Capitolo 8. Metodi spettrali. 8.1 Trasformata di Fourier discreta. Sia u L 2 ([a,b] C) periodica (u(a) = u(b)) e N > 0 pari e fissato. Allora.

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1 Capitolo 8 Metodi spettrali 81 Trasformata di Fourier discreta Sia u L 2 [a,b] C) periodica ua) = ub)) e N > 0 pari e fissato Allora ove È facile vedere che e dunque ux) = m= φ F mx) = eim 1 N/2)2πx a)/b a) b a φ F j x),φ F mx) L 2 = u m = u,φ F m L 2 = = b a b a N 1 0 b a b a u m φ F mx) 81) φ F j x)φ F mx)dx = δ jm ux) e im 1 N/2)2πx a)/b a) b a dx = ub a)y + a)e im 1 N/2)2πy dy N uxn )e inπyn) e im 1)2πyn = û m n=1 ove x = b a)y + a, y n = n 1)/N e x n = b a)y n + a Il vettore N [û 1,û 2,,û N ]/ b a può essere scritto come prodotto matrice-vettore F[ux 1 )e inπy 1,ux 2 )e inπy 2,,ux N )e inπy N ] t, ove F = f mn ), f mn = e im 1)2πyn 37

2 38 CAPITOLO 8 METODI SPETTRALI Alternativamente, si può usare la Fast Fourier Transform Il comando di GNU Octavefft applicato al vettore [ux 1 )e inπy 1,ux 2 )e inπy 2,,ux N )e inπy N ] produce il vettore N [û 1,û 2,,û N ]/ b a, così come il comandofftshift applicato al risultato del comandofft applicato al vettore [ux 1 ),ux 2 ),,ux N )], come risulta chiaro dal codice riportato in Tabella 81 clear all N = 128; a = -5; b = 7; y = linspace0,1,n+1) ; y = y1:n); x = b-a)*y+a; u = randn,1)+i*randn,1); F = exp-i*[0:n-1] *2*pi*y ); uhat1 = F*u*expi*N*pi*y)); uhat2 = fftu*expi*n*pi*y)); uhat3 = fftshiftfftu)); normuhat1-uhat2) normuhat2-uhat3) normuhat1-uhat3) Tabella 81: Trasformata di Fourier discreta Dunque N e im 1 N/2)2πxn a)/b a) ux n ) û k b a = N N ) 1 û k e im 1)2πyn b a N e inπyn = û n Il comandoifft applicato al vettore [û 1,û 2,,û N ] produce il vettore b a [û 1 e inπy 1,û 2 e inπy 2,,û N e inπy N ]/N, mentre, se applicato al risultato del comando fftshift applicato al vettore [û 1,û 2,,û N ], produce il vettore b a [û 1,û 2,,û N ]/N, come risulta chiaro dal codice riportato in Tabella Note La Fast Fourier Transform di un vettore di lunghezza N ha costo ON log 2 N), mentre il prodotto matrice-vettore ON 2 ) Tali costi sono però asintotici e

3 82 TRASFORMATA DI HERMITE 39 clear all N = 128; a = -5; b = 7; y = linspace0,1,n+1) ; y = y1:n); x = b-a)*y+a; uhat = randn,1)+i*randn,1); F = exp-i*[0:n-1] *2*pi*y ); IF = F ; uhathat1 = IF*uhat)*exp-i*N*pi*y)/N; uhathat2 = ifftuhat)*exp-i*n*pi*y); uhathat3 = ifftfftshiftuhat)); normuhathat1-uhathat2) normuhathat2-uhathat3) normuhathat1-uhathat3) Tabella 82: Antitrasformata di Fourier discreta nascondono i fattori costanti Inoltre, GNU Octave può far uso di implementazioni ottimizzate di algebra lineare come, ad esempio, le librerie ATLAS) In pratica, dunque, esiste un N 0 sotto il quale conviene usare il prodotto matrice-vettore e sopra il quale la FFT La 81 si deve intendere M lim M + ux) u m φ F x) = 0 m= M L 2 L identità di Parseval assicura che b 1/2 u L 2 = ux) dx) 2 û 2 82 Trasformata di Hermite Sia u L 2 R C) Allora ove a ux) = u m φ H mx) 82) φ H mx) = H m 1 x)e x2 /2

4 40 CAPITOLO 8 METODI SPETTRALI avendo indicato con H m 1 x) il polinomio di Hermite normalizzato di grado m 1 H m 1 x)e x2 /2 è la corrispondente funzione di Hermite) Si può dimostrare che e dunque u m = u,φ H m L 2 = φ H j x)φ H mx)dx = δ jm ux)h m 1 x)e x2 /2 dx N ux n )e x2n/2 H m 1 x n )w n = û m n=1 essendo gli x n e i w n i nodi e i pesi di quadratura della formula di Gauss Hermite Dunque N ux n ) û m H m 1 x n )e x2n/2 = û n I polinomi di Hermite si costruiscono mediante la seguente relazione di ricorrenza H 0 x) = 4 1 2x, H 1 x) = π 4 π 2xHm x) mh m 1 x) H m+1 x) =, m > 0 m Note Non esiste la Fast Hermite Transform L unico modo per calcolare i coefficienti è usare il prodotto matrice-vettore Vale la seguente: ) d2 H dx 2 m 1 x)e x2 /2 +x 2 H m 1 x)e x2 /2 = 2m 1)H m 1 x)e x2 /2 83) La 82 si deve intendere M lim M + ux) u m φ H x) L 2 = 0 L identità di Parseval assicura che 1/2 u L 2 = ux) dx) 2 = û 2

5 83 METODI DI SPLITTING ESPONENZIALE Metodi di splitting esponenziale Consideriamo il seguente problema differenziale lineare { u t) = Aut) + But) u0) = u 0 Può essere conveniente eseguire uno splitting e risolvere i due problemi v t) = Avt) w t) = Bwt) e poi combinare opportunamente le due soluzioni 831 Strang s splitting La seguente combinazione si chiama Strang s splitting e vale expka/2) expkb) expka/2)u 0 expka/2) expkb) expka/2)u 0 = expka + B))u 0 + Ok 3 ) Per vederlo, basta riscrivere I + ka ) 2 ka + Ok )) I + ka ) 2 ka + Ok )) 3 = 2 2 I + kb + 1 ) 2 kb)2 + Ok 3 ) I + ka + B) + 1 ) 2 ka + B))2 + Ok 3 ) Ovviamente si può generalizzare al caso non lineare, combinando allo stesso modo le soluzioni ottenute con un qualunque metodo numerico Ovviamente si possono scambiare i ruoli di A e B 84 Equazione di Schrödinger L equazione di Schrödinger in forma normalizzata) si scrive i t ux,t) = x 2ux,t) x2 ux,t), x,t) R 0,T) ux, 0) = u 0 x), u 0 L 2 = 1 x R

6 42 CAPITOLO 8 METODI SPETTRALI ove ux, t) C di solito l incognita nell equazione di Schrödinger si indica con ψ) Si può dimostrare che u,t) L 2 = 1, e ciò dice, in qualche modo, che lim x ux,t) = 0 Si parla in questo caso di condizioni al bordo asintotiche 841 L equazione di Schrödinger e la trasformata di Fourier Prima di tutto restringiamo il dominio a [a,b] ed eseguiamo lo splitting 2 i t vx,t) = 1 2 x 2vx,t) i t wx,t) = 1 2 x2 wx,t) Nella prima equazione, decomponiamo vx,t) N ˆv m t)φ F mx), moltiplichiamo per una funzione di base φ F j x) ed integriamo in [a,b] Si ottiene il sistema ˆv 1t) λ F ˆv 2t) ˆv 1 t) i = 1 0 λ F ˆv 2 t) ˆv N 1 t) λ F ˆv N t) N 1 0 ˆv N 1 t) λ F N ˆv N t) con λ F m = ) 2 m 1 N/2)2π i b a A questo punto, mediante l antitrasformata di Fourier, possiamo approssimare la soluzione vx,t) nei punti x n Risulta dunque possibile adesso risolvere il sistema w 1 t) x 2 w 2 t) w 1 t) i = 1 0 x w 2 t) 2 w N 1 t) 0 0 x 2 w N t) N 1 0 w N 1 t) x 2 N w N t)

7 85 ESERCIZI 43 ove w m t) = wx m,t) Notiamo che un potenziale V x) diverso da quello armonico x 2 /2 non comporterebbe nessuna modifica essenziale Le condizioni al bordo non sono ben definite sono periodiche se il potenziale V x) soddisfa V a) = V b)) 842 L equazione di Schrödinger e la trasformata di Hermite Decomponiamo ux,t) N û m t)φ H mx), moltiplichiamo per una funzione di base φ H j x) ed integriamo in R Per la proprietà 83) si ottiene il sistema û 1t) λ H û û 1 t) 2t) i = 1 0 λ H û 2 t) û N 1 t) λ H û N t) N 1 0 û N 1 t) λ H N û N t) con λ H m = 2m 1 Un potenziale V x) diverso da quello armonico forza lo splitting dell equazione in 2 i t vx,t) = 1 2 x 2vx,t) x2 vx,t) i t wx,t) = V x) 1 ) 2 x2 wx,t) In questo caso, le condizioni al bordo sono di tipo asintotico 85 Esercizi Mostrare che se u 0 x) = e x2 /2 / 4 π, allora la soluzione dell equazione di Schrödinger è ux,t) = e x2 /2 it/2 / 4 π Dimostrare che la soluzione dell equazione di Schrödinger ux, t) soddisfa u,t) L 2 = 1 Sugg: calcolare d dt R ux,t) 2 dx)

8 44 CAPITOLO 8 METODI SPETTRALI Risolvere l equazione di Schrödinger con il metodo di splitting esponenziale, usando le differenze finite centrate del secondo ordine e condizioni di Dirichlet nulle per il primo problema Mostrare la convergenza quadratica nel tempo e nello spazio, prendendo come condizione iniziale u 0 x) = e x2 /2 / 4 π Risolvere l equazione di Schrödinger con il metodo di splitting esponenziale e la trasformata di Fourier Mostrare la convergenza quadratica nel tempo e spettrale nello spazio, prendendo come condizione iniziale u 0 x) = e x2 /2 / 4 π Risolvere l equazione di Schrödinger con il metodo di splitting esponenziale e la trasformata di Hermite, prendendo come potenziale V x) = x 2 /3