(6, 2) 21. , essendo m una misura non negativa.

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1 Ottavo Serra Elemet d teora delle probabltà a) La probabltà d u eveto è ua msura ormalzzata Cò vuol dre che, fssato u seme (msurable) S, che chameremo spazo degl evet, e detto me ( ) eveto u sottoseme E d S, porremo p p( E), essedo m ua msura o egatva ms ( ) La msura m può essere u area, o u volume, o u umero aturale se lo spazo S costa d u umero fto d elemet, el qual caso assumeremo come m(e) l umero degl elemet che stao E I og caso l umero (probabltà) d E è u umero (reale) compreso tra 0 e 1: questo seso s parla d msura ormalzzata Esemp: 1) sa S l seme de possbl rsultat del laco d u dado (smmetrco, coè o truccato), E l eveto esce ua facca co umero more d 5 Allora p(e)=4/6 = /3 ) p( esce u umero prmo e par ) = p( esce ) =1/6 3) Se l eveto è: E = esce u umero prmo o par = {,3,4,5,6}, p =5/6 Nota: 1 o è cosderato prmo 4) Se l eveto è: E = lacado due dad, la somma de umer uscet è 6, la probabltà d E dpede dalla msura che tedamo adottare sull seme delle coppe d umer Prma msura: dstguamo due coppe se dfferscoo per l orde o per almeo u elemeto I tal caso lo spazo degl evet cosste d tutte le coppe ordate d umer tra 1 e 6, coè delle dsposzo co rpetzoe d 6 elemet d classe e percò m(s)=6 = 36 Ifatt S ={(1,1), 1,),(,1), (6,6)} E = {(1,5), (,4), (3,3), (4,), (5,1)}e qud p(e) =5/36 Verfcare che la probabltà è massma per l eveto: la somma delle facce è 7 Secoda msura: s può ache decdere d o teer coto dell orde I tal caso l umero delle coppe d S è l umero delle combazo co rpetzoe d 6 elemet d classe e percò m(s) = umero delle combazo semplc + umero delle coppe d elemet ugual: m(s) = 15+6 =1 1 S rcord ache la formula C rp (, ) che el ostro caso c dà rp C (6, ) 1 Ora E ={(1,5), (,4), (3,3)}, m(e)= 3 e p(e) =3/1 =1/7 Co questa msura s ottee la stessa probabltà sa che la somma delle facce da 6, oppure 7, oppure 8 NOTA La scelta della msura e cas cocret dpede da ua teora sottostate Per esempo, se gl oggett soo dad o altre partcelle macroscopche, e qud dstgubl, s devoo usare le dsposzo co rpetzoe, ma se soo boso come atom d elo o foto, partcelle dstgubl, s devoo usare le combazo co rpetzoe Acora dverso è l caso degl elettro, che, oltre ad essere dstgubl, soo fermo e qud obbedscoo al prcpo d esclusoe d Paul: s devoo usare le combazo semplc b) Propretà Utlzzado u modello semstco, soo evdet le seguet proposzo: 1 p(a = p(a) + p( - p(a ; Spegare a lvello tutvo 1

2 p(a/ = p( A pb ( ) La probabltà d A codzoata al verfcars d B è la probabltà della parte d A clusa B, dveta l uovo spazo degl evet Per smmetra p(b/a) = qud p( A pa ( ) p( A p( p( A/ p( A) p( B / A) Se accade che p(a/ = p(a), s dce che A è dpedete da B ( seso probablstco) I tal caso p( A p( p( A) e qud ache B è dpedete da A A e B s dcoo dpedet 3 Se A 1, A, A, è ua successoe d evet compatbl (coè a due a due dsgut), allora p( A ) p( A ) (addtvtà umerable) N 1 La probabltà dell uoe umerable d sem dsgut (coè d evet compatbl) è la somma della sere delle sgole probabltà E charo che la sere deve covergere a u umero (o egatvo e o maggore d 1) 4 Se due evet A e B soo compatbl, coè se l verfcars d uo esclude l verfcars dell altro, e oltre soo complemetar (uo de due s deve verfcare), allora p(a)+p(=1 [p+q=1] Esempo1 I u ura c sao 7 getto bach e 3 er Se rteamo che og gettoe ha la stessa probabltà d essere estratto, (dstrbuzoe uforme) allora p=p(baco)=7/10 e a q=p(ero)=3/10 p+q=1 Se però ell ura c soo ache 8 gettoo ross, p+q= 7/18+3/18 = 10/18 <1 Esempo U tratore ha probabltà p=0,7 d colpr l bersaglo: che probabltà ha d colpre almeo ua volta 3 tr? S suppoga che gl evet colpsce al 1 tro, colpsce al secodo, eccetera sao dpedet I Metodo: detta q la probabltà d o colpre (p+q=1 q= 1-0,7 = 03), s ha P(almeo ua volta su 3) = (pqq+qpq+qqp)+(ppq+pqp+qpp)+(ppp) = 3(pq )+3(p q)+p 3 =0,973 II Metodo: P(almeo ua volta su 3) = 1 P(essua volta) = 1- (0,3) 3 = 0,973 (Meglo l secodo metodo!) Quat tr occorroo perché la probabltà d colpre l bersaglo almeo ua volta super l 90%? Esempo bs Il tratore spara al bersaglo fché lo colpsce La probabltà che cò accada all tetatvo è P =p+qp+q p+ +q -1 p=p(1-q )/(1-q)=1-q Se tra a oltraza, P 1 (tutvo) Esempo3 Lacado due dad rsultat vao da (=1+1) a 1 (=6+6) La somma 7 è la pù probable: come ma? Il prmo a dare ua gustfcazoe fu Galle (S tede, dad o truccat) Nel goco della Zara (rcordato da Date el VI cato del Purgatoro) s lacao tre dad: qual soo le somme pù probabl? Esempo4 Due amc ugualmete brav a brscola (o scopa) putao somme ugual co l accordo che vce l tera posta ch per prmo arrva a 5 vttore Le mogl però l terrompoo quado l prmo ha vto 4 partte e l secodo 3 Come devoo dvders la posta? (Problema proposto dal cavalere de Mèray a Pascal) Suggermeto: l prmo vce l toreo se mpedsce al secodo d vcere due partte cosecutve: P(prmo) = p+qp, P(secodo) = qq Sccome p=q=1/, P(prmo) =3/4 e P(secodo) = ¼, percò la posta va dvsa ella proporzoe d 3 ad 1 e

3 Esempo5 Qual è la probabltà d fare ambo alla ruota d Napol? I umer soo 90 e se e estraggoo 5 percò lo spazo degl evet è C90,5 I cas favorevol soo dat da quelle cque che cotegoo umer putat, tolt qual gl altr 3 possoo essere qualuque, C duque cas favorevol soo 88, P(ambo)= Eserczo Calcolare le probabltà P(tero), P(quatera), P(cqua) Esempo6 Totocalco Suppoedo d trascurare l fattore campo e la forza delle squadre, sccome og partta ha 3 rsultat : 1, x,, la probabltà d azzeccare u rsultato è p=1/3 e d sbaglarlo è 13 percò q= /3 La probabltà d mbroccare rsultat su 13 sarà P( su 13)= (1/ 3) ( / 3) 13 Verfcare che (1/ 3) ( / 3) 13 1 Qual è la probabltà d fare almeo u puto sulla scheda? E d fare meo d 3 put? E pù probable fare 0 put o 13 put? Esempo7 Lacado ua moeta 10 volte (è lo stesso che 10 moete ua volta), qual è la probabltà d otteere esattamete 3 teste? E quella d otteere almeo 3 Teste? E pù probable otteere 10 Teste su 10 lac, oppure 5 Teste segute da 5 Croc? Qual è la probabltà d otteere 5 Teste e 5 Croc, se s prescde dall orde? Esempo8 S estraggoo successvamete da u sacchetto coteete a palle azzurre ed r palle rosse due palle La palla estratta o vee rmessa el sacchetto S cosderao gl evet 1 a A=Prma estratta è azzurra, a A=Secoda estratta è azzurra, e così va Le vare probabltà soo: a a P(1 A) a r, a a a a a a a1 P(1 A A) P( A/1 A) P(1 A), a r a r 1 a a a a a a r1 P(1 A R) P( R /1 A) P(1 A), a r a r 1 a a a a a a a a 1 r a 1 a 1 P( A) P( A/1 A) P(1 A) P( A/1 R) a r a r 1 a r a r 1 a r 1 rsultato a cu s poteva arrvare drettamete Il calcolo delle probabltà è ato da goch d azzardo, ma ha applcazo sere statstca, ecooma, aals matematca, fsca D u applcazoe aals matematca, al calcolo d u tegrale (d u area ), parleremo pù avat (Metod Mote Carlo); qu darò u assaggo delle applcazo alla meccaca statstca Suppoamo d avere due partcelle: molecole, foto, elettro, e tre celle (stat quatc) cu s possoo dsporre Se le partcelle soo dstgubl, come molecole a b (marcabl co u ucleo radoattvo), ho 9 possbl dstrbuzo: le dsposzo co rpetzoe d 3 elemet (le celle) a a (le partcelle); cò coduce alla statstca che mpegaroo Boltzma e Maxwell per terpretare la termodamca term statstc ( prcpo, etropa, ecc) Se però le partcelle soo dstgubl lea d prcpo, come foto o ucle d elo, (b=a), le dstr- e 3

4 buzo soo solo 6: le combazo co rpetzoe; questa statstca, deata dall dao Bose, fu applcata da Este per rtrovare la legge d Pla Se fe le partcelle soo dstgubl e pù obbedscoo al prcpo d Paul ( ua cella può stare ua sola partcella), le dstrbuzo s rducoo a 3: le combazo semplc d 3 oggett a a Questa statstca fu deata da Ferm e da lu applcata per studare le propretà del legame metallco Drac trovò po l legame tra sp e statstca ( boso hao sp tero, fermo sp sem-tero) c) Msure cotue Se S è l tervallo [a,b] dell asse reale, ed E l tervallo [α,β] [a,b], la probabltà che u umero scelto a caso S cada E è pe ( ) (dstrbuzoe uforme d b a probabltà) Stamo assumedo come msura la lughezza de segmet S ot che se β=α, m(e)=0 e qud p(e)=0 L eveto E s rduce a u puto, duque o è vuoto, percò o è mpossble, tuttava la sua probabltà è zero Aalogamete se E=]a,b[, tervallo aperto, la sua msura è b-a e p(e)=1, tuttava l eveto E o è certo, fatt potrebbe captare che l umero scelto a caso sa u estremo dell tervallo [a,b] Cò può accadere se la msura è u umero reale S bad che la dstrbuzoe uforme o è applcable se lo spazo degl evet è fto; tal caso s usa ua msura come quella gaussaa, che assega msura fta allo spazo I due dmeso, sa S u rettagolo [a,b]x[m,m] del pao cartesao La msura sa u area Se E è ua fgura coteuta S, p(e) = area(e)/area(s) Aalogamete s procede per volum d) Valore medo e varaza Ua gradezza X s chama varable aleatora, v a, se può assumere valor X 1, X, X co le probabltà p 1, p, p E charo che deve essere 1 p 1 Se la varable aleatora X può assumere u ftà umerable d valor, la somma delle probabltà s trasforma u sere che deve covergere a 1 S chama valore medo d X l umero E( X ) X p X Esempo9 Ua v a X assuma valor 1, 7, 5 co probabltà uforma 1/3 E(X)=33/3=11 Ua secoda v a assuma valor 10, 11, 1 co probabltà uforme 1/3 Ache E(Y)=11 Le due v a hao lo stesso valore medo, però presetao ua dspersoe dversa Se s tratta d msure d ua gradezza fsca, l valore 11 trovato co la secoda sere d msure m dà pù affdameto Quatfchamo questa dea d affdabltà medate l cocetto d varaza La varaza d X, Var(X), è defta come valore medo de quadrat degl scart d X dal suo valore medo: 1 Var( X ) E[( X X ) ] p ( X X ) S verfch che Var( X ) E( X ) X (valor medo del quadrato meo quadrato del valor medo S chama po Scarto quadratco medo d X la radce quadrata(postva) d Var(X): Var( X ) X (Stadard devato glese) msura lo sparpaglameto de dat; pù è pccolo, pù dat s rtegoo affdabl S dmostrao le seguet propretà: 1) E(λX) = λe(x); E(X+Y) = E(X)+E(Y); ) Var(λX)=λ Var(X); se X e Y soo v a dpedet, Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y) Esempo10 Lacado u dado s vce u euro se esce l 1, 6 euro se esce l 6 Il valore medo della vcta è (1++ +6)/6=7/=3,5; la varaza è 1/6[(1-7/) +(-7/) +(3-7/) ]=1/3[5/4+9/4+1/4]=35/1 e σ=1,71 1 X 4

5 Ho usato ua dstrbuzoe uforme d probabltà (p=1/6 ad og laco) Cò è possble perché l seme S de cas possbl è fto Se S cotee elemet, la dstrbuzoe uforme mplca p=1/ Eserczo Geeralzzare l esempo10 mmagado u dado co facce e) La legge de grad umer Sa X ua v a co valor medo X e varaza E]( X X ) ] ( X X ) p Cosdero ora solo valor X che dstao dal valor medo pù d u prefssato ε>0; s avrà ( X X ) p p P( X X ); X X X X X d altra parte X P X X X p Var( X ) Cofrotado, avremo X o ache P X X 1 Le dsuguaglaze precedet soo dovute a Cebcev ( ) U caso mportate Sa X la v a che regstra l successo co probabltà p Per esempo, se esce u umero prmo lacado u dado 1, probabltà p X 0, probabltà q 1 p X 1 p 0 q p, Var( X ) E[( X p) ] (1 p) p (0 p) q q p p q pq Sa ora Y la v a X 1 +X + +X dove le X hao tutte la stessa legge d probabltà d X e soo dpedet Y cota quate volte s ha successo prove: E(Y)=p, Var(Y)=σ =pq La v a Z = Y/ msura la frequeza relatva ν (la percetuale) de success prove e s ha: E(ν ) = p, σ = pq/ pq = pq/ e fe Applcado la dsuguaglaza d Cebcev, s otte- e la legge de grad umer: LmP p Lm pq 1 1 Cò sgfca che, comuque s fss u umero postvo ε, la probabltà che la frequeza relatva dst dalla probabltà dell eveto meo d ε s avvca arbtraramete ad 1, al crescere del umero delle prove Cò o sgfca che al dvergere d la frequeza relatva teda alla probabltà, ma che è sempre meo probable uo scarto maggore d ε tra ν e p, per quato pccolo s fss tale ε Esempo11 Lacado ua moeta u gra umero d volte, c aspettamo che la dstaza tra la frequeza relatva e l valore medo p=1/ sa pccola, el seso precso del teorema d Cebcev: pq 1 P p Se laco la moeta 100 volte ed ε=0,05 ho P 1 1=0; Cebcev o è d auto Se, co lo stesso ε=0,05, laco la moeta 00 volte, P 0,5 Se voglamo che la frequeza relatva soddsf la dsuguaglaza P(0,45 ν 0,55) 90% (ho preso ε=0,05), quate volte devo lacare la moeta? Deve essere 5

6 ,9 1 0,9 1 0,9 0, (Almeo 1000 lac) C soo metod pù strget per garatre rsultat come questo, coè metod che rchedoo u valore d more del precedete, a partà d ε Quest metod rchedoo l calcolo tegrale e la dstrbuzoe ormale d Gauss, ma o tratteremo tale argometo f) Metod Mote Carlo Il calcolo delle probabltà e partcolare la legge de grad umer, può essere applcato per valutare l area d ua fgura del pao cartesao, partcolare d u trapezode (Itegrale defto), che come è oto può essere terpretata come u area, u volume, ua lughezza, u lavoro eccetera Il metodo Mote Carlo pù semplce, detto Ht or mss (colpto o macato) cosste el crcoscrvere al trapezode u rettagolo avete come base l tervallo [a,b] del trapezode e altezza par alla dffereza tra l massmo e l mmo della fuzoe f(x) [a,b] Qud s geerao due sequeze radom (pseudo casual) d umer real:{x } tra a e b e {y } tra m e max d f(x); se y < f(x ) ua varable tera, zalzzata co 0, s cremeta d 1 (successo) Per abbastaza (?) grade s può accettare co u certo grado d affdabltà che l area del trapezode sa uguale a (/)(b-a)max-m) Lo scarto quadratco medo σ dà u dcazoe della botà del rsultato g) La formula d Bayes Imparare dall espereza Nella logca formale s applca lo schema ferezale d deduzoe, detto Modus poes: [A, AB]: B (A è vera e vale A mplca B: allora B è vera) S applca ache lo schema d Reduzo o modus tolles, dmostrazoe per assurdo e logcamete equvalete al modus poes: [AB, -B]: -A (Vale A mplca B e B è falsa: allora A è falsa) Nelle sceze spermetal vece pare che o s possa fare a meo del ragoameto duttvo, logcamete o valdo, rappresetato dallo schema [AB, B]: A Cosderamo l seguete esempo: Suppoamo d accettare l mplcazoe Se c è fuoco allora c è calore ; tal caso soo scuro che quado c è fuoco soo scuro che c è calore; ma quado c è calore o è certo che c sa fuoco, è solo probable ( ua trbù d pellerossa sarebbe altamete plausble I geerale, l attedbltà della verfca d u potes scetfca dpede ache dal cotesto storco o, come s dce, dal paradgma quel perodo accettato dalla comutà scetfca) Abbamo percò bsogo del cocettos probabltà codzoata Suppoamo p(a)>0 e p(>0 Allora p(a/ = e p(b/a)=, da cu p( A p( A pb ( ) pa ( ) [1] p( A/ p( p( B / A) p( A)( A) p( A Sa ora {A 1, A, A} ua partzoe dello spazo degl evet S Cò sgfca che gl A soo o vuot, a due a due dsgut e la loro uoe è S, pertato la somma delle loro probabltà è 1 S osserv ache che B B S ( B A1) ( B A) ( B A ) e dalla [1] segue p( B / A ) p( A ) p( B / A ) p( A ) p A / B [] pb ( ) [ p( B / A ) p( A )] 1 Questa è la famosa formula d Bayes (pubblcata postuma l 1763) Esempo1 Ua dtta ha tre stablmet A 1, A, A 3 che producoo, poamo, automobl: l prmo e produce l 40%, l secodo l 7% e l terzo l rmaete 33% La percetuale d macche dfettose che escoo da A 1 è l %, da A l 3% e da A 3 l 1% Quale è la probabltà che ua maccha provega da A 1 sapedo che è dfettosa? (B è l eveto maccha dfettosa) Aalogamete per gl altr due stablmet A e A 3 S ottegoo seguet rsultat: 6

7 p( A / 0,414 (41,4%) Aalogamete p ( A / B ) 0, (41,75%) e fe p 33 ( A 3 / B ) 33/194 0, (17,01%) Esempo13 U medco rscotra u pazete de stom che gl fao dagostcare tre possbl malatte; A 1, A, A 3 alle qual assega le probabltà p(a 1 )=0%, p(a )=30%, p(a 3 )=50% Egl propede per la malatta A 3, ma per scurezza orda u aals che base a test scetfc dà rsultato postvo B co le seguet probabltà: p(b/a 1 )=15%, p(b/a )=5%, p(b/a 3 )=80% La formula d Bayes forsce allora p( A1 / 5,94% p( A / 14,85% p( A3 / 79,1% Il test clco coferma la dagos, perché la probabltà a pror del 50% stmata dal medco è salta a posteror quas all80% 7