Esempi di curve nel piano e nello spazio

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Clementina Rossetti
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1 Esempi di curve nel piano e nello spazio Graziano Guerra I seguenti grafici sono stati ottenuti con il programma gnuplot ottenibile gratuitamente dal sito: Prima di ogni grafico sono riportate le righe di comando usate per ottenerlo. Per evitare di dover digitare i comandi all interno del programma, questi possono essere salvati in un file di testo e una volta fatto partire gnuplot, digitare il comando: gnuplot> load "nome_dato_al_file" Grafico 1. Una retta x = x 0 + tv, t R è un esempio di curva semplice e piana nello spazio. È semplice perché non interseca mai se stessa e piana perché è interamente contenuta all interno di un piano (nel caso della retta i piani che la contengono sono infiniti). unset ztics set zzeroaxis set view 50, 348, 1, 1.5 set yrange [-1.33:1.33] set zrange [-1:1] set xyplane at 0 # straight line set label "x" at 1.2,-0.15,0 set label "y" at 0.0,1.2,0 set label "z" at 0.1,0.1,0.95 set label "x0" at 0.25,0.3,0.4 set label "v" at 0.15,-0.15,0.25 textcolor rgb "violet" set arrow from 0,0,0 to 0.3,0.3,0.3 set arrow from 0,0,0 to 0.3,-0.3,0.3 lc rgb "violet" set arrow from 0.3,-0.3,0.3 to 0.6,0,0.6 lt 0 lc rgb "green" set arrow from -0.3,0.3,-0.3 to 0,0.6,0 lt 0 lc rgb "green" set arrow from 0.6,-0.6,0.6 to 0.9,-0.3,0.9 lt 0 lc rgb "green" splot [t=-10:2] *t, *t, *t, 0.3*t,-0.3*t,0.3*t w dots lc rgb "violet" 1

2 z y x0 v x Grafico 2. Semicirconferenza ottenuta usando la parametrizzazione ( ) cos(t) r(t) = t [0,π]. sin(t) set yrange [-1:1] plot [t=0:pi] cos(t),sin(t) lc rgb "red" 2

3 Grafico 3. Circonferenza ottenuta usando la parametrizzazione ( ) cos(t) r(t) = t [0,2π]. sin(t) set yrange [-1:1] plot [t=0:2*pi] cos(t),sin(t) lc rgb "red" 3

4 Grafico 4. Ellisse ottenuto usando la parametrizzazione ( ) cos(t) r(t) = 1 2 sin(t) t [0,2π]. set yrange [-1:1] plot [t=0:2*pi] cos(t),0.5*sin(t) lc rgb "red" 4

5 Grafico 5. Folium di Cartesio ( ) t(t 1) r(t) = t(t 1)(2t 1) t (, ). set yrange [-1:1] plot [t=-0.4:1.4] t*(t-1),t*(t-1)*(2*t-1) lc rgb "red" 5

6 Grafico 6. Grafico del Folium di Cartesio { ( ) } G r = t,t(t 1),t(t 1)(2t 1), t (, ) R 3. unset ztics set title "[-0.4,1.4]" set zzeroaxis set label "t" at 1.33,0,0 set label "y" at 0,1.33,0 set label "x" at 0,0,1.4 set view 48, 14 set zrange [-1.33:1.33] set yrange [-1.33:1.33] set xrange [-0.4:1.4] set xyplane at 0 splot [t=-0.4:1.4] t,t*(t-1),t*(t-1)*(2*t-1) lc rgb "red" 6

7 [-0.4,1.4] x y t Grafico 7. Una spirale r(t) = sin(t) cos(t) t 3 t [ 1,1]. unset ztics set zzeroaxis set yrange [-1.33:1.33] set zrange [-1.1:1.1] set xyplane at 0 splot [t=-1:1] cos(5*t),sin(5*t),t**3 lc rgb "red" 7

8 Grafico 8. Vettore tangente alla spirale nel punto r(0.1). unset ztics set zzeroaxis set yrange [-1.33:1.33] set zrange [-1.1:1.1] set xyplane at 0 t0=0.1 x0=cos(5*t0) y0=sin(5*t0) z0=t0**3 vx=-5*sin(5*t0) vy=5*cos(5*t0) vz=3*t0**2 set arrow from x0,y0,z0 to x0+vx,y0+vy,z0+vz splot [t=-1:1] cos(5*t),sin(5*t),t**3 lc rgb "red" 8

9 Grafico 9. Astroide: r(t) = ( cos 3 t sin 3 t ) t [0,2π]. set xrange [-2.66:2.66] set yrange [-2:2] plot [t=0:2*pi] cos(t)**3,sin(t)**3 lc rgb "red" 9

10 Grafico 10. Astroide. Nel punto ( , ) sono indicate la derivata prima (in nero), il versore tangente (in rosa), e la derivata seconda (in blu) con indicate le sue componenti parallela e ortogonale al versore tangente. t0=pi/5 x0 = cos(t0)**3 y0 = sin(t0)**3 vx = -3*cos(t0)**2*sin(t0) vy = 3*sin(t0)**2*cos(t0) nx = vx/sqrt(vx**2+vy**2) ny = vy/sqrt(vx**2+vy**2) ax = -3*cos(t0)+9*sin(t0)**2*cos(t0) ay = -3*sin(t0)+9*cos(t0)**2*sin(t0) set arrow from x0,y0 to x0+vx,y0+vy set arrow from x0,y0 to x0+nx,y0+ny lc rgb "violet" set arrow from x0,y0 to x0+ax,y0+ay lc rgb "blue" px = nx * (ax * nx + ay * ny) py = ny * (ax * nx + ay * ny) ox = ax - px oy = ay - py set arrow from x0,y0 to x0+px,y0+py lc rgb "blue" set arrow from x0,y0 to x0+ox,y0+oy lc rgb "blue" set xrange [-2.66:2.66] 10

11 set yrange [-2:2] plot [t=0:2*pi] cos(t)**3,sin(t)**3 lc rgb "red" Grafico 11. Uguale al grafico precedente con le derivate calcolate nel punto ( , ). t0 = pi/3 x0 = cos(t0)**3 y0 = sin(t0)**3 vx = -3*cos(t0)**2*sin(t0) vy = 3*sin(t0)**2*cos(t0) nx = vx/sqrt(vx**2+vy**2) ny = vy/sqrt(vx**2+vy**2) ax = -3*cos(t0)+9*sin(t0)**2*cos(t0) ay = -3*sin(t0)+9*cos(t0)**2*sin(t0) set arrow from x0,y0 to x0+vx,y0+vy set arrow from x0,y0 to x0+nx,y0+ny lc rgb "violet" set arrow from x0,y0 to x0+ax,y0+ay lc rgb "blue" px = nx * (ax * nx + ay * ny) py = ny * (ax * nx + ay * ny) ox = ax - px oy = ay - py set arrow from x0,y0 to x0+px,y0+py lc rgb "blue" set arrow from x0,y0 to x0+ox,y0+oy lc rgb "blue" 11

12 set xrange [-2.66:2.66] set yrange [-2:2] plot [t=0:2*pi] cos(t)**3,sin(t)**3 lc rgb "red" Grafico 12. Uguale al grafico precedente con le derivate calcolate nel punto ( , ). t0 = pi/2.2 x0 = cos(t0)**3 y0 = sin(t0)**3 vx = -3*cos(t0)**2*sin(t0) vy = 3*sin(t0)**2*cos(t0) nx = vx/sqrt(vx**2+vy**2) ny = vy/sqrt(vx**2+vy**2) ax = -3*cos(t0)+9*sin(t0)**2*cos(t0) ay = -3*sin(t0)+9*cos(t0)**2*sin(t0) set arrow from x0,y0 to x0+vx,y0+vy set arrow from x0,y0 to x0+nx,y0+ny lc rgb "violet" set arrow from x0,y0 to x0+ax,y0+ay lc rgb "blue" px = nx * (ax * nx + ay * ny) py = ny * (ax * nx + ay * ny) ox = ax - px oy = ay - py set arrow from x0,y0 to x0+px,y0+py lc rgb "blue" set arrow from x0,y0 to x0+ox,y0+oy lc rgb "blue" 12

13 set xrange [-2.66:2.66] set yrange [-2:2] plot [t=0:2*pi] cos(t)**3,sin(t)**3 lc rgb "red" 13

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