Indice generale. Prefazione

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1 Prefazione vii 1 Classificazione dei sistemi e dei modelli Introduzione Principi di base della teoria dei sistemi e del controllo I concetti di sistema e di modello Il concetto di stato Il concetto di controllo I sistemi ad eventi discreti Caratteristiche dei sistemi dinamici ad eventi discreti Un esempio di SED: il sistema a coda Modellazione di sistemi ad eventi discreti I modelli ad eventi discreti logici I modelli ad eventi discreti temporizzati I sistemi ibridi 14 Bibliografia 15 2 Sistemi ad eventi discreti logici Linguaggi formali Alfabeti e parole Operatori sulle parole Linguaggi Operatori sui linguaggi Automi finiti deterministici (AFD) Definizione di automa finito deterministico Linguaggi di un automa finito deterministico Automi finiti non deterministici (AFN) Definizione di automa finito non deterministico Linguaggi di un automa finito non deterministico Proprietà degli automi Raggiungibilità e blocco Automi come riconoscitori di sequenze Equivalenza fra automi deterministici e non deterministici Minimizzazione di un AFD Modellazione mediante automi Modelli di sistemi elementari 44

2 x Modelli deterministici e non deterministici Sintesi modulare Espressioni regolari (ER) Equivalenza fra espressioni regolari e automi Espressione regolare equivalente a un automa deterministico Automa non deterministico equivalente a una espressione regolare Linguaggi regolari e altre classi di linguaggi formali Automi con ingressi ed uscite Macchina di Moore Macchina di Mealy 63 Esercizi 64 Bibliografia 68 3 Sistemi ad eventi discreti temporizzati Automi temporizzati Automi temporizzati deterministici Automi temporizzati stocastici Automi markoviani Catene di Markov Catene di Markov a tempo discreto Catene di Markov a tempo continuo Approssimazione di una CMTC con una CMTD Catene di Markov nascita-morte Elementi di teoria delle code Dinamica e prestazioni Classi particolari di code Reti di code markoviane 129 Esercizi 136 Bibliografia Reti di Petri posto/transizione Definizione di rete e sistema di rete Struttura delle reti posto/transizione Marcatura e sistema di rete Abilitazione e scatto Equazione di stato e proprietà dinamiche elementari Modellazione con reti di Petri Strutture elementari Esempi di modellazione Sintesi modulare Analisi mediante grafo di copertura Grafo di raggiungibilità Albero e grafo di copertura Proprietà comportamentali Analisi mediante equazione di stato Analisi basata sulla matrice d incidenza Vettori invarianti, crescenti e decrescenti Calcolo dei P-invarianti 188

3 xi Analisi della raggiungibilità mediante P-invarianti Proprietà strutturali Classi di reti di Petri posto/transizione Reti ordinarie e pure Reti acicliche Macchine di stato Grafi marcati Reti a scelta libera Confronto fra reti di Petri e automi finiti 203 Esercizi 204 Bibliografia Reti di Petri temporizzate Temporizzazione e concetti di base Reti di Petri temporizzate deterministiche Evoluzione dinamica Grafi marcati temporizzati Reti di Petri deterministiche con temporizzazione dei posti Algebra max-plus Modellare un sistema a coda con l algebra max-plus Analisi delle prestazioni: autovalori e autovettori Reti di Petri temporizzate stocastiche Costruzione della Catena di Markov equivalente alla RPTS Analisi strutturale e analisi prestazionale Reti di Petri stocastiche generalizzate Metodi di analisi dei modelli RPSG Reti di Petri continue e reti di Petri ibride Reti di Petri continue Reti di Petri ibride 275 Esercizi 278 Bibliografia Simulazione ad eventi discreti Fasi di uno studio di simulazione Concetti di base e principi di funzionamento Metodi per individuare gli eventi da inserire nel modello Schema di avanzamento per eventi Simulazione di un sistema a coda Generazione di variabili aleatorie Generazione di numeri casuali Generazione di variabili aleatorie con funzione di distribuzione generica Definizione dei dati di ingresso Identificazione di una funzione di distribuzione Verifica della correttezza della funzione di distribuzione scelta Verifica e validazione dei modelli simulativi Analisi dei risultati della simulazione Stima degli indici di prestazioni 325

4 xii Analisi di simulazioni di durata finita Analisi di simulazioni stazionarie (non terminanti) Software per la simulazione ad eventi discreti Linguaggi di simulazione Risorse su web 335 Esercizi 335 Bibliografia Controllo supervisivo Processo o sistema a ciclo aperto Specifiche di controllo Specifiche dinamiche Specifiche statiche Specifiche qualitative Supervisore e controllo in retroazione Eventi controllabili e ingresso di controllo Supervisore Rappresentazione di supervisori mediante SED Sistema a ciclo chiuso: processo + supervisore Sintesi supervisiva Il problema del controllo supervisivo Sintesi di supervisori per specifiche controllabili e verifica della controllabilità Sintesi di supervisori per specifiche non controllabili Sintesi di supervisori con specifiche statiche e qualitative 365 Esercizi 366 Bibliografia Controllo di reti di Petri mediante monitor Specifiche di mutua esclusione generalizzate (GMEC) Mutua esclusione e GMEC GMEC multiple Potere descrittivo delle GMEC Posti monitor Monitor e sistema a ciclo chiuso I monitor sono supervisori massimamente permissivi Realizzabilità di un posto monitor Reti con transizioni non controllabili Controllabilità Marcature controllabili e monitor sub-ottimi Progetto di monitor sub-ottimi per GMEC non controllabili Reti con transizioni non osservabili Osservabilità Progetto di monitor sub-ottimi per GMEC non controllabili e non osservabili 403 Esercizi 405 Bibliografia 408

5 xiii A Elementi di teoria degli insiemi e algebra 409 A.1 Insiemi 409 A.2 Relazioni e funzioni 411 A.3 Relazioni binarie su un insieme 415 A.3.1 Relazioni di equivalenza 416 A.3.2 Relazioni di ordine 417 A.4 Composizione di relazioni e chiusura 418 Bibliografia 419 B Elementi di teoria dei grafi 421 B.1 Definizioni elementari 421 B.2 Cammini e cicli 422 B.3 Sottografi e componenti 423 Bibliografia 426 C Elementi di teoria della probabilità 427 C.1 Definizioni e concetti di base 427 C.1.1 Probabilità condizionata 428 C.2 Variabili aleatorie 429 C.2.1 Funzione di distribuzione 429 C.2.2 Funzione di probabilità 430 C.2.3 Funzione di densità di probabilità 430 C.2.4 Valore atteso, varianza e deviazione standard 431 C.3 Variabili aleatorie continue 431 C.3.1 Variabile aleatoria uniforme continua 432 C.3.2 Variabile aleatoria esponenziale 432 C.3.3 Variabile aleatoria normale o gaussiana 433 C.3.4 Variabile aleatoria χ C.4 Variabili aleatorie discrete 435 C.4.1 Variabile aleatoria uniforme discreta 435 C.4.2 Variabile aleatoria geometrica 436 C.4.3 Variabile aleatoria di Poisson 436 C.5 Processi stocastici 437 C.5.1 Processi di Markov (o markoviani) 438 C.5.2 I processi di Poisson 439 Bibliografia 441 D Formule notevoli 445 E Acronimi 447 F Notazione 449 Indice analitico 455

6 Prefazione I sistemi ad eventi discreti rappresentano un settore dell Automatica che non ha fino ad oggi ricevuto in Italia sufficiente attenzione. Questo fatto ha determinato una situazione per certi versi anomala che vede la quasi totale mancanza nel panorama italiano di corsi di base dedicati, almeno in parte, a questa disciplina. Dal punto di vista dell attività di ricerca la situazione è, sebbene di poco, migliore ed esiste un piccolo gruppo di ricercatori interessati a queste tematiche. Tuttavia il numero degli automatici discreti in Italia è in percentuale non superiore al 5 10% del numero degli automatici continui, mentre nel panorama internazionale questo rapporto è più vicino al 20%. Una delle ragioni di questo ritardo ci è sembrata imputabile anche alla mancanza di supporti didattici e ci ha spinto alla preparazione di questo testo. I sistemi ad eventi discreti sono un settore di ricerca relativamente giovane e da ciò consegue che non è ancora stata completata una sintesi omogenea dei diversi approcci apparsi nella letteratura. Vi sono dunque molti e diversi modelli che lottano per imporsi in questo campo (fra cui possiamo citare automi, catene di Markov, code, reti di Petri, algebra max-plus) e molte e diverse metodologie di simulazione, analisi e controllo sviluppate per tali modelli. La prima parte del libro, comprendente i Capitoli 1, 2 e 3, si propone di familiarizzare il lettore con questa classe di sistemi la cui dinamica non nasce dal trascorrere del tempo ma dal verificarsi di eventi discreti. Il modello usato in questa parte è l automa, nelle sue diverse forme: l automa a stati finiti deterministico o non deterministico, l automa temporizzato che da luogo ad un processo di semi-markov generalizzato, le catene di Markov, i processi di nascita e morte e le reti di code. La seconda parte del libro, comprendente i Capitoli 4 e 5, è dedicata alle reti di Petri, che fra tutti i modelli ad eventi discreti ci sembrano essere il più interessante per tre ragioni. Per prima cosa, esse costituiscono una ricca famiglia di modelli sia logici sia temporizzati (deterministici e stocastici), i quali condividono un insieme di strumenti formali. In secondo luogo, le reti di Petri possono essere usate in tutte le fasi del progetto di un sistema di controllo: specifica, simulazione, analisi, verifica formale, ottimizzazione, sintesi del controllore e implementazione. Infine, le reti di Petri sono state usate con successo in diversi contesti metodologici, che vanno dal controllo supervisivo, all algebra max-plus, allo studio dei processi markoviani, ecc. Benché per ragioni di spazio non sia stato possibile sviluppare questa parte in tutta l ampiezza di profondità e dettaglio che l argomento avrebbe meritato, noi crediamo che il nostro sia il primo testo italiano a presentare le reti di Petri dal punto di vista proprio della teoria dei sistemi. La terza parte del libro, comprendente i Capitoli 6, 7 e 8, tratta una serie di argomenti monografici legati alla simulazione e al controllo supervisivo. Tali capitoli hanno lo scopo di portare il lettore oltre la modellazione di sistemi ad eventi discreti introducendolo all applicazione di metodologie di analisi e di controllo di questo tipo di sistemi.

7 viii Prefazione Il libro è completato da una serie di appendici che richiamano quelle nozioni elementari della teoria degli insiemi, dei grafi e della probabilità che, pur essendo utili alla comprensione del testo, ci sono sembrate essere collaterali. Alla fine dei singoli capitoli abbiamo anche raccolto una serie di esercizi e richiami bibliografici che saranno utili a chi volesse approfondire gli argomenti trattati. Sempre per costoro ricordiamo che la pagina web di questo libro può essere consultata all indirizzo In tale pagina vi saranno collegamenti alle risorse sui sistemi ad eventi discreti disponibili in rete, materiale didattico aggiuntivo, software dedicato alla simulazione, l analisi e la sintesi di controllori per sistemi ad eventi discreti, ecc. Desideriamo ringraziare quanti ci hanno offerto il loro prezioso supporto nella preparazione di questo libro. Un pensiero particolare va ai tre colleghi che più ci hanno incoraggiato ad intraprendere quest impresa, nelle persone di Giuseppe Menga, Riccardo Minciardi e Fernando Nicolò. Valido e affidabile è stato il contributo di Nicola Sacco, che ha instancabilmente collaborato a varie fasi della composizione del libro. Altrettanto utili sono stati i commenti degli studenti dei nostri corsi di laurea e di dottorato, nonché dei tesisti che abbiamo seguito, che hanno avuto modo di valutare parte del materiale in bozza. Infine un ringraziamento speciale è dovuto a quanti, soprattutto al di fuori dell ambiente accademico, ci hanno sostenuto ed aiutato anche colmando quelle mancanze che il lavoro impegnativo svolto per realizzare questo libro ha inevitabilmente generato. Genova e Cagliari, febbraio 2002 Angela Di Febbraro e Alessandro Giua La prima edizione del nostro libro è ormai esaurita, ma d accordo con l editore abbiamo deciso di rendere disponibile il testo attraverso la modalità print on demand. In questa occasione abbiamo anche provveduto a correggere tutti gli errori di stampa che ci sono stati segnalati. Cagliari, marzo 2011 Alessandro Giua