IL MODELLO DI REGRESSIONE

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1 IL MODELLO DI REGRESSIONE Itroduzoe Problema: verfcare l essteza d ua relazoe fra ua data varable (varable edogea o dpedete) ed ua o pù altre varabl (varabl esplcatve o dpedet). Il legame è del tpo cause-effetto che suppoamo d tpo udrezoale. Idchamo co Y la varable dpedete e co X, X,..., X k le k varabl esplcatve Y = f(x, X,..., X k ; β) ove f( ) è ua fuzoe ota a meo del vettore d parametr β: X, X,..., X k le cause Y l effetto β vettore cogto f( ) fuzoe ota D solto su Y, oltre alle k varabl esplcatve (X, X,..., X k ), eserctao la loro flueza ua sere d mcro-cause, compres gl evtabl error d msurazoe de feome. Queste mcro-cause possoo essere rappresetate da ua varable casuale o osservable: e

2 Nel seguto supporremo che Y è cotua. Esempo R l reddto dvduale, C cosum: Lezoe 6 Y = f(x, X,..., X k ; β) + e C = f(r) + e cosum dvdual soo ua qualche fuzoe del reddto dvduale a cu s somma ua varable scarto che può essere detfcata co dvers gust, la dversa relgoe, error d msurazoe ecc. D domada d u bee, P prezzo del bee, R reddto del cosumatore, P c prezzo bee complemetare, P s prezzo u bee sosttutvo: D = f(p, R, P c, P s ) + e CA cosumo d carburate e CI cldrata d date autovetture: CA = f(ci) + e. Esplctamo f( ) e c poamo così u ambto parametrco: le uche cogte soo parametr β preset el modello. Nel seguto supporremo f( ) leare.

3 Il modello d regressoe leare La costruzoe del modello d regressoe () è ecessaro dvduare l feomeo su cu s vuole costrure l modello; () dvduare la varable dpedete Y e quelle esplcatve (X, X,..., X k ), qud s raccolgoo formazo statstche su (Y; X, X,..., X k ); (3) esplctare la forma fuzoale f( ); (4) stmare parametr cogt modo quato meo cosstet; (5) verfcare che l modello e stmato sa accettable sottopoedolo ad ua sere d test; (6) usare l modello a f terpretatv, prevsv, descrttv, d cotrollo ecc.

4 Lezoe 6

5 Il modello d regressoe leare Modello d regressoe leare semplce Suppoamo che sa Y = β o + β X + e β o + β X rappreseta l equazoe d ua retta co β 0 è l tercetta, β l coeffcete agolare. Per stmare de parametr cogt del modello è ecessaro: (a) avere formazo sulle due varabl osservabl Y ed X, (b) formulare potes sulla varable casuale o osservable e. Cosderamo l campoe casuale d coppe estratte: (x, y ), (x, y ),..., (x, y ). Se l modello è vero s avrà y = β o + β x + e y = β o + β x + e... y = β o + β x + e co e la varable casuale scarto o osservable assocata alla -esma.

6 Lezoe 6 Esempo Nel caso del cosumo fuzoe del reddto C = β o + β R + e avedo a dsposzoe le coppe d osservazo (c, r): c = β o + β r + e, =,,..., Formulato l modello e otteute le coppe d osservazo è ecessaro stmare parametr cogt. Per poter far questo bsoga formulare le potes classche del modello d regressoe: () l modello è perfettamete specfcato; () la varable X è determstca; (3) E(e ) = 0 per =,,.., ; (4) var(e ) = σ e per,,..., ; (5) cov(e, e j ) = 0 per j=,,...,; (6) e ~N(0, ),,,...,, e soo dpedet fra d loro. σ e

7 Il modello d regressoe leare σ e I parametr da stmare soo tre: β o, β,. Se l modello d regressoe leare fosse stato co le tre varabl esplcatve X, Z, V, avremmo dovuto avere quadruple d formazo (y, x, z, v ),,,...,: y = β o + β x + β z + β 3 v + e co l agguta dell ulterore potes che fra le x, z, v o v sao legam lear, metre parametr da stmare sarebbero cque: β o, β, β, β 3, Rtorado al caso semplce, s ha E(Y ) = β o + β x,,,..., Y, meda, è ua fuzoe leare della X. Rsulta: var(y ) = var(e ) = σ e,,,..., σ e. che mplca Y ~ N[β o + β x, σ e ],,,..., coè le Y soo ormal dpedet.

8 Lezoe 6 La stma de parametr del modello Dato l modello d regressoe leare semplce, stmamo due parametr β o e β co Metodo de Mm Quadrat. Cosderamo la rappresetazoe grafca delle coppe d valor osservat (x, y ),,,...,. Il problema è d adattare agl put la retta ottmale. I put passao fte rette e quella ottmale deve essere scelta secodo ua qualche fuzoe obettvo.

9 Il modello d regressoe leare Il metodo de mm quadrat, sgla OLS (Ordary Least Squares), scegle, fra le fte rette possbl, quella che mmzza la somma de quadrat degl scart. Dalla relazoe s rcavao gl scart: y = β o + β x + e,,,..., e = y - β o - β x,,,..., e qud la somma de loro quadrat: e = = ( y βo β x ) Fra le fte coppe (β o, β ) e qud fra le fte rette possbl sceglamo quella: e = ( y β β x ) = mmo(βo, β ) o

10 Lezoe 6 La soluzoe d mmo per otteere le stme d β o e β è prettamete matematco- Per trovare questo mmo basta cosderare le dervate prme d e rspetto alle due cogte βo e β, uguaglarle a zero, rsolvere l relatvo sstema d equazo lear. Pù precsamete: βo ( y βo β x ) = ( y βo β x )( ) = = - ( y βo β x ) = 0 β ( y βo β x ) = ( y βo β x )( x ) = = - ( y βo β x ) x = 0.

11 Il modello d regressoe leare Dervamo l seguete sstema leare elle due cogte β o e β : che posto m xy = x = (y (y β β x o o β β x y m x = x ) = 0 x )x = 0 y = y x può essere scrtto y βo β x = 0 m β xy x β m x = 0

12 Lezoe 6 βo = y βˆ x m xy (y β x)x = β mx Posto S xy = m xy - : covaraza campoara d (X, Y) x y S x = m x - x : varaza campoara d X s ottee β0 = y β S = β S Rsolvedo: x xy x ˆβ = Sxy S x, ˆβ o = y- β ˆ x

13 Il modello d regressoe leare L equazoe della retta d regressoe che mmzza la somma de quadrat degl scart è: ŷ = βˆ + ˆ x ο β (a) la retta d regressoe passa sempre per l puto medo ( x, y ) (b) corrspodeza d cascua x osservata s ha la relatva y stmata stuata sulla retta d regressoe: ŷ βˆ ˆ 0 + β x =,,.., (c) da y e da ŷ possamo dervare gl scart stmat ê: ê y - ŷ =,,..,

14 Lezoe 6 (d) è presumble che le stme così otteute abbao le stesse propretà della stma della meda; (e) la somma degl scart stmat è sempre ulla.

15 Il modello d regressoe leare Ua mmedata mplcazoe d questa uguaglaza è y = ŷ e dvdedo ambo membr per segue che la meda campoara delle y è uguale alla meda campoara delle ŷ ; (f) le stme βˆ o e βˆ soo fuzo delle sole osservazo campoare e al varare del

16 Lezoe 6 campoe varao e descrvoo due varabl casual. Le propretà d ˆβ o e ˆβ soo dervate dal comportameto d tal v.c. Esempo Su 7 autovetture a gasolo, scelte a caso da u dato parco macche, è stato verfcato l cosumo, per mgla, prma d u determato terveto (varable X) e dopo l terveto (varable Y) otteedo le 7 coppe d rsultat: (7.; 8.3) (.6; 0.8) (9.5; 0.9) (9.;.) (.9;.7) (8.7; 8.6) (0.3;.9) s vuole verfcare se fra X ed Y esste l legame leare : Y = β o + β X + e I questo caso otamo che l legame logco è del tpo X causa Y, fatt Y è otteuto dopo X. Ioltre, se costruamo la rappresetazoe a scatter (X, Y) s ha:

17 Il modello d regressoe leare Da questo grafco deducamo che l legame leare potzzato è abbastaza plausble. Icalcol possoo essere orgazzat come ella tabella seguete. x y x x y ŷ ê = y ŷ ê

18 Lezoe 6 Dalla tabella dervamo: x = = y = = m x = = m xy = = S x = m x - x =.406 S xy = m xy - =.9008 x y che c permettoo d otteere le stme ˆβ = Sxy S x = ; ˆβ o = y - βˆ x Dervamo le stme della varable dpedete ŷ ˆβ o + ˆβ x ŷ βˆ o βˆ 7 + x7 = ŷ ˆ ˆ = βo + β x= (0.7885)7.0 = ŷ βˆ ˆ = o + β x= (0.7885).6 = = = (0.7885)0.3 =

19 Il modello d regressoe leare Da valor stmat ŷ (peultma coloa della tabella sopra rportata) dervamo le stme de resdu ê = y - ŷ ed otteamo la stma d σ e σ ˆ e = = Y Y Y^ X I pratca, calcol sopra rportat ed relatv grafc o vegoo fatt maualmete, ma s utlzzao pacchett software statstco ecoometrc.

20 Lezoe 6 Il modello d cu voglamo stmare parametr sa y = β o + β x + β z + β 3 v + e,,,.., è ecessaro rsolvere l seguete problema d mmo ( y βo β x β z β3 v ) e = = mmo(β o, β, β, β 3 ) che s ottee rsolvedo rspetto a (β o, β, β, β 3 ) l seguete sstema o omogeeo d quattro equazo lear che ammetterà, sotto l potes che fra le tre varabl esplcatve o v sao perfett legam lear, ua ed ua sola soluzoe.

21 Il modello d regressoe leare β β = β β β = β β β = β β β = β = = = = = = = = x (y e x (y e x (y e x (y e = β β = β β = β β = β β 0 )v v z 0 )z v z 0 )x v z 0 ) v z

22 Lezoe 6 Esempo NV MTR MRT CPO NVˆ ê Pemote Valle d'aosta Lombarda Treto-Alto A Veeto Frul-Ve. Gu Lgura Emla-Romaga Toscaa Umbra Marche Lazo Abruzzo Molse Campaa Pugla Baslcata Calabra Scla Sardega Itala

23 Il modello d regressoe leare Nat Vv (NV) fuzoe d: Tasso Matrmoaltà (MTR), Tasso d Mortaltà (MRT), Tasso Rcerca Prma Occupazoe (CPO) el 993. Le varabl sopra rportate soo state otteute tramte le seguet: NV = umero at vv el popolazoe meda el993 MTR = MRT = CPO = umero matrmo el popolazoe meda el993 umero mort el popolazoe meda el993 cerca occupazoe el popolazoe el 993 Osservamo che utlzzamo dat relatv e o assolut vsto che voglamo capre se e- sste u legame fra NV (l effetto) e MTR, MRT, CPO (le cause) e questo ha seso solo se elmamo la dversa umerostà d popolazoe esstete fra le dverse rego talae.

24 Lezoe 6 NV = β o + β MTR + β MRT + β 3 CPO + e Da u puto d vsta logco c attedamo che: (a) fra Matrmo e Nat vv v sa u legame leare postvo (β >0); (b) l legame sa egatvo fra Mort e Nat vv (β < 0); (c) samo molto scettc a potzzare u legame dretto ed mmedato fra rcerca d prma occupazoe e Nat vv (β 3 > 0). Notamo la forte dcotoma fra le rego del cetro-ord e quelle del sud. I legam a coppe (NV, MTR), (NV, MRT), (NV, CPO) soo rportat egl scatter NV 0 NV 0 NV

25 Il modello d regressoe leare Le stme de parametr co l metodo de mm quadrat soo: βˆ ˆ ˆ o =.456; βˆ =.9073; β= ; β3 = 0.03 ed l sego de valor stmat è quello atteso. Queste stme c hao permesso d otteere valor stmat d NV N Vˆ = MTR MRT CPO I valor d NVˆ e d ê soo rportat elle ultme due coloe della tabella NV 0 NV ^ NV NV ^

26 Lezoe 6 E ecessaro stmare ache σe, la varaza comue delle varabl casual e : Ua stma accettable d σ e el caso del modello d regressoe leare semplce è s = σˆ e = ê. Co ragoamet del tutto sml s ottee la stma d σ e el caso d modello d regressoe leare multplo s = 4 ê ; s = 9.60 =

27 Il modello d regressoe leare Propretà delle stme de mm quadrat Le stme otteute soo stme meda e dovrebbero possedere le stesse propretà della stma della meda: o dstorsoe e cossteza: (x x)x E( ˆβ o ) = βo + E(e ) = β o S x E( ) = β ( x x) S x ˆβ + - E(e ) = β fatt soo o dstorte. Rcordado quato detto per le combazo d varabl casual correlate co varaza costate s ha var( ˆβ o ) = (x x)x S x var(e ) = σ e m x S x teedo coto che S x = mx - x ; allo stesso modo

28 Lezoe 6 var( ˆβ ) = ( x x) S x var(e ) = σ e S x e queste stme soo cosstet. Co ua procedura smle s può dmostrare che ache s è o dstorta e cosstete per σ e. Le stme delle varaze de parametr stmat soo date rspettvamete da s βo m s β = s x, = s S x S x Nel caso del modello d regressoe multpla le stme che s ottegoo soo acora BLUE, ma gl svlupp formal soo pù compless. I tal caso l calcolo umerco vee fatto solo tramte computer utlzzado l approprato software.

29 Esempo Il modello d regressoe leare Nel caso del prmo esempo le stme d s e s soo rspettvamete s β o β o β β o = 6.085; s = 0.43; s = 0.07; = β β β s = 5.098; s = Nel caso del secodo esempo le stme s soo rspettvamete β s β3

30 Lezoe 6 La verfca del modello d regressoe Verfcare se, co dat a dsposzoe, effettvamete tutte le varabl esplcatve, o solo alcue d queste, s possoo statstcamete cosderare cause della varable dpedete. Questa verfca può essere eseguta utlzzado strumet dvers. Qu d seguto e aalzzeremo solo tre: test su parametr stmat, u dce d accostameto globale del modello a dat osservat, alcue aals su resdu. Perché u modello sa cosderato accettable e qud doeo ad essere utlzzato è ecessaro che super tutte le verfche. Se qualcua d tal verfche o è superata è ecessaro rformulare l modello. Test su parametr del modello Dato l modello e la stma sottoporre a test y = β o + β x + e ŷ = ˆβ o + ˆβ x H o : β o = 0 verso H : β o 0 H o : β = 0 verso H : β 0

31 Il modello d regressoe leare Se s dovesse accettare H o : β = 0 vorrebbe dre che la varable X o esercta alcua flueza su Y e l modello va rformulato. Da u puto d vsta tutvo samo portat a rfutare H o se l valore stmato ˆ è grade e lotao da zero, samo portat ad β accettare Ho se βˆ è pccolo e vco a zero. Sotto la codzoe le varabl casual scarto e soo dpedet e dstrbute come ua ormale rsulta: ˆβ ~ N β ; ˆβ ~ N σe ; o Sx β o e σ ; m S x x La dstrbuzoe d ˆβ e ˆβ o, al varare del campoe, è smle (a meo d ua costate moltplcatva della varaza) a quella della meda campoara x sotto l potes d ormaltà: X ~ N σ μ;,

32 La statstca test per è Lezoe 6 H o : β o = 0 verso H : β o 0 t oc = βˆ o s βo = βˆ o s S m x x S rfuta H o al lvello α se rsulta: t oc > t (-; α/) è La statstca test per H o : β = 0 verso H : β 0 t c = βˆ s β βˆ = s S x S rfuta H o al lvello α se t c > t (-; α/)

33 Il modello d regressoe leare Per l modello d regressoe leare multplo la logca del test è la stessa, ma o soo pù valde le formule vste. I tal caso, la verfca d mplca ua statstca test del tpo H o : β = 0 verso H : β 0, = 0,,...,k t c = βˆ s β = βˆ s δ x, = 0,,...,k co δ x ua complcata quattà postva fuzoe de valor osservat sulle varabl e- splcatve calcolable umercamete. S rfuterà H o al lvello α se rsulta t c > t (-k-; α/) = 0,,...,k. Esempo

34 Lezoe 6 Rpredamo l caso rportato ell esempo su cosum e costruamo test: Abbamo gà vsto che è H o : β = 0 verso H : β 0, =0, e qud ˆβ o = , ˆβ = , s = 5.098, s = t oc = =.006 e t c = = β o β ed essedo t (5;.5%) =.57, al lvello α=5%, o s può rfutare l potes H o per =0, ma possamo rfutarla per =. Il modello d regressoe va rformulato: Y = β X + e I tal caso s otterrà ˆβ = e s = che mplcao β t c = =

35 Il modello d regressoe leare e rfutamo acora l potes H o che β sa par a zero. I deftva, l modello d regressoe prvo d tercetta potrebbe essere quello doeo per descrvere l feomeo Y fuzoe d X. Osservamo che u modello d regressoe accettable deve avere almeo 5 grad d lbertà co g = -k-. I questo caso grad d lbertà soo solo cque e d cosegueza rsultat soo molto stabl. Rpredamo ora l esempo su at vv co tre varabl esplcatve: ˆβ o βˆ ˆβ ˆβ 3 β o =.456; =.9073; = ; = 0.03 β s = 6.085; s = 0.43; s = 0.07; s = β β 3 rcavamo t oc =.456 = 0.53, t c = =.93, t c = =., t 3c = =.36 rcordado che è = 0, al lvello α = 5%, avremo t (6;.5%) =. pertato o pos-

36 Lezoe 6 samo rfutare H o : β = 0 per 0, 3: sa β o che β 3, l coeffcete d COP, o soo statstcamete dvers da zero al lvello del 5%. Rformulamo l modello: e otteamo le stme: NV =β MTR + β MRT + e ˆβ =.487; ˆβ = rsulta t c = β β s = ; s = = 7.85; t c = = 5.0 metre è t (8;.5%) =.0 ed etramb cas s può rfutare l potes H o e affermare che due parametr soo statstcamete dvers da zero.

37 Il modello d regressoe leare Da questo secodo caso possamo trarre alcue utl cosderazo: (a) dato che è corr(nv; CPO) = tale legame è d tpo spuro essedo evdetemete gà coglobato MTR; (b) l esclusoe d ua varable può portare a rsultat molto dvers ella stma de parametr, fatt la stma d β passa da.9073 a.487 (c) term d accostameto l esclusoe o l clusoe della varable o sgfcatva CPO o crea grad dffereze, come s può verfcare cotrollado l grafco seguete costruto co β o = β = 0 e quello vsto quado erao preset tutt e quattro parametr NV 9 8 NV ^

38 Lezoe 6 Msura della botà d adattameto Voglamo calcolare u dce che c dca fo a che puto l modello d regressoe leare stmato, ella sua globaltà, approssma dat osservat. Le stuazo estreme soo schematzzate elle fgure seguet: ) Caso ottmale ) Caso peggore S costrusce u dce d correlazoe multpla, R, e msura l testà del legame leare esstete fra la varable dpedete Y e quelle esplcatve X, X,..., X k.

39 S dmostra che (y y) Il modello d regressoe leare = ê + (ŷ y) o equvaletemete S y = S ê + S ŷ Se dvdamo ambo membr dell ultma uguaglaza per S y s ottee = ê y S S ŷ + S S y R = S S ŷ y = - S S ê y msura la percetuale della varabltà d Y spegata dal modello d regressoe

40 Lezoe 6 0 R Aalzzamo due cas estrem: R = 0 ed R =. Caso d R = 0 E equvalete a che equvale a (ŷ y) = 0 ( ŷ y ) = ( ŷ y ) =... = ( ŷ y)= 0 da cu ŷ = ŷ=... = ŷ= y tutt valor terpolat soo ugual fra d loro e cocdoo co la propra meda.

41 Il modello d regressoe leare ȳ S verfca se e solo se rsulta ˆβ = 0 e qud ˆβ o = y, ma questo vuol dre che al varare d X la Y, meda, o vara e l modello va rformulato. Queste cosderazo possoo essere estese al caso multplo co k varabl e- splcatve. Ifatt, s può dmostrare che R = 0 è equvalete a ˆ = ˆ =... = ˆ = 0 e β β qud βˆ o= y. Questo vuol dre che, meda, essua delle k varabl esplcatve X, X,..., X k esercta ua flueza su Y e l modello va rformulato. βk

42 Lezoe 6 È possble elaborare u test delle potes: H o : β = β =... = β k = 0 H : almeo uo de β 0, la statstca test ottmale è: F c = R / k = ( R )/( k ) ( k ) S k S ŷ ê che, sotto H o, s dstrbusce come ua v.c. F (k; -k-). Questo vuol dre che: S rgetta l potes H o al lvello α se: F c > F (α; k; -k-)

43 Caso d R = R = è equvalete a S ê= 0, coè: Il modello d regressoe leare ê e s verfca se e solo se rsulta ê = ê=... = ê = 0 = 0. ^y = ^ β + β ^ x ο Questo rsultato vale, co detca terpretazoe, ache quado s hao k varabl esplcatve.

44 Lezoe 6 Nelle pratche applcazo pù R è vco a zero, pù l modello globalmete è da rfutare. Per esempo, se ua data applcazoe rsulta R = 0.86 vuol dre che l 86% della varaza d Y è spegato dal modello d regressoe leare, metre l restate 4% è spegato da resdu. Esempo Rpredamo l esempo su cosum Y = β X + e tal caso s ottee R = 0.59: l 59.% della varabltà d Y è spegato dal modello d regressoe utlzzato, l restate 40.8% è dovuto a resdu. Rpredamo l esempo su at vv, samo arrvat alla coclusoe che abba seso l modello NV = β MTR + β MRT + e tal caso s ottee R = 0.846: la varabltà d NV è spegata per l 84.6% dal modello suddetto, metre l restate 5.4% è spegato da resdu.

45 Il modello d regressoe leare R è ua geeralzzazoe del coeffcete d correlazoe gà aalzzato. Pù precsamete el caso della regressoe leare semplce R cocde co la correlazoe stmata al quadrato: R = r = S xy S x S y Aals de resdu Se e resdu stmat v è acora ua qualche struttura l modello selezoato o resce a catturare completamete l evoluzoe del feomeo e qud va rformulato, r-stmato e r-testato. Prmo grafco I u sstema d ass cartesa s rportao le coppe d put (, ê ) se e resdu stmat v è ua qualche ulterore struttura questa dovrebbe emergere dal relatvo grafco. Nella fgura che segue è rportato l tpco caso cu fra resdu esste ua ulterore struttura che l modello o è ruscto a catturare.

46 Lezoe 6 Secodo grafco I u sstema d ass cartesa s rappresetao le coppe ( ê, ê ), se e resdu v è ua qualche struttura dovrebbe emergere dal grafco ed l relatvo modello dovrebbe essere rformulato.

47 Il modello d regressoe leare I questo caso s può otare come la maggor parte de put sao cocetrat el prmo e el terzo quadrate. Terzo grafco Costrure uo scatter rappresetado le coppe d osservazo ( ê, y ). Se l modello utlzzato o è doeo a rappresetare la varable dpedete Y, ello scatter deve essere vsble ua qualche struttura.

48 Lezoe 6 Le due fgure qu sopra rportate s rferscoo agl scatter ( ê, NV) e ( ê, y ) coess alle stme de modell d regressoe degl esemp precedetemete vst.

49 Il modello d regressoe leare Modello d regressoe o leare Modell o lear elle esplcatve Questo è l caso pù semplce da affrotare dato che la stma de suo parametr e la relatva verfca o s dscosta sostazalmete da quello leare gà cooscuto. Per essere pù char suppoamo che sa Y = β o + β e X + β V + a co a è la varable casuale scarto o resduo. Come s può otare, questo modello è leare e parametr cogt, ma è o leare elle due varabl esplcatve X e V. Se poamo e X = X*, V = V* coè lavoramo sull espoezale della varable X e su quadrat della varable V, otteamo l uovo modello Y = β o + β X* + β V* + a che rsulta leare e parametr e elle uove varabl esplcatve X*, V*.

50 Lezoe 6 Modell o lear ma learzzabl I molt cas u modello o leare e parametr può essere rcodotto a quello leare co ua semplce trasformazoe mootoa. Esemp: Y = β o e (β X + β V) a Y = β o X β V β a Y = β + β X o + a Quest modell possoo essere rcodott faclmete alla forma leare: log(y) = log(β o ) + β X + β V + log(a) log(y) = log(β o ) + β log(x) + β log(v) + log(a) = βo +β Y X + a

51 Il modello d regressoe leare Modell o learzzabl Esstoo molt modell d regressoe o lear e o lea rzzabl. Esempo: Y = β o + X β + V β + a Per procedere è ecessaro utlzzare ua stma o leare de mm quadrat: [ - βo y ] β β - X - V = m(β o, β, β ) I tal caso alcu degl strumet d verfca del modello o soo pù vald.

52 Esempo Lezoe 6 Captale (CAP), Lavoro (LAV), Fatturato (FT) della produzoe, a prezz costat, d be d abbglameto dal 980 al 000 Itala CAP LAV FT

53 Il modello d regressoe leare cap ft 0 00 lav Adattare ua fuzoe d produzoe o leare: FT t = β o CAP β t ( β t LAV + e ) t I rsultat della stma soo: Stma coeff Errore ST t c Prob. β o β R Meda d FT S.E S.D. d FT SSR.0E+0

54 Lezoe 6 Etramb parametr soo da accettare ed l valore d R è molto elevato. Osservat Stmat resdu Come s può otare, e resdu è presete ua compoete cclca che rede l modello o accettable. Per catturare questo aspetto del feomeo s è cosderato l modello: FT t = β ( β ) t LAV βo CAP t + et e = φ t + φ et + a t e t

55 Il modello d regressoe leare co a t è la uova varable casuale errore. La stma o leare de mm quadrat è Coeffcet Std. Error t-statstca Prob. β o β φ φ R Meda FT S.E S.D. d FT SSR.78E+09 Tutt parametr stmat soo statstcamete dvers da zero e R è molto elevato: questo modello potrebbe essere preferble a quello precedetemete. Osservat Iterpolat resdu

56 Lezoe 6 Modello d regressoe forma matrcale Il modello d regressoe leare può essere rscrtto utlzzado la otazoe matrcale. Cosderamo l caso cu v soo due sole varabl esplcatve: la X e la V: y = β o + β x + β v + e y = β o + β x + β v + e... y = β o + β x + β v + e y y y = + β β β o v v v e e e x x x y = X β + e

57 Il modello d regressoe leare Il modello d regressoe leare s può sempre scrvere: y = X β + e y ed e soo due vettor d elemet, la matrce X ha rghe e (k+) coloe, l vettore β ha (k+) coeffcet da stmare. Per le potes fatte sul modello d regressoe (X è determstca metre E(e) = 0 ) rsulta E(y) = X β. Idchamo co A - l versa d ua matrce quadrata, coè quella per cu s ha AA = I, ove I dca la matrce detca composta da tutt uo sulla dagoale prcpale e zero altrove, e co A' la trasposta d ua matrce qualsas. Premoltplcado ambo membr dell ultma espressoe per X' s ottee s rcava la soluzoe X'E(y) = (X'X)β β = (X'X) - X'E(y)

58 Lezoe 6 Se al posto d E(y), che è cogto, sosttuamo ua stma, partcolare valor osservat y, s ottee la stma del vettore de parametr: βˆ = (X'X) - X'y questa, per costruzoe, è ua stma meda e qud mmzza la somma de quadrat degl scart ed ha tutte le propretà della stma della meda. Allo stesso modo s ha che: - l vettore delle y stmate è dato da: ŷ= X βˆ - l vettore degl scart stmat è dato da: ê= y - ŷ σ e - la stma o dstorta d è data da: s = eˆ ' eˆ k - l coeffcete d correlazoe multpla è: R = ( yˆ ( y y)' ( yˆ y)' ( y y) = - y) eˆ' eˆ ( y y)' ( y y)

59 Il modello d regressoe leare - la matrce delle varaze e covaraze d βˆ è: var( βˆ )= σ e (X'X) -. La geeralzzazoe degl altr rsultat llustrat e paragraf precedet s ottee co procedmet sml rcorredo a ot rsultat d algebra leare.