Modelli matematici per il trasporto di cariche in dispositivi quantistici
|
|
|
- Fabiola Antonucci
- 5 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Modelli matematici per il trasporto di cariche in dispositivi quantistici risultati e prospettive Luigi Barletti Università di Firenze ipartimento di Matematica Ulisse ini ssemblea Scientifica GNFM, ottobre 2004, Montecatini Terme Trasporto di cariche in dispositivi quantistici p.1/27
2 Frédéric Poupaud, Trasporto di cariche in dispositivi quantistici p.2/27
3 pprossimazione di massa efficace La maggior parte dei modelli di trasporto quantistico in semiconduttori utilizza la cosiddetta approssimazione di massa efficace. Trasporto di cariche in dispositivi quantistici p.3/27
4 pprossimazione di massa efficace La maggior parte dei modelli di trasporto quantistico in semiconduttori utilizza la cosiddetta approssimazione di massa efficace. Questa consiste nel sostituire l Hamiltoniana periodica Trasporto di cariche in dispositivi quantistici p.3/27
5 pprossimazione di massa efficace La maggior parte dei modelli di trasporto quantistico in semiconduttori utilizza la cosiddetta approssimazione di massa efficace. Questa consiste nel sostituire l Hamiltoniana periodica con la seguente: Trasporto di cariche in dispositivi quantistici p.3/27
6 pprossimazione di massa efficace Il tensore di massa efficace nasce da un approssimazione parabolica della banda di conduzione: Energy E c (p)! " p 0 Momentum Trasporto di cariche in dispositivi quantistici p.4/27
7 # pprossimazione di massa efficace Il tensore di massa efficace nasce da un approssimazione parabolica della banda di conduzione: Energy E c (p)! " p 0 Momentum In questa approssimazione l elettrone/lacuna vede soltanto la banda di conduzione/valenza. Trasporto di cariche in dispositivi quantistici p.4/27
8 ispositivi interbanda L approssimazione di massa efficace è incapace di descrivere il tunneling interbanda, effetto che è alla base del funzionamento di dispositivi di ultima generazione. iodo interbanda realizzato da P. Berger s (Ohio State University, US) Trasporto di cariche in dispositivi quantistici p.5/27
9 Modelli multi-banda obbiamo perciò andare oltre l approssimazione di massa efficace e considerare modelli in cui gli elettroni vedono la disponibilità di almeno due bande di energia. Trasporto di cariche in dispositivi quantistici p.6/27
10 * ) * ) - + ( * ) * ) + Modelli multi-banda obbiamo perciò andare oltre l approssimazione di massa efficace e considerare modelli in cui gli elettroni vedono la disponibilità di almeno due bande di energia. 1 - Modello di Kane a 2 bande:.0/,+ %$'&.0/,+ E. Kane, J. Phys. Chem. Solids, 1959 Trasporto di cariche in dispositivi quantistici p.6/27
11 * ) * ) * ) * ) + Modelli multi-banda obbiamo perciò andare oltre l approssimazione di massa efficace e considerare modelli in cui gli elettroni vedono la disponibilità di almeno due bande di energia. 2 - Modello M-M di ordine 1 a 2 bande:.0/ ,+ M-M.0/ 28*,+ 576 O. Morandi & M. Modugno, 2004 (to appear). Trasporto di cariche in dispositivi quantistici p.6/27
12 Modelli multi-banda Modelli di questo tipo forniscono un approssimazione della vera relazione di dispersione: Energy E c (p) E v (p) p 0 Momentum Trasporto di cariche in dispositivi quantistici p.7/27
13 Modelli multi-banda Ecco ad esempio la relazione di dispersione per il Gas calcolata con l Hamiltoniana di Kane: Energy (ev) E c 10 0 E v Momentum (10 24 Kg m/s) Trasporto di cariche in dispositivi quantistici p.7/27
14 Vogliamo ora introdurre un formalismo cinetico (di Wigner) per i modelli a due bande Trasporto di cariche in dispositivi quantistici p.8/27
15 @ : ; K K E L B J B IH Q B Q Y XH Trasformazione di Wigner È una trasformazione unitaria di <>= ; < in sé K )RQ P MON CB < GF che permette una formulazione quasi-cinetica della mecanica quantistica: CB CB UWV J SGT E. Wigner, Phys. Rev., 1932 Trasporto di cariche in dispositivi quantistici p.9/27
16 K K E L B < Funzioni di Wigner a 2 bande Introduciamo una matrice di Wigner: con K )RQ P MON B JLZ CB LZ GF IH Trasporto di cariche in dispositivi quantistici p.10/27
17 K K E L B < Funzioni di Wigner a 2 bande Introduciamo una matrice di Wigner: con K )RQ P MON B JLZ CB LZ GF IH fissati, la matrice di Wigner è hermitiana: CB Per CB CB [ Trasporto di cariche in dispositivi quantistici p.10/27
18 ` _ b ` _ ` ` _ a \ < \ \ _ ` _ ` ` b ` _ a ; = Funzioni di Wigner a 2 bande Ricordiamo che le matrici di Pauli \^] sono una base ortogonale dello spazio vettoriale delle matrici hermitiane su : c LZ \Z \L SGT Trasporto di cariche in dispositivi quantistici p.11/27
19 d l Funzioni di Wigner a 2 bande Perciò possiamo decomporre la matrice di Wigner secondo questa base e scrivere h k egk h j egj h i egi h f egf dove le quattro funzioni m CB m sono reali. Trasporto di cariche in dispositivi quantistici p.11/27
20 o n n n n n o < n o n n o n p < Funzioni di Wigner a 2 bande Posto Q CB CB risulta che per uno stato puro, o o o ] per uno stato misto, o o ] Trasporto di cariche in dispositivi quantistici p.12/27
21 Q o n o n o n o n o n < o n o n n < o n p o Funzioni di Wigner a 2 bande Posto CB CB risulta che ] per uno stato puro, ] per uno stato misto, analogamente a quanto accade con i parametri di Stokes usati per descrivere un fascio di luce polarizzata! Trasporto di cariche in dispositivi quantistici p.12/27
22 Q B Q XH r E Q B Q q XH Interpretazione Se usiamo questo formalismo per descrivere una particella con spin, le funzioni hanno un significato fisico chiaro. Poiché, infatti, risulta m CB ^m \L J SGT si ha, per q E, B L valore atteso dell indice di spin nella direzione Trasporto di cariche in dispositivi quantistici p.13/27
23 Interpretazione E per le Hamiltoniane a due bande Trasporto di cariche in dispositivi quantistici p.13/27
24 s t E s - Hamiltoniana di Kane Consideriamo il caso dell Hamiltoniana di Kane:. / s. / (dove si è posto e ). Trasporto di cariche in dispositivi quantistici p.14/27
25 s t E s - v u q \ < s \ Hamiltoniana di Kane Consideriamo il caso dell Hamiltoniana di Kane:. / s. / (dove si è posto e ). Usando le matrici di Pauli si può scrivere:.0/ \] Trasporto di cariche in dispositivi quantistici p.14/27
26 w x \ < s \ Hamiltoniana di Kane Se, in trasformata di Fourier si ha.0/ \^] Trasporto di cariche in dispositivi quantistici p.15/27
27 w x s s y Hamiltoniana di Kane, in trasformata di Fourier si ha Se \ < s \.0/ \^] da cui si ricava la relazione di dispersione. /.0/ Trasporto di cariche in dispositivi quantistici p.15/27
28 Proiezioni sulle bande Scrivendo esplicitamente gli autovettori relativi a possono ricavare: ed y si Trasporto di cariche in dispositivi quantistici p.16/27
29 z z # y Proiezioni sulle bande Scrivendo esplicitamente gli autovettori relativi a possono ricavare: ed y si le proiezioni sulle due bande, e ; Trasporto di cariche in dispositivi quantistici p.16/27
30 z z # y z y z # Proiezioni sulle bande Scrivendo esplicitamente gli autovettori relativi a possono ricavare: ed y si le proiezioni sulle due bande, e ; l operatore indice di banda ; Trasporto di cariche in dispositivi quantistici p.16/27
31 z z # y z y z # Proiezioni sulle bande Scrivendo esplicitamente gli autovettori relativi a possono ricavare: ed y si le proiezioni sulle due bande, e ; l operatore indice di banda ; e si possono esprimere i loro valori attesi e densità in termini delle funzioni di Wigner. {m Trasporto di cariche in dispositivi quantistici p.16/27
32 z y z / \ \ \ < Indice di banda In particolare, l operatore indice di banda ha la seguente espressione: ~} \ } dove \ e } w.0/ s Trasporto di cariche in dispositivi quantistici p.17/27
33 z y z / \ \ \ < Indice di banda In particolare, l operatore indice di banda ha la seguente espressione: ~} \ } dove \ e } w.0/ s I suoi autovalori sono: E E se l elettrone è in banda di conduzione, se l elettrone è in banda di valenza. Trasporto di cariche in dispositivi quantistici p.17/27
34 ƒ d l l l E Q B Q / XH Indice di banda In termini delle funzioni di Wigner, posto e e k e j e i si ha } } B valore atteso dell indice di banda Trasporto di cariche in dispositivi quantistici p.18/27
35 B Ž Ž _ Indice di banda unque, per proiezione di e CB fissati, la densità di banda è data dalla sulla direzione di : } Š Š~ CŒ ˆ Trasporto di cariche in dispositivi quantistici p.19/27
36 v v v v inamica è data dal seguente sistema ^m La dinamica delle funzioni di equazioni:. / ] 4š / u.0/ s < š / s. / š u u O O O O O O O ] /. / < š / u œ v L u B q v L u B q ž š dove Trasporto di cariche in dispositivi quantistici p.20/27
37 w E B w w w w w < inamica Seguiamo l evoluzione di un pacchetto d onde gaussiano che inizialmente si trova in uno stato misto in cui il valore atteso dell indice di banda è : Ÿ B ] GF (con ) p Ÿ CB Ÿ CB Ÿ CB Trasporto di cariche in dispositivi quantistici p.21/27
38 w inamica Ÿ Trasporto di cariche in dispositivi quantistici p.21/27
39 inamica Ÿ Trasporto di cariche in dispositivi quantistici p.21/27
40 inamica Ÿ Trasporto di cariche in dispositivi quantistici p.21/27
41 w E inamica Ÿ Trasporto di cariche in dispositivi quantistici p.21/27
42 E inamica Ÿ Trasporto di cariche in dispositivi quantistici p.21/27
43 B Q B Q B Q y B Q y B inamica La spiegazione di questo comportamento risiede nel fatto che la posizione media dell elettrone in banda di conduzione soddisfa CB CB e quella in banda di valenza CB B y CB Pertanto la velocità del pacchetto, per fissato, è proporzionale alla derivata delle bande di energia. Trasporto di cariche in dispositivi quantistici p.21/27
44 inamica Trasporto di cariche in dispositivi quantistici p.21/27
45 r «Equazioni dei momenti, definiamo le medie locali E w Q CB ^m CB m Per Q B m CB m Q CB ^m CB ªm Trasporto di cariche in dispositivi quantistici p.22/27
46 Equazioni dei momenti - ordine 0 / ] / ] <.0/ / / / O O O O ]. / < / < Trasporto di cariche in dispositivi quantistici p.23/27
47 w Equazioni dei momenti - ordine 0 / ] / ] <.0/ / / / O O O O ]. / < / < Equazione di continuità per la densità totale: ] / ] Trasporto di cariche in dispositivi quantistici p.23/27
48 -. - < µ µ ) Equazioni dei momenti - ordine 1 «. / ] ª] / ].0/ ª < ª / ] «/ / œ O O œ œ O O O œ ª.0/ ª < ª < / dove L Z Z ± L L, ªL (termine Bohmiano) ³ ³ L «* ² L = temperatura ± L Trasporto di cariche in dispositivi quantistici p.24/27
49 < r Equazioni di tipo Madelung Teorema. Se sono le funzioni di Wigner di uno stato puro, allora la temperatura si annulla: ] E w w ± m Trasporto di cariche in dispositivi quantistici p.25/27
50 < r Equazioni di tipo Madelung Teorema. Se sono le funzioni di Wigner di uno stato puro, allora la temperatura si annulla: ] E w w ± m Perciò le equazioni dei momenti di ordine 0 e 1 sono un sistema chiuso e rappresentano equazioni di un fluido di Madelung a due bande. E. Madelung, Zeitschr. f. Phys., 1926 Trasporto di cariche in dispositivi quantistici p.25/27
51 # Conclusioni bbiamo introdotto un formalisimo spinoriale per studiare le Hamiltoniane a due bande; Trasporto di cariche in dispositivi quantistici p.26/27
52 # # Conclusioni bbiamo introdotto un formalisimo spinoriale per studiare le Hamiltoniane a due bande; le funzioni di Wigner che ne risultano hanno un ben preciso significato fisico; m Trasporto di cariche in dispositivi quantistici p.26/27
53 # # # Conclusioni bbiamo introdotto un formalisimo spinoriale per studiare le Hamiltoniane a due bande; le funzioni di Wigner che ne risultano hanno un ben preciso significato fisico; m le equazioni di evoluzione per le particolarmente semplice; m hanno una forma Trasporto di cariche in dispositivi quantistici p.26/27
54 # # # # Conclusioni bbiamo introdotto un formalisimo spinoriale per studiare le Hamiltoniane a due bande; le funzioni di Wigner che ne risultano hanno un ben preciso significato fisico; m le equazioni di evoluzione per le particolarmente semplice; m hanno una forma si ricavano facilmente le equazioni di tipo Madelung per il sistema. Trasporto di cariche in dispositivi quantistici p.26/27
55 # # # # # Conclusioni bbiamo introdotto un formalisimo spinoriale per studiare le Hamiltoniane a due bande; le funzioni di Wigner che ne risultano hanno un ben preciso significato fisico; m le equazioni di evoluzione per le particolarmente semplice; m hanno una forma si ricavano facilmente le equazioni di tipo Madelung per il sistema. Scopo finale: dedurre equazioni Q, QET, QH. Trasporto di cariche in dispositivi quantistici p.26/27
56 Ringraziamento Questa ricerca è svolta nell ambito del progetto Modelli Matematici per la Microelettronica finanziato dal GNFM Trasporto di cariche in dispositivi quantistici p.27/27
Multi-band models for charge transport in semiconductor devices
Multi-band models for charge transport in semiconductor devices Luigi Barletti Università di Firenze ipartimento di Matematica Ulisse ini Multi-band models p.1/24 pprossimazione di massa efficace La maggior
DECRETO DEL PRESIDENTE DELLA REPUBBLICA 28 febbraio 2012, n. 64
DECRETO DEL PRESIDENTE DELLA REPUBBLICA 28 febbraio 2012, n. 64! " # $ % % & ' ( ) * +, - & & ). ) / / - * * ) $ 0 0 ' ( ' ) & -, 1 2 2 3 4 - & 5 5 1 6 7 1 5 6 2 5 * 8 9 : ; < = >
3. Si descrivano lo schema di Schroedinger e lo schema di Heisenberg per rappresentare l evoluzione temporale di un sistema quantistico.
1 Fisica Matematica Avanzata, 11 9 2009 [ ] 1. Sia A = 1 i 1 2 la matrice che rappresenta una osservabile A di i 1 un sistema quantistico nello spazio di Hilbert H = C 2. a) Trovare la risoluzione dell
! " # $ % & ' '! (! ) * + % + $ + +, -. /! < 6 : ;
! " # $ % & ' '! (! ) * + % + $ + +, -. /! 0 + 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6 : ; ! " # $ % & ' '! (! ) * + % + $ + +, -. /! 0 + 1 1 2 3 4 5 6 7 8 < 6 : ; = > >? @ A B? > C D B? E F G H I J K L J M N O J P Q R
Metodo variazionale e applicazione all atomo di elio
Metodo variazionale e applicazione all atomo di elio Descrizione del metodo Il metodo detto variazionale è un metodo approssimato che si usa per ottenere una stima dell energia dello stato fondamentale
Elementi di Teoria dei Sistemi
Parte 2, 1 Elementi di Teoria dei Sistemi Parte 2, 2 Definizione di sistema dinamico Parte 2, 3 Sistema dinamico a tempo continuo Ingresso Uscita Parte 2, 4 Cosa significa Dinamico?? e` univocamente determinata?
La struttura elettronica degli atomi
1 In unità atomiche: a 0 me 0,59A unità di lunghezza e H 7, ev a H=Hartree unità di energia L energia dell atomo di idrogeno nello stato fondamentale espresso in unità atomiche è: 4 0 me 1 e 1 E H 13,
Elementi di Teoria dei Sistemi. Definizione di sistema dinamico. Cosa significa Dinamico? Sistema dinamico a tempo continuo
Parte 2, 1 Parte 2, 2 Elementi di Teoria dei Sistemi Definizione di sistema dinamico Parte 2, 3 Sistema dinamico a tempo continuo Cosa significa Dinamico? Parte 2, 4? e` univocamente determinata? Ingresso
MECCANICA QUANTISTICA. Corso di laurea in fisica PROGRAMMA DEL CORSO E PROGRAMMA D ESAME. Anno accademico 2011/2012
MECCANICA QUANTISTICA Corso di laurea in fisica PROGRAMMA DEL CORSO E PROGRAMMA D ESAME Anno accademico 2011/2012 Argomenti facenti parte del programma d esame. Argomenti facenti parte del programma d
Interazioni Elettrodeboli. Lezione n. 3. Equazione di Dirac 2 Descrizione relativistica dello spin
Interazioni Elettrodeboli prof. Francesco Ragusa Università di Milano Lezione n. 3 10.10.2017 Equazione di Dirac 2 Descrizione relativistica dello spin anno accademico 2017-2018 Operatore di spin L operatore
Elettronica dello Stato Solido Lezione 9: Moto di un elettrone in. Daniele Ielmini DEI Politecnico di Milano
Elettronica dello Stato Solido Lezione 9: Moto di un elettrone in un cristallo Daniele Ielmini DEI Politecnico di Milano ielmini@elet.polimi.it Outline Modello di moto semiclassico Massa efficace Approssimazione
Misura del momento magnetico dell elettrone
FACOLTÀ Università degli Studi di Roma Tre DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI Corso di Laurea in Fisica Misura del momento magnetico dell elettrone Candidato: Andrea Sciandra Matricola 4480 Relatore:
Esercizi per Geometria II Geometria euclidea e proiettiva
Esercizi per Geometria II Geometria euclidea e proiettiva Filippo F. Favale 10 aprile 01 Esercizio 1 Sia E 3 lo spazio euclideo tridimensionale dotato di un riferimento cartesiano ortonormale di coordinate
Elementi di Teoria dei Sistemi. Definizione di sistema dinamico. Cosa significa Dinamico? Sistema dinamico a tempo continuo
Parte 2, 1 Parte 2, 2 Elementi di Teoria dei Sistemi Definizione di sistema dinamico Parte 2, 3 Sistema dinamico a tempo continuo Cosa significa Dinamico? Parte 2, 4? e` univocamente determinata? Ingresso
& ' ( ) * +, - (. ' ) ) - / *, - ( 0 - ) - / ' / : 9 5 ; < = >? A < =? ; 7 B ; C 6 D > E : A < F 9 : A 5 G
& ' ( ) * +, - (. ' ) ) - / *, - ( 0 - ) - / ' 1 2 3 / 4 5 6 7 8 5 5 8 9 : 9 5 ; < = >?
8.1 Problema della diffusione in meccanica quantistica
8.1 Problema della diffusione in meccanica quantistica Prima di procedere oltre nello studio dell interazione puntuale, in questo paragrafo vogliamo dare un breve cenno alle nozioni di base della teoria
Laurea Magistrale di INGEGNERIA ELETTRONICA (LM-29) a.a , I semestre! Programma del corso di FISICA SUPERIORE! Docente: MAURO PAPINUTTO!
Laurea Magistrale di INGEGNERIA ELETTRONICA (LM-29) a.a. 2013-14, I semestre Programma del corso di FISICA SUPERIORE Docente: MAURO PAPINUTTO Dipartimento di Fisica Phone: +39 06 4991 4376 Universita`
Corso di Fisica I per Matematica
Corso di Fisica I per Matematica DOCENTE: Marina COBAL: marina.cobal@cern.ch Tel. 339-2326287 TESTO di RIFERIMENTO: Mazzoldi, Nigro, Voci: Elementi d fisica,meccanica e Termodinamica Ed. EdiSES FONDAMENTI
4πε. h m. Eq. di Schrödinger per un atomo di idrogeno:
Eq. di Schrödinger per un atomo di idrogeno: h m e 1 ψ 4πε r 0 ( r) = Eψ ( r) Questa equazione è esattamente risolubile ed il risultato sono degli orbitali di energia definita E n = m e 1 α 1 1 e mc n
XIV Indice ISBN
Indice 1 Struttura della materia.................................... 1 1.1 Stati di aggregazione.................................... 1 1.2 Struttura atomistica.................................... 2 1.2.1
Esercitazioni di Meccanica Quantistica I
Esercitazioni di Meccanica Quantistica I Sistema a due stati Consideriamo come esempio di sistema a due stati l ammoniaca. La struttura del composto è tetraedrico : alla sommità di una piramide con base
Prova scritta di Meccanica Quantistica II COMPITO 1
Prova scritta di Meccanica Quantistica II Corso di Laurea in Fisica 3 APRILE 008 COMPITO 1 < S z >= 0, S z = h. Suggerimento : calcolare < S z > e < S z > su un ket generico, sviluppato b) La dinamica
LIBRETTO DELLE LEZIONI DEL CORSO DI. Fisica quantistica e dello stato solido IMPARTITE DAL PROF. Antonio Polimeni NELL'ANNO ACCADEMICO 2017/2018
1 UNIVERSITA DEGLI STUDI DI ROMA LA SAPIENZA FACOLTA DI INGEGNERIA LIBRETTO DELLE LEZIONI DEL CORSO DI Fisica quantistica e dello stato solido IMPARTITE DAL PROF. Antonio Polimeni NELL'ANNO ACCADEMICO
ANCORA SUL MOMENTO ANGOLARE
Capitolo 15 ANCORA SUL MOMENTO ANGOLARE 15.1 Composizione di momenti angolari Per un sistema quantico costituito da N componenti, ciascuno di momento angolare l i (i=1,n), spesso è il momento angolare
ẋ 1 = 2x 1 + (sen 2 (x 1 ) + 1)x 2 + 2u (1) y = x 1
Alcuni esercizi risolti su: - calcolo dell equilibrio di un sistema lineare e valutazione delle proprietà di stabilità dell equilibrio attraverso linearizzazione - calcolo del movimento dello stato e dell
La conduzione nei semiconduttori. Proprietà elettriche nei materiali. Concentrazioni di carica libera all equilibrio
La conduzione nei semiconduttori La conduzione nei semiconduttori Proprietà elettriche nei materiali Correnti nei semiconduttori Modello matematico 2 1 Obiettivi della lezione Acquisire gli strumenti per
Scritto Appello IV, Materia Condensata. AA 2017/2018
Scritto Appello IV, Materia Condensata AA 017/018 17/07/018 1 Esercizio 1 Un metallo monovalente cristallizza nella struttura cubica a corpo centrato La densità degli elettroni del metallo è n el = 65
Operazioni elementari sui sistemi di erenziali
Capitolo 3 Operazioni elementari sui sistemi di erenziali 3.1 Derivate lungo le soluzioni Uno strumento fondamentale nello studio delle proprietà di un sistema differenziale è la derivata di opportune
Stati Coerenti. Definizione di stato coerente Consideriamo un oscillatore 1-dimensionale descritto dalla hamiltoniana. p = i d.
1 Stati Coerenti Definizione di stato coerente Consideriamo un oscillatore 1-dimensionale descritto dalla hamiltoniana H = 1 m p + 1 m ω x (1) Per semplicitá introduciamo gli operatori autoaggiunti adimensionali
FACOLTÀ DI SCIENZE MM.FF.NN. CORSO DI LAUREA IN CHIMICA Chimica Fisica II a.a
1 FACOLTÀ DI SCIENZE MM.FF.NN. CORSO DI LAUREA IN CHIMICA Chimica Fisica II a.a. 2012-2013 Testo di riferimento: D.A. McQuarrie, J.D.Simon, Chimica Fisica. Un approccio molecolare, Zanichelli Editore,
Esercizi per Geometria II Geometria euclidea e proiettiva
Esercizi per Geometria II Geometria euclidea e proiettiva Filippo F. Favale 8 aprile 014 Esercizio 1 Si consideri E dotato di un riferimento cartesiano ortonormale di coordinate (x, y) e origine O. Si
Corso di Laurea in Chimica e Tecnologie Chimiche - A.A Chimica Fisica II. Esame scritto del 25 Febbraio P = i.
1 Corso di Laurea in Chimica e Tecnologie Chimiche - A.A. 212-213 Chimica Fisica II Esame scritto del 25 Febbraio 213 Quesiti d esame: 1. Definire gli operatori componente del momento cinetico P x e del
I POSTULATI DELLA MECCANICA QUANTISTICA
68 I POSTULATI DELLA MECCANICA QUANTISTICA Si intende per postulato una assunzione da accettarsi a priori e non contraddetta dall esperienza. I postulati trovano la loro unica giustificazione nella loro
Formazione delle bande di energia. Fisica Dispositivi Elettronici CdL Informatica A.A. 2003/4
Formazione delle bande di energia Calcolo formale: Equazione di Schröedinger L equazione di Schröedinger è una relazione matematica che descrive il comportamento ondulatorio di una particella (elettrone)
Il semiconduttore è irradiato con fotoni a λ=620 nm, che vengono assorbiti in un processo a due particelle (elettroni e fotoni).
Fotogenerazione -1 Si consideri un semiconduttore con banda di valenza (BV) e banda di conduzione (BC) date da E v =-A k 2 E c =E g +B k 2 Con A =10-19 ev m 2, B=5, Eg=1 ev. Il semiconduttore è irradiato
TEORIA DEI SISTEMI ANALISI DEI SISTEMI LTI
TEORIA DEI SISTEMI Laurea Specialistica in Ingegneria Meccatronica Laurea Specialistica in Ingegneria Gestionale Indirizzo Gestione Industriale TEORIA DEI SISTEMI ANALISI DEI SISTEMI LTI Ing. Cristian
Domande frequenti durante esame orale
Domande frequenti durante esame orale Meccanica dei Continui - Meccanica Razionale Marco Modugno Dipartimento di Matematica Applicata, Università di Firenze Via S. Marta 3, 50139 Firenze email: marco.modugno@unifi.it
Interazione elettrone-fonone in dispositivi nanoelettronici
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ROMA TOR VERGATA FACOLTÀ DI INGEGNERIA CORSO DI LAUREA MAGISTRALE IN INGEGNERIA ELETTRONICA TESI DI LAUREA Interazione elettrone-fonone in dispositivi nanoelettronici Candidato:
Introduzione alla Fisica Moderna - a.a
Introduzione alla Fisica Moderna - a.a. 2016-17 18/12/2017 Nome Cognome Matricola: 1) Si consideri il sistema dinamico nonlineare ẋ = y x 2, ẏ = x + y 2, Si determinino i punti di equilibrio, si caratterizzi
Dispositivi Elettronici. Proprietà elettriche dei materiali
Dispositivi Elettronici Proprietà elettriche dei materiali Proprietà elettriche I materiali vengono classificati in: isolanti o dielettrici (quarzo o SiO 2, ceramiche, materiali polimerici) conduttori
1 Il polinomio minimo.
Abstract Il polinomio minimo, così come il polinomio caratterisico, è un importante invariante per le matrici quadrate. La forma canonica di Jordan è un approssimazione della diagonalizzazione, e viene
Le molecole ed il legame chimico
LA MOLECOLA DI IDROGENO X r A2 e 2 r A1 r 12 r B2 e 1 r B1 È il primo caso di molecola bielettronica da noi incontrato ed è la base per lo studio di ogni altra molecola. A R AB B Z Y Se si applica l approssimazione
Classificazione delle coniche.
Classificazione delle coniche Ora si vogliono studiare i luoghi geometrici rappresentati da equazioni di secondo grado In generale, non è facile riconoscere a prima vista di che cosa si tratta, soprattutto
TESTI E SOLUZIONI DEI PROBLEMI
Università degli Studi di Udine Corso di Laurea in Ingegneria Gestionale A.A. 05/06 Sessione di Giugno/Luglio 06 Esame di FISICA GENERALE CFU) Primo Appello PROVA SCRITTA 3 Giugno 06 TESTI E SOLUZIONI
Esercizi su Autovalori e Autovettori
Esercizi su Autovalori e Autovettori Esercizio n.1 5 A = 5, 5 5 5 Esercizio n.6 A =, Esercizio n.2 4 2 9 A = 2 1 8, 4 2 9 Esercizio n.7 6 3 3 A = 6 3 6, 3 3 6 Esercizio n.3 A = 4 6 6 2 2, 6 6 2 Esercizio
EH. Equazioni di Hamilton
EH. Equazioni di Hamilton Iniziamo questo capitolo con un osservazione di carattere preliminare. Consideriamo, per esempio, un sistema differenziale costituito da N equazioni ciascuna del secondo ordine,
Corso di Geometria Meccanica, Elettrotecnica Esercizi 11: soluzioni
Corso di Geometria 0- Meccanica Elettrotecnica Esercizi : soluzioni Esercizio Scrivere la matrice canonica di ciascuna delle seguenti trasformazioni lineari del piano: a) Rotazione di angolo π b) Rotazione
FM1 - Equazioni differenziali e meccanica
Corso di laurea in Matematica - Anno Accademico 2006/2007 FM1 - Equazioni differenziali e meccanica Prima prova d esonero (03-04-2006) CORREZIONE Esercizio 1. Lo spettro Σ(A) della matrice A si trova risolvendo
CONDENSATI DI BOSE-EINSTEIN E SUPERFLUIDI
CONDENSATI DI BOSE-EINSTEIN E SUPERFLUIDI Consideriamo un fluido in una scatola. Questo è un insieme di tanti piccoli costituenti che supponiamo per semplicità essere identici. Dalla meccanica quantistica
Soluzione. (a) L insieme F 1 e linearmente indipendente; gli insiemi F 2 ed F 3 sono linearmente
1. Insiemi di generatori, lineare indipendenza, basi, dimensione. Consideriamo nello spazio vettoriale R 3 i seguenti vettori: v 1 = (0, 1, ), v = (1, 1, 1), v 3 = (, 1, 0), v 4 = (3, 3, ). Siano poi F
METODI MATEMATICI PER LA FISICA
METODI MATEMATICI PER LA FISICA PROVA SCRITTA - 3 FEBBRAIO 6 Si risolvano cortesemente i seguenti problemi. PRIMO PROBLEMA (PUNTEGGIO: 6/3) Si calcoli l integrale SOLUZIONE DEL PRIMO PROBLEMA M=. (+ x
24.1. Ritorno al gruppo delle trasformazioni di Möbius Lo spazio proiettivo degli stati di un qubit.
4.1. Ritorno al gruppo delle trasformazioni di Möbius. 4.1.1. Lo spazio proiettivo degli stati di un qubit. Il qubit è il sistema quantistico più semplice che esista: un sistema i cui stati possibili possono
Punti di massimo o di minimo per funzioni di n variabili reali
Punti di massimo o di minimo per funzioni di n variabili reali Dati f : A R n R ed X 0 A, X 0 si dice : punto di minimo assoluto se X A, f ( x ) f ( X 0 ) punto di massimo assoluto se X A, f ( x ) f (
Interazioni Elettrodeboli. Lezione n. 3. Equazione di Dirac 2 Descrizione relativistica dello spin Interazione elettromagnetica
Interazioni Elettrodeboli prof. Francesco Ragusa Università di Milano Lezione n. 3 10.10.2017 Equazione di Dirac 2 Descrizione relativistica dello spin Interazione elettromagnetica anno accademico 2018-2019
Ĥ = r r 2
Due elettroni interagenti (lezione 1) Giovanni Bachelet, 7 ottobre 2005 Per due elettroni 1 e 2 soggetti al potenziale esterno v ext ed interagenti fra loro con potenziale coulombiano, in assenza di campo
Interazioni Elettrodeboli. Lezione n. 4. Equazione di Dirac 3 Interazione E.M. Scattering di Coulomb
Interazioni Elettrodeboli prof. Francesco Ragusa Università di Milano Lezione n. 4 12.10.2017 Equazione di Dirac 3 Interazione E.M. Scattering di Coulomb anno accademico 2017-2018 Scattering Coulombiano:
Metalli come gas di elettroni liberi
Metalli come gas di elettroni liberi I metalli sono caratterizzati da elevata conducibilità elettrica e termica. La conducibilità elettrica in particolare (o il suo inverso, la resistività) è una delle
Approfondimenti. Rinaldo Rui. ultima revisione: 29 maggio 2019
Approfondimenti Rinaldo Rui ultima revisione: 29 maggio 2019 1 Sistemi ermodinamici 1.4 Lezione #4 1.4.2 eoria cinetica dei gas Il metodo statistico consiste nel definire un modello fisico-matematico,
Prova scritta di Matematica Discreta e Logica del giorno 3 luglio 2017 Soluzione degli esercizi FILA D
ˆ ˆ ƒˆ ˆ ƒ ˆ ˆ Œ ˆ.. 2016-2017 Prova scritta di Matematica Discreta e Logica del giorno 3 luglio 2017 Soluzione degli esercizi FILA D Esercizio 1 Nell insieme delle coppie ordinate di numeri naturali,
Interazioni Elettrodeboli. Lezione n. 5
Interazioni Elettrodeboli prof. Francesco Ragusa Università di Milano Lezione n. 5 16.10.2018 Proiettori di spin. Effetti polarizzatori nello scattering Coulombiano. Analisi di Fourier del campo di Klein
Semiconduttori. Bande di energia. Un cristallo è formato da atomi disposti in modo da costituire una struttura periodica regolare
Semiconduttori Bande di energia Un cristallo è formato da atomi disposti in modo da costituire una struttura periodica regolare Quando gli atomi formano un cristallo, il moto degli elettroni dello strato
Esercizi per Geometria II Geometria affine e euclidea
Esercizi per Geometria II Geometria affine e euclidea Filippo F. Favale 4 marzo 04 Esercizio Si dica, per ciascuno dei seguenti casi, se A ha la struttura di spazio affine o euclideo su V. A R 3 con coordinate
UNIVERSITA DEGLI STUDI DI PAVIA REGISTRO. DELLE LEZIONI ESERCITAZIONI SEMINARI Anno accademico 2016/17
REGISTRO DELLE LEZIONI ESERCITAZIONI SEMINARI Anno accademico 2016/17 Cognome e Nome: BISI FULVIO Qualifica: PROFESSORE ASSOCIATO MAT/07 DIPARTIMENTO DI MATEMATICA Insegnamento (6 CFU su un totale di 6+3
5π/2. 3π/2. y = f(x) π π. -5π/2-2π -3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2 2π 5π/2 3π 7π. -π/2
Corso di Laurea in Matematica Analisi 4 - SOLUZIONI /9/8) Docente: Claudia Anedda ) Data la funzione yx) x + π, x, π) prolungarla su tutto R in modo tale che sia una funzione π-periodica pari, disegnare
PROBLEMI DI FISICA MODERNA E MECCANICA QUANTISTICA. PRIMA PARTE anno accademico
PROBLEMI DI FISICA MODERNA E MECCANICA QUANTISTICA PRIMA PARTE anno accademico 015-016 (1) Si consideri una particella che può colpire uno schermo diviso in tre zone, indicate dai ket 1,, 3, e si supponga
Indice 1 Spazi a dimensione finita... 1 1.1 Primi esempi di strutture vettoriali... 1 1.2 Spazi vettoriali (a dimensione finita)...... 3 1.3 Matrici come trasformazioni lineari...... 5 1.4 Cambiamenti
Interazioni Elettrodeboli. Lezione n. 6. Operatore Numero Formalismo Lagrangiano e Hamiltoniano Quantizzazione canonica. Teorema di Noether
Interazioni Elettrodeboli prof. Francesco Ragusa Università di Milano Lezione n. 6 23.10.2017 Operatore Numero Formalismo Lagrangiano e Hamiltoniano Quantizzazione canonica. Teorema di Noether anno accademico
Esercizio 2. Consideriamo adesso lo spazio di funzioni V = {f : [0, 1] R}. Dire quali dei seguenti insiemi di funzioni sono sottospazi.
![Esercizio 2. Consideriamo adesso lo spazio di funzioni V = {f : [0, 1] R}. Dire quali dei seguenti insiemi di funzioni sono sottospazi.](/thumbs/70/63345059.jpg "Esercizio 2. Consideriamo adesso lo spazio di funzioni V = {f : [0, 1] R}. Dire quali dei seguenti insiemi di funzioni sono sottospazi.")
1 Esercizi 1.1 Spazi vettoriali Studiare gli insiemi definiti di seguito, e verificare quali sono spazi vettoriali e quali no. Per quelli che non lo sono, dire quali assiomi sono violati. x 1, x 2, x 3
CALCOLO DELLA STRUTTURA MOLECOLARE: 1. LE SUPERFICI DI ENERGIA POTENZIALE E L APPROSSIMAZIONE DI BORN-OPPENHEIMER
CALCOLO DELLA STRUTTURA MOLECOLARE: 1. LE SUPERFICI DI ENERGIA POTENZIALE E L APPROSSIMAZIONE DI BORN-OPPENHEIMER 1 COSA E UNA MOLECOLA Tutti gli atomi a piccola distanza si attraggono (forze di van der
Interazioni Elettrodeboli. Lezione n. 2. Equazione di Dirac 1 Introduzione
Interazioni Elettrodeboli prof. Francesco Ragusa Università di Milano Lezione n. 2 5.10.2017 Equazione di Dirac 1 Introduzione anno accademico 2017-2018 Rappresentazione di Pauli-Dirac Nella Rappresentazione
FM210 - Fisica Matematica I
FM21 - Fisica Matematica I Seconda Prova Scritta [16-2-212] Soluzioni Problema 1 1. Chiamiamo A la matrice del sistema e cerchiamo anzitutto gli autovalori della matrice: l equazione secolare è (λ + 2β)λ
Programma della I parte
Programma della I parte Cenni alla meccanica quantistica: il modello dell atomo Dall atomo ai cristalli: statistica di Fermi-Dirac il modello a bande di energia popolazione delle bande livello di Fermi
Fisica dello Stato Solido
Corso di Fisica dello Stato Solido A.A. 2001/2002 Prof. Andrea Di Cicco INFM, Dipartimento di Fisica, via Madonna delle Carceri 62032 Camerino (MC), Italy http://www.unicam.it, http://gnxas.unicam.it LaTeX
Bande elettroniche nei cristalli - Esercizi con soluzioni. Fisica della Materia Condensata
Bande elettroniche nei cristalli - Esercizi con soluzioni Fisica della Materia Condensata A.A. 2015/2016 Esercizio 10 - Prova di esonero 2014/2015 Un elemento cristallizza nella
Il Teorema Spettrale. 0.1 Applicazioni lineari simmetriche ed hermitiane
0.1. APPLICAZIONI LINEARI SIMMETRICHE ED HERMITIANE 1 Il Teorema Spettrale In questa nota vogliamo esaminare la dimostrazione del Teorema Spettrale e studiare le sue conseguenze per quanto riguarda i prodotti
METODI MATEMATICI PER LA FISICA
METODI MATEMATICI PER LA FISICA SECONDO ESONERO - 6 GIUGNO 7 Si risolvano cortesemente i seguenti problemi PRIMO PROBLEMA (PUNTEGGIO: 3/3) Facendo uso delle proprietà della matrici di Pauli, si calcoli
Momento angolare. l = i h ( x ) li = i h ε ijk x j x k. Calcoliamo le relazioni di commutazione tra due componenti del momento angolare
1 Momento angolare. Il momento della quantitá di moto (momento angolare) é definito in fisica classica dal vettore (nel seguito usiamo la convenzione che gli indici ripetuti vanno intesi sommati) l = x
Solidi Es. 7. Esercizi Materia Condensata 2009/2010 Mario Capizzi
Gli stati elettronici di valenza di una catena lineare monoatomica con N 10 23 siti e di passo reticolare a = 0,2 nm con condizioni periodiche al bordo sono ben descritti, in approssimazione a elettroni
Operatori C, P e T. Stati fisici. Osservabili (II) Osservabili. prof. Domenico Galli
Stati fisici Operatori C, P e T prof. Domenico Galli Temi di Fisica delle Particelle Elementari al LHC Dottorato di ricerca in Fisica, Bologna Uno stato fisico è rappresentato da un vettore di stato (ket)
Dispositivi e Tecnologie Elettroniche. Trasporto nei semiconduttori
Dispositivi e Tecnologie Elettroniche Trasporto nei semiconduttori Trasporto di carica I portatori liberi nel materiale vengono accelerati dalla presenza di un campo elettrico E La presenza di cariche
Appello di Meccanica Quantistica I
Appello di Meccanica Quantistica I Facoltà di Scienze M.F.N. Università degli Studi di Pisa gennaio 007 (A.A. 06/07) Tempo a disposizione: 3 ore. Problemi e per il recupero Compitino I; problemi e 3 per
Vettori e geometria analitica in R 3 1 / 25
Vettori e geometria analitica in R 3 1 / 25 Sistemi di riferimento in R 3 e vettori 2 / 25 In fisica, grandezze fondamentali come forze, velocità, campi elettrici e magnetici vengono convenientemente descritte
Struttura fine dei livelli dell idrogeno
Struttura fine dei livelli dell idrogeno. Introduzione Consideriamo un atomo idrogenoide di massa m N e carica atomica Z. Dall equazione di Schrödinger si ottengono per gli stati legati i seguenti autovalori
UNIVERSITA DEGLI STUDI DI PAVIA REGISTRO. DELLE LEZIONI-ESERCITAZIONI- SEMINARI Anno accademico 2013/14
REGISTRO DELLE LEZIONI-ESERCITAZIONI- SEMINARI Anno accademico 2013/14 Cognome e Nome BISI FULVIO Qualifica RICERCATORE CONFERMATO MAT/07 DIPARTIMENTO DI MATEMATICA Insegnamento di FENOMENI DI DIFFUSIONE
Algebra Lineare Autovalori
Algebra Lineare Autovalori Stefano Berrone Sandra Pieraccini Dipartimento di Matematica Politecnico di Torino, Corso Duca degli Abruzzi 24, 10129, Torino, Italy e-mail: sberrone@calvino.polito.it sandra.pieraccini@polito.it
Parte 1. Fisica Matematica I Compitino 7 Maggio 2015 Durata: 3 ore
Fisica Matematica I Compitino 7 Maggio 015 Durata: 3 ore Scrivete cognome e nome in ogni foglio consegnato. Consegnate lo svolgimento della parte 1 (il FRONTE di questo foglio) nella pila etichettata 1,
Scritto Appello II, Materia Condensata. AA 2017/2018
Scritto Appello II, Materia Condensata. AA 017/018 19/0/018 Coloro che hanno superato il primo esonero dovranno svolgere gli esercizi 3 e 4 in un tempo massimo di due ore (il punteggio sarà riportato in
UNIVERSITA DEGLI STUDI DI PAVIA REGISTRO. DELLE LEZIONI ESERCITAZIONI SEMINARI Anno accademico 2014/15
REGISTRO DELLE LEZIONI ESERCITAZIONI SEMINARI Anno accademico 2014/15 Cognome e Nome BISI FULVIO Qualifica RICERCATORE CONFERMATO MAT/07 DIPARTIMENTO DI MATEMATICA Insegnamento di FENOMENI DI DIFFUSIONE
La trasformazione di camera
La trasformazione di camera 1 Introduzione Per rappresentare un oggetto tridimensionale nello spazio (scena) in un piano bidimensionale (spazio delle immagini, quale il monitor o un foglio) è necessario
Prova scritta di Matematica Discreta e Logica del giorno 3 luglio 2017 Soluzione degli esercizi FILA C
ˆ ˆ ƒˆ ˆ ƒ ˆ ˆ Œ ˆ.. 2016-2017 Prova scritta di Matematica Discreta e Logica del giorno 3 luglio 2017 Soluzione degli esercizi FILA C Esercizio 1 Nell insieme delle coppie ordinate di numeri naturali,
Quaderno n. 28 Istituto di Matematica Facoltà di Scienze Economiche e Bancarie Università degli Studi Siena
Una nota sulla formula di Stoodley: un modello descrittivo della forza d'interesse. Quaderno n. 28 Istituto di Matematica Facoltà di Scienze Economiche e Bancarie Università degli Studi Siena Sunto: Si
In questa lezione ci occuperemo di sistemi dinamici in tempo continuo, rappresentati da equazioni differenziali.
Sistemi dinamici In questa lezione ci occuperemo di sistemi dinamici in tempo continuo, rappresentati da equazioni differenziali. Le equazioni differenziali sono delle equazioni in cui le incognite rispetto
Richiami di algebra lineare
2 Richiami di algebra lineare 2.1 Prodotto scalare, prodotto vettoriale e prodotto misto Sia V lo spazio vettoriale tridimensionale ordinario, che dotiamo di una base ortonormale (e 1, e 2, e 3 ), e i
SPAZI EUCLIDEI, APPLICAZIONI SIMMETRICHE, FORME QUADRATICHE
SPAZI EUCLIDEI, APPLICAZIONI SIMMETRICHE, FORME QUADRATICHE. Esercizi Esercizio. In R calcolare il modulo dei vettori,, ),,, ) ed il loro angolo. Esercizio. Calcolare una base ortonormale del sottospazio
1) Per quale valore minimo della velocità angolare iniziale il cilindro riesce a compiere un giro completo.
Esame di Fisica per Ingegneria Elettronica e delle Telecomunicazioni (Parte I): 04-02-2016 Problema 1. Un punto materiale si muove nel piano su una guida descritta dall equazione y = sin kx [ = 12m, k
Geometria A. Università degli Studi di Trento Corso di laurea in Matematica A.A. 2017/ Maggio 2018 Prova Intermedia
Geometria A Università degli Studi di Trento Corso di laurea in Matematica A.A. 7/8 Maggio 8 Prova Intermedia Il tempo per la prova è di ore. Durante la prova non è permesso l uso di appunti e libri. Esercizio
PROBLEMI DI FISICA MODERNA E MECCANICA QUANTISTICA. SECONDA PARTE anno accademico
PROBLEMI DI FISICA MODERNA E MECCANICA QUANTISTICA SECONDA PARTE anno accademico 2016-2017 (1) Per un sistema meccanico n-dimensionale scrivere: (a) gli elementi di matrice dello operatore posizione x
Analisi Matematica 3/Analisi 4 - SOLUZIONI (20/01/2016)
Corso di Laurea in Matematica Docente: Claudia Anedda Analisi Matematica 3/Analisi 4 - SOLUZIONI (//6) ) i) Dopo averla classificata, risolvere l equazione differenziale tẋ x = t cos(t), t >. ii) Scrivere