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1 Woking Pape Seies Maio Genco STUDIO DI UN INDICATORE PER LA VALUTAZIONE DEL RISCHIO DELPROGETTO NELLA METODOLOGIA DELL ANALISI COSTI BENEFICI PROPOSED RISK INDICATORS IN THE COST-BENEFIT ANALISYS METHODOLOGY Woking Pape N. 02/20

2 PROPOSED RISK INDICATORS IN THE COST-BENEFIT ANALYSIS METHODOLOGY Maio Genco* * CSIL, Cente fo Industial Studies (Milan) Abstact Cost-benefit analysis allows to assess in advance the pefomance of investment pojects though the calculation of appopiate indices, such as the NPV, the IRR, the B/C atio. Pefomance indicatos ae, howeve, affected by the uncetainty inheent in the execise of foecasting the futue values of the physical and economic paametes geneated by the poject. Pobability distibution of the expected values of each pefomance indicato can be detemined, e.g., though Montecalo simulations of the CBA model. Deived fom the simulated pobability distibution, the pape, stating fom the definition of the loss function in the statistical decision theoy, poposes a set of isk indicatos (Index of absolute isk, Index of intenal elative isk, Index of genealized elative isk), which include a "weight" function that models the level of avesion against the expected loss of the pefomance indices by the peson who will bea the poject isk. JEL code: D80 Paola chiave: ischio, avvesione al ischio, simulazione Montecalo, analisi costi benefici Key wods: isk analysis, isk advesion, Montecalo simulation, cost benefit analysis 2

3 . Intoduzione In statistica, la valutazione del livello di ischio è associato alla pobabilità di un evento indesideabile. In sostanza il ischio è definito in temini geneali come segue: R = P x D, [] dove R è pe l appunto il livello del ischio (o il ischio), P è la pobabilità di accadimento dell evento indesideato e D è il danno povocato da tale evento. In modo più peciso, utilizzando l appoccio della teoia delle decisioni statistiche [Wald, 950], la funzione di ischio di un stimatoe δ (x) pe un paameto θ, calcolato da alcuni ossevabili x, è definito come il valoe atteso della funzione di pedita L [Nikulin, 200], espessa come segue: R ( θ, δ ( x)) = L( θ, δ ( x)) f ( x θ ) dx, [2] dove: R(, (x)) è il livello di ischio, f(x ) è la fequenza del valoe x del paameto, L (, (x)) è la funzione di pedita o il danno elativo al paameto basato sulla funzione di stima (x). 2. Il ischio del pogetto nell ACB Applicando i concetti geneali sopa icodati agli indici di pefomance utilizzati nell analisi costi benefici (ACB) dei pogetti e cioè alle distibuzioni del VAN, del TRI e del appoto B/C ottenute ad esempio mediante l applicazione del metodo Montecalo al modello di ACB in base alle distibuzioni di pobabilità delle vaiabili citiche, si può assumee che l evento indesideato sia l occoenza di un valoe dell indice infeioe al valoe base ottenuto dal modello di ACB e cioè una pedita dell indice di pefomance ispetto al valoe base dello stesso indice. Indicando con il simbolo geneico Q gli indici di pefomance dell ACB, così come sopa definiti (ad esempio: Q = VANFC, TRIFC, VANFK, TRIFK, VANE, TRIE, B/C [EC, DG Regional Policy, 2008]), con q i valoi assunti da Q e con Qb il valoe base del paameto calcolato con il modello ACB dello specifico pogetto, la funzione di stima (x) può essee specificata come segue: (q) = q, con la condizione che q sia minoe di Qb e cioè: q < Qb. [3] Nell ipotesi di indiffeenza ispetto all ampiezza della pedita (q), si può dedue la seguente: L (Q, (q)) = (q) = q, con la condizione che q < Qb e cioè che q < 0. [4] Nell ipotesi che Q sia appesentata da una funzione continua e che sia conosciuta la densità di pobabilità p(q) dell indice Q, definita come segue: f(q Q) = p(q) = (dp(q)/dq) dq, [5] dove P(q) è la distibuzione di pobabilità dell indice Q, il livello di ischio può essee calcolato applicando la [2]; si ottiene: = q Qb (dp(q)/dq) dq, [6] dove l integale deve essee calcolato soltanto pe tutti i valoi di q minoi di Qb e cioè sotto la condizione q < Qb (integale condizionato). Tenendo conto di questa ultima condizione la [6] può anche essee sviluppata come segue. 3

4 = b (dp(q)/dq) dq = b (dp(q)/dq) d( q q Q q Q ) = 0 = - q Qb (dp(q)/dq) d(q - Q b) = m (dp(q)/dq) dm [6 ] minf dove, definito qmin come il valoe minimo assunto dal paameto Q nello specifico pogetto, si ha che: m = q (< 0) è la pedita dell indice Q, minf = qmin è il valoe più piccolo di m. Nella ealtà Q è appesentato da una popolazione di valoi disceti ottenuti con le estazioni Montecalo. Pe definie il ischio è quindi oppotuno assumee le definizioni che seguono: qi = valoi estatti dell indice Q, N = numeo delle estazioni effettuate. Ipotizziamo anche che appesenti il numeo delle estazioni pe le quali qi < Qb ed s = N sia il numeo delle estazioni pe le quali qi Qb. Si ha:l (Q, (qi)) = (qi) = qi, con la condizione che qi < Qb e cioè che qi < 0. [7] Ossevando che gli N valoi estatti di Q sono equipobabili, si icava immediatamente che: f(qi Q) = /N. [8] Tenendo quindi conto di [7] e [8], il valoe del ischio è dato dalla espessione che segue: = qi /N = / N qi, con la condizione (implicita in ) che qi < Qb. [9] E utile intodue te indici: Ra : indice di ischio assoluto definito dalla [6] o dalla [9] ed espesso nelle stesse unità di misua dell indice Q. R : indice di ischio elativo inteno definito come appoto fa il ischio assoluto e il valoe base del paameto Q. Rg: indice di ischio elativo genealizzato definito come appoto fa il ischio assoluto e un paameto significativo del pogetto (V), quale, ad esempio, il costo dell investimento iniziale (o totale nell oizzonte dell ACB) attualizzato o no, l ammontae del finanziamento comunitaio o alti paameti. In temini fomali: Ra = R(Q, (qi)), [0] R = Ra / Qb, [] Rg = Ra / V. [2] Pe la valutazione dell indice di ischio elativo inteno invece che al valoe base può fasi ifeimento al valoe più pobabile del paameto Q e cioè alla media della distibuzione statistica di Q, che indichiamo con Q. In questo caso si avà: Rl = Ra / Q. [ ] 4

5 3. Il ischio del pogetto nell ipotesi di non indiffeenza veso la pedita Ai fini della deteminazione del ischio di un pogetto è possibile adottae una ipotesi divesa da quella dell indiffeenza ispetto all ampiezza della pedita (q), ipotesi che è stata esplicitamente posta a base delle definizioni pecedenti. In questo caso pu mantenendo la definizione della funzione di stima data dalla [3], la funzione di pedita può essee modificata (ispetto alla espessione [4]), intoducendo una ulteioe funzione che da un peso all ampiezza della pedita. Indichiamo questa funzione moltiplicativa come segue: W = W((q)) = W( q ) = W( m ). [3] La funzione W così come sopa definita espime il livello dell avvesione nei confonti delle pedite attese degli indici di pefomance da pate del soggetto che soppoteà il ischio del pogetto. La [4] si modifica come segue: L (Q, (q)) = W((q)) (q) = W((q)) q, con la condizione che q < Qb. [4] Nell ipotesi di Q espesso da una funzione continua, il livello di ischio può essee calcolato applicando la [2]; si ottiene: W( q Qb (dp(q)/dq) dq = W( δ ( q Qb )) q Q = b (dp(q)/dq) dq, [5] dove anche in questo caso l integale deve essee calcolato soltanto pe tutti i valoi di q minoi di Qb e cioè sotto la condizione q < Qb (integale condizionato). Anche in questo caso, analogamente a quanto visto pe la [6 ], si può scivee: 0 R( Q, = W( δ ( m )) m (dp(q)/dq) dm minf Ovviamente la [5] si iduce alla [6] e la [5 ] si iduce alla [6 ] sotto la condizione W = W((q)) =, condizione che espime l indiffeenza iguado all ampiezza di pedita dell indice di pefomance. Se Q è espesso da valoi disceti, si ottiene: = W( qi /N = / N W( qi = / N W( δ ( qi - Q [5 ] b )) qi, con la condizione che qi < Qb. [6] Ovviamente, anche in questo caso, la [6] si iduce alla [9] sotto la condizione W = W((qi)) =, condizione che espime l indiffeenza iguado all ampiezza di pedita dell indice di pefomance. Ovviamente la funzione W = W((qi)) può essee definita in modi divesi con lo scopo di modellae divese atteggiamenti nei confonti della pedita attesa dell indicatoe pescelto. Dalle espessioni [5] o [6] possono anche essee deivati alcuni indici di ischio paticolai. Ad esempio, nell ipotesi che Q = VAN = VAN(F/E) e qi = VANi, se si definisce, con ovvio significato dei simboli, la funzione W = W((qi)) = W((VANi)) come segue: W = W((VANi)) = 0 pe VANi > 0 W = W((VANi)) = pe VANi 0, [7] il ischio assoluto Ra calcolato con la [6] appesenta, in temini di VAN, il ischio dovuto alla pedita totale attesa in caso di fallimento catastofico del pogetto (VAN 0). Ovviamente se accade che pe un deteminato pogetto il VAN è sempe maggioe di zeo (VANi > 0 pe i =, N), si ha che Ra = 0 e cioè il ischio di pedita totale è nullo. Un alto caso è quello di avvesione alla pedita lineamente cescente con l ampiezza della stessa. La funzione peso è così dfinita: W = W((qi)) = k + j (qi) = k + j qi, [8] dove k e j sono due numei eali. In questo caso la [6] diventa: 5

6 = / N δ 2 [ ] i ( k + j qi ) qi = k qi j ( qi ) W( ( q )) qi = / N +, con la condizione che qi < Qb. [9] Se ad esempio si pongono k = e j = /Qb, come è facilmente veificabile, la funzione W espime una avvesione doppia pe una pedita pai al valoe base ispetto al caso di pedita nulla. L avvesione alla pedita può cescee in modo più apido di quanto consideato nel caso pecedente; ad esempio la funzione W può avee una foma esponenziale: W = W((qi)) = A e (b (qi)) = A e (b qi ) [20] dove A e b sono due numei eali. In questo caso la [6] diventa: (b qi - Q b ) (b qi - Q b ) [ A e qi ] A/ N[ e qi ] R( Q, = / N W( δ ( qi )) qi = / N =, con la condizione che qi < Qb. [20] Se ad esempio si pongono A = e b = log(2)/qb, come è facilmente veificabile, la funzione W espime anche in questo caso una avvesione doppia pe una pedita pai al valoe base ispetto al caso di pedita nulla, ma l avvesione cesce in modo molto più che lineae (in modo esponenziale) con l incemento dell ampiezza della pedita. 4. Esempio numeico Caso analizzato V = migliaia di euo (ad esempio: costo dell investimento iniziale) Q = VAN VANb = migliaia di euo VAN = migliaia di euo N =.000 = 666 s = 334 Figua - Pobabilità cumulata del VAN Cumulata VAN,0 VAN Base 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0, 0, /000 6

7 Ipotesi di indiffeenza (ischio natuale) W = W((VANi)) = Ra = migliaia di euo R = 38,6% Rg = 53,3% Rischio della catastofe W = W((VANi)) = 0 pe VANi > 0 W = W((VANi)) = pe VANi 0, Ra = migliaia di euo R = 25,7% Rg = 35,5% Avvesione alla pedita cescente in modo lineae k = j = /Qb = / =, Ra = migliaia di euo R = 99,6% Rg = 37,6% Avvesione alla pedita cescente in modo esponenziale A = b = log(2)/qb = log(2)/ = 7, Ra = migliaia di euo R = 68,9% Rg = 233,4% Bibliogafia essenziale Wald, A., 950, Statistical decision functions, Wiley. Nikulin, M. S., 200, Risk of a statistical pocedue, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Spinge. Euopean Commission, DG Regional Policy, 2008, Guide to Cost Benefit Analysis of Investment Pojects - Stuctual Funds, Cohesion Fund and Instument fo Pe-Accession, Bussels. 7