MATEMATICA CORSO A I COMPITINO (Tema 1) 18 Gennaio 2010
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1 MATEMATICA CORSO A I COMPITINO (Tma 1) 18 Gnnaio 010 TESTO E SOLUZIONI 1. Una oluzion è un itma omogno prodotto dallo cioglimnto di una otanza olida, liquida o gaoa (oluto) in un opportuno liquido (olvnt). La concntrazion di una oluzion, pra olitamnt in prcntual, è il rapporto tra la maa dl oluto qulla dlla oluzion. a) 5 g di al vngono diciolti in 175 g di acqua; quanto val la concntrazion dlla oluzion? b) Aggiungndo g di olvnt ad una oluzion al 0% i ottin una oluzion final al 8%; calcola la maa inizial dlla oluzion. Indichiamo con il oluto con S il olvnt. a) Abbiamo 5 g S 175 g quindi la concntrazion è data da c S % b) Indichiamo la maa inizial dlla oluzion S + con x, allora x 0 x 5 x + 8 Uguagliando l du quantità i ottin (x + ) 5. da cui x 5 (x + ) 5 5 x x + 00 x 00/ gr. Un acchtto contin 4 pallin Ro, 6 pallin Vrdi 8 pallin Blu; i traggono 3 pallin nza rima. 1
2 a) Calcola la probabilità ch tutt 3 iano Ro. b) Calcola la probabilità ch iano Blu 1 Vrd. c) Calcola la probabilità ch almno 1 ia Roa. Si hanno 18 pallin in total quindi P(R) 4 18 P(V ) 6 18 P(B) 8 18 a) b) P(3R) 4 18 P(B 1V ) ( ) c) P(almno 1R) 1 P(0R) In un laboratorio i miurano l lunghzz dll fogli di un dato albro tali lunghzz ono compr tra 8 cm 16 cm. La dviazion tandard può r 3 cm? Giutifica la ripota. S x i ono l miur ffttuat i ha 8 x i 16 i quindi 8 < x i < 16 x max x min 8. La dviazion tandard è una miura dlla diprion di dati intorno al valor mdio può miurar 3 cm. 4. Riolvi la gunt diquazion Digna poi l inim S T dov 1 x x x S {(x, y) R R : y 1 x } T {(x, y) R R : y x x} Poiamo procdr analiticamnt o graficamnt (vdi Figura 1); cgliamo la prima trada. S x 1 allora 1 x x x x x x 1 + 5
3 da cui gu (ricorda ch x 1) 1 5 x 1 S x > 1 allora x 1 x x x 3 x da cui gu (ricorda ch x > 1) x < x La oluzion complta è allora (com puoi vdr in Figura 1) 1 5 x Figura 1: Grafici dll funzioni y 1 x y x x. L inim S T è qullo compro tra i du grafici 5. In una data popolazion un alll dominant è rponabil di una crta malattia M. Sia 0.1 la frqunza di tal alll nlla popolazion upponiamo ch la popolazion ia in quilibrio di Hardy-Winbrg. a) Qual è la probabilità ch un individuo pro a cao nlla popolazion ia afftto dalla malattia M? b) Qual è la probabilità ch un individuo pro a cao nlla popolazion ia afftto da M, apndo ch il padr è afftto da M la madr è ana? c) Sapndo ch, in una coppia con 3 figli, il padr è afftto da M la madr ana, qual è la probabilità ch almno un figlio ia ano? 3
4 Dtto A l alll dominant (rponabil dlla malattia M) a l alll rcivo, la frqunza dll alll A è p 0.1, mntr qulla dll alll a è q 0.9, quindi l frqunz gnotipich ono dat da AA p 1% Aa p q 18% aa q 81% a) Snza informazioni aggiuntiv la probabilità ch un individuo pro a cao nlla popolazion ia malato è pari alla frqunza dl gnotipo AA più qulla dl gnotipo Aa: 1% + 18% 19% b) Si dv qui calcolar una probabilità condizional P(F M P M M S ) dov F M ta pr figlio malato, P M ta pr padr malato M S ta pr madr ana. S il padr è malato (Aa o AA) la madr è ana (aa) il figlio arà malato il padr porta l alll A: P(F M P M M S ) P(F M P M M S ) P(P M )P(M S ) ( )/ c) Siamo nlla ituazion dl punto b): padr malato madr ana. La probabilità ch almno un figlio ia ano i può ottnr dalla probabilità ch tutti tr i figli iano malati: P(almno 1 ano) 1 P(3 malati) 1 6. Sia data la funzion f(x) a x + b x con i paramtri a, b R a, b 0. ( ) a) Calcola i paramtri a b apndo ch f( 1) 6 f( 5) 10. b) Dtrmina l prion plicita dlla funzion g(x) ottnuta tralando il grafico di f(x) di 1 unità vro initra poi moltiplicando pr l ordinat. 4
5 c) Data la funzion con i paramtri calcolati nl punto a) trova i valori di x pr i quali f(x) 6. a) L inim di dfinizion dlla funzion, qualunqu iano i paramtri (uppoti ntrambi divri da zro), è R {0}. Imponndo l condizioni f( 1) 6 f( 5) 10 i arriva al itma linar di du quazioni nll du incognit a b { a + b 6 5 a + b/5 10 ch ha com oluzion a 1 b 5 (i può riolvr, ad mpio, pr otituzion). La funzion crcata è quindi f(x) x + 5 x b) La prima traformazion da applicar è x x + 1 ottnndo la funzion h(x) (x + 1) + 5/(x + 1) ; tnndo poi fia la funzion moltiplicando pr l ordinat, i ha un ricalamnto ch porta alla traformazion h(x) h(x)/ ottnndo g(x) 1 [ ] (x + 1) 5 + (x + 1) S la moltiplicazion pr dll ordinat fo tata intrprtata com moltiplicazion di valori dlla funzion avrmmo avuto [ ] g(x) (x + 1) 5 + (x + 1) c) Imponndo f(x) 6 i ha x + 5 x 6 x x x x x 4 6 x +5 0 (x 1)(x 5) 0 (x 1)(x+1)(x 5)(x+5) 0 x 5 1 x < 0 0 < x 1 x 5 5
MATEMATICA CORSO A I COMPITINO (Tema 2) 18 Gennaio 2010
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