semplici. Nell uso però esso h un ruolo diverso. Nel cso degli integrli semplici il metodo di cmbimento di vribili si us per trsformre l funzione in un di cui si più fcile trovre l primitiv. Nel cso degli integrli doppi si us l trsformzione di vribili per pssre d un dominio più complicto d uno più semplice. Per esempio, si vogli clcolre x 2 + y 2 dx dy 12

13 con l circonfernz x 2 + y 2 1. Esprimendo x ed y medinte le coordinte polri ρ e θ, si trov x = ρ cos θ, y = ρ sin θ, ρ 1, θ 2π. Notndo che lo jcobino dell trsformzione è semplicemente ρ, il clcolo richiesto si riduce quello dell integrle iterto 2π [ 1 ρ 2 dρ dθ = 2 3 π. Osservzione 6 Si noti che lo jcobino dell trsformzione coordinte polri si nnull nell origine e quindi il Teorem 5 rigore non può pplicrsi. Si pplichi però il teorem d un coron circolre ɛ ρ 1 e poi si mndi ɛ zero. Il Teorem 3 mostr che il contributo dell circonferenz di rggio ɛ tende zero e ciò giustific l uso delle coordinte polri per il clcolo precedente. 4.2 Volumi delimitti d superfici di rotzione Considerimo il grfico di un funzione sul pino (y, z), descritto dll equzione z = f(y). Per fissre le idee, supponimo che l funzione si definit (e continu) su [, Y e che prend vlori positivi. Fcendo ruotre i punti del grfico intorno ll sse z, si trov l superficie descritt dll equzione ) z = f ( x 2 + y 2. Si vuol clcolre il volume dell insieme { )} V = (x, y, z) z f ( x 2 + y 2 ; ossi il volume dell insieme compreso tr il pino z = e l superficie. Voglimo quindi clcolre dx dy dz. Pssimo coordinte cilindriche x = r cos θ y = r sin θ z = z. V 13

14 Si clcol fcilmente che lo jcobino dell trsformzione è r. unque v clcolto r dr dz dθ. L insieme R è or R R = {(r, θ, z) θ 2π, r Y, z f(r)}. unque, riducendo l integrle triplo d integrli iterti si trov [ 2π [ Y f(r) Y V = r dz dr dθ = 2π rf(r) dr. Supponimo invece che il grfico che si f ruotre si dto medinte un funzione y = f(z), z Z. Procedendo in modo nlogo si trov per il volume l formul Z V = π f 2 (z) dz il cui significto geometrico è ovvio se si not che f(z) è il rggio dell circonferenz di cui ruot il punto di coordinte (z, f(z)). 14