buck boost buck-boost N.Femia: PWM SWITCH MODEL 1/31

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Isabella Guglielmi
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1 buck boost buck-boost N.Femia: PWM SWITCH MODEL 1/31

2 a regime (dc) D c a I I cp V ap D V alle variazioni (ac) d I i D i c c a ˆ ˆ ˆ + N.Femia: PWM SWITCH MODEL 2/31 d V v D v ap ap cp ˆ ˆ ˆ +

3 buck boost buck-boost N.Femia: PWM SWITCH MODEL 3/31

4 buck boost buck-boost N.Femia: PWM SWITCH MODEL 4/31

5 buck boost buck-boost LKT1: V g V ap LKT2: V cp R L *I c + V out LKC: I out I c EQC1: V out R*I out EQC2: I a D*I c EQC3: V cp D*V ap LKT1: V g R L* I c +(V cp -V ap ) LKT2: V out - V ap LKC: I c I a + I out EQC1: V out R*I out EQC2: I a D*I c EQC3: V cp D*V ap LKT1: V g R L* I c +(V ap -V cp ) LKT2: R L* I c V cp + V out LKC: I a I c + I out EQC1: V out R*I out EQC2: I a D*I c EQC3: V cp D*V ap N.Femia: PWM SWITCH MODEL 5/31

6 buck lkt1: v g v ap eqc1: v out R*i R lkt2: v cp (R L +s*l)*i c + v out eqc2: i a D*i c +I c *d lkt3: v out (R C +1/(s*C))*i cap eqc3: v cp D*v ap + V ap *d lkc: i c i cap + i R + i out N.Femia: PWM SWITCH MODEL 6/31

7 boost lkt1: v g (R L +s*l)*i c + (v cp - v ap ) eqc1: v out R*i R lkt2: v ap - v out eqc2: i a D*i c +I c *d lkt3: v out (R C +1/(s*C))*i cap eqc3: v cp D*v ap + V ap *d lkc: i c i a + i cap + i R + i out N.Femia: PWM SWITCH MODEL 7/31

8 buck-boost lkt1: v g (v ap v cp ) + (R L +s*l)*i c eqc1: v out R*i R lkt2: (R L +s*l)*i c v cp + v out eqc2: i a D*i c +I c *d lkt3: v out (R C +1/(s*C))*i cap eqc3: v cp D*v ap + V ap *d lkc: i a i c + i cap + i R + i out N.Femia: PWM SWITCH MODEL 8/31

9 MODELLO MEDIO PER AMPI SEGNALI DI UN CONVERTITORE PWM DC-DC REALE Il Modello ai Valori Medi (MVM) è necessario per poter eseguire il dimensionamento di un convertitore PWM e per progettare un appropriato controllore. Esistono due approcci di base per ricavare il MVM: STATE-SPACE MODEL AVERAGING (SSMA): mediando le equazioni di stato si perviene ad un modello circuitale canonico che descrive il comportamento in dc e in ac del convertitore. Lo SSMA richiede la formulazione dello SSM e comporta manipolazioni matriciali che si appesantiscono in presenza di parametri parassiti. PWM SWITCH (PWMS): mediando le equazioni ai terminali della sola parte switching (PWM Switch) del convertitore si perviene ad un modello a tripolo (più in generale a n-polo) che, inserito nel convertitore, consente di descriverne il comportamento in dc e in ac. Non è necessario lo SSM. N.Femia: PWM SWITCH MODEL 9/31

10 Il modello del PWMS discusso in questa sezione è ricavato per i soli TRANSFORMERLESS PWM DC-DC CONVERTERS operanti in Continuous Conduction Mode (CCM) nelle seguenti ipotesi: Lo switch controllato (MOSFET) è modellato mediante una resistenza rs nello stato ON e mediante una resistenza infinita nello stato OFF; Il diodo è modellato mediante la serie di un generatore di tensione Vd e una resistenza rd nello stato ON e mediante una resistenza infinita nello stato OFF; Le perdite di commutazione dei dispositivi switching sono trascurabili; I componenti passivi sono lineari, tempo-invarianti e indipendenti dalla frequenza; N.Femia: PWM SWITCH MODEL 10/31

11 PWM SWITCH IDEALE DC: AC: iˆ vˆ a I V cp D D a I c cp V ap D iˆ c + Ic dˆ D vˆ + V ap ap dˆ PWM SWITCH REALE La parte switching di un convertitore reale può essere rappresentata come la combinazione di un PWMS ideale e degli elementi parassiti dei dispositivi switching, rs, rd e Vd. N.Femia: PWM SWITCH MODEL 11/31

12 PARTE SWITCHING IDEALE Si consideri l intervallo temporale corrispondente ad un periodo switching, di durata T s. Dalle LKC e LKT si ricavano le seguenti equazioni per le correnti e le tensioni della cella: i c i a + i p v ap v ac + v cp N.Femia: PWM SWITCH MODEL 12/31

13 In regime stazionario: I c I a / D I p / (1-D) V ap V cp / D V ac / (1-D) A partire da tali equazioni si ricavano 6 configurazioni di base per la rappresentazione della cella switching ideale, a seconda di quale nodo di riferimento si sceglie tra a, c e p. Figura 1 N.Femia: PWM SWITCH MODEL 13/31

14 I a DI c ; V cp DV ap I c I p /(1-D); V ap V ac /(1-D) I p (1-D)I c ; V ac (1-D)v ap I a DI p /(1-D); V cp DV ac /(1-D) N.Femia: PWM SWITCH MODEL 14/31

15 I c I a /D; V ap V cp /D I p (1-D)I a /D; V ac (1-D)V cp /D In realtà esistono 24 possibili configurazioni per la rappresentazione della parte switching ideale. Per ognuna delle 6 configurazioni di base, infatti, è possibile pilotare il generatore di corrente con una delle correnti nei rami restanti oltre che con il duty D. Allo stesso modo, il generatore di tensione può essere pilotato da una delle d.d.p. restanti oltre che dal duty D. N.Femia: PWM SWITCH MODEL 15/31

16 EFFETTO DEI PARAMETRI PARASSITI I componenti non ideali di una cella switch hanno un peso non trascurabile sulla soluzione stazionaria e sulle prestazioni del convertitore. Il modello medio della cella switch reale si ottiene aggiungendo al modello medio della cella switch ideale i componenti medi equivalenti dei parametri non ideali. Si sfrutta a tal proposito il principio di equivalenza della potenza assorbita: la potenza dissipata nel modello medio deve coincidere con la potenza dissipata nel convertitore reale N.Femia: PWM SWITCH MODEL 16/31

17 Dall andamento della corrente i a segue: i a I c per 0 < t < DTs i a 0 per DTs < t < Ts da cui: DTs 1 D I a rms 2, ia dt I c D I p T 1 D 0 La resistenza dello switch dissiperà dunque la potenza: I a D 2 2 rs D 2 P d rs I a, rms DrS I c I 2 p (1 D) rs D I 2 a N.Femia: PWM SWITCH MODEL 17/31

18 che coincide con quella dissipata nella Resistenza Media Equivalente dello switch controllato: r Seq r S D Procedendo in maniera analoga per il diodo si ricava: Resistenza Media Equivalente del diodo r deq r d ( 1 D) N.Femia: PWM SWITCH MODEL 18/31

19 Tensione Media Equivalente di Vd V V deq d Per completare il modello è necessario includere anche l effetto di dissipazione del ripple di corrente prodotto nelle resistenze serie (ESR) dei condensatori di ingresso e di uscita e nella resistenza di uscita del generatore. N.Femia: PWM SWITCH MODEL 19/31

20 Si consideri un BOOST CONVERTER a regime: i d i p I p + i p Nota: ip valore istantaneo della corrente di diodo; Ip valore dc della corrente di diodo; ip componente ac di ripple della corrente di diodo. N.Femia: PWM SWITCH MODEL 20/31

21 i p -Ip per 0 < t < DTs i p Ic-Ip per DTs < t < Ts N.Femia: PWM SWITCH MODEL 21/31

22 La componente ac della corrente di diodo attraversa la resistenza (rc//r) e dissipa in essa la potenza: P d con I p, rms D // p c p rms (1 D) 2 2 ( r R) I ( r // R) I c 1 T Ts 0 i 2 p dt Resistenza Media equivalente di (rc//r) r ad (1 D D) ( r c // R) N.Femia: PWM SWITCH MODEL 22/31

23 Utilizzando i coefficienti di riflessione è possibile trasportare un componente da un ramo all altro k xy I I y x V V x y r r x y k k k ca cp ap Ia Ic Ip Ic Ip Ia D 1 D (1 D) D r c V c D 2 r DV a a (1 (1 D) 2 r D) V d p N.Femia: PWM SWITCH MODEL 23/31

24 BUCK CONVERTER DETERMINAZIONE DEL MODELLO MEDIO PER AMPI SEGNALI N.Femia: PWM SWITCH MODEL 24/31

25 UTILIZZO DEI COEFFICIENTI DI RIFLESSIONE N.Femia: PWM SWITCH MODEL 25/31

26 V eq (1-D)V d R eq D(r s +r g -r d )+r d +r L SOSTITUZIONE DEL PWM SWITCH IDEALE CON IL RELATIVO MODELLO CIRCUITALE A P COMUNE N.Femia: PWM SWITCH MODEL 26/31

27 MODELLO MEDIO A REGIME DEL BUCK CONVERTER V eq (1-D)V d R eq D(r s +r g -r d )+r d +r L I a DI c V cp DV ap N.Femia: PWM SWITCH MODEL 27/31

28 MODELLO IN AC Il modello in ac per piccoli segnali si deriva a partire dal modello in dc introducendo una perturbazione di piccola entità sulle variabili in gioco e procedendo alla linearizzazione. D D + d; i c I c + i c ; i a I a + i a ; i p I p + i p ; v ap V ap + v ap ; v cp V cp + v cp ; NOTA : i termini sottolineati rappresentano le variazioni lente dei valori medi, osservabili su multipli di T s N.Femia: PWM SWITCH MODEL 28/31

29 I termini del tipo x y si trascurano essendo ritenuti infinitesimi del secondo ordine LINEARIZZAZIONE I a DI c I a + i a DI c + Di c + di c V cp DV ap V cp + v cp DV ap + Dv ap + dv ap i a Di c + di c v cp Dv ap + dv ap V eq (1-D)V d V eq +v eq V d (1-D) dv d v eq -dv d N.Femia: PWM SWITCH MODEL 29/31

30 R eq D(r s +r g -r d )+r d +r L R eq + r eq D(r s +r g -r d )+r d +r L +d(r s +r g -r d ) r eq d(r s +r g -r d ) dr 1 Valutiamo l effetto di questa resistenza variabile: r eq i c (R eq + r eq )(I c + i c ) R eq I c + R eq i c + r 1 I c d R eq I c termine statico; R eq i c c.d.t. su R eq dovuta a i c ; r 1 I c d generatore di tensione pilotato da d N.Femia: PWM SWITCH MODEL 30/31

31 MODELLO AC PER PICCOLI SEGNALI DEL BUCK CONVERTER i a Di c + dic v cp Dv ap + dv ap R eq D(r s +r g -r d )+r d +r L v 1 (r 1 I c -V d )d r 1 r s +r g -r d N.Femia: PWM SWITCH MODEL 31/31

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