Ricorsione e gettoni di due colori Seconda Parte

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1 Ricorion gttoni di du colori Sconda Part Gia vito nlla prima part Nlla prima part i vito com ricavar l funzioni gnratrici di probabilita aociat al proco dl lancio riptuto di un gtton bicolor {RN} ino al vrificari di una qunza trminal di lunghzza m. L funzioni gnratrici ono tat indicat com P() Q() riultano aociat all probabilita dl proco X in am con P{X k} p(k) Q(k) P{X >k} k numro dl lancio in cui trmina la qunza. L funzioni gnratrici ono tat ricavat in funzion dll probabilita p q - p dll ito dl lancio. Il procdimnto uato pr ricavar l funzioni gnratrici tato qullo di ricavar l quazion ricoriva ch lga una qunza di m lanci con la qunza trminal lunga m. Sono tat lncat l funzioni gnratrici P pr qunz trminali di lunghzza 5 con rlativi valori mdi varianz.

2 Ricorion gttoni di du colori - Part cf.nb Coa i amina in quta conda part.- L andamnto dll P in funzion di k pr du cai di qunza trminal : {RRNRR} {RRR};.- I valori di probabilita p(k) la loro rlazion con la famiglia allargata (molto) di Lonardo Piano dtto Fibonacci..- Com dtrminar valori numrici ufficintmnt approimati dll p(k) vitando algoritmi ricorivi. Andamnto di P nl cao di q. trminal {RRNRR} La Funzion gnratric nl cao gnral H-L Hp q p q L p q 5 P() ch con p q divnta P () H-L J 6 N mntr con p Gtton quilibrato 5 0 q divnta 0 P () H-L J 09 N Lo viluppo in ri di 0 5 P ' : Gtton quilibrato

3 Ricorion gttoni di du colori - Part cf.nb Lo viluppo in ri di P () P ' : I valori di p(k) utilizzando la rgola di drivazion riptto a ono: p HkL Lo viluppo in ri di... P ' : P () I valori di p(k) utilizzando la rgola di drivazion riptto a ono: p HkL < Rapprntando in blu i valori di probabilita' pr la monta quilibrata in roo qulli pr la monta quilibrata abbiamo: PHRRNRRL

4 Ricorion gttoni di du colori - Part cf.nb Rapprntando in blu i valori di probabilita' pr la monta quilibrata in roo qulli pr la monta quilibrata abbiamo: PHRRNRRL

5 Ricorion gttoni di du colori - Part cf.nb Andamnto di P nl cao di q. trminal {RRR} La Funzion gnratric nl cao gnral P() H-L Hp p L p ch con p q P () - - mntr con p divnta Gtton quilibrato 0 q divnta 0 P () Lo viluppo in ri di P () Gtton quilibrato P ' : I valori di p(k) utilizzando la rgola di drivazion riptto a ono: p HkL Lo viluppo in ri di... P ' : P ()

6 6 Ricorion gttoni di du colori - Part cf.nb P () I valori di p(k) utilizzando la rgola di drivazion riptto a ono: p HkL < Rapprntando in blu i valori di probabilita' pr la monta quilibrata in roo qulli pr la monta quilibrata abbiamo: PHRRRL

7 Ricorion gttoni di du colori - Part cf.nb I valori di p(k) l ri gnralizzat di Fibonacci Ho laciato pr ultimo il cao di una qunza trminal di lunghzza prch l am di quta P mi ha condotto caualmnt a conidrar la rlazion tra i valori di p(k) i numri di Tribonacci. L intr nato dal confronto tra phkl { } Sri di Tribonacci ch la ri in cui ogni trmin ugual alla omma di uoi tr prdcori partndo con {00} Dividndo ogni trmin dlla ri di Tribonacci pr lvato a k i ottnva allamnt la ditribuzion di probabilita pr qunz trminanti con tr riultati idntici {RRR} o {NNN}. Quto fatto mi ha portato ad approfondir la circotanza anch pr l ri con qunza trminal di lunghzza m di congunza a vdr l ri gnralizzat di Fibonacci comunqu i vogliano chiamar. Qut ri m_nacci hanno in comun il principio di avr ogni trmin omma dgli m prdcori. Evito di riportar calcoli noioi pao ubito ai riultati:. La probabilita ch una qunza di lanci trmini al lancio k con m riultati uguali pari al numro m_nacci divio lvato a k.. Il rapporto tra un numro m_nacci (k) m_nacci(k-} tnd a un valor dato dalla oluzion x di xm (-x) Pr m i ha x ( -x) ch ha oluzioni x { J ± 5 )} il rapporto quindi divina. J 5 N Φ rapporto auro o cotant di Fidia o proporzion pr m la coa gia mno manggvol i ha il riultato J J9 - N J9 N N. Crcar di trovar una prion chiua pr il valor di p(k) riman mpr mno convnint al crcr di m.

8 Ricorion gttoni di du colori - Part cf.nb I valori di p(k) una loro approimazion ragionvol ch viti ricorioni. Pr ottnr un valor approimato dlla p(k) util pr k grandi ho guito quta lina:.- Data la funzion gnratric dl proco in am la pongo nlla forma P() NumHL. DnHL.- S Num() un polinomio in di grado maggior di Dn() Effttuo la diviion polinomial NumHL coniidro il rto di quta diviion. DnHL NumHL Avro in quto modo una nuova prion in cui Num() di grado infrior a DnHL Dn[]..- Trovo l radici dll quazion Dn[]0 iano {... n} dov n il grado di Dn();.- Pongo NumHL DnHL r - r - r -... rn ricavo i valori di - n {r r r... r n}. rk puo r critta com - k.-ogni componnt mnt i ha rk - k k k ponndo k - k Ρ final- ; - k Sotitundo nlla d pandndo in ri: p(k) r k r k r k... rn nk Quta formula fornic il valor atto di p(k) ma un olo trmin puo fornir una approimazion molto buona Supponiamo ch ia una radic ch ia minor in valor aoluto di tutt l altr; Allora il primo dnominator il piu piccolo quando k crc gli altri trmini divntano via via mno influnti. In quto cao avrmmo p(k) ~ r k. - Empio baato ulla qunza trminal {RRNRR} P() H-L Ip -p M p 5 -p - p p 5 p 5 poich il numrator di grado maggior dl dnominator - P() NumHL DnHL - - aumiamo 5 I M I M ä

9 poich il numrator di grado maggior dl dnominator Ricorion gttoni di du colori - Part cf.nb - P() NumHL DnHL - - aumiamo 5 I M I M ä ä ä ä r ä r ä r0.065 r ä r ä La componnt ch ci intra la cui panion in ri fino al 0. mo trmin fornic i valori approimati: { } I vri valori di p(k) ono: { } apprhkl-phkl Pr ogni trmin dfiniamo l rror com phkl rror(k) 9ComplxInfinity ComplxInfinity ComplxInfinity ComplxInfinity pr k0 l rror di Un riultato ottimo. in grafico ccttuati i primi trmini ch vanno all infinito:

10 colori Ricorion gttoni di du - Part cf.nb pr k0 l rror di Un riultato ottimo. in grafico ccttuati i primi trmini ch vanno all infinito: