Sommario. Facoltà di Economia. 1 k. 1 1 ε. francesco mola. Lezione n 16. Diseguaglianza di Cebicev. Diseguaglianza di Cebicev

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1 Crs d tatstca Facltà d Ecma a.a fracesc mla mmar La dseguaglaza d Cebcev Cvergeza e rcpal Terem Cvergeza prbabltà Cvergeza dstrbuze Terema d Berull Legge de Grad Numer (deble e frte) Terema d De Mvre-Laplace Terema Lmte Cetrale Leze 6 Lez6_a.a statstca-fracesc mla Dseguaglaza d Cebcev a ua v.c. che ha l prm mmet ed l secd ft, cè: E( ) µ E( µ ) allra: ε { µ < ε } cè: < Dseguaglaza d Cebcev ε ( µ ε < < µ + ε ) se: k k ε k ε ε La dseguaglaza d Cebcev dveta: k { µ < k} Lez6_a.a statstca-fracesc mla 3 Lez6_a.a statstca-fracesc mla 4

2 Cvergeza prbabltà Cvergeza e rcpal Terem Cvergeza prbabltà Cvergeza dstrbuze Terema d Berull Legge de Grad Numer (deble e frte) Terema d De Mvre-Laplace Terema Lmte Cetrale Lez6_a.a statstca-fracesc mla 5 Data ua successe d v.c. ~ F ( { < ε} lm p lm p ppure ~ F( Lez6_a.a statstca-fracesc mla 6 Cvergeza dstrbuze Data ua successe d v.c. ~ F ( x ) lm F ~ F ( ( ) F( ) d ) Cvergeza meda quadratca Data ua successe d v.c. ~ F ( lm E ( ) 0 m ~ F( Lez6_a.a statstca-fracesc mla 7 Lez6_a.a statstca-fracesc mla 8

3 Terema d Berull E l prm terema, rde d temp, sul cmprtamet d ua cmbaze d v.c. ε Csderat u > 0 lm C v.c.frequezarelatva eucat Al dvergere del umer delle prve, l lmte della prbabltà che la dffereza fra frequeza relatva e prbabltà d u evet sa, valre asslut, mre d ua quattà pstva pccla a pacere, è uguale ad dvele s v.c.berullae Lez6_a.a statstca-fracesc mla 9 Lez6_a.a statstca-fracesc mla 0 dmstraze Dmstraze (ct.) E E E usa la dseguaglaza d Cebcev < ε ε ( ) ( E( )) p p Var( ) ( B p ) pq (, ) Lez6_a.a statstca-fracesc mla pq Qud: pq ε pq lm lm ε lm Dat che la prbabltà è sempre mre uguale ad abbam ecessaramete che: Lez6_a.a statstca-fracesc mla

4 Dmstraze (ct.) lm Al crescere d la v.c.frequeza relatva s ccetra tr al valre p (fatt la varaza pq/ tede a 0) Lez6_a.a statstca-fracesc mla 3 Legge deble de grad umer E ua estese del Terema d Berull Data ua successe d v.c. { } dpedet fra lr, avet tutte la stessa dstrbuze, c stessa meda µ e varaza fta, la successe { }, cu, cverge prbabltàalla meda cmue delle v.c., e cé : { µ < ε} lm Lez6_a.a statstca-fracesc mla 4 dmstra rcrred alla dseguaglaza d Cebcev Legge deble de grad umer (ct.) La legge deble de grad umer derva dall sservaze spermetale d u feme. Al crescere delle prve la meda rlevata su u campe s stablzza e cverge alla meda della pplaze. Legge frte de grad umer e fssat ε > 0 e > 0 E pssble determare u 0 tale che la prbabltà del ctemprae verfcars d tutte dseguaglaze + µ < ε; + µ < ε; + k µ < ε; è, k, a - Lez6_a.a statstca-fracesc mla 5 Lez6_a.a statstca-fracesc mla 6

5 Legge frte de grad umer (ct.) La legge deble mplca che le dseguaglaze valg per tutt term. La legge frte mplca che le dseguaglaze valg per tutt gl > 0 a { } Terema d De Mvre-Laplace ua successe d v.c. dpedet ed detcamete dstrbute (d) cme v.c.d Berull c parametr p ; allra p d pq ~ N(0,) c + + Lez6_a.a statstca-fracesc mla 7 Lez6_a.a statstca-fracesc mla 8 a { } Terema Lmte Cetrale ua successe d v.c. dpedet c egual meda µ ed egual varaza (0 < data la v.c. + + < ), allra c E( ) µ Var( ) µ d ~ N(0,) Lez6_a.a statstca-fracesc mla 9 Terema Lmte Cetrale (ct.) E' u terema mprtatssm! e csderam la successe abbam : µ ~ N(0,) Lez6_a.a statstca-fracesc mla 0