2) Uniforme: (43) 3) Di Laplace (o esponenziale bilatera): (44) 4) Esponenziale unilatera: 5) Di Rayleigh: x exp x 0 (46) 6) Binomiale: 7) Di Poisson:

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1 Eserciio N. 5 Si deterinino vlor edio e vrin delle vribili letorie seguenti tutte di notevole interesse prtico: 1) gussin; ) unifore; 3) di Lplce; 4) esponenile unilter; 5) di Rleigh; 6) binoile; 7) di Poisson. Proprio in considerione dell loro iportn prtic, è preliinrente opportuno ricordre le espressioni delle densità di probbilità ssocite lle vribili in oggetto. 1) Gussin: 1 ( µ ) f () ep (4) ) Unifore: 1 b f () b (43) <, > b 3) Di Lplce (o esponenile bilter): f () ep > ( ) (44) 4) Esponenile unilter: ep( ) f () (45) < 5) Di Rleigh: ep () (46) < f 6) Binoile: f () n k n p k k (1 p) n k δ( k) (47) 7) Di Poisson: 11

2 n f () k k λ ep( λ) δ( k) k! (48) Ciò preesso, il clcolo del vlore edio e dell vrin per le vrie distribuioni può essere effettuto pplicndo direttente le forule, e vle dire: f () d (49) ( ) f () d (5) I risultti sono rissunti in Tbell 1. gussin µ unifore ( + b)/ (b ) /1 di Lplce / esponenile unilter 1/ 1/ di Rleigh / binoile np np(1 p) di Poisson λ λ Tbell 1 E opportuno ricordre che, i fini del clcolo dell vrin, viene spesso utilit l uguglin seguente: (51) dove f () d (5) è il oento di ordine dell vribile letori X considert. 1

3 Eserciio N. 6 Un vribile letori gussin X vlor edio nullo e vrin unitri viene pplict d un circuito rddritore doppi seiond l cui crtteristic ingresso-uscit vle /. Deterinre l densità di probbilità dell vribile letori in uscit Y. Ripetere il clcolo ssuendo un rddritore seplice seiond in luogo di quello doppi seiond. Si trtt di un tipico proble di trsforione di vribile letori. L vribile letori in ingresso X è crtterit d un densità di probbilità f () 1 ep (53) Nel cso di rddritore doppi seiond l crtteristic ingresso-uscit è illustrt in Figur 5. Figur 5 Le forule di trsforione di vribile letori, che sono note dll teori, devono essere pplicte trtti, nelle one in cui il lege funionle tr e è onotono. Dll Figur osservio dunque che è necessrio distinguere il cso < e il cso >. Per < si h: d d (54) e quindi: f () d d f () 1 4 ep ep ( ) (55) Per > si h invece: d d (56), coe in preceden, 13

4 f () d d f () 1 4 ep ep ( ) (57) identic ll (55). Inoltre, visto che tnto i vlori di < qunto i vlori di > producono >, le (55) e (57) devono essere sote per ricvre l densità di probbilità risultnte dell vribile Y. In definitiv si h dunque: f () ep ( ) < (58) L second rig dell (58) è giustifict dl ftto che non si hnno vlori di che producono <. Nel cso di rddritore seplice seiond l crtteristic ingresso-uscit è illustrt in Figur 6. Figur 6 Null cbi, rispetto l cso precedente, per i vlori di > (per i quli dunque continu vlere l (57)) entre tutti i vlori di < vengono trsforti in. Ciò signific che d viene d essere ssocit un probbilità divers d ero, e in prticolre: P f ()d { Y } P{ X < } 1 1 ep d (59) L vribile letori Y in uscit dl rddritore seplice seiond è quindi un vribile ibrid, e l su densità di probbilità si scrive f () ep 1 ( ) s () + δ() G (6) dove 1 s G () (61) < è l funione grdino unitrio. 14

5 Eserciio N. 7 Due vribili letorie X e Y, tr loro sttisticente indipendenti, sono descritte d due densità di probbilità unifori, f() e f(), l pri tr e, l second tr b e. Posto X + Y, si ipotii iniilente che si b, e si clcolino: 1) l densità di probbilità di ; ) il vlore edio e l vrin di. Si ripet quindi il clcolo ssuendo b >. Le densità di probbilità di X e Y sono ostrte in Figur 7. f() f() 1/ 1/b -b Figur 7 Nel cso di vribili letorie sttisticente indipendenti, è noto che l densità di probbilità dell so si ottiene coe integrle di convoluione delle densità di probbilità degli ddendi 1 ; si h cioè: f () f ( )f () d (6) dove si è posto, per ggior chire, f() f () e f() f (). Si trtt quindi di prticolrire questo risultto ll eserciio in ese. Nel cso b, le densità di probbilità di X e Y si riducono due funioni rettngolri di ugule estensione, seppur diversente llocte. Il risultto dell convoluione di due funioni di questo tipo è ben noto dll teori dei segnli, producendo inftti un funione tringolre. Quest funione srà lloct tr e +, corrispondenti, rispettivente, vlore inio e vlore ssio di, ed vrà l ndento illustrto in Figur 8. Il vlore edio e l vrin di possono essere deterinti prtire dll f(); nondieno, risult più gevole e significtivo il clcolo diretto prtire dll conoscen delle edie d insiee di X e Y. Si h inftti: X + Y X + Y + ( ) + + (X + Y) (63) X + Y + XY 1 Si teng ben presente che questo risultto è vlido solo per il cso, in ese, di so di vribili letorie sttisticente indipendenti. Nel cso di legi funionli più coplicti o qundo viene eno l ipotesi di sttistic indipenden è necessrio ricorrere forulioni più generli che non vengono qui esinte. 15

6 D ltro cnto, essendo X e Y sttisticente indipendenti, si h XY X Y, entre ( + ) + +. Sostituendo nell second delle (63) ottenio: X + Y + + (64) vendo nche utilito il risultto (51). f() 1/ - Figur 8 In definitiv: il vlor edio dell so è ugule ll so dei vlori edi e l vrin dell so è ugule ll so delle vrine. Dll Tbell 1 (dove e b rppresentno gli estrei dell intervllo di definione dell singol densità di probbilità unifore) ricvio ieditente (per il cso più generle):, b (65) 1, b 1 per cui, sostituendo: b + b 1 (66) Nel cso prticolre di b le (66) forniscono: 6 (67) 16

7 Per b > il risultto dell convoluione non è più un tringolo, divent invece un trpeio così coe illustrto in Figur 9. f() 1/b -b (-b) Figur 9 Il trtto costnte, in prticolre, corrisponde ll on in cui, eseguendo l convoluione, l funione f ( ) è tutt contenut entro l funione f (). Per vlor edio e vrin di vlgono in questo cso le espressioni generli (66). 17