L Analisi delle Componenti Principali applicata a dati sensoriali derivanti dall analisi descrittiva.

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1 L Analisi delle Componenti Principali applicata a dati sensoriali derivanti dall analisi descrittiva. Nota didattica per gli studenti dei corsi di: Analisi Sensoriale degli Alimenti Corso di Laurea in Tecnologie Alimentari, Analisi delle Preferenze dei Consumatori Corso di Laurea Magistrale in Scienze e Tecnologie Alimentari Percezione ed Accettabilità dei Prodotti Alimentari Corso di Laurea in Scienze dell Alimentazione Università degli studi di Firenze Prof. Erminio Monteleone 1

2 Introduzione Quando una serie di prodotti è descritta da una serie di variabili l identificazione delle differenze e similitudini tra i prodotti e delle variabili che contribuiscono a spiegare tali differenze è più o meno facile in base al numero di variabili che si considerano. Partiamo da un esempio molto semplice: 11 campioni di vino sono descritti dalla variabile sensoriale odore di legno come nella tabella 1. I valori per ciascun campione (righe della tabella) della variabile considerata (intestazione della colonna) corrispondono alle medie computate in base alla valutazione dei campioni di un panel addestrato per l analisi descrittiva dei campioni considerati. Le differenze tra i campioni possono essere facilmente evidenziate attraverso la rappresentazione delle differenze in un grafico a barre (Figura 1), magari dopo aver ordinato i valori della tabella 1 in ordine decrescente: Campioni odore di legno A 4.03 B 5.69 C 4.00 D 4.64 E 5.89 F 4.19 G 3.28 H 4.33 I 3.92 L 3.06 M 4.25 Tabella 1: Valori medi dell attributo odore di legno in 11 campioni di vino Figura 1: Rappresentazione grafica dei valori medi dell attributo odore di legno in ordine decrescente in 11 campioni di vino. Similitudine e differenza tra i campioni per l attributo considerato sono facilmente identificabili. Consideriamo ora il caso in cui gli stessi 11 campioni di vino siano descritti da due attributi sensoriali come nel caso della tabella 2a. Questa ora può essere descritta come una matrice composta da due variabili (intestazioni delle colonne) ed 11 oggetti (i campioni all intestazione delle righe). La dimensionalità di questa matrice è 2 (pari al numero delle variabili). Per rappresentare similitudini e differenze tra i campioni in base all odore di legno ed a quello di vaniglia avremo bisogno di uno spazio a due dimensioni (di un piano) in cui riportare i valori delle due variabili considerate. Per migliorare la rappresentazione delle similitudini e delle differenze tra i campioni, ogni valore è stato considerato come differenza (scarto) da una media generale dei valori delle due variabili 2

3 (22 osservazioni) così come rappresentato in tabella 2b. Allo stesso tempo per poter comprendere l importanza relativa di ciascuna delle due variabili nel determinare le differenze tra i campioni è stata calcolata la varianza associata ad ognuna di esse. variabili Campioni legno vaniglia A B C D E F G H I L M varianza variabili Campioni legno vaniglia A B C D E F G H I L M Tabella 2 a: Valori medi degli attributi odore di legno e odore di vaniglia in 11 campioni di vino Tabella 2 b: Scarti dalla media generale dei valori degli attributi odore di legno e odore di vaniglia in 11 campioni di vino Il grafico di figura 2 permette di osservare le differenze e le similitudini tra i campioni considerati in funzione di entrambe le variabili odore di legno e odore di vaniglia. Figura 2: Rappresentazione delle differenze e similitudini tra 11 campioni di vino in funzione di due variabili sensoriali. I valori rappresentano gli scarti dalla media generale per ciascuna delle variabili considerate B e E sono i campioni relativamente più intensi per entrambe le sensazioni, in opposizione ai campioni G ed L. I rimanenti campioni A, C, D, F, H, I, M hanno caratteristiche intermedie ai due gruppi precedentemente individuati. L intensità 3

4 dell odore di vaniglia nel campione I è relativamente basso come nei campioni G ed L. Allo stesso modo possono essere descritte tutte le differenze e similitudini tra i campioni. Il grafico mette anche in evidenza che la variabile odore di legno spiega maggiormente le differenze tra i campioni di quanto non faccia l odore di vaniglia, come evidenziato dai diversi valori di varianza. Infatti, le distanze tra i campioni lungo l asse odore di legno sono più ampie che quelle lungo l altro asse. Con questa modalità potremmo anche interpretare le differenze tra i campioni in esame in funzione di 3 variabili costruendo un grafico tridimensionale, ma se la dimensionalità della matrice sale a 4, il compito diventa impossibile. In questo caso si deve ricorrere ad un computo matematico che estragga l informazione presente nella matrice di dati (oggetti x variabili) restituendoci un quadro semplificato, rappresentabile graficamente e che ci permetta ancora di analizzare similitudini e differenze tra gli oggetti (set di campioni) in base alle variabili della matrice originaria. L informazione contenuta in una matrice di dati, intesa come differenze tra gli oggetti, dipende dalla variabilità di ciascuna delle variabili utilizzate per descrivere gli oggetti stessi. Una variabile costante non porta informazione, al contrario una variabile i cui valori cambiano tra un campione e l altro contribuisce a spiegare le differenze tra i campioni. Maggiore la variabilità di una variabile, maggiore è l informazione in essa contenuta ed ovviamente maggiore sarà la sua varianza. Pertanto, le variabili con varianza più alta sono le più importanti per spiegare le differenze tra un dato set di campioni. Individuare le variabili più importanti per spiegare le differenze tra un set di campioni è il primo passo nella semplificazione di una matrice; quello successivo è la riduzione della dimensionalità (numero di variabili) della matrice stessa. L Analisi delle Componenti Principali (PCA) è un metodo di modellazione bilineare che fornisce una descrizione delle informazioni principali contenute in una matrice di dati. La modellazione bilineare è uno dei possibili metodi di compressione dei dati e dunque di riduzione della dimensionalità della matrice originaria fino ad ottenere un numero molto contenuto di nuove variabili (2 o 3) utili a rappresentare graficamente le differenze e similitudini tra un set di campioni. Torniamo ad un caso molto semplice in cui consideriamo la serie di 11 prodotti descritti da tre variabili (odore di legno, vaniglia e prugna) come riportato in tabella 3. Il grafico di figura 3 mostra che le prime due variabili sono tra loro fortemente correlate. Il valore del 4

5 coefficiente di correlazione (r di Pearson) che lega le due variabili è pari È dunque possibile definire un modello di predizione della variabile odore di vaniglia in base ai valori della variabile odore di legno. Il modello predittivo è descritto dalla funzione lineare (regressione) riportata nel grafico (Y=0.866*X). Ad essa è associata una varianza spiegata pari al valore del coefficiente di correlazione (r=0.9414) elevato al quadrato (R 2 =0.886). Questo valore è espresso in percentuale (88.6%) e il complemento a 100 (11.4 %) corrisponde alla varianza residua % della regressione. variabili Campioni legno vaniglia prugna A B C D E F G H I L M Tabella 3: Scarti dalla media generale dei valori degli attributi odore di legno e odore di vaniglia e prugna 11 campioni di vino Figura 3: Rappresentazione delle differenze della regressione tra la variabile odore di legno e odore di vaniglia in 11 campioni di vino. I valori rappresentano gli scarti dalla media generale indicati in tabella 3 per ciascuna delle variabili considerate Maggiore è la varianza spiegata associata ad una regressione migliore, è la bontà predittiva della regressione (differenza tra valori misurati e predetti). Più è grande la varianza residua, maggiore è la differenza tra valori misurati e predetti e peggiore il modello predittivo. Nell esempio considerato diremo che la variabilità tra gli 11 campioni in odore di legno spiega anche l 89% circa della variabilità per l intensità di vaniglia. Considerata la regressione che lega queste due variabili possiamo ridurre la dimensionalità della matrice considerando due variabili: una di nuova definizione rappresentata dalla predizione della variabile vaniglia (V) in funzione dei valori di legno (L) e cioè V = 0.866*L, e l altra l intensità dell odore di prugna. Abbiamo quindi operato la più semplice riduzione di dimensionalità (da 3 a 2) basata sulla collinearità (regressione che lega la variabile vaniglia alla variabile legno). Per fornire una semplificazione ulteriore consideriamo la tabella 4 e la figura 4. La tabella 4 è di fatto una riduzione della tabella 3. In essa sono riportate le due variabili sopra descritte. 5

6 variabili Campioni V=0.866*L prugna A B C D E F G H I L M Tabella 4: Scarti dalla media generale dei valori degli attributi V=0.866*L e l attributo prugna. V=odore di Figura 4: Rappresentazione delle differenze tra 11 campioni in funzione della variabile V=0.866*L e la variabile prugna. I valori rappresentano gli scarti dalla media generale indicati in tabella 4 per ciascuna delle variabili considerate. Quando ci muoviamo lungo l asse delle ascisse i valori dei campioni non solo variano per l intensità predetta dell attributo vaniglia, ma anche per l odore di legno in virtù della regressione che lega le due variabili. Quando ci muoviamo lungo l asse delle ordinate, i campioni variano in base all odore di prugna. Così possiamo dire che i campioni G ed L sono quelli relativamente meno intensi per gli attributi vaniglia e legno in opposizione a B ed E, ma G si differenzia da L per una maggiore intensità di prugna. I campioni H, D, I, F, A C ed M, hanno caratteristiche intermedie ai campioni G ed L a sinistra del grafico e B ed E a destra per gli attributi vaniglia e legno; tuttavia il grafico mette in evidenza che C e M si differenziano ulteriormente per una minore intensità dell attributo prugna. Abbiamo rappresentato in un grafico bidimensionale le differenze tra campioni dovuti a 3 variabili. Ovviamente se partissimo da una matrice con 4 o più variabili potremo ridurre la dimensionalità studiando tutte le possibili relazioni lineari che tra essere intercorrono. Il processo procederebbe per step successivi in modo da individuare regressioni che legano tra di loro più variabili. Chiarito il meccanismo alla base della riduzione della dimensione di una matrice in base alla linearità tra le variabili possiamo introdurre la PCA indicando i passaggi chiave e i risultati principali dell analisi stessa. 6

7 Definizione dell Analisi delle Componenti Principali (PCA) La PCA è un metodo di proiezione che consente la visualizzazione delle informazioni contenute in una matrice di dati. È possibile individuare quanto un campione è diverso dagli altri, quali variabili maggiormente contribuiscono alla differenziazione, le variabili correlate e quelle indipendenti tra loro. È possibile individuare classi di campioni in base alle similitudini per le variabili considerate. Infine, consente di stimare l utilità dell informazione (variabilità sistematica) in opposizione alla variabilità dovuta al caso (rumore). Come già detto la PCA è definita come un metodo di modellazione bilineare che fornisce una descrizione delle informazioni principali contenute in una matrice di dati. La modellazione bilineare è uno dei possibili metodi di compressione (riduzione) dei dati e dunque di riduzione della complessità della matrice originaria. Essa è adatta nelle situazioni in cui esiste una collinearità tra le variabili originarie di una matrice. Due variabili sono collineari se il valore di una può essere calcolata dall altra usando una relazione lineare. L informazione comune contenuta nelle variabili originali dunque può essere utilizzata per costruire nuove variabili, dette latenti. Le variabili latenti prendono il nome di Componenti Principali, cioè variabili composite (funzione lineare delle variabili originali) calcolate per contenere, in ordine decrescente la struttura fondamentale dell informazione presente nei dati. Le fasi su cui si basa la PCA possono essere riassunte in tre punti: 1) Dare un origine comune alle variabili che descrivono il set di campioni considerati. Cioè computare una media generale (tutte le variabili x tutti i campioni) e trasformare i valori originari delle variabili in scarti dalla media generale. Graficamente questo corrisponde alle figure 5 a e b. Figura 5 a: Rappresentazione grafica di una serie di oggetti descritti da tre variabili (X1; X2; X3). Figura 5 b: Rappresentazione grafica di una serie di oggetti descritti da tre variabili (X1; X2; X3) centrate nei valori attorno ad una media generale. 7

8 2) Trovare le dimensioni dello spazio multidimensionale lungo le quali la distanza tra i campioni è la maggiore (figura 6). Il punto di partenza dunque è l identificazione delle variabili che meglio descrivono le differenze tra i campioni, quelle con varianza maggiore e quindi la ricerca, tra queste, delle collinearità: definizione delle componenti principali. Il computo della prima componente parte dalle variabili con maggiore varianza e da queste vengono computate iterativamente le combinazioni lineari con le altre variabili. L insieme delle variabili legate da una funzione lineare costituirà la prima componente principale (PC1). Partendo da variabili con varianza relativamente minore rispetto al computo della PC1 e con la stessa procedura di calcolo iterativo sarà computata la seconda componente (PC2) e così via. Ogni componente, essendo il frutto di regressioni lineari sarà caratterizzata da una varianza spiegata. La modalità di computo iterativo determina che la prima componente sia quella caratterizzata da una maggiore varianza spiegata, la seconda componente ridurrà la varianza residua dopo la prima componente e così via per la terza e successive. PC1 PC2 Figura 6: Rappresentazione grafica del computo delle Componenti Principali. La Prima Componente Principale (PC1) è la direzione che rappresenta le più grandi differenze tra gli oggetti (maggiore varianza spiegata). La Seconda Componente Principale (PC2) è ortogonale alla prima e spiega ulteriori differenze tra gli oggetti non spiegate dalla PC1. 8

9 Le componenti principali computate formano un nuovo set di coordinate (scores) che hanno due vantaggi rispetto alle variabili originarie: Le componenti sono ortogonali e sono ordinate in funzione della quantità di informazione che portano facilitando l interpretazione delle differenze tra i campioni. La prima componente sarà sempre quella che spiega maggiormente le differenze tra i campioni. 3) Stabilire il peso di ciascuna variabile della matrice originaria su ciascuna delle PCs computate (figura 7). La regressione lineare tra le coordinate dei campioni (scores) per ciascuna componente e i valori di ciascuna delle variabili originarie della matrice descriverà quanto ciascuna variabile originaria è legata alle PCs. Sappiamo che una regressione è descritta da una funzione lineare o vettore ed è caratterizzata da un coefficiente di correlazione (r) che lega le variabili interessate dalla regressione, quindi numericamente il peso di una variabile originaria su una componente può essere rappresentato dal coseno dell angolo (loadings) che le PCs costituiscono con detti vettori o dai coefficienti di correlazione (detti correlation loadings) associate alle regressioni. Figura 8: Rappresentazione grafica della relazione tra le Componenti Principali e le variabili originali in funzione dell angolo che le PCs costituiscono con quelle originarie. In questo caso il peso di ciascuna variabile (X1, X2, X3) sulla PC1 è pari al coseno dell angolo (rispettivamente α1, α2 e α3) descritto dalla componente stessa ed i vettori delle variabili considerate. 9

10 I risultati della PCA sono riassumibili come nello schema di figura 9. Gli scores (o coordinate dei campioni lungo una componente) descrivono la struttura dei dati in termini di similitudini e differenze tra i campioni. Ogni variabile ha un suo valore di loading per ogni componente. Questo valore riflette quanto una variabile contribuisce nella definizione di una componente e quanto questa prende in considerazione le differenze tra i campioni per quella variabile. L importanza dell informazione descritta da una componente principale è stimata attraverso la varianza spiegata ad essa associata, cioè la percentuale della varianza totale che è spiegata dalla componente. La varianza spiegata è calcolata come il complemento della varianza residua fratto quella totale ed è espressa in percentuale. La PCA fornisce le informazioni relative agli score, loading e varianza spiegata in forma grafica. Figura 9: Schematizzazione dei risultati della PCA Lo score plot Un esempio di score plot è riportato in figura 10. Le regole per la sua interpretazione sono: Ogni campione ha una coordinata su una componente (score) Quando due componenti vengono rappresentate graficamente (plot) a definite un piano si ottiene una mappa in cui ogni campione è descritto da due coordinate, una per ciascuna componente, La mappa descrive similitudini e differenze tra i campioni: campioni vicini sono simili, campioni molto distanti tra loro saranno molto diversi 10

11 Figura 10. PCA su dati descrittivi: Score plot della PC1 vs la PC2. Esempio di mappa percettiva riferita ad 13 campioni di olio extra vergine di oliva descritti in base alle loro proprietà sensoriali. Il valore positivo o negativo di uno score non ha alcuna valenza qualitativa, semplicemente esprime, per ogni campione su ogni componente, la distanza dal centro del modello. Nell interpretazione della mappa si considerano prima le differenze lungo la prima componente (direzione da sinistra verso destra) e poi quelle lungo la seconda componente (dal basso verso l alto). Così diremo che la PC1 che ha il 56% di varianza spiegata separa i campioni D, E L, N dai campioni F, B, R, M. Gli altri campioni hanno caratteristiche intermedie rispetto a questi due gruppi opposti. La seconda componente spiega ulteriormente le differenze tra i campioni (23% di varianza spiegata). In particolare, essa separa il campione C da O, P, H, A e contribuisce a differenziare D e E da L e N ed F e B da R e M. Nel complesso possiamo dire che i campioni più diversi sono descritti dalle opposizioni D e E verso R e M; L e N verso F e B e infine C verso O, P, H, A. Risulta facile comprendere che le mappe percettive (ottenute cioè da dati sensoriali) possono essere usate per diversi e importanti scopi: comparare un prodotto con quelli concorrenti; evidenziare l effetto di modifiche della composizione di un prodotto; definire in quale direzione modificare le proprietà sensoriali di un prodotto; selezionare prodotti consumatori con un definito stile per studiarne la funzionalità in diverse matrici alimentari. 11

12 Il loading plot In termini geometrici il loading corrisponde al coseno dell angolo tra il vettore di una variabile originaria e la componente principale considerata (fig. 11). Dunque, il valore del loading di una variabile può variare da -1 a 1. Minore è l angolo, maggiore è il legame tra la variabile e la componente, maggiore è il valore del loading. Figura 11. Loading Plot. Il peso di una variabile originaria su una componente principale è graficamente espresso da un vettore e numericamente dal coseno dell angolo che lo stesso forma con la componente. Per ogni componente occorre prendere in considerazione le variabili con un alto valore di loading (vicino a -1 o a +1). Differenze di coordinate dei campioni lungo la componente considerata indicheranno differenze per le variabili con un alto loading. Se due variabili sono caratterizzate da valori di loading simili e dallo stesso segno saranno positivamente correlate (quando una aumenta, aumenta anche l altra). Viceversa, se i valori di loading sono simili, ma i segni diversi, le variabili sono correlate negativamente: quando una aumenta l altra diminuisce. Nell esempio di figura 11 la variabile 1 è fortemente legata alla prima componente ed a segno positivo. Ciò significa che nello score plot relativo, muovendosi da sinistra a destra della prima componente i campioni avranno progressivamente valori maggiori per la variabile 1. Il contrario se ci si muove da destra verso sinistra: il valore della variabile 1 nei campioni diminuirà. La variabile 2 è correlata alla seconda componente ed ha valore positivo. Quindi nello score plot relativo il valore di questa variabile aumenterà nei campioni muovendosi dal basso verso l alto e diminuirà muovendosi dall alto verso il basso. 12

13 L interpretazione grafica del loading plot è semplice. Su ogni componente di interesse (normalmente la PC1 e la PC2) ogni variabile è descritta da un valore di loading così che se ne ottiene il grafico di figura 12. Ogni variabile è quindi rappresentata da un punto. Questo punto deve essere inteso come il punto finale di un vettore che passa dal centro del modello. La sua direzione indica la direzione nello spazio descritto da PC1 e PC2 lungo la quale aumenta il valore di quella variabile. Nell esempio considerato l attributo tomato leaf aumenta spostandosi verso destra e diminuisce verso sinistra della PC1. Similarmente le intensità degli attributi Apple e Citrus, tra loro correlati, aumentano verso l alto e diminuiscono verso il basso della PC2. L intensità dell attributo Almond aumenta quando ci si muove verso sinistra della PC1 e verso l alto della PC2. La distanza di una variabile dal centro del modello indica quanto la stessa è fortemente correlata con le componenti e contribuisce a spiegare le differenze tra i campioni. Ad esempio, l attributo Tomato leaf spiega molto le differenze tra i campioni lungo la prima componente. Al contrario l attributo Green Olive non spiega le differenze tra i campioni né sulla PC1 né sulla PC2. Quindi, riassumendo, per interpretazione di un loading plot consideriamo direzione e distanza dal centro del modello di ogni variabile. Figura 12. Loading plot relativo a otto attributi che descrivono le proprietà sensoriali di dei 13 oli le cui differenze complessive sono rappresentate nello score di figura

14 Per semplicare la rappresentazione grafica dei risultati della PCA si può ricorrere ad un Biplot in cui sono rappresentati tanto gli score dei prodotti quanto i loading delle variabili. Un esempio di bi-plot è fornito in figura 13 e riunisce le informazioni già presentate in figura 11 e 12. Nell interazione del bi-plot vanno applicate le regole già descritte per lo score plot ed il loading plot. Le distanze dello score e del loading plot sono diverse e l interpretazione del bi-plot dovrebbe seguire quella dei due plot separati ad evitare errori nell individuazione delle variabili che più pesano nel differenziare i campioni lungo le componenti. Un classico errore di interpretazione dovuto all inesperienza consiste nell adottare la regola per cui un campione che nel bi-plot è collocato vicino ad una variabile è il più intenso per quella variabile. Nel nostro esempio potremo dire senza dubbio che i campioni C è il più intenso per l attributo Citrus perché lo score del campione lungo la PC2 è positivo (pari ad 1) ed al contempo l attributo Citrus ha un valore di loading elevato come indica la sua posizione rispetto al centro del modello. Se però consideriamo il campione A come il più intenso per l attributo Green Olive commettiamo un errore. Infatti, essendo l attributo in questione correlato alla PC1 i campioni più intensi sarebbero B, F, R, M. Un attenta considerazione della posizione dell attributo Green Olive rileva la sua vicinanza al centro del modello e dunque il suo scarso peso nel discriminare i campioni tanto sulla PC1 che sulla PC2. Figura 13. Bi-plot: Score e Loading Plot riferito al profilo sensoriale di 13 oli descritti da otto variabili sensoriali. 14

15 Per facilitare ulteriormente l interpretazione dei risultati della PCA ed in particolare del peso delle variabili si può ricorrere al correlation loading plot. Come già detto uno dei modi per interpretare l associazione di ogni variabile della matrice originaria con le componenti principali è considerare per ciascuna component i valori dei coefficienti di correlazione (r) tra i valori degli score dei campioni e i valori della variabile. Ricordiamo anche che il quadrato di r (R 2 ) rappresenta la varianza spiegata esprimibile in % e rappresenta quanto bene una variabile è legata ad una componente (da 0 a 100%). Ovviamente detti valori di r possono essere plottati in funzione delle componenti ottenendo cosi il Coefficient loading plot (fig.14). Le dimensioni delle PCs vanno da -1 a 1 che corrispondono ai massimi valori di r e di R 2. Così ad un valore di r pari ad ± 1 su una componente corrisponderà un valore di R 2 di 1 e dunque una varianza spiegata del 100%. Ciò permette di plottare sul grafico l ellissi che corrisponde al 100% di varianza spiegata (quella esterna nel grafico di fig. 14). Allo stesso modo possiamo considerare arbitrariamente valori di r pari a ± 0.7 per le due componenti PC1 e PC2 cui corrisponde un R 2 pari a 0.49 e dunque ad una varianza spiegata del 50% circa. Possiamo quindi plottare una seconda ellisse sul grafico, interna alla prima, che corrisponde circa al 50% di varianza spiegata. L interpretazione grafica del peso di ciascuna variabile sulle PCs risulta facilitato. Le variabili che cadono tra le due ellissi pesano, in funzione della loro posizione, sulla PC1 ( Tomato leaf in opposizione a Pungency ed Almond ) e sulla PC2 ( Apple e Citrus ed in maniere minore Almond ). Le variabili che, al contrario, cadono all interno dell ellissi ( Green Olive in opposizione a Bitterness e Peppery ) determinano meno le differenze tra i campioni quando ci si muove lungo la PC1. Figura 14: Correlation loading plot PC1 vs PC2 15

16 Il correlation loading plot può essere utilizzato per costruire un bi-plot alternativo a quello dello score and loading plot, più facile da analizzare graficamente. Per ottenerlo la matrice dei dati sottoposta alla PCA viene modificata inserendo un artificioso set di variabili rappresentato dagli stessi campioni considerati. Queste nuove variabili sono variabili di comodo (in inglese dummy ) tipicamente binarie, valore 0 o 1, a seconda che sia soddisfatta o meno una data condizione. Così nel box di figura 15, la variabile campione A assume valore 1 per il campione A e 0 per tutti gli altri campioni, analogamente la variabile campione B assume valore 1 per il campione B e 0 per tutti gli altri campioni e così per tutte le variabili campione. Figura 15. Il correlation loading plot: Un bi-plot alternativo con i campioni come variabili dummy riferito di 13 oli descritti da otto variabili sensoriali. In questo modo le variabili campioni non influenzano i risultati della PCA e nel correlation loading plot si posizionano in modo da riprodurre la posizione degli stessi nello score plot (vedi figura 10). Per dedurre da un bi-plot costruito su un correlation-loading plot le differenze di valore di una variabile nei campioni occorre: 1) immaginare il punto che identifica la posizione di una variabile come il punto finale di un vettore che attraversa la mappa passando dall origine ed indica la direzione di incremento della variabile; 2) proiettare ortogonalmente la posizione dei campioni sul vettore; 16

17 3) considerare l ordine crescente dei valori della variabile considerando l ordine della posizione dei campioni proiettati sul vettore nella direzione di incremento della variabile. Il processo è illustrato nella figura 16. Figura 16. Il modello vettoriale per interpretare le caratteristiche di un prodotto in funzione di una variabile in un bi-plot costruito su un correlation-loading plot. L Explained Variance plot Un ulteriore ed importante risultato della PCA è costituito dal grafico che mostra l evoluzione della varianza spiegata in funzione del numero delle componenti. Questo tipo di grafico è utile per selezionare il numero di componenti necessarie a stabilire similitudini e differenze tra i campioni senza perdere informazione o senza incorrere in rischi di estrarre informazioni non validate, dovute al caso piuttosto che a differenze sistematiche tra i campioni in osservazione. Figura 17. Explained Variance Plot: Incremento della varianza spiegata in funzione del numero delle componenti. Validazione/selezione del numero di componenti in base al criterio Steep Increase. Le modalità più comunemente utilizzate per selezionare il numero di PCs sono: il criterio dello steep increase (figura 17), e la cross validation, cioè la comparazione tra varianza 17

18 di calibrazione (ottenuta dal compunto della PCA sulla matrice dei dati di interesse) e varianza di validazione (varianza derivata dalla media delle varianze spiegate ottenute da modelli di PCA computate ogni volta escludendo un campione dalla matrice originaria) come riportato in figura 18. Figura 18. Explained Variance Plot: Incremento della varianza spiegata in funzione del numero delle componenti. Validazione/selezione del numero di componenti in base al metodo della cross-validation di comparazione tra varianza di calibrazione e validazione. Nella cross validation il numero di componenti ottimali si ottiene comparando le due curve. La componente in corrispondenza della quale le due curve si differenziano per andamento rappresenta il numero massimo di PCs da considerare (due nell esempio del grafico). Riassumendo i risultati grafici della PCA che forniscono le informazioni utili a descrivere differenze e similitudini tra un set di prodotti in funzione di un numero elevato di variabili ed al tempo stesso fornire la solidità di dette informazioni sono quattro: score plot, loading plot, correlation loading plot e explained variance plot come riportato in figura 19. Figura 19. Risultati grafici di una PCA condotta su una matrice di dati di 18 vini descritti da otto variabili: a) score plot; b) loading plot; c) correlation loading plot; d) Explained Variance plot. 18