1 Funzioni. 1.1 De nizione. 1.2 Gra ci di funzioni

Transcript

1

2 1 Funzioni 1.1 De nizione Una funzione è una regola matematica che consente di associare a ciascun elemento x 2 X un unico elementoy2y (dovex edy sonodueinsiemigenerici)esidenotacomef X!Y UnafunzionediunavariabileassociaaciascunnumeroxununiconumeroyEssasirappresenta generalmentecomey=f(x)perindicarechelavariabiley dipendedaivaloricheassumelavariabilex secondolaregolafdatalafunzioney=f(x),ilnumeroxèchiamatovariabileindipendentementre il numero y rappresenta la variabile dipendente. Adesempio,lafunzioney=2x+3stabiliscecheperottenerelavariabiledipendenteyassociataalla variabile indipendente x si deve applicare la seguente regola di calcolo si prenda un numero qualsiasi x, losimoltiplichiper2esiaggiunga3alrisultato. Inbaseaquestaregola,quandox=1siottiene y = f(x=1) = 21+3 = 5; quando x = 2 si ottiene y = f(x=2) = 22+3 = 7 e così via. Analogamente,lafunzioney=x 2 +1stabiliscelaregoladicalcolo siprendaunnumeroqualsiasix,lo sielevialquadratoesiaggiunga1alrisultato. Inquestocaso,quandox=1siricavay=2;quando x=2sirivacay=5ecosìvia. Una funzione di due variabili associa a ciascuna coppia di numeri (x;y) un unico numero z. In questo caso scriviamo z =f(x;y) per indicare che il valore della variabile dipendente z è determinato dai valori di x ed y congiuntamente, le variabili indipendenti. Funzione di due variabili è per esempio la regola di calcolo si prenda un numero x e lo si elevi al quadrato,siprendaunnumeroyelosielevialquadratoein nesimoltiplichinofraloroiduequadrati, ovveroz=x 2 y 2 Una funzione di una variabile può anche essere espressa in forma implicita(ovvero la variabile dipendente y può non essere isolata sul lato sinistro dell uguaglianza y =f(x)). In questo caso non si deve confondere una funzione implicita di una variabile con una funzione di due variabili. Ad esempio, la funzioneax+by=cdovea;b;csonocostantiqualsiasipuòesserericondottaallaformaconsuetay=f(x) esplicitando la y ed ottenendo y = c ax b Analogamente, la funzione x 2 y 2 = a dove a è una costante positivanonèaltrochey= p a x Quanto segue è riferito in particolare a funzioni di una sola variabile. 1.2 Gra ci di funzioni Molte informazioni relative ad una funzione sono descritte dal suo gra co. Il gra co di una funzione è un metodo per rappresentare sul piano le relazioni tra la variabile indipendente x e la variabile dipendente y Perfarciò,perconvenzione,siutilizzanodueretteorientate(unaperlexel altraperley)perpendicolari 1

3 tra loro che si incontrano in un punto chiamato origine. La rappresentazione così ottenuta è un piano cartesiano e le due rette si chiamano assi. La variabile indipendente è riportata sull asse x o asse orizzontale o delle ascisse e la variabile dipendente è rappresentata sull asse y o asse verticale o delle ordinate. 1 Per assegnare le coordinate di un punto di un piano cartesiano è necessario disporre di due numeri reali. Convenzionalmente, il primo numero corrisponde alla posizione sull asse delle ascisse, il secondo riporta la posizione sull asse delle ordinate. Per rappresentare una funzione qualsiasi su un piano è su ciente trovare alcuni punti appartenenti allafunzioneecongiungerlitraloro. Adesempio,lafunzioney=3x+3passaperipunti(0;3),(1;6), (2;9)ecosìvia,mentrelafunzioney=x 2 +1passaperipunti( 2;5);( 1;2);(0;1);(1;2);(2;5)e così via. y x Gra codellafunzioney=3x+3 Gra codellafunzioney=x 2 +1 L intercetta verticale di una funzione corrisponde al valore di y quando x = 0 L intercetta orizzontale corrisponde al valore di x quando y = 0 Non sempre una funzione presenta sia una intercetta verticale che orizzontale. L inclinazione della funzione corrisponde alla sua pendenza e misura come varia la funzione rispetto alle variazioni di x In generale, l inclinazione di una funzione varia al variare di x 1.3 Proprietà delle funzioni Una funzione è continua se può essere rappresentata senza staccare la matita dal foglio. Una funzione è derivabile o liscia se non presenta angoli o spigoli. Una funzione è monotona se f(x) varia sempre nella stessa direzione a fronte di variazioni di x Unafunzioneèmonotona crescentesecrescecostantementealcresceredix;cioèse,perognix>x 0 ; 1 Una funzione è tale se ciascuna retta parallela all asse delle ordinate incontra ilgra co della funzione una sola volta. 2

4 f(x) f(x 0 ); ovvero se l inclinazione di tale funzione è sempre positiva Una funzione è monotona decrescentesediminuiscecostantementealcresceredix;cioèse,perognix>x 0 ;f(x)f(x 0 );ovvero sel inclinazioneditalefunzioneènegativaperognix. Sey=f(x)èmonotona,alloravisaràununico valore di x associato ad y. Se una funzione monotona è possibile de nire la sua funzione inversa, semplicementerisolvendoperxinfunzionediy. Adesempiolafunzioneinversadiy=2xsaràx= y 2. Una funzione è concava se l insieme delimitato superiormente dalla funzione stessa è un insieme convesso. Alternativamente,unafunzioneèconcavase,datiduepuntix 0 ex 1 eunacostante2(0;1) f(x 0 +(1 )x 1 )>f(x 0 )+(1 )f(x 1 ) Una funzione è convessa se l insieme delimitato inferiormente dalla funzione stessa è un insieme convesso. Alternativamente,unafunzioneèconvessase,datiduepuntix 0 ex 1 eunacostante2(0;1) f(x 0 +(1 )x 1 )<f(x 0 )+(1 )f(x 1 ) Un insieme si de nisce convesso se, dati due punti x 0 e x 1 appartenenti all insieme, anche la loro combinazionelinearex 0 +(1 )x 1 appartieneall insieme. 2 Funzioni elementari 2.1 Funzioni lineari Una funzione lineare(una retta) è una funzione del tipo y=a+bx dove a e b sono costanti o parametri. L intercetta verticale è y = a e l intercetta orizzontale x = a b Lapendenzadiunafunzionelineareècostante,cioènonvariaalvariaredix,edèugualealcoe ciente della variabile indipendente b Dati due punti appartenenti ad una retta, si può calcolare univocamente l inclinazione e l equazione dellaretta. SianoP 0 =(x 0 ;y 0 )ep 1 =(x 1 ;y 1 )le coordinate di due punti che giacciono entrambi sulla stessa retta. Allora la pendenza di questa retta è e l equazione della retta è 4y 4x = (y 1 y 0 ) (x 1 x 0 ) y=y 0 + (y 1 y 0 ) (x 1 x 0 ) (x x 0) Adesempio,larettapassanteperipuntiP 0 =(2; 1)eP 1 =(3;5)haequazioney= (x 2) ovveroy=6x 13 3

5 2.2 Funzioni polinomiali Una funzione polinomiale di secondo grado (ovvero una parabola) ha la forma seguente y=ax 2 +bx+c L intercetta verticale è y = c e le intercette orizzontali(radici) sono x 1 = b p b 2 4ac 2a e x 2 = b+p b 2 4ac 2a ; sempre che il discriminante o determinante det = b 2 4ac sia positivo. Il vertice della parabola ha b coordinate date da 2a ; det 4a Selacostantea>0,allorailverticedellaparabolaèilpuntodiminima ordinata;inquestocasosidicechelaparabolavolgelaconcavitàversol alto. Seinvecea<0,allorail verticedellaparabolaèilpuntodimassimaordinataesidicechelaparabolavolgelaconcavitàversoil basso. Adesempio,lafunzioney=2x 2 x 3èunaparabolaconconcavitàrivoltaversol alto(apositivo), intercetta verticale di coordinate(0; 3) e intercette orizzontale di coordinate( 1; 0) e 3 2 ;0 Ilvertice èilpuntodicoordinate( 1 4 ; 25 8 ) 2.3 Funzioni potenza Una funzione potenza è del tipo y=x a La funzione potenza gode delle seguenti proprietà 1. x 0 =1 2. x a x b =x a+b 3. x a x b =x a b 4. (x a ) b =x ab La funzione potenza ha tre casi particolari (a) Quandoaèunnumerointeropositivoemaggiorediuno,siottieneunacurvaconvessache,nelprimo quadrante, ricorda un ramo di una parabola passante per l origine con concavità rivolta verso l alto. Adesempio,pera=3;siottiene y=x 3 4

6 (b) Quandoaèunnumerorazionale(unafrazione)siottieneunaradiceche,nelprimoquadrante,èuna funzioneconcavapassanteperl origine. Adesempio,pera= 1 2 ; y=x 1 2 = 2 p x (c) Quandoaèunnumerointeronegativosiottengonoleiperboli. Adesempio,pera= 1 y=x 1 = 1 x 3 Saggio di variazione e derivata Lanotazione4xsigni cavariazionedi x. Selavariabileindipendentevariadax 0 ax 1 ;lavariazionedi xvienedatada 4x=x 1 x 0 ovvero x 1 =4x+x 0 Ilsaggiodi variazioneèilrapportotraduevariazioni seydipendedaxattraversolafunzionef(x), allorailsaggiodivariazionediyrispettoadxèugualea 4y 4x = 4f(x) 4x = f(4x+x 0) f(x 0 ) 4x Il saggio di variazione misura la variazione di y al variare di x e quindi rappresenta l inclinazione della funzione. Seyaumentaognivoltacheaumentaxallorayavràlostessosegnodixequindil inclinazione dellafunzioneèpositiva. Alcontrario,sey diminuiscequandoxaumenta,alloray exhannosegni opposti e la funzione è inclinata negativamente. Si noti che il saggio di variazione dipende dal valore iniziale di x nonchè dalla misura della variazione x. Tipicamente 4x rappresenta una piccola variazione di x ovvero una variazione marginale Quando questa variazione è in nitesimale, ossia tende a zero, allora il saggio di variazione diventa una derivata. Laderivata diunafunzioney=f(x)ède nitacome dy dx = df(x) dx = lim f(4x+x 0 ) f(x 0 ) 4x!0 4x Laderivataèillimitedelsaggiodivariazionediyrispettoaxaltendereazerodellavariazionedix La derivata di f(x) rispetto ad x viene anche denotata come f 0 (x) Analogamente al saggio di variazione, anche la derivata di una funzione dipende in genere dal valore assunto da x Geometricamente, laderivatadif(x)inundatopuntox 0 èrappresentatadall inclinazionedellarettatangenteallafunzione nelpuntox 0 5

7 Il segno della derivata fornisce l indicazione sull andamento della f(x). Se f 0 (x 0 ) > 0, allora la funzioneècrescentenelpuntox 0. Sef 0 (x 0 )<0,alloralaf(x)èdecrescentenelpuntox 0. Sef 0 (x 0 )=0, alloralafunzionepresentaunatangenteorizzontale(parallelacioèall assedelleascisse). Intalcaso,x 0 potràessereunpuntodiminimoodimassimo(odi esso)dellafunzione,oppureunpuntoqualsiasidi una funzione ovunque costante. 3.1 Derivate parziali Dataunafunzionediduevariabiliz=f(x;y)laderivata parziale di z rispetto = lim 4x!0 f(4x+x 0 ;y) f(x 0 ;y) 4x La derivata parziale di f(x;y) non è altro che la derivata della funzione rispetto ad x quando y viene mantenuto sso. Analogamente si può de nire la derivata parziale di z rispetto a y 3.2 Derivate seconde Laderivata seconda diunafunzioney=f(x)èladerivatadelladerivata. d 2 y dx 2 = d2 f(x) dx 2 = d df(x) dx dx La derivata seconda misura la curvatura di una funzione, ovvero misura come varia l inclinazione della funzione al variare di x Se la derivata seconda di una funzione è negativa in un punto, signi ca che l inclinazione della funzione èdecrescenteinquelpunto. Inquestocasolafunzioneèconcava. Se la derivata seconda di una funzione è positiva in un punto, l inclinazione della funzione è crescente. Allora la funzione è convessa in quel punto. Una funzione la cui derivata seconda sia nulla in un punto, presenta un puto di esso (cambia curvatura) in quel punto. 4 Equazioni Un equazione è un uguaglianza tra una funzione e un numero(o tra due funzioni della stessa variabile) ed in generale ha forma f(x) = a. Esempi di equazioni sono 2x+3 = 11; x 2 = 9 La soluzione di un equazione è un valore di x che la soddisfa. La soluzione delle precedenti equazioni è x = 4 e x=3rispettivamente. Un equazionegenericaèf(x)=0nonpossiamorisolverla noaquandonon conosciamol e ettivafunzionef;tuttaviapossiamodenotareconx lasoluzioneedirechex soddisfa l equazionef(x)=0 6

8 Unsistemadidueequazioniindueincogniteèdatoda 8 < f(x;y)=a g(x;y)=b Per risolverlo occorre compiere i seguenti passi (i) si risolve una delle due equazioni, ad esempio la prima, per una variabile, ad esempio y, in funzione dell altra; (ii) si sostituisce per y nella seconda equazione (che ora è una equazione con una sola incognita x);(iii) si trova il valore di x che soddisfa la seconda equazione;(iv)in nesisostituiscex inunadelledueequazioniinizialiesitrovay Adesempio,perrisolvereilsistema 8 < x+y=18 y x =2 si risolve la prima equazione per y ottenendo y = 18 x; si sostituisce nella seconda equazione ottenendo 18 x=2x,cheèsoddisfattaperx =6Sostituendonellaprimaequazionesiottieney =18 6=12 Sinotichesièappenatrovatoilpuntodiintersezionetralerettey=18 xey=2x 5 Ottimizzazione Sey=f(x)ilpuntox èdettoilmassimo di f(x)sef(x )f(x)perqualsiasivaloredixsef(x) è una funzione derivabile allora df(x) dx =0 x=x d 2 f(x) dx 2 x=x 0 Lacondizione del primo ordinestabiliscechelafunzioneèpiattaincorrispondenzadix Lacondizione di secondo ordine stabiliscechelafunzioneèconcavainunintornodix Alternativamente,ilpuntox èdettoilminimo di f(x)sef(x )f(x)perqualsiasivaloredix Sef(x)èunafunzionederivabileallora df(x) dx =0 x=x d 2 f(x) dx 2 x=x 0 Lacondizionedelprimoordinestabiliscechelafunzioneèpiattaincorrispondenzadix Lacondizione disecondoordine stabiliscechelafunzioneèconvessainunintornodix 7