1 Integrale indefinito

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1 Anlisi Mtemtic II, Fisic(A.A. 6/57) Preprzione Prov sritt Mrzo-Aprile 7 * * Integrle indefinito Definizione L funzione F (x) e primitiv di f(x) se e solo se F (x) = f(x). Se F (x) è primitiv di f(x) llor F (x)+c è nche un primitiv di f. Indichimo con f(x) (integrle indefinito di f) l insieme delle funzioni primitive di f ovvero f(x) = {F (x) + C, C R}, dove F (x) = f(x). Le seguenti proprietà ci consentono di clcolre f(x). Regole dell integrzione. f(x) + g(x) = f(x) + g(x), αf(x) = α f(x), α R. Integrzione per prti f (x)g(x) = f(x)g(x) f(x)g (x). Il differenzile df di un funzione f(x) é definit d df(x) = f (x). Formul di cmbimento di vribili g(f(x)) f (x) = g(y)dy y=f(x). x A = xa+ + C, A, /(x + ) = ln x + + C, A + e x = e x + C, x = x + C, >,. ln cos x = sin x + C, = rcsin x + C, x sin x = cos x + C, L sostituzione universle u = tn x/, soddisf cos = tn x + C, x = rccos x + C, x cos x = u u, sin x = + u + u, = + u du. sin x = cot x + C = rctn x + C. + x Problem.. Clcolre () (x m x n ) n, (b), (c) x x 3 x e x cos x + x (d) cos x sin x x cos x x

2 Esercizi sull integrzione per prti Problem.. Clcolre sin x Rispost. Applichimo l formul di integrzione per prti dopo ver scritto l integrle ssegnto nel modo che segue sin x = sin x sin x. Ponimo g(x) = sin x e f (x) = sin x, quindi g (x) = cos x e f(x) = cos x. Sostituendo sin x sin x = cos x sin x cos x = = cos x sin x + cos x = = cos x sin x + ( sin x) = = cos x sin x + x + C sin x ovvero sin x = cos x sin x + x + C sin x Portndo l primo membro l integrle sin x = cos x sin x + x + C d cui sin x = cos x sin x + x + C Allo stesso risultto si rriv medinte le formule di bisezione: cos x cos x sin x = = = x sin x 4 + C. Problem.. Clcolre x sin x Rispost Procedimo medinte l integrzione per prti ponendo g(x) = x e f (x) = sin x, quindi f(x) = cos x : x sin x = x( cos x) + cos x = x cos x + sin x + C Problem.3. Clcolre e x sin x Rispost. Applichimo l formul di integrzione per prti ponendo g(x) = sin x e f (x) = e x : e x sin x = e x sin x e x cos x = e x sin x e x cos x e x sin x Portndo l primo membro l ultimo integrle e dividendo per : e x x sin x cos x sin x = e + C

3 Problem.4. Clcolre sin mx cos nx Rispost. Si può integrre per prti prendento d esempio g(x) = sin mx e f (x) = cos nx, oppure si possono utilizzre le formule di Werner: sin mx cos nx = [sin(m n)x + sin(m + n)x] = cos(m n)x cos(m + n)x + C m n m + n Problem.5. Clcolre x cos x e x Rispost. Procedimo integrndo per prti. Ponimo g(x) = x cos x e f (x) = e x () x cos x e x = x cos x e x cos x e x x sin x e x Considerimo l ultimo integrle () x sin x e x = x sin x e x sin x e x x cos xe x D () e () ottenimo x cos x e x = x e x (sin x + cos x) cos x e x sin x e x. Si ritorn così gli integrli visti sopr. OSSERVAZIONE Anche nel cso che si vogli clcolre P n (x) e x (dove P n (x) è un polinomio di grdo n in x) si può procedere per prti. Esiste comunque un metodo lterntivo che permette di semplificre l risoluzione di integrli di questo tipo o del tipo P n (x) sinx, P n (x) cos x, si trtt del metodo dei coefficienti indeterminti. Illustrimo questo metodo con un esempio. Problem.6. Clcolre e x (5x + x 3) Rispost. Cerchimo primitive del tipo (Ax + Bx + C)e x, ovvero determinimo A, B, C R tli che e x (5x + x 3) = (Ax + Bx + C)e x + C, che equivle d [(Ax + Bx + C)e x ] = e x (5x + x 3) Effettundo l derivzione ottenimo l identità: e quindi il sistem D cui A = 5, B = 9, C = 6. Ax + (A + B)x + B + C = 5x x 3 A = 5 (A + B) = B + C = 3 3

4 Problem.7. Clcolre (x + x) sin x Rispost. Procedimo in modo nlogo ll esercizio precedente determinndo A, B, C, α, β, γ R, tli che (x + x) sin x = (Ax + Bx + C) sin x + (αx + βx + γ) cos x + k. Usndo il metodo di integrzione per prti, clcolre () log x () rctn x (3) x α log x (4) log x (5) x log x (6) x rctn x (7) x rctn x (8) xe x (9) x cos x () x cos x () rcsin x () xe x sin x (3) sin mx sin nx (4) cos mx cos nx 3 Integrli di funzioni rzionli Si deve clcolre l integrle f(x), dove f(x) = P (x)/q(x), e P (x), Q(x) sono polinomi in x. I cso: (x ) n, n > In questo cso bbimo II cso: In questo cso bbimo III Cso: (x ) n = n + (x ), + C. (x ) n = log x + C. (x ) x + x + b, ) se x + x + b h rdice rele α con molteplicità : x + x + b = (x α) = (x α) + C, b) se x + x + b h due rdici reli α β, llor x + x + b = (x α)(x β) = β α c) se x + x + b h due rdici complesse α = p + iq, α = p iq, ( x β ). x α llor x + x + b = (x p) + q. 4

5 IV cso: In questo cso bbimo e possimo usre il metodo del cso precedente. V cso: dove grdp grdq. In questo cso bbimo dove grdr < grdq. 4 Il metodo di Hermite Dobbimo studire dove grdp < grdq. Sino Ax + B x + x + b Ax + B x + x + b = A x + B/A x + x + b = A x + x + x + b + A B/A x + x + b. P (x) Q(x), P (x) R(x) = S(x) + Q(x) Q(x), P (x) Q(x), α, α,, α h, rdici reli di Q con molteplicitá m, m,, m h. Sino e β, β,, β k, β, β,, β k, rdici complesse di Q(x) con molteplicitá µ,, µ k. Posto bbimo L identitá implic Ponimo β j = p j + iq j, j =,, k Q(x) = (x α ) m (x α h ) m h (x β ) µ (x β k ) µ k (x β ) µ (x β k ) µ k. (x β j )(x β j ) = (x p j ) + q j Q(x) = (x α ) m (x α h ) m h ((x p ) + q ) µ ((x p k ) + q k) µ k. T (x) = (x α ) m (x α h ) m h ((x p ) + q ) µ ((x p k ) + q k) µ k. Abbimo l seguente Proposizione 4.. Esistono numeri A j, B j, C j ed esiste un polinomio R(x) con grdr = grdt tle che per ogni x con Q(x) vle l identità P (x) h Q(x) = A j k (x α j ) + B j x + C j (x p j ) + qj + d ( ) R(x). T (x) j= Problem 4.. Verificre l ffermzione dell preposizione precedente per j= P (x) =, Q(x) = (x )(x + ). 5

6 5 Integrli del tipo R(x, x + b). Si f l sostituzione Abbimo t = x + b. R(x, x + b) = ( t ) b t R, t dt. Problem 5.. Clcolre x 3 x x Rispost Ponimo t = x + 3, d cui t = x + 3 e quindi x = t 3 d cui = t dt. Sostituendo nell integrle proposto ( ) t t t t t 3 dt = t 3 t dt. 5 Effettundo l divisione tr numertore e denomintore dell funzione integrnd possimo scrivere: t 3 t 3t = (t )(t 5) + (t ). Sostituimo l espressione ottenut nell integrle: Osservimo che t t 3 t 5 t dt = (t ) dt + t 5 dt t t 5 = A t 5 + B t + 5 D cui si h t = (A + B)t + (A B) 5, e quindi il sistem { A + B = A B = 5 D questo ottenimo A = 5 5 5, B = Sostiuimo questi vlori nell integrle dto e risolvimo ottenendo l insieme delle primitive: 5 5 t + t log t log t C. 5 5 Problem 5.. Clcolre 6 Integrli del tipo ( R x x +. x, ( x+b cx+d ) p/q ). Si f il cmbimento di vribili Problem 6.. Clcolre x + b cx + d = tq (x ) 3 + x x 6

7 Rispost. Ponimo t 3 = x + x, d cui segue x = t3 + t 3 e = 6t (t 3 dt. Sostituimo nell integrle dto ) 6 t 4 (t 3 + ) dt Si osservi che il grdo del numertore è minore del grdo del denomintore. Clcolimo le rdici del denomintore per pplicre il metodo di Hermite: t =, t,3 = ±i 3, (t 3 + ) = (t + ) [(t ) ]. Quindi dobbimo determinre A, B, C R tli che t 4 (t 3 + ) = A t + + Bt + C (t ) d dt R(t) T (t), dove T (t) = (t + )[(t ) ], R(t) = Dt + Et + F. Quindi t 4 (t 3 + ) = A(t + )(t t + ) + (Bt + C)(t + ) (t t + ) + (Dt + E)(t 3 + ) 3t (Dt + Et + F ) (t 3 + ). D quest relzione ricvimo A, B, C, D, E, F e quindi risolvimo l integrle sostituendo sopr. Un ltro modo di scomporre l frzione P (x) Q(x) lterntivo l metodo di Hermite è il seguente: P (x) Q(x) = A x α + A (x α ) A m (x α ) m + + A x α + A (x α ) A m (x α ) m A h x α h + A h (x α h ) A hmh (x α h ) m + h + + B x + C [(x p ) + q ]+ B x + C [(x p ) + q ] B µ x + C µ [(x p ) + q ]µ + B x + C [(x p ) + q ]+ B x + C [(x p ) + q ] B µ x + C µ [(x p ) + q ]µ B k x + C k [(x p k ) + q k ]+ B k x + C k [(x p k ) + q k ] B kµk x + C kµk [(x p k ) + q k ]µ k Come esempio pplichimo l problem precedente quest scomposizione D cui t 4 (t 3 + ) = A t + + A (t + ) + B t + C [(t ) ] + B t + C [(t ) ] t 4 (t 3 + ) = A (t + )(t t + ) + A (t t + ) + (B t + C )(t t + )(t + ) + (B t + C )(t + ) (t 3 + ) 7

8 Ottenimo quindi un sistem linere di primo grdo in sei equzioni nelle incognite A, A, B, B, C, C, t che risolto mi permette di scomporre l frzione 4 (t 3 +) in somm di frzioni delle quli si riesce clcolre le primitive in mnier elementre. Problem 6.. Clcolre 7 Integrle del tipo R ( x, q x x x +. (x+b cx+d ) p,, q h (x+b cx+d ) ph ). Dove p j, q j N, p j >, q j > j =,, h. Questi integrli si possono ricondurre d integrli di funzioni rzionli medinte l sostituzione: t q = x + b cx + d. dove q = m.c.m.(q,, q h ) Problem 7.. Clcolre d cui 3 x + x + x + x + Rispost In questo cso q = 3, q =, quindi q = 6. Si pone Ci riconducimo quindi risolvere l integrle t 6 = x + x + x = t6 6t 5 t 6 e = ( t 6 ) dt. t 4 ( t 6 ) dt. 8 Integrli del tipo R ( x, x + x + b ). Si f il cmbimento di vribili x + x + b = x + t Problem 8.. Clcolre Ponimo 3x + x x + 3. x x + 3 = x + t d cui x = 3 t t +, = Sostituendo sopr ci riconducimo risolvere t t 3 (t + ) e x x + 3 = 3 t t + + t. 3t + t + (t + ) dt. Problem 8.. Clcolre x +. 8

9 9 Integrli del tipo R ( x, x + x + b ). Sino α, β R le rdici dell equzione x + x + b =, (se le rdici sono complesse l espressione non è definit) supponimo α < β. Osservimo che Si pone Problem 9.. Clcolre d cui x + x + b = (x α)(β x) = (β x) x α β x t = x α β x quindi x + x + b = t(β x). x + x x + 8 Le rdici del rdicndo sono α =, β = 4. Quindi ponimo t = x + 4 x x = 4t + t, = t ( + t ) dt Sostituendo nell integrle dto, ci riconducimo risolvere 5t ( + t ) dt Integrli del tipo x m (x p + b) q. Questi integrli si trsformno in un integrle di funzioni rzionli se lmeno uno dei seguenti numeri q, m +, q + m + p p è intero. Nel cso in cui q è intero q si ritorn d uno dei csi esminti in precedenz. Se è intero o si f il cmbimento di vribili Problem.. Clcolre In questo cso risult intero Si pone x = t, quindi x = t, e = t che è del tipo visto nel 4. m +, p q + m + p x p = t. x 3 ( 3 + x ) 3. m = 3, p = q = 3 m + p =. dt. L integrle divent t (3 + t) 3 dt, 9

10 Problem.. Clcolre L integrle può essere scritto nell form 4 x x 8 x ( ) 3 + x In questo cso m = 3, p = 8 3, q = 4 Risult intero q + m+ p. Si pone x 8 3 = t d cui x = t 3 8 e = 3 8 t 5 8 dt. Sostituendo nell integrle ottenimo 3 8 t ( t ) t dt, che è del tipo di integrli visti nel 4. Problem.3. Clcolre x 3 ( + x ) 3/. Integrli del tipo R(sin x, cos x). Si possono effetture vri cmbimenti vribili. L scelt dipende dll espressione dell funzione integrnd. Il più generle è il seguente t = tn x. d cui cos x = t t, sin x = + t + t, = + t dt. Altri cmbimenti di vribile che si possono effetture sono Vedimo lcuni esempi. t = cos x, oppure t = sin x, oppure t = tn x. Problem.. Clcolre Rispost. Ponimo cos x + sin x + t = tn x Sostituimo nell integrle dto t +t + t +t + + t dt = + t dt = log + t + C Tenuto conto dell posizione ftt l insieme delle primitive dell integrle di prtenz è dto d: ( log + tn x ) + C. Problem.. Clcolre sin x(cos x ) + cos x

11 Rispost Ponimo t = cos x d cui dt = sin x. Sostituendo nell integrle proposto t + t dt = t + t dt + + t dt = log + t + rctn( + t ) + C Quindi sin x(cos x ) + cos x Problem.3. Clcolre Rispost (sin x 3) cos x = = log + cos x + rctn( + cos ) + C (sin x 3) cos x sin x 3 cos x cos x = sin x 3 sin x cos x Ponimo t = sin x, quindi dt = cos x. Sostituendo nell integrle di prtenz ci riportimo risolvere t 3 t dt. Problem.4. Clcolre sin x + 4 cos x tn x + Rispost. sin x + 4 cos x tn x + = cos 4 x tn x + 4 tn x + cos x = tn x + 4 ( + tn x) tn x + ( + tn x) Ponimo t = tn x, d cui dt = cos = ( + tn x). Sostituendo nell integrle dto ci riconducimo x risolvere t + 4 ( + t ) t + dt Problem.5. Clcolre sin x sin x( cos x). Vri esercizi sugli integrli indefiniti Problem.. Clcolre ln x ln x ln (), (b) x x, (c) x ln x x (d), (e) e x x (f) x sin x x3 x x x 3 x(x + 3) (g) 4x 3 (h) x (x (i) + )(x ) (x + )(x ) (j) (x 4 + cos x (k) (l) cos x sin x (m) + cos x (n) cos 3 + cos x (o) x sin x + cos x. Problem.. Clcolre Rispost. I(x) = C + x/ ln x. Problem.3. Clcolre ln x I(x) = ln x. I(x) = sin 4 x + cos 4 x.

12 Rispost. Problem.4. Clcolre I(x) = ( ) tn x rctn + C. I α (x) = x α ln x, α R e trovre un funzione F (x) tle che ) F (x) é primitiv di x α ln x, b) F (e) =. 3 Integrle definito (di Riemnn) Teorem fondmentle del clcolo integrle Se F (x) é primitiv di f llor (3) Integrzione per prti b b f (x)g(x) = f(b)g(b) f()g() f(x) = F (b) F () = b [ F (x) f(x)g (x) = ] b. [ ] b f(x)g(x) b f(x)g (x). Cmbimento di vribili. Si y = f(x) un funzione invertibile definit nell intervllo [, b]. Allor Problem 3.. Clcolre () b ln(x + ), (b) x + (d) g(f(x)) f (x) = e x, + e x (e) Problem 3.. Clcolre f(b) f() g(y)dy. (x 4), (c) x / /x e x e x. Rispost. Tenuto conto dell seguente proprietà degli integrli x (x + ) x π (f) x cos x e di sostituimo b f(x) = c f(x) + b e x = { e x x e x + x <, c f(x), < c < b, ( e x ) + ( e x ) = [ e x] + [ x ] + [ e x] + [ x ] = e. Problem 3.3. Clcolre e x.

13 Rispost. D e x = { e x x e (x ) x <, e dll proprietà degli integrli definiti vist nell esercizio precedente ottenimo e x. = e (x ) + e x = [ ee x] + [ e e x] = e. Problem 3.4. Si f C ( [, b] ) tle che f(x) per ogni x [, b]. Dimostrre che se esiste x [, b] tle che f(x ) > llor b f(x) >. Problem 3.5. Provre che ogni funzione monoton e limitt su un intervlo [, b] e integrbile secondo Riemnn. Problem 3.6. Provre che se f(x) e integrbile su [, b] e φ : R R e crescente e Lipschitzin llor nche l funzione compost φ f e integrbile su [, b]. P.S. Si ricord che un funzione φ : [, b] R e Lipshitzin su [, b] se esiste C > tle che Problem 3.7. Si dt f : [, b] R tle che φ(x) φ(y) C x y x, y R. (4) f(x) f(y) C x y α x, y [, b], per qulche C > ed α >. Provre che f(x) e integrbile ed inoltre vle l identit (5) b f(x) = f()(b ). Provre l identit (5) e fls in generle se si suppone (4) con < α. Problem 3.8. Dre un esempio di un funzione f integrbile secondo Riemnn sull intervllo [, b], tle che f(x) per ogni x [, b] ed inoltre esist x [, b] dove f(x ) >, per l qule si verificto b f(x) =. Problem 3.9. (disequzione di Cuchy) Se f, g C[, b] dimostrre l disequzione (6) b f(x)g(x) b f(x) Problem 3.. (disequzione di Hölder) Se p, q (, ) soddisno llor per ogni f, g C[, b] bbimo l disequzione (7) b p + q =, b g(x). ( ) /p ( b /q b f(x)g(x) f(x) p g(x) ) q. 3

14 Problem 3.. (disequzione di Minkowski) Se p (, ) llor per ogni f, g C[, b] bbimo l disequzione (8) ( /p ( b /p ( b /p b f(x) + g(x) ) p f(x) ) p + g(x) ) p. Problem 3.. Se f(x) C[, ] e l funzione e derivbile in (, b) e soddisf l condizione (9) llor l condizione f() = implic f (x) () f(x) per ogni x [, ]. Problem 3.3. Se f(x) C[, ] e l funzione e derivbile in (, b) e soddisf le condizioni () e () implicno f (x) f(x) (3) f(x) 3 per ogni x [, ]. Problem 3.4. Clcolre Rispost I =. Problem 3.5. Clcolre Rispost I = /3. I = 3 3 I = ln(x + + x ) + x + x rctn (x + x 5 ). π/ π/ e sin x + e sin x cos x cos3 x. Problem 3.6. Dimostrre che per ogni funzione f continu bbimo Problem 3.7. Clcolre Rispost I = π /4. π xf(sin x) = π I = π x π f(sin x). sin x + cos x. Problem 3.8. Se f C[, ] e crescente, llor per gni numero α (, ) bbimo f(t)dt α α f(t)dt. 4

15 4 Funzioni integrbili in senso improprio. Si f : (, b] R. Diremo che f è integrbile in senso improprio su (, b] se. f è integrbile secondo Riemnn in ogni intervllo (c, b] con < c < b,. esiste finito il limite lim c + b c in tl cso ponimo f(x), b b lim f(x) = f(x) c + c Anlogmente Si f : [, + ) R. Diremo che f è integrbile in senso improprio su [, + ) se. f è integrbile secondo Riemnn in ogni intervllo [, c] con < c,. esiste finito il limite lim c + c f(x), in tl cso ponimo c + lim f(x) = f(x) c + Problem 4.. Clcolre + Si < < c. Quindi se α Se invece α = c lim c + c x α = c lim c +, >. xα { x α = α x α α log x α =. lim c + [ x α ] c α x = In definitiv l funzione f(x) = x α è integrbile in senso improprio su [, + ) se α >. Problem 4.. Clcolre Problem 4.3. Clcolre b { = α α α > + α < lim [ log x] c = +. c + + x 4., >. (x ) α Procedendo in modo nlogo quello visto in precedenz si ottiene che l funzione f(x) = è integrbile in senso improprio su (, b] se α <. (x ) α 5

16 Problem 4.4. Si f C ( [, + ) ). Supponimo che dimostrre che + lim f(x) = L x + f(x) = { + L > L < Un funzione f si dice ssolutmente integrbile in senso improprio se è integrbile in senso improprio l funzione f. Si dimostr che se f ssolutmente integrbile in senso improprio llor è integrbile in senso improprio. Quest proposizione ci permette di risolvere il seguente problem. Problem 4.5. Dimostrre che esiste finito il seguente integrle improprio. + sin x Non è restrittivo considerre >. Si < b. Dopo ver effettuto il cmbimento di vribile x = t si h b sin x = b sin t dt = (integrzione per prti) t [ = cos t ] b b cos t b cos dt = cos + b cos t t t 3 b dt t 3 Osservimo che mentre perchè Poichè l funzione t t 3 lim b + lim b + s.i. in tle intervllo e quindi l funzione x cos t t 3 b cos b = b cos t t 3 dt < + cos t <, t >. t 3 t 3 è integrbile in senso improprio su (, + ) nche x cos t risult integrbile in t 3 è ivi ssolutmente integrbile in s.i. e dunque integrbile in s.improprio. Abbimo nche utilizzto il criterio del confronto per integrli impropri nelle considerzioni precedenti. Problem 4.6. Studire l vrire di α R l integrbilit sull semirett [, + ) dell funzione ( π ) α f(x) = rctn x Rispost: l funzione risult integrbile in s.i. per α >. Problem 4.7. Studire l vrire di α R l integrbilit sull semirett [, + ) dell funzione ( π f(x) = rctn x ) α x Rispost: l funzione risult integrbile in s.i. per α > 3. 6

17 Problem 4.8. Dto l integrle improprio I(n) =. dimostrre che esiste finito per ogni n N;. dimostrre che I(n) = n! per ogni n N. ( log x) n Problem 4.9. Studire l vrire di α R l integrbilit sull semirett (, + ) dell funzione f(x) = x α ( + rctn x) x ( + rctn x) x Rispost: Si verific prim di tutto che il denomintore di f non mmette zeri sull semirett (, + ). Poi si studi l integrbilità di f nei due intervlli (, ) e (, + ), con >. Intersecndo i vlori di α per i quli f è integrbile in s. i. nei due intervlli l funzione risult integrbile in s.i. su (, + ) per α > 3. Problem 4.. Clcolre il vlore del seguente limite lim x + x x cos t t 5 dt Rispost. Il vlore del limite è. Problem 4.. Clcolre il vlore del seguente limite Rispost. Il vlore del limite è log. Problem 4.. Studire l funzione: lim x + x x cos t t 3 dt x f(x) = x3 3 + x e t dt, x R. 5 Serie di Fourier 5. Il polinomio trigonometrico Definimo polinomio trigonometrico un combinzione linere (4) P N (t) = c k e iktπ/m. o (5) P N (t) = N + k cos(kxπ/m) + b k sin(kxπ/m). k= k= Abbimo n = c n + c n, b n = i(c n + c n ), c n = ( n ib n ), c n = ( n + ib n ) = c n. 7

18 Si dt un funzione f pprtenente C([; M]); per ogni intero n, definimo il coefficiente di Fourier n-esimo di f, (6) c n = ˆf(n) = f(t), e intπ/m = M f(t)e intπ/m dt. M M (7) n = M M f(t) cos(ntπ/m)dt, b n = M Definimo, infine, l Serie di Fourier di f, (8) ˆf(n)e intπ/m. (9) n Z M f(t) sin(ntπ/m)dt. Sceglimo M = π. Denoteremo con P N,f (t) il polinomio trigonomerico ssocito ll funzione f, ossi P N,f (t) = ˆf(k)e ikt. Per ogni funzione f, borelin su T, vle l disuguglin di Bessel, n Z ˆf(n) π Dimostrzione. f(t) P N,f (t) = f(t) = f + = f + = f + Osservimo che si h ˆf(k)e ikt = N N ˆf(k)e ikt ; π ˆf(k)e ikt f(t) dt. ˆf(k)e ikt ˆf(k)e ikt ˆf(k)e ikt 4π m= N f(t) P N,f (t) = f π Pssndo l limite per N si ottiene l disuguglinz (9). f(t); ˆf(m)e imt = π ˆf(k). ˆf(k)e ikt ˆf(k) f(t); e ikt ˆf(k) ˆf(k). ˆf(k) ˆf(k), ( Dll ) disuguglinz di Bessel segue che, per ogni funzione f pprtenente L (, π), l successione ˆf(n) pprtiene l ovvero l serie ˆf(n) converge. Come corollrio di questo ftto si h: Teorem 5. (Riemnn-Lebesgue). Per ogni funzione f pprtenente L (; π), n Z () lim ˆf(k) =. k 8

19 5. Nucleo di Dirichlet. Convergenz puntule del polinomio trigonometrico. Il polinomio trigonometrico D N (t) = è detto nucleo di Dirichlet. Osservimo che, per ogni intero positivo N e ogni numero rele t, il nucleo di Dirichlet D N (t) è un numero rele, in effetti Inoltre vle l identità e, in prticolre, D N (t) = k= Denotto, inftti, con q = e it, qundo q, si h e ikt = + e ikt e ikt + k= h= N e iht ( = + e ikt + e ikt) = + e ikt. D N (t) = sin ( ) N + t sin t lim D N (t) = N +. t n D N (t) = q k = q N ( + q + + q N ) = q N qn+ q ( ) = qn+ q N q q N+ q N = ( ) = qn+ q N q q q q q q Osservto che q k q k = i sin kt, D N (t) = i sin ( ) N + t i sin t = sin ( ) N + t sin t. Qunto l limite, ttrverso l formul di de l Hôpitl, ( ( ) ( lim D sin N + N(t) = lim ) t H N + cos N + t t sin t = lim ) t t cos t = N +. Infine, π D N (t) dt = π e ikt dt = π k= e ikt dt = π. Attrverso l definizione di nucleo di Dirichlet e l definizione dei coefficienti di Fourier, si h P N,f (t) = = π = π c k e ikt = π π π ( π f(s)e ik(t s) ds = π f(s)d N (t s) ds. ) f(s)e iks ds e ikt π f(s). e ik(t s) ds 9

20 ossi () P N,f (t) = π Inoltre, π f(s)d N (t s) ds ossi π π f(t)d N (t s) ds = f(t) π = f(t) π π π D N (t s) ds = f(t) π D N (ξ) dξ = f(t), t π t D N (ξ) dξ () f(t) = π Dlle formule () e () si ottiene (3) f(t) P N,f (t) = π π π f(t)d N (t s) ds [ f(t) f(s) ] DN (t s) ds. Si A R un insieme simmetrico rispetto ll origine, ovvero tle che x A x A. (Ad esempio A = (, )) Definizione 5.. Diremo che f : A R è un funzione pri se x A, f(x) = f( x) funzione dispri se x A, f( x) = f(x) Esempio 5.. L funzione f(x) = x è pri. L funzione f(x) = x 3 è dispri. Inftti ( x) = x, mentre ( x) 3 = ( x) 3 = ( ) 3 x 3 = x 3. Esercizio 5.. Si ϕ : A R un funzione che si contempornemente pri e dispri llor x A, ϕ(x) =. Devono essere verificte le seguenti equzioni per ogni x A : ϕ(x) = ϕ( x) e ϕ( x) = ϕ(x) d cui ϕ(x) = ϕ(x). D cui x A, ϕ(x) = Esercizio 5.. Sino f p, g p e f d, g d rispettivmente funzioni pri e funzioni dispri.dimostrre che f p ± g p è un funzione pri e f d ± g d è un funzione dispri. Bst osservre che f d ( x) ± g d ( x) = f d (x) ± [ g d (x)] = [f d (x) ± g d (x)]. Anlogo procedimento per il cso pri. Esercizio 5.3. Sino ψ p, ψ d : A R tli che x A, ψ p (x) + ψ d (x) =. Allor x A, ψ p (x) = e ψ d (x) =. Inftti x A: d ψ p (x) + ψ d (x) = segue ψ p (x) = ψ d (x) = ψ d ( x) mentre d ψ p ( x) + ψ d ( x) = segue ψ p ( x) = ψ d ( x) = ψ d (x) d queste relzioni e dll prità di ψ p (ψ p (x) = ψ p ( x)) ottenimo ψ d (x) = ψ d ( x). Ovvero ψ d è pri. Un funzione che si contempornemente pri e dispri è identicmente null (vedi Esercizio 5. Segue dl ftto che y = y y =.

21 Esercizio 5.4. Ogni funzione f : A R si può decomporre in un unico modo come somm di un funzione pri e di un funzione dispri Bst scrivere f(x) = f(x) + f( x) + f(x) f( x) = f p (x) + f d (x) f(x) + f( x) f p (x) = è pri perchè f(x) + f( x) f( x) + f(x) f(( x)) + f( ( x)) f p (x) = = = = f p ( x) mentre f(x) f( x) f(x) f( x) f( x) f(x) f(( x)) f( ( x)) f d (x) = = = = = f d ( x). L decomposizione è unic perchè se esistessero g p, g d rispettivmente funzione pri e funzione dispri tli che f(x) = g p + g d llor f p g p + f d g d =. L funzione f p g p è pri (mentre l funzione f d g d è dispri (vedi Esercizio 5.). L somm di un funzione pri e di un dispri è zero se sono nulle le due funzioni, quindi f p = g p, e f d = g d. Definizione 5.. Si f : R R. Diremo che f è un funzione periodic di periodot > se x R, f(x + T ) = f(x) Proposizione 5.. Se f è è un funzione periodic di periodo T llor x R, n Z, f(x + nt ) = f(x) Dimostrzione. Inizimo col provrlo per n N. Procedimo per induzione. Se n = segue dll definizione. Provimo che, x R, d f(x + nt ) = f(x) segue f(x + (n + )T ) = f(x). Inftti f(x + (n + )T ) = f(x + nt + T ) = f((x + T ) + nt ) = (per l ipotesi induttiv) = f(x + T ) = f(x). Per dimostrrlo nel cso che n Z bst osservre che m N, tenuto conto di qunto dimostrto sopr, segue f(x) = f(x mt + mt ) = f((x mt ) + mt ) = f(x mt ). Esercizio 5.5. Dimostrre che l funzione f(x) = [x] x è periodic di periodo T =. Dobbimo dimostrre che x R, f(x) = f(x + ). Ponimo x R, x = n + r, conn Z, r [, ). Quindi [x] = [n + r] = n, mentre [x + ] = [n + r + ] = [n + + r] = n +. In definitiv possimo scrivere f(x) = [x] x = [n + r] (n + r) = r e f(x + ) = [x + ] (x + ) = n + (n + r + ) = r Problem 5.. Sviluppre in serie di Fourier l funzione e x nell intervllo [, π]. Problem 5.. Sviluppre in serie di Fourier l funzione e 3x nell intervllo [ π, π]. Problem 5.3. Sviluppre in serie di Fourier l funzione f(x) = x x nell intervllo [ π, π]. Problem 5.4. Si f(x) = Clcolre i coefficienti di Fourier dell funzione f(x). n= sin 3nx. n! Problem 5.5. Si scriv l serie di Fourier ssocit ll funzione f(x) dispri, π periodic, definit in [, π] d f(x) = π x. Problem 5.6. Si f(t) = /t se t (, π/) ( π/, ) e f() = se t (, π/] {} [π/, ) e si sono i coefficienti di Fourier. Domistrre che b n = π π π f(t) sin tdt b n C ln n, n.

22 6 Equzioni ordinrie vribili seprbili Equzioni Ordinrie L equzione y (x) = f(y) é un equzione ordinrie. L soluzione si trov integrndo: dy f(y) =. Se F (y) é un primitiv di /f(y) llor /f(y) = F (y) e tutti soluzioni y(x) sono soluzioni di Il problem di Cuchy F (y) = x + C. (4) y (x) = f(y), y(x ) = y con f(y ) h unic soluzione y = y(x) in un intorno di x definit dll equzione (5) L equzione e equzione vribili seprbili. Il problem di Cuchy y y dt f(t) = x x. y (x) = f(y)g(x), (6) y (x) = f(y)g(x), y(x ) = y con f(y ) h unic soluzione y = y(x) in un intorno di x definit dll equzione (7) y y dt f(t) = x x g(s)ds. Problem 6.. Trovre tutti soluzioni di y = y, y = siny, y = y + 3. Problem 6.. Risolvere le equzioni xy + (x + ) y =, y + x = + y. Risp. y = c x + e /(x+), y + + y = c(x + + x ). 7 Equzioni ordinrie lineri L equzione (8) y = (t)y(t) + b(t), dove t I e I e un intervllo in R si chim equzione linere. Se b(t) = l equzione si chim omogeneo. Tutte le soluzioni di quest equzione si possono representre come ) y(t) = e (c A(t) + b(s)e A(s) ds, dove A(t) = (s)ds e un primitiv di (t). Il problem di Cuchy (9) y = (t)y(t) + b(t), y(x ) = y

23 h unic soluzione definit d L equzione di Bernoulli y(t) = e A(t) (y + ) b(s)e A(s) ds x, A(t) = (3) z = (t)z(t) + b(t)z k, k,, si puo trsformre in (8) con l trsformt L equzione di Riccti x z k = y. (3) z = (t)z (t) + b(t)z + c(t), t x (s)ds. non si puo risolvere esplicitmente in generle. Se conoscimo un soluzione z (t) usndo l sostituzione z(t) = u(t) z (t) possimo ottenere un equzione (rispetto u(t)) tle che quest equzione e un equzione di Bernoulli. Problem 7.. Trovre tutti soluzioni di Risp. ) y = 3t y(t) + t 5, )y = y + sin t, 3)ty + y = y 3 t 3 e t )y(t) = ce t3 3 (t3 + ), ) y(t) = ce t (sin t + cos t). ( ) t 3)y (t) = ct e t t. 4 Problem 7.. Trovre tutti soluzioni dell equzione di Riccti 3t y + y t + =, Soggerimento. Un soluzione prticolre e del tipo y(t) = /t, dove =, Dopo l sostituzione y = x + /t ottenimo l equzione di Bernoulli Le soluzioni sono x = o x = (t + ct /3 ). 3tx + x t + x = Problem 7.3. Si f(t) e T - periodic e continu. Verificre che l equzione y (t) = f(t) h un soluzione periodic con periodo T se e solo se T f(t)dt =. Problem 7.4. Si f(t) e T - periodic e continu. Se l equzione y (t) = f(t) h un soluzione limitt llor T f(t)dt =. Problem 7.5. Si (t) e T - periodic e continu. Verificre che l equzione y (t) = (t)y(t) h un soluzione periodic con periodo T se e solo se T (t)dt =. Problem 7.6. Si (t), b(t) sono funzioni continui con periodo T e T (t)dt. Qunte soluzione periodiche con periodo T h l equzione linere y (t) = (t)y(t) + b(t). Problem 7.7. (Peron) Si (t), b(t) sono funzioni continui in R tli che lim (t) = <, t + lim t + b(t) = b clcolre lim t + y(t), dove y(t) e l soluzione di y (t) = (t)y(t) + b(t). Risp. b /. 3

24 8 Equzioni ordinrie di secondo ordine Problem 8.. Se y(t) soddisf l equzione dove e costnte, llor l energi y (t) = y(t), E(t) = y (t) y(t) e costnte. Concludere che se <, y(t) soddisf y() = y () =, llor y(t) = per ogni t R. Problem 8.. Se y(t) soddisf l equzione y (t) = y(t), dove e costnte, e y(t) soddisf y() = y () =, llor y(t) = per ogni t R. Problem 8.3. Se y(t) soddisf l equzione y (t) = y(t), dove < e costnte, llor esistono due costnti A, B tli che per ogni t R. y(t) = A cos ( t ) + B sin ( t ) 4