ala 10 marzo ore 11 marzo ore Esercizio svolto: {M n }, M n > a, M n +, e la sua somma non Bibliografia: appunti. 15 marzo ore

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1 INGEGNERIA AEROSPAZIALE A.A.29/2 CANALE L Z Anlisi Mtemtic 2 DIARIO DELLE LEZIONI mrzo 2 2 ore Prof. Drio Slvitti Richimi di teori dell integrzione ll Riemnn. Funzioni crtteristiche, funzioni costnti trtti e nulle fuori di un comptto. Un funzione limitt con l più un numero finito di punti di discontinuità è integrbile. Bibliogrfi: [5]: mrzo 2 2 ore Integrbilità in senso improprio. Cso di funzioni non limitte. Vlore principle secondo Cuchy. Bibliogrfi: []: 9.7; ppunti. 3 mrzo 2 2 ore Criterio del confronto e del confronto sintotico. Criterio sintotico per infiniti non confrontbili. Bibliogrfi: []: 9.7.; ppunti. 4 mrzo 2 2 ore Integrbilità in senso improprio nel cso di intervllo d integrzione illimitto. Vlore principle secondo Cuchy. Criterio del confronto e del confronto sintotico. Generlizzzione l cso in cui l funzione α f() è limitt. Funzioni ssolutmente integrbili. L integrbilità ssolut implic l integrbilità. Bibliogrfi: []: 9.7; 9.7.; 9.7.2; [5]: mrzo 2 2 ore L integrbilità non implic l integrbilità ssolut. L funzione sin è integrbile m non è ssolutmente integrbile in [, ). Criterio sintotico per infinitesimi non confrontbili. Criterio integrle per l convergenz di un serie. Integrbilità di in un intorno di =, di =, α log β di +. Integrli di Fresnel. Funzioni di segno costnte non infinitesime e integrbili ll infinito. Criterio di Abel per l integrbilità ll infinito. Bibliogrfi: []: 9.7.; 9.7.2; 9.8; [5]: 6.9; ppunti. 9 mrzo 2 2 ore Esercizi svolti: d p log q (log log ) ; r e Studio dell funzione integrle F() = log + 2 d. log t + t 2 dt. l Proprietà dell funzione logritmo L() = Bibliogrfi: [5]: 5.8; ppunti. mrzo 2 2 ore dt t. Esercizio svolto: studio dell funzione integrle F() = dt + t 2 ; Integrli eulerini di second specie (funzione gmm). Γ(α) converge α > ; Γ(α+) = αγ(α); Γ(α)Γ( α) = π sin απ, α + π (, ); e 2 d = 2. Dimostrzione dell formul di Stirling n! = n n e n ( 2πn + α n ), α n. Bibliogrfi: [6]: 7.9; ppunti. mrzo 2 2 ore Esercizio svolto: d log(e)log (log(e 2 )). Prllelismo integrli impropri-serie. + Mn f() d converge se e solo se l serie f() d converge per ogni successione {M n }, M n >, M n +, e l su somm non n= M n dipende d {M n }. Se f() h segno costnte, f() d converge se e solo se l serie converge per lmeno un successione {M n }, M n >, M n +, monoton crescente. Criterio di Cuchy per l integrbilità ll infinito. Teorem dell medi integrle generlizzto. Criterio di Abel per l integrbilità ll infinito. Bibliogrfi: ppunti. 5 mrzo 2 2 ore Equzioni differenzili del primo ordine vribili seprbili. Soluzione dell esercizio teorico b n lim f() n d = m f(). n + [,b] Esercizio svolto: e 3 sinh( ) γ + 5 d. Bibliogrfi: ppunti; note in rete.

2 6 mrzo 2 2 ore Equzioni differenzili del primo ordine delle forme: ) = f(y ); b) y = f(y ); c) f(y ) =. Domini di funzioni di due vribili. Bibliogrfi: ppunti; note in rete. 7 mrzo 2 2 ore Distnze e intorni in R n. Limiti e continuità di funzioni due vribili. Funzioni vlori vettorili. Curve prmetrizzte. Bibliogrfi: []:.;..;.2; mrzo 2 2 ore Clcolo di limiti di funzioni di due vribili. Coordinte polri. Convergenz uniforme in ϑ. Limiti delle restrizioni su curve prticolri. L convergenz lungo le direzioni non implic l convergenz. Esempio: Coordinte sferiche. lim (,y) (,) Bibliogrfi: []: mrzo 2 2 ore 2 y 4 + y 2. Esercizi sui limiti di funzioni di due vribili. Dimostrzione del crttere non uniforme dell convergenz di 2 y 4 + y in 2 bse ll definizione; dimostrzione del crttere non uniforme dell convergenz di 2 + y 2 ) y( ricorrendo ll ( 2 + y 2 ) 3 + y2 crtterizzzione lim sup F(ρ,ϑ) l =. ρ ϑ [,2π) Bibliogrfi: ppunti 23 mrzo 2 2 ore Equzioni differenzili del primo ordine omogenee. Coordinte sferiche in R n. Clcolo di limiti di funzioni in tre o più vribili. Limiti iterti. Esempi di funzioni per le quli esiste uno solo o due soli dei limiti lim (,y) (,y ) f(, y), lim lim f(, y), y y Bibliogrfi: ppunti; note in rete. 24 mrzo 2 2 ore lim lim f(, y). y y ( Equzioni differenzili dell form y + by + c ) = f. + b y + c Clcolo di lim f(, y) = l nei csi l = ±. Esempi (,y) (,y ) di funzioni f(, y) che: mmettono limiti iterti m diversi tr loro; mmettono limiti lim f(, y), lim f(, y) uguli y m non mmettono lim f(, y); non sono continue m (,y) (,) sono continue nelle due vribili seprtmente. Bibliogrfi: ppunti; note in rete. 25 mrzo 2 2 ore Inversione dell ordine di pssggio l limite. Condizione sufficiente. Esempi e controesempi. Crtterizzzioni di funzioni convesse. Convessità di log Γ(). Teorem di Bohr-Mollerup. Bibliogrfi: ppunti 2 prile 2 2 ore Derivte przili, derivte direzionli. Equzioni differenzili del primo ordine lineri. Bibliogrfi: [7]:.; note in rete 3 prile 2 4 ore Grdiente. Generlizzzione del teorem di Fermt e del teorem del vlor medio di Lgrnge per funzioni di più vribili. Ricerc di mssimi e minimi per funzioni di due vribili. Metodo dell vrizione dell costnte rbitrri e metodo dell fttorizzzione per equzioni differenzili del primo ordine lineri. Equzioni di Bernoulli. Equzioni di Riccti. Proprietà del birpporto. Equzione del missile. Bibliogrfi: [7]:.; note in rete; ppunti. 4 prile 2 2 ore Teorem del vlor medio per funzioni vlori vettorili. Differenzibilità. L differenzibilità implic l continuità. Formul del grdiente. Bibliogrfi: [7]:.2 5 prile 2 2 ore Dimostrzione dell formul del grdiente. Il grdiente come indictore di mssimo incremento. Differenzile di un funzione di n vribili vlori reli. Controesempi lle impliczioni non vere tr le proprietà di: continuità, derivbilità, derivbilità lungo qulsisi direzione, differenzibilità. Equzioni di Clirut. Integrle generle e integrle singolre. Bibliogrfi: [7]:.2; note in rete. 9 prile 2 2 ore Differenzibilità e pino tngente. Deduzione dell equzione del pino tngente. Teorem del differenzile totle. Controesempi lle impliczioni non vere reltive ll differenzibilità. Bibliogrfi: [7]:.2; ppunti. 2 prile 2 4 ore Dimostrzione del teorem del differenzile totle. Derivte successive. Teorem di Schwrtz. Derivzione di un funzione compost. Equzioni di d Almbert-Lgrnge. Bibliogrfi: [7]:.2;.3;.4; note in rete.

3 2 prile 2 2 ore Estremnti reltivi. Condizione necessri per l ntur di un punto critico. Hessino. Mtrici definite o semidefinite positive (negtive). Sviluppo di Tylor di ordine 2 per funzioni sclri di n vribili. Bibliogrfi: [7]:.5; ppunti. 3 mggio 2 2 ore Dimostrzione del teorem di Fubini. Esercizi: integrzione in coordinte polri centrte nell origine (; ) o nel centro di simmetri del dominio. Volumi di solidi di rotzione intorno d un qulunque sse crtesino. Simmetrie negli integrli. Bibliogrfi: [7]: prile 2 4 ore Condizioni sufficienti per estremnti reltivi. Criterio dell hessino per funzioni di due vribili. Cso generle: condizioni necessrie e sufficienti ffinchè le rdici di un polinomio bbino tutte lo stesso segno. Insiemi connessi. Se il grdiente è nullo su un perto connesso llor l funzione è ivi costnte. Bibliogrfi: [7]:.5; ppunti. 26 prile 2 2 ore Esercizi sugli estremnti liberi. Condizione necessri e sufficiente ffinché un mtrice simmetric si definit, in termini dei suoi minori principli. Equzioni differenzili di ordine superiore l primo, dell form: ) y (n) = ϕ(); b) F(y (n ), y (n) ) = ; c) F(y (n) ) =. Bibliogrfi: ppunti; note in rete. 27 prile 2 4 ore Clcolo integrle per funzioni di più vribili. Funzioni semplici. Integrle di funzioni limitte e nulle l di fuori di un comptto. L misur di Peno-Jordn. Un insieme limitto è misurbile se e solo se m( E) =. Unione, intersezione, differenz di insiemi misurbili è misurbile. Il sottogrfico di un funzione positiv integrbile è misurbile. Insiemi normli rispetto d un sse crtesino. Un funzione continu su un insieme limitto misurbile è ivi integrbile. Teorem di Fubini. Bibliogrfi: [7]: 2.; 2.2; 2.3; 2.4; ppunti. 28 prile 2 2 ore Integrli tripli. Formule di riduzione per domini z normli (integrzione per fili). Equzioni differenzili dei tipi: F(,y, y,..., y (n ), y (n) ) = ; F(y,y, y,..., y (n ), y (n) ) = ; F(y, y,..., y (n ), y (n) ) =, dove n >. Bibliogrfi: [7]: 2.4; note in rete. 29 prile 2 2 ore Volume di un solido. Integrzione per strti. Volume di un solido di rotzione, not l curv pin ruott. Cmbimento di vribili negli integrli multipli. Jcobino di un trsformzione. Coordinte polri, cilindriche, sferiche. 4 mggio 2 4 ore Bricentro. Teorem di Pppo-Guldino. Jcobino delle coordinte polri n dimensionli. Volume dell sfer n dimensionle. Integrli multipli impropri. Convergenz per sfere e convergenz per cubi. Se f è positiv le due definizioni di convergenz coincidono. Controesempio di Dirichlet. Clcolo di e 2 d. Equzioni differenzili di ordine superiore l secondo omogenee (metodo y = ±e t ). Bibliogrfi: [7]: 2.5; 2.8; note in rete. 5 mggio 2 2 ore Jcobino dell composizione di funzioni di più vribili vlori vettorili. Diffeomorfismi. Jcobino dell trsformzione invers. Teorem sul cmbimento dell misur per diffeomorfismi. Dimostrzione del teorem di cmbimento delle vribili negli integrli multipli. Bibliogrfi: [7]: 2.5; 2.8; note in rete. 6 mggio 2 4 ore Coordinte polri, sferiche, cilindriche come diffeomorfismi. Funzioni (positivmente) omogenee. Se esiste l derivt direzionle lungo ˆv in, llor esiste l derivt direzionle lungo ˆv in t, t >. Teorem di Eulero. Un funzione differenzibile omogene di grdo su R n è linere. Il metodo dimensionle. Proprietà di scl delle relzioni funzionli tr grndezze fisiche. L funzione dimensione ϕ(α,...,α n ) è sempre il prodotto di potenze. Teorem Π. Deduzione, meno di un fttore numerico dimensionle, del periodo del pendolo semplice e dell ngolo di distcco su un guid circolre. Bibliogrfi: ppunti mggio 2 2 ore Derivzione sotto il segno di integrle. L funzione integrle è uniformemente continu. Teorem di derivzione sotto il segno di integrle nel cso di integrzione propri sin o impropri. Clcolo di d. Derivt di F(t) := β(t) f(, t) d. α(t) Bibliogrfi: [7]: 3.2; ppunti. Bibliogrfi: [7]: 2.5; 2.6; 2.7

4 mggio 2 4 ore Curve regolri trtti, semplici, chiuse. Un funzione f() di clsse C è un curv semplice regolre di R 2. Ogni curv regolre semplice di R 2 è loclmente il grfico di un funzione. Curve equivlenti. Diffeomorfismi tr intervlli chiusi. Se ϕ ψ, ϕ è semplice se e solo se ψ lo è. Versore tngente di curve orientte equivlenti. Lunghezz di un curv. Curve regolri equivlenti hnno stess lunghezz. Clcolo dell lunghezz di un curv dell form y = f(). Equzioni differenzili di ordine superiore l secondo omogenee (metodo y /y = t). Bibliogrfi: [7]: 5.; 5.2; note in rete. 2 mggio 2 2 ore Clcolo dell lunghezz di un curv in coordinte polri. Asciss curviline. Integrli curvilinei. Bibliogrfi: [7]: mggio 2 4 ore Superfici regolri in R 3. Versore normle. Are di un superficie regolre. Are delle superfici di rotzione. Il teorem delle funzioni implicite in 2 e 3 dimensioni. Bibliogrfi: [7]: 5.4; 5.5; mggio 2 4 ore Il teorem di Dini nel cso generle. Integrli di superficie. Equzioni differenzili lineri coefficienti costnti di ordine superiore l primo. Teorem di struttur delle soluzioni. Equzione omogene ssocit, polinomio crtteristico. Metodo dell somiglinz. Principio di sovrpposizione. Bibliogrfi: [7]: 5.5; note in rete; ppunti 8 mggio 2 4 ore Metodo dell vrizione delle costnti rbitrrie. Mssimi e minimi vincolti. Nei punti estremnti vincolti interni il grdiente è ortogonle l vincolo. Teorem dei moltiplictori di Lgrnge. Determinzione dell ntur degli estremnti vincolti trmite il teorem di Dini. Bibliogrfi: [7]: 5.7; ppunti 9 mggio 2 2 ore Forme differenzili. Integrle di un form differenzile su un curv regolre trtti. Lvoro di un cmpo di forze. Forme estte. Condizioni necessrie e sufficienti ffinchè un form si estt. Forme chiuse. Condizione necessri perchè un form si estt. Domini stellti. 2 mggio 2 2 ore Clcolo delle primitive di un form estt. Un form chius su un perto stellto è estt. Domini semplicemente connessi. Un form chius su un dominio semplicemente connesso è estt. Appliczione delle forme estte ll risoluzione di un problem di Cuchy. Determinzione di un fttore integrnte. Bibliogrfi: [7]: 6.3; ppunti 24 mggio 2 2 ore Formule per il clcolo delle primitive di un form estt in 2 e 3 vribili. Bordi positivmente orientti. Formul di Guss-Green. Teorem dell divergenz in 2 dimensioni. Clcolo di integrli doppi. Clcolo dell re rcchius d un curv pin, in coordinte crtesine o polri. Un form chius su un dominio semplicemente connesso del pino è estt. Bibliogrfi: [7]: 6.4; mggio 2 2 ore Il rotore di un cmpo vettorile. Formul di Stokes. Flusso di un cmpo vettorile ttrverso un superficie. Un form chius in un dominio tridimensionle semplicemente connesso è estt. Clcolo di un potenzile vettore di un cmpo vettorile ssegnto. Bibliogrfi: [7]: mggio 2 2 ore Funzioni periodiche regolri trtti. Formule dei coefficienti dell serie di Fourier e teorem di convergenz puntule. Sviluppi di funzioni pri o dispri. Bibliogrfi: [7]: 4.; 4.2; mggio 2 2 ore Clcolo dell somm di lcune serie trmite sviluppi di Fourier. Risoluzione dell equzione delle onde. Superfici equivlenti. Orientzione di un superficie. Due superfici equivlenti hnno stesso versore normle meno del segno. Bibliogrfi: []: 9.2 Fine progrmm rrrrrrrrrrrrs Bibliogrfi: [7]: 6.; 6.2; 6.3;

5 Le proposizioni dimostrte durnte il corso sono riportte in corsivo. Tutte le dimostrzioni sono incluse nel progrmm d esme dell prov teoric e dell prov orle. Non sono ccettte dimostrzioni lterntive dei teoremi in progrmm. Il supermento dell prov prtic e dell prov teoric comport il supermento dell esme con l votzione di 8/3. Un votzione superiore può essere ottenut solo sostenendo nche l prov orle. L convoczione dei cndidti ll prov orle vverrà in bse d un clendrio che verrà pubblicto dopo tre giorni dll pubbliczione dei voti dell prov teoric. Entrmbe le prove scritte (prtic e teoric) si considerno superte se il voto conseguito in ciscun di esse è di lmeno 8. Gli studenti non possono prtecipre si l primo che l secondo ppello. Riferimenti bibliogrfici [] M. Bertsch, R. Dl Psso, L. Gicomelli, Anlisi Mtemtic, McGrw- Hill [2] R. A. Adms, Clcolo differenzile e 2, Cs Editrice Ambrosin [3] P. Mrcellini, C. Sbordone, Anlisi Mtemtic uno, Liguori Editore [4] P. Mrcellini, C. Sbordone, Anlisi Mtemtic due, Liguori Editore [5] E. Giusti, Anlisi Mtemtic, Bollti Boringhieri [6] E. Giusti, Esercizi e complementi di Anlisi Mtemtic, volume primo, Bollti Boringhieri [7] E. Giusti, Anlisi Mtemtic 2, Bollti Boringhieri [8] E. Giusti, Esercizi e complementi di Anlisi Mtemtic, volume secondo, Bollti Boringhieri [9] J. P. Cecconi, G. Stmpcchi, Anlisi Mtemtic, volume, Liguori Editore [] J. P. Cecconi, G. Stmpcchi, Anlisi Mtemtic, 2 volume, Liguori Editore