ρ L forza d inerzia μ L forza dovuta alla viscosità CAPITOLO 7: FLUSSI VISCOSI

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1 CAPITOLO 7: FLUSSI ISCOSI 70 Un notevole pogesso nella Fluidodinamica si ebbe gazie al contibuto di L. Pandtl nel Egli intui che il campo di moto di un fluido attono ad un oggetto o all inteno di un condotto, può essee diviso in due egioni: una sottile, vicino alle paeti, dove i fenomeni d attito sono pedominanti, e una lontano dalle paeti dove invece tali effetti sono tascuabili. 7.1 Flusso laminae o tubolento Uno ta i più impotanti Paameti adimensionali che deteminano la caatteistica dei flussi eali è il Numeo di eynolds (Osbone eynolds 1883). Tale paameto si definisce come: ρl e Si ha infatti: foze d' inezia foze dovute alla viscosità ( F ρa) L L dy 3 ρl dt dt ρ ( dt) L dt ρ L dt 3 ρ L dt L dove, 3 ρ L foza d inezia dt L foza dovuta alla viscosità

2 Consideiamo oa il flusso all inteno del condotto mostato in Fig ye Q A ye steak Fig.7.1 Si definiscono in geneale te divesi egimi di flusso: Flusso laminae e < Flusso di tasizione e < 4000 e Flusso tubolento e > 4000 ρ ; dove è il diameto del condotto Flusso Completamente Sviluppato Si considei il flusso dal contenitoe (nel quale il livello di fluido e costante) al condotto ettilineo come in Fig 7.. A una ceta distanza x, il pofilo di velocita saa costante. Constant Level Gowing of B.L. Fully developed velocity pofile P P Entance flow P Fully developed flow p/ x const x 1 0 x x Fig.7.

3 Possiamo palae di Flusso Completamente Sviluppato sia pe flussi Laminai che Tubolenti. I pofili di velocità pe i due tipi di flusso sono peò divesi. 7 P1 F l (P1 - P) elocity pofile u() i L x Fig. 7.3 Si considei il flusso all inteno del condotto cicolae come mostato in fig.7.3 e supponiamo valide le seguenti ipotesi: 1 l effetto dovuto alla gavità è tascuabile (flusso in diezione x oizzantale); L acceleazione locale è nulla 0 Flusso Stazionaio t ; 3 L acceleazione convettiva è nulla [ ( ) 0 Flusso Totalmente Sviluppato]. Se si applica la seconda legge di Newton, lungo la diezione x, all elemento di fluido di lungezza L, si ha: τ F x ma x 0; da cui: p1 π ( p1 ) π τ πl 0 l τ al momento che né né l sono funzioni di, neanche dipendeà da. Ciò può τ espimesi dicendo. Cost ossia che τ C, dove C costante. (/) w τ () (0) 0 c u() c/ Lamina pofile Ideal flow (Invicid) Fig. 7.4

4 Il valoe della costante C può essee icavato agionando come segue: pe 0 ; τ 0 U U ( lungo l asse del condotto si ha: 0 τ 0 pe /; τ τ wall (lungo la paete) ); 73 Si ha quindi: C τ w τ τ w da cui, sostituendo nella pecedente equazione si ha p 4l τ w Questa equazione è valida sia pe flussi Laminai che Tubolenti. Pe continuae la nosta analisi dobbiamo vedee oa il modo con cui gli sfozi tangenziali sono legati alla velocità. Questo è il punto citico che contaddistingue l analisi dei flussi Laminai da quella dei flussi Tubolenti. 1) Flussi Laminai Pe fluidi Newtoniani si ha: du du τ τ > 0 con < 0 dy d icodato che τ p τ l l possiamo anche scivee: du τ du d d l l u 4l + C 1 al momento che il fluido è viscoso, esso adeisce lungo la paete (L. Pandtl, 1904) pe cui, u 0 pe / C1 16l Petanto il Pofilo di elocità pe Flussi Laminai è: u( ) 16l 1 1 c

5 74 dove c 16 l p è la velocità del fluido lungo l asse del condotto. Sostituendo τ w otteniamo: 1 4 ) ( u w τ dove. Come si vede, il pofilo di velocità ispetto all asse del condotto è Paabolico. Intoducendo la potata (pe flussi incompimibili) si ottiene: d d u uda Q c ) ( π π c Q π icodando che la velocità media è: l p Q A Q c c π π π 3 Si ha quindi: l p Q l p π oppue, 18 4 l Q p π o 3 l p Pe tubi oizzontali (nel caso di flusso laminae) la potata è diettamente popozionale alla caduta di pessione. Pe fluidi che scoono in tubi che non sono oizzontali si ha che:

6 75 F P (P + P) W Wsin Lsin γl sin ϑ τ l π( γl sin θ) Q 18l ( γl sin θ) 3l 4 Fig Equazione dell enegia applicata ai Flussi Completamente Sviluppati Pe un flusso stazionaio, mono-dimensionale e incompimibile l Equazione dell Enegia diventa: pout ρ + out + pin in gz out gz w w ρ in shaft losses dividendo pe g, e indicando out 1, in si ha: p1 1 p z1 z hshaft h γ + g + γ + g + + dove i temini; losses w shaft /g h shaft (altezza o pevalenza della pompa, ventilatoe o tubina) w loss /g h losses Livello di pedita Nota: Tenendo in conto che il pofilo di velocità lungo il condotto non è unifome, intoducendo i coefficienti α 1 and α, l equazione diventa: p γ 1 1 α1 + z1 g p + α γ g + z + + h shaft h losses

7 76 ove α 1 α 1 e h losses 0 pe fluidi pefetti (ideali) non viscosi. 1 Se il flusso è Completamente Sviluppato si ha α 1 α. g g Supponendo inolte h shaft 0, otteniamo (out1 inlet): p1 p p1 p + z1 + z + z1 z γ γ γ h losses Consideando l equazione icavata in pecedenza pe le pedite pe tubi inclinati: γlsinθ τ l possiamo anche scivee: τl lsinθ γ γ da cui: τl hlosses se nel muo τ τ w γ Nella paete si ha: 4τ wl h γ losses Questa è la stessa equazione pe la valutazione delle pedite tovata in pecedenza. τ w è lo sfozo tangenziale lungo la paete (che è diettamente legato alla viscosità e alle foze di taglio attaveso il fluido) che è esponsabile del livello delle pedite.

8 77 CAPITOLO 8: ANALISI IMENSIONALE E CEAZIONE I MOELLI ealmente solo pochi poblemi iguadanti i flussi di fluidi eali possono essee isolti solamente mediante l analisi teoica. La soluzione di molti poblemi eali è ottenuta attaveso l uso combinato di analisi teoica (Analisi Numeica C.F..) e speimentale. Solitamente si sviluppano dei Modelli in laboatoio pe studiae nuove macchine o fenomeni di inteesse. E necessaio quindi stabilie la elazione ta i modelli di laboatoio e i sistemi eali. 8.1 Analisi dimensionale Consideiamo, come esempio, pe illustae questa pocedua, il flusso stazionaio di un fluido incompimibile in un tubo. Pe studiae questo poblema saà necessaio individuae quali sono i fattoi e le vaiabili che avanno influenza sulla Caduta di Pessione Specifica (pe unità di lunghezza) p e F(, ρ,, ); dove: diameto del tubo; ρ densità del fliudo; viscosità del fluido velocità del fluido Pe eseguie gli espeimenti saà necessaio mantenee costanti alcuni di questi paameti, mente uno di questi cambia.

9 78 Alcuni di questi espeimenti sono molto difficoltosi. Fotunatamente, c è un appoccio più semplice a questo poblema che minimizza il numeo di esiti (tests). Si può dimostae che, piuttosto che lavoae con tutte le vaiabili, possiamo accogliee queste in due (ifeendoci a questo caso) combinazioni di vaiabili adimensionali (Guppi adimensionali) cosicché: e φ ρ ρ Cosi, invece di pevenie ad un isultato con cinque vaiabili, adesso ne abbiamo solo due. 8. Teoema di Buckingham (Teoema del Pi Geco). Il teoema di Buckingham specifica il numeo di paameti necessai pe definie un paticolae fenomeno basato sul numeo di vaiabili pesenti, e il numeo di dimensioni associate al poblema. In geneale, se ci sono m vaiabili ed n dimensioni, alloa sono ichiesti (m-n) guppi adimensionali (paameti). Nel caso della Caduta di Pessione Specifica si ha:

10 79 p e f ( ρ,, ) π 1 Φ( π ), dove, π e 1 ρ π ρ diameto del tubo; ρ densità del fliudo; viscosità del fluido velocità del fluido Nota E impotante assicuasi che ciascuna delle dimensioni petinenti al poblema sia contenuta nelle m vaiabili scelte. 8.3 Modelli e similitudine Un modello è una appesentazione di un sistema fisico che può essee usato pe pevedene il compotamento sotto cete condizioni desideate. Il sistema fisico del quale si deve pevedee il compotamento è chiamato Pototipo Al giono d oggi la C.F.. fonisce un tezo nuovo appoccio che completa gli alti due appocci di pua teoia e pua espeienza, senza tuttavia sostituili. Puo espeimento Pua teoia Computational Fluid Mechanics E impotante ossevae che un Pogamma pe compute (sotto foma di floppy disk) è uno stumento che ciascuno di noi può potasi appesso. Un pogamma pe compute è quindi un oggetto facilmente taspotabile, una sota di galleia del vento potatile, molto menno costosa! [J.. Andeson]

11 Appoccio pe isolvee i poblemi in Fluidodinamica INIZIO 1 - Poblema fisico specifico - appesentazione del modello fisico (poblema fisico appesentato da un modello fisico semplificato) 3 - Modello matematico (Equazioni coispondenti al modello fisico) NO 4 Soluzione Numeica (Una soluzione numeica delle Equazioni) 5 - Pove Speimentali. (questo è il passo finale pe deteminae la coettezza del modello fisico con la speimentazione) OK SI

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