Fig Forze interne agenti su un elemento di superficie A in un solido caricato da forze esterne.

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1 G. Petrcci Leioi di Costrioe di Maccie. LO STATO TENSIONALE NEI SOLIDI U solido tridimesioale è corpo cotio ce occpa a regioe dello spaio D di olme V, delimitata dalla sperficie S. Ua parte della sperficie S pò essere icolata all estero i modo ce gli spostameti dei pti apparteeti ad essa siao impediti. Tesioi L'oggetto dell'aalisi è solido tridimesioale i eqilibrio sotto l aioe di fore estere di massa e di sperficie. L ica ipotesi fatta sl materiale ce lo costitisce è ce sia cotio, per ci o egoo cosiderate le aioi scambiate tra particelle e a liello di dimesioi molecolari. Si sppoe alida l ipotesi di Cac secodo ci le fore ce si scambiao le parti del corpo i elemeto ifiitesimo di sperficie soo ridcibili alla sola fora risltate applicata i pto itero dell elemeto stesso. Per esamiare gli effetti del sistema di fore si pò immagiare il corpo diiso i de parti: afficé ciasca parte resti i eqilibrio è ecessario applicare sistema di fore estere distribite slla sperficie di separaioe. Qesto sistema di fore è eqialete all aioe ce l altra parte del corpo applicaa prima della recisioe. Α F Α F F P F F M La fig. mostra il corpo tagliato da piao parallelo al piao. La sa giacitra è idiidata dal ersore [ ] parallelo alla direioe le ci compoeti soo i cosei direttori della retta di direioe. Se si cosidera elemeto di sperficie A cetrato i pto P di coordiate P(,,) e si effetta la somma di ttte le fore ageti s di esso idicado il risltate co F, si defiisce tesioe p agete el pto P, relatiamete alla giacitra di ormale, il rapporto: F p lim ; (.) A A per l ipotesi di Cac sopra riportata si dee aere: lim A A M. (.) I geerale è opporto descriere la tesioe i termii delle se compoeti cartesiae: se cosideriamo le compoeti di F ella direioe degli assi coordiati, le compoeti della tesioe soo defiite dalle tre eqaioi: lim A F A da ci il ettore p pò essere espresso come: Fig.. - Fore itere ageti s elemeto di sperficie A i solido caricato da fore estere. T F lim A A lim p (.4) Co il passaggio al limite le compoeti di tesioe soo associate ad sigolo pto P. I geerale il ettore tesioe e le se compoeti assmoo alori diersi i ciasc pto della sperficie di separaioe e oiamete i ciasc pto del solido cioè p p (,,)p (P), essedo P il ettore le ci compoeti soo le coordiate cartesiae del pto. F e soo dirette lgo l asse ormale all area A e qidi soo ciamate rispettiamete fora ormale e tesioe ormale. Le fore F e F e le tesioi e soo parallele all area A e soo ciamate rispettiamete fore e tesioi di taglio o tageiali. Il primo idice si riferisce alla direioe della ormale all area ed il secodo alla direioe della compoete. Qesto doppio idice o è ecessario per le tesioi ormali e geeralmete si scrie semplicemete. La giacitra di elemeto di sperficie è idiidata dal ersore della direioe ormale alla sperficie stessa: a faccia si defiisce positia qado la sa ormale diretta erso l estero del corpo a lo stesso erso di o degli assi coordiati, egatia i caso cotrario. Le compoeti ormali di tesioe soo cosiderate positie se ao A F A (.).

2 G. Petrcci Leioi di Costrioe di Maccie erso cocorde co la ormale all elemetio, cioè risltao sceti, e iceersa. Dado seso fisico a qesta coeioe, si dice ce soo di traioe se positie e di compressioe se egatie. I segi delle compoeti tageiali soo regolati da possibili coeioi: la prima afferma ce le tesioi soo positie se, agedo s facce positie, ao erso cocorde co gli assi,,, e se, agedo s facce egatie, ao erso discorde; egatie ei casi opposti; l altra coeioe le cosidera positie se tedoo a proocare a rotaioe oraria dell elemeto s ci agiscoo e iceersa; qesta coeioe errà tiliata el tracciameto dei cerci di Mor. Si oti ce le de coeioi attribiscoo segi differeti a stati tesioali gali. Tesioe al ariare del piao di giacitra Cosiderato pto P del solido, i possibili piai di seioe passati per esso costitiscoo isieme ifiito, defiito stella di piai di cetro P (fig.); a loro olta le rette d aioe dei ersori ce idetificao tali piai costitiscoo a stella di rette. Il ettore tesioe agete el pto aria i modlo e direioe al ariare della giacitra del piao di seioe s ci agisce, cioè si a p p (P,). Ad esempio (fig.) si cosideri a barra di materiale omogeeo di seioe qadrata aete sperficie pari ad A e lgea l abbastaa grade rispetto al lato della seioe. La barra sia disposta lgo la direioe e sia soggetta alle seioi estreme a de distribioe di fore di risltate rispettiamete F ed F i direioe. Si pò ititiamete riteere ce la tesioe agete s seioi i prossimità del cetro della barra aeti qalqe giacitra, sia costate i ttti i pti della seioe stessa. Cosiderado pto P al cetro della barra: se si effetta a seioe co piao di ormale parallela ad, il ettore p rislta parallelo ad co modlo p F/A (ititiamete, per l eqilibrio i direioe, dee essere ifatti Fp A, da ci p F/A); se si effetta a seioe co piao di ormale a 45 rispetto all asse, p rislta acora parallelo ad ; i qesto caso la sperficie della seioe a area pari a A/cos(45 ) e, per l eqilibrio i direioe, dee essere Fp A/cos(45 ), da ci p p Fcos(45 )/A; se si effetta a seioe co piao di ormale parallela ad, si ossera ce la tesioe agete, rappresetata dal ettore p, è lla. Lo stato tesioale Per defiire lo stato tesioale i pto del corpo o è sfficiete cooscere la tesioe agete s a sola giacitra. Se si effettao seioi co piai e, aeti ormali secodo le direioi coordiate ( [ ]) e ( [ ]), e si cosiderao le fore ageti i modo aalogo a qato mostrato per la direioe, si ossera ce el pto P, s detti piai, agiscoo le tesioi p e p dierse tra loro e da p (fig.4). I defiitia le tesioi ageti el pto P si tre piai coordiati soo espresse dai tre ettori: p T p T p (.5a,b,c) T È possibile dimostrare ce le 9 compoeti di tesioe preseti elle eq.(5) soo sfficieti a defiire lo stato di sollecitaioe i pto al ariare della giacitra. Usalmete esse egoo riite ella matrice ce prede il ome di tesore degli sfori: (.6) Nel segito si mostrerà ce soo alide le segeti gagliae tra le tesioi tageiali,,, per ci le gradee idipedeti ella (6) si ridcoo a 6. Nel S.I. la tesioe iee misrata i MegaPascal (MPa) cioè N/mm ( MPa. Kg/mm ). La tesioe o pò essere misrata sperimetalmete. Vi soo iece molte tecice sperimetali ce possoo essere sate per misrare deformaioi. I qesti casi lo stato di tesioe i pto pò essere altato se soo ote le relaioi fra tesioe e deformaioe. F F p p d p d d Fig.. Alce delle possibili (ifiite) giacitre relatie ad pto. Fig.. - Variaioe della tesioe al ariare del piao di seioe i a barra soggetta a traioe. Fig..4 - Tesioi ageti secodo i piai coordiati..

3 G. Petrcci Leioi di Costrioe di Maccie Tesioe al ariare del piao di giacitra Ci si propoe di determiare la tesioe p agete (i pto) s piao di ormale, obliqo rispetto al sistema di assi coordiati, partedo dalla cooscea delle tesioi ageti (el pto) si piai coordiati. I qesto caso soo oti il tesore degli sfori e il ersore del piao. Si cosideri tetraedro aete tre facce co giacitre parallele agli assi cartesiai (fig.5), aeti area da i (i,,), e a faccia icliata co ormale i direioe, aete area da. Sia il ersore della direioe le ci compoeti soo i cosei direttori: T (.7) dee essere ricordato ce a direioe ello spaio pò essere idetificata mediate sole iformaioi, ad esempio delle compoeti del ersore (.7), essedo la tera iocamete determiata dal fatto ce il ersore a modlo itario. Si pò dimostrare ce ale la segete relaioe: d A d A i,, (.8) i i Il ettore tesioe p pò essere scomposto secodo gli assi di riferimeto cartesiai (fig.5): p p p o secodo le direioi ormale e parallela (tageiale) al piao: T p (.9) [ ] T p (.) Da pto di ista igegeristico le compoeti ormale e tageiale soo più sigificatie i qato costitiscoo sollecitaioi fisicamete differeti sl materiale. Le compoeti cartesiae egoo ricaate solo come passaggio itermedio per otteere le compoeti ormale e tageiale. p p p p Fig..5 Il tetraedro i D e D e le scomposiioi di p secodo le direioi cartesiae e la direioe di ersore. da da p da p Le compoeti cartesiae di p Mettiamo i relaioe le compoeti cartesiae di p co il tesore degli sfori. Le eqaioe di eqilibrio alla traslaioe del tetraedro elle tre direioi coordiate possoo essere scritte i forma matriciale come sege: p da p da p da p da (.) ricordado ce le fore ageti slle facce si ottegoo moltiplicado le tesioi per le sperfici s ci agiscoo e ce il sego attribito a ciasca fora coicide co il sego della faccia s ci agisce (i qesto caso le facce di direioe parallele agli assi cartesiai soo egatie). Diidedo per A e ricordado la (8) si ottiee: p p p p p p j j (.) La () scritta per esteso forisce: p p p p (.) da ci p p p p (.4) cioè: p pi ij j (.5).

4 G. Petrcci Leioi di Costrioe di Maccie Il modlo del ettore p è dato da: ( ) ( ) ( ) i (.6) i,, p p La compoete ormale di p La compoete di p lgo la direioe si ottiee effettadoe la proieioe co la ota espressioe del prodotto scalare fra ettori: p p p p p (.7) i i i,, ce, per esteso, forisce: ij i j (.8) Ricordado la (5), la (7) pò essere riscritta come p ɶ p ɶ (.9) ella qale il soprasego sigifica trasposto. È bee ricordare ce ella relaioe (8) le compoeti di tesioe cartesiae soo fioi dello spaio, ma, fissato il pto el qale si cosidera lo stato tesioale, soo alori costati, metre i termii ariabili soo le compoeti del ersore. Poicé, come detto, le compoeti idipedeti del ersore idipedeti tra loro soo, il alore di (8) è a fioe di de ariabili. Per otteere, il ettore compoete di p i direioe, basta moltiplicare la compoete per il ersore otteedo le segeti relaioi: ɶ p ɶ (.) La compoete tageiale di p La compoete di p lgo la direioe tageiale si ottiee come differea tra il ettore p stesso e il compoete ormale : ( ) p p ɶ p ɶ (.) I base alle (5) e () o al termie a destra della () qesta relaioe pò essere riscritta come sege: ( ) I S (.) essedo S I (.) Scritta per esteso la () forisce: (.4) La direioe del ettore pò essere esplicitata mediate le compoeti del so ersore. Teto coto delle (), (6) e (8), il modlo e il ersore del ettore, possoo essere scritti come: i p i,, (.5a,b).4

5 G. Petrcci Leioi di Costrioe di Maccie Direioi pricipali Le direioi pricipali soo le direioi dei ersori dei piai si qali le tesioi tageiali risltao lle, doe cioè si erifica: S (.6a) cioè: (.6b) Le (6) costitiscoo sistema di eqaioi lieari omogeeo elle ariabili, ed ; essedo icogito ace il alore associato a ciasca solioe del sistema. Afficé il sistema (6) ammetta solioi dierse da qella ideticamete lla, dee essere: ( ) Det S (.7) Silppado la (7) si ottiee la cosiddetta eqaioe secolare o degli atoalori ce permette di altare i alori (.8) I I I essedo I, I ed I gli iariati della matrice così defiiti: I I ( ) I Det (.9a-c) Fissato il pto del solido, al ariare dell orietameto della tera,,, ttte le compoeti della matrice assmoo alori differeti, metre le qatità (9) rimagoo iariate. L eqaioe secolare (8) ammette radici reali idicate co, e. Tali alori di tesioe soo detti tesioi pricipali. Sostitedo o alla olta qesti alori ella (6) è possibile otteere i ersori delle corrispodeti direioi pricipali,,. Se le tesioi pricipali soo distite si pò dimostrare ce soo ortogoali a de a de. Se de tesioi pricipali coicidoo, ttte le direioi ortogoali all altra soo direioi pricipali (es. e, ttte le direioi ormali ad soo direioi pricipali). Se ttte le direioi sceti dal pto soo pricipali. I tre alori scalari delle tesioi pricipali e i tre ersori soo rispettiamete gli atoalori e gli atoettori della matrice, per ci, per la loro determiaioe, è coeiete tiliare gli algoritmi appositamete silppati el campo del calcolo merico. Se si sceglie a tera di riferimeto cartesiaa i ci assi coicidoo co le direioi pricipali el pto cosiderato del solido, la matrice dieta: (.) La (4), ce cosete di otteere la tesioe agete slla geerica giacitra, si trasforma come sege: La compoete ormale (8) dieta: p p p La compoete tageiale, tiliado la (4), dieta: oppre: p (.). (.) ( ) (.) ( ) ( ) ( ) (.4).5

6 G. Petrcci Leioi di Costrioe di Maccie Cerci di Mor Fissato pto del solido, si cosideri a tera di riferimeto (,, ) co gli assi paralleli alle direioi pricipali. I tale riferimeto il tesore dieta qello descritto dalla (). Si cosideri il fascio di piai i ci ersori soo perpedicolari a (fig.6): essedo, le eq.() e (4) assmoo la segete forma ( ) (.5, 6) α Fig..6 - fascio di piai di asse. Se α è l agolo ce il ersore forma co l asse si a: α cos, se α, ; (.7,8,9) Se si itrodcoo elle (5) e (6) ari alori di α e si riportao le e ottete s piao cartesiao di assi ed, i pti otteti si dispogoo s a circoferea come si ede, ad esempio, i fig.7. L eqaioe di tale circoferea si ottiee elimiado ed dalle (5, 6), elle segeti forme: ( )( ) (.4a) (.4b) Le (4) soo le eqaioi di a circoferea el piao, - la (a) del tipo (a)(b) - i ci pti soo i alori di e ce si ottegoo al ariare della direioe (cioè dell agolo α ). La circoferea a il cetro sll asse i posiioe ( )/ e raggio pari a ( )/. Qesto alore coicide co qello della massima tesioe tageiale el pto ma ( )/, ce agisce el piao a 45 rispetto ad (α 45 ). Fig..7 Posiioe delle coppie e sl cercio di Mor al ariare della giacitra el caso di stato tesioale mooassiale. Itrodcedo le (7,8) ella (6) si ottiee qesta eqaioe: seα cosα se α ± ( ) A( A, A) dalla qale si ossera ce l agolo α formato tra la direioe pricipale e la ormale al piao le ci tesioi soo rappresetate dal pto prescelto del cercio di Mor (ad es. A i fig.8), è pari alla metà R( )/ ma dell agolo formato tra il raggio del cercio passate per il pto e O l asse oriotale. Se si cosiderao de pti qalqe del cercio α A di Mor, l agolo formato tra i raggi passati per essi soo pari al doppio dell agolo formato tra i ersori dei piai di ci i de pti α B rappresetao lo stato tesioale. I particolare se le ormali dei de piai formao agolo di 9 i pti rappresetatii, risltao diametralmete opposti (a 8 ) (ad es. A e B i fig.8). Oiamete per tracciare il cercio di Mor è ecessario cooscere B( B, B) alci parametri. No è ecessario cooscere le tesioi e le direioi Fig..8 Il cercio di Mor pricipali, ai il caso tipico è qello el qale si coosce lo stato tesioale s de piai o pricipali disposti a 9, prcé la direioe del fascio a ci i de piai appartegoo sia pricipale. I qesto caso, essedo i pti corrispodeti diametralmete opposti sl cercio di Mor, è possibile l idetificaioe del cetro e del diametro. Si ricorda ce la coeioe relatia al sego delle tesioi tageiali el cerci di Mor preede ce esse siao cosiderate positie se tedoo a proocare a rotaioe oraria dell elemeto s ci agiscoo e iceersa. Sl cercio di Mor è possibile idetificare pto N detto polo delle ormali (fig.9) ce gode di a tile proprietà. A partire da de pti diametralmete opposti del cercio di Mor si tracciao de rette a e b parallele ai ersori dei piai ci i pti si riferiscoo (ad es. gli assi ed ); il pto di iterseioe di tali rette è N e gode della segete proprietà: la cogigete di tale pto co pto C (qalsiasi) del cercio forma co a agolo pari all agolo formato tra il ersore parallelo ad a e il ersore del piao ci si riferisce C. (.4).6

7 G. Petrcci Leioi di Costrioe di Maccie Le fig.9- si riferiscoo a ari casi di N a A(, ) sollecitaioe caratteriati da differeti combiaioi delle tesioi pricipali. I α particolare egoo mostrati il cercio di Mor, l elemetio co i lati i ci ersori b α soo paralleli agli assi ed e le C(,) corrispodeti tesioi e elemetio co D(,) O i lati i ci ersori soo paralleli alle direioi pricipali e le tesioi (pricipali) ageti. I cerci soo tracciati a partire dalle α tesioi ageti si piai di ormale ed B(, ) (ritete ote) e rappresetati ei pti A e B del cercio e le direioi pricipali soo ottete tiliado il polo delle ormali. Fig..9 - Cercio di Mor el caso di > e >. I modo del ttto aalogo a qato fatto per il fascio di piai aete per asse (fig.7), è possibile tracciare i cerci di Mor per i piai i ci ersori soo perpedicolari a e ad. I cerci (fig.4-6) risltao tageti a de a de i corrispodea dei pti rappresetatii delle tesioi pricipali. Il cercio più estero è rappresetatio degli stati di sollecitaioe più oerosi, ci corrispode la massima tesioe tageiale. I particolare elle fig.6-7 si pò osserare ce il fascio di piai più pericoloso è qello di asse coteete le tesioi pricipali e. Ttte le altre possibili coppie e, relatie alle giacitre o faceti parte dei tre fasci rappresetati dai cerci di Mor, soo comprese all itero dell area compresa tra i cerci, ce prede il ome di arbelo di Mor. I cerci di Mor costitiscoo a rappresetaioe bidimesioale dello stato di tesioe comoda e completa. α A(,) N A(,) N απ/4 α απ/ O O B(,) α B(,) απ/4 Fig.. - Cercio di Mor el caso di > e <. Fig..- Cercio di Mor el caso di > e (tage.). N α N α A(,) N O α O α B(,) α B(,) α Fig.. - Cercio di Mor el caso di > e (tes. mooass.). Fig.. - Cercio di Mor el caso di e < (compr. mooass.). Oiamete le iformaioi s e cotete ei cerci soo relatie ai soli fasci di piai aeti per asse le direioi pricipali, metre le iformaioi cotete elle (8) e (5) o () e () soo relatie alla stella ce comprede ttte le direioi ce passao per il pto, tttaia esse riciederebbero a rappresetaioe costitita da sperfici defiite rispettiamete ello spaio,, e,, decisamete poco pratica. Il fatto ce ei cerci di Mor siao rappresetati i fasci coteeti le tesioi massime e miime rede sperfla la rappresetaioe di qato accade elle altre giacitre per le applicaioi pratice. Fig..4 I cerci di Mor relatii a o stato di sollecitaioe pramete tageiale el qale. Varie giacitre e i corrispodeti pti e si cerci di Mor. Fig..5 Caso di direioe o pricipale ( e )..7

8 G. Petrcci Leioi di Costrioe di Maccie a) b) c) d) Se la tera di riferimeto scelta è tale ce la direioe o è pricipale, come i fig.5, è acora possibile tracciare dei cerci di Mor rappresetatii dello stato tesioale. I qesto caso però, i corrispodea delle iterseioi di ciasc cercio co l asse, si egoo a determiare le cosiddette tesioi pricipali secodarie i. Nelle giacitre di tali tesioi risltao lle le tesioi tageiali ortogoali all asse del fascio ci il cercio di Mor si riferisce, cioè parallele al piao i ci le tesioi pricipali secodarie agiscoo, ma soo dierse da ero qelle parallele all asse del fascio, tratteggiate ell esempio di fig.5. Ifie è tile otare ce se tesioi pricipali soo gali il cercio di Mor aete per fascio l altra direioe degeera i pto. Nel caso di sollecitaioi elle qali ttte e le tesioi pricipali soo gali, defiito stato tesioale idrostatico, ttti cerci di Mor degeerao ello stesso pto. Stato di tesioe piao Lo stato di tesioe el pto P di solido si defiisce piao se il ettore di tesioe otteto p facedo ariare la giacitra si matiee parallelo ad piao fisso. I qesto caso, se si assme a tera di riferimeto co gli assi ed paralleli a tale piao, la matrice assme la segete forma: (.4) essedo le compoeti di tesioe i direioe lle, cioè. Si oti ce e, ace se parallele al piao, soo lle per il pricipio di reciprocità essedo. Per lo stesso motio rislta essere direioe pricipale. I cerci di Mor di fasci ed passao per l origie degli assi essedo. I qesto caso l orietaioe delle direioi pricipali pò essere idetificata tramite solo parametro, cioè l agolo α tra la direioe e l asse. Si oti ce lo stato di tesioe è sempre piao slle sperfici o sollecitate da fore estere. I tal caso, ifatti, le tesioi ageti s di esse risltao lle e la direioe ormale ad esse è ace direioe pricipale. Gli iariati (9) assmoo la segete forma: I Fig..6 - Cerci di Mor: a) >, < <; b) > > e <; c) > > >, d) < < <. I ( ) e l eqaioe secolare (8) pò essere risolta el modo segete: ± I Det (.4) (.44) I qesto caso si è assta come direioe qella per la qale la tesioe pricipale è lla ( ). L eq.(8) ce permette di determiare la tesioe ormale agete i a giacitra geerica si semplifica come sege: (.45) I caso di stato di tesioe piao, ioltre, le compoeti e ageti s piao ortogoale alla direioe, la ci ormale forma agolo α co l asse, poedo cosα, siα, possoo essere espresse ace come: cos α si α si α cos α (.46,47) Le (46) e (47) possoo essere ricaate rispettiamete dalla (45), tiliado le formle trigoometrice di biseioe, e silppado la (5a)..8

9 G. Petrcci Leioi di Costrioe di Maccie Fig..7 - Cerci di Mor el caso stato di tesioe piao per >, > e >, <. Fig..8 - Cerci di Mor el caso di stato di tesioe pramete tageiale. A sa olta, l agolo α formato dall asse e la direioe pricipale è dato dalla segete espressioe: α ta (.48) Ricordado ce il alore della tesioe tageiale massima è pari al raggio del cercio di Mor ma ( )/, tiliado la (44), si ottiee: ma ± (.49) Se si scelgoo gli assi ed coicideti co le direioi pricipali (, ) le espressioi (4) e (46,47,49) si modificao come sege: cos α si α (.5) se α ma ± (.5-5) I fig.7 soo mostrati cerci di Mor rappresetatii di de casi di stato di tesioe piaa. Si ossera come cerci risltao sempre tageti i corrispodea dell origie degli assi. U caso importate è qello di stato di tesioe pramete tageiale i ci cerci di Mor soo rappresetati elle fig. e 4 e riproposti i modo completo i fig.8. I qesto caso esistoo de piai ortogoali si agisce solo a tesioe tageiale m, come el caso della torsioe pra (fig.9). Le tesioi pricipali agiscoo s piai formati agolo pari a π/4 co la direioe della m e risltao essere rispettiamete m e. La tesioe tageiale m è qidi la massima el pto al ariare della la giacitra e rislta pari alla massima tesioe pricipale. Lo stato di tesioe pramete tageiale è qello per il qale il rapporto la tesioe tageiale massima e la massima tesioe pricipale i alore assolto, cioè m /ma{, }, è il più grade possibile, essedo, i particolare, pari ad. Co opporta scelta degli assi cartesiai, la (4) si trasforma ella (54) e la (5) ella (55): m m (.54,55) M t M t Fig..9 Stato di tesioe pramete tageiale slla sperficie di elemeto sottoposto a torsioe: a siistra le tesioi tageiali cartesiae ageti i pto della sperficie, a destra le tesioi pricipali ello stesso pto. Accato i pti corrispodeti sl cercio di Mor..9

10 G. Petrcci Leioi di Costrioe di Maccie Versori, cosei direttori e coordiate sferice È opporto forire alce precisaioi rigardati l so dei ersori per la determiaioe della giacitra rispetto alla qale si desidera altare il ettore tesioe. I fig. è mostrato esempio di ersore el piao (fig.a) e esempio di ersore ello spaio (fig.b). Le compoeti del ersore di a direioe soo gali ai cosei direttori della retta parallela alla direioe stessa e soo posti i fioe degli agoli α, β e γ formati dal ersore co gli assi di riferimeto,, mediate la oia relaioe cosα cos β (.56) cosγ Le coeioi sl erso di misra degli agoli soo mostrate i fig.. È iteressate otare ce ai fii dell idetificaioe della giacitra del piao s ci agisce la tesioe, il erso del ersore o a rileaa, cioè ersore e il so opposto, otteibile cambiado di sego ttte le compoeti, idetificao la stessa direioe. Nel caso piao, come già isto i precedea, la determiaioe delle compoeti del ersore secodo a direioe desiderata è molto semplice (fig.c). Ifatti, ricordado ce i qesto caso è sfficiete cosiderare solo agolo, ad esempio l agolo α i qato l agolo γ rislta pari a 9, si ottiee: cosα siα (.57) Nel caso tridimesioale l idetificaioe delle compoeti di tramite i cosei direttori è decisamete meo ageole (fig.b). Spesso pò essere opporto tiliare le coordiate sferice elle qali la direioe pò essere idetificata per meo degli agoli φ e θ mostrati i fig.d. I particolare φ (π φ π) è l agolo ce la proieioe del ersore sl piao forma co l asse (detto aimt) e θ γ ( θ π) è l agolo ce il ersore forma co l asse (detto eleaioe). I qesto caso, co semplici cosideraioi trigoometrice, è possibile mostrare ce il ersore assme la segete forma: cosφ siθ siφ siθ (.58) cosθ Come è oio e facilmete erificabile, i modli dei ersori espressi dalle (57-58) soo itari. È tile ace la relaioe ce lega gli agoli φ e θ agli agoli α, β, γ o alle compoeti del ersore : cos β ta φ ta cos α θ γ cos (.59) Ua direioe di certo iteresse è qella della trisettrice, cioè la retta ce forma gali agoli co ttti e tre assi coordiati (fig.). È tile otare ce, metre el caso piao, la bisettrice degli assi ed forma co detti assi agolo di 45, el caso tridimesioale, la trisettrice del qadrate forma co gli assi agoli αβγ Ciò è facilmete dimostrabile doedo essere ( ).5 ( ).5 ( ).5, da ci rislta (/) ed αβγcos (.5774) La trisettrice del qadrate pò essere idetificata co agoli φ e θ pari rispettiamete a φ45 e θ γ54.74 (φ.7854 rad, θ.955 rad). Si oti ce le trisettrici dei 4 qadrati o soo mtamete ortogoali. γ β α β α γ α (a) (b) (c) (d) Fig.. (a,b) Versori el piao e ello spaio; coeioi slla misra degli agoli α, β e γ. (c,d) Determiaioe pratica delle compoeti dei ersori; l agolo α (c) e gli agoli θ e φ (d). β φ θ α54.7 θ54.74 γ54.7 φ45 β54.7 Fig.. La trisettrice del primo qadrate: αβγ54.74, φ45, θ

11 G. Petrcci Leioi di Costrioe di Maccie Leggi di trasformaioe degli assi Come detto, fissato il pto del solido, le compoeti della matrice assmoo alori differeti al ariare dell orietameto della tera di riferimeto. Nel caso bidimesioale, se e soo de sistemi di assi co origie coicidete el pto del solido, giaceti ello stesso piao e formati agolo α positio se atiorario (fig.), α poedo mcosα e seα, le compoeti cartesiae della Fig.. A siistra le compoeti di tesioe i pto tesioe riferite al secodo sistema di assi possoo essere rispetto ad assi iiiali,, a destra le compoeti rispetto a espresse i fioe di qelle riferite al primo mediate la oi assi,. segete relaioe: m m m m (.6) m m m Nel caso tridimesioale, siao e ʹʹʹ de sistemi di assi co origie coicidete e rotati tra loro di agoli idipedeti el caso più geerale, come i fig.. Il tesore degli sfori ʹʹʹ i assi ʹʹʹ rotati rispetto agli assi iiiali pò essere otteto a partire dal tesore (6) co la segete relaioe T N N (.6) ella qale la matrice di rotaioe N pò essere espressa come N (.6) essedo, ed i ersori delle rette parallele agli assi ʹʹʹ co le compoeti espresse rispetto agli assi, cioè cosα cos β cosγ cosα cos β cosγ cosα cos β (.6a-c) cosγ Nelle (6) α ʹ, β ʹ e γ ʹ soo rispettiamete gli agoli formati tra gli assi, e e l asse ʹ, α ʹ, β ʹ e γ ʹ gli agoli tra gli assi, e e l asse ʹ, α ʹ, β ʹ e γ ʹ gli agoli tra gli assi, e e l asse ʹ (fig.). I base alle (6) N assme la segete forma cosα cosα cosα N cos β cos β cos β (.64) cosγ cosγ cosγ I oe agoli preseti elle (6-64) soo dipedeti tra loro i qato i assi ci fao riferimeto soo mtamete ortogoali. La posiioe relatia dei de sistemi d assi pò essere idetificata mediate soli agoli idipedeti, ad esempio i agoli defiiti di imbardata (aw) φ, becceggio (pitc) θ e rollio (roll) ω mostrati i fig.. Il erso degli agoli è positio se atiorario (gardado l agolo dalla pta dell asse di rotaioe, oero se ʹ ʹ ʹ γ ʹ γ ʹ γ ʹ ʹ α ʹ ʹ α ʹ β ʹ ʹ α ʹ β ʹ β ʹ α ʹ Fig.. Trasformaioe d assi: gli agoli α, β, γ tra gli assi, e e gli assi il ersore dell asse ci fa riferimeto il pedice..

12 G. Petrcci Leioi di Costrioe di Maccie iee rispettata la regola della mao destra): ad esempio i fig. gli agoli φ e ω soo positii, metre l agolo θ è egatio. È opporto sottolieare il fatto ce la coeioe del sego relatia all agolo di rotaioe φ è simile a qella della coordiata sferica φ, metre qella relatia all agolo di rotaioe θ è differete. Utiliado la (58) è possibile dimostrare ce i ersori degli assi ʹʹʹ possoo essere posti i relaioe co gli agoli φʹ, θʹ e ωʹ mediate le segeti relaioi: cosα cosφ cosθ cos β siφ cosθ cosγ siθ cosα cosφ siθ siω siφ cosω cos β siφ siθ siω cosφ cosω cosγ cosθ siω cosα cosφ siθ cosω siφ siω cos β siφ siθ cosω cosφ siω cosγ cosθ cosω (.65a-c) da ci la matrice N pò essere riscritta come cosφ cosθ cosφ siθ siω siφ cosω cosφ siθ cosω siφ siω N siφ cosθ siφ siθ siω cosφ cosω siφ siθ cosω cosφ siω (.66) siθ cosθ siω cosθ cosω φ ʹ ʹ φ ʹ θ ʹ ʹ θ ʹ ω ʹ ʹ ω ʹ ʹ ʹ ʹ ʹ ʹ ʹ ωʹ ω ʹ φ ʹ φʹ θ ʹ θ ʹ Fig.. Trasformaioe d assi: gli agoli φ (imbardata) rispetto all asse, θ (becceggio) rispetto alla oa posiioe dell asse, ω (rollio) rispetto all asse ʹ. Tesioi ottaedrice, tesori idrostatico e deiatorico, iariati I 4 piai le ci ormali soo parallele alle trisettrici degli assi pricipali soo detti piai ottaedrici (fig.4). Tale defiiioe asce dal fatto ce disegado coppie di piai simmetrici rispetto all origie degli assi per ciasca delle 4 trisettrici si geera ottaedro (similmete a come, disegado coppie di piai simmetrici rispetto all origie per ciasca delle tre direioi pricipali si geera cbo). Come isto el precedete paragrafo, le trisettrici delle direioi pricipali formao co gli assi pricipali agoli gali di 54.74, per ci i ersori ce idetificao i piai corrispodeti ao ciasca compoete pari a (/) i alore assolto. Utiliado le eqaioi () e () o (4), ce cosetoo di otteere le tesioi per assegata giacitra, si pò mostrare ce le tesioi ormali e tageiali ageti si piai ottaedrici (fig.4), dette tesioi ottaedrice, soo date dalle segeti eqaioi: ( ) ( ) ( ) La (68) pò essere scritta ace come o, i coordiate cartesiae, come (.67,68) ( ) (.69) ( ) ( ) (.7) È iteressate osserare ce la e la possoo essere riscritte i fioe del primo e del secodo iariate delle tesioi (9a,b) come sege:.

13 G. Petrcci Leioi di Costrioe di Maccie I I I (.7,7) U altra caratteristica iteressate delle tesioi ottaedrice rigarda il fatto ce esse soo legate a alori medi delle tesioi ageti el pto, altati rispetto a ttte le giacitre, cioè cosiderado le direioi ce si ottegoo al ariare degli agoli θ e φ i ttto il loro campo di defiiioe. I particolare, dalla (67) si ossera ce la tesioe è pari alla media delle tesioi pricipali med, metre dalla segete relaioe π π ( φ, θ ) siθ dφ dθ 4 (.7) π π si ossera ce la tesioe è pari alla radice qadrata del alor qadratico medio delle tesioi tageiali ce agiscoo secodo ttte le giacitre. Nel caso i ci le tre tesioi pricipali ageti i pto del solido soo gali e pari ad alore costate, cioè si a, è facile erificare ce per qalqe giacitra passate per il pto si a e. Qesto stato tesioale si defiisce stato di tesioe idrostatico. Come si edrà ell apposito capitolo, qesto tipo di sollecitaioe è importate ello silppo delle teorie relatie alla resistea dei materiali soggetti a tesioi, i qato, i geerale, i materiali possoo sopportare tesioi idrostatice estremamete maggiori di qelle mooassiali. Da qesta osseraioe sperimetale si ricaa il fatto ce gli stati tesioali soo tato più pericolosi qato più si differeiao rispetto a qello idrostatico. Qalqe stato tesioale pò essere scomposto ella somma di o stato tesioale idrostatico e di altro dato dalla differea tra lo stato di tesioe origiale e qello idrostatico stesso: (.74) Nel caso i ci la tesioe idrostatica scelta è pari alla media delle tesioi pricipali, oero alla tesioe ottaedrica, cioè I med (.75) il secodo stato tesioale è defiito deiatorico e si a: Fig..4 L ottaedro e il piao ottaedrico relatio al primo qadrate. (.76) ella (76) le tesioi i (i,,) soo dette tesioi ridotte Se ci si riferisce alle tesioi pricipali, la (76) pò essere scritta come i i (.77).

14 G. Petrcci Leioi di Costrioe di Maccie (.78) I defiitia le (74-78) mostrao ce il tesore rappresetatio di qalsiasi stato tesioale pò essere scomposto ella somma dei tesori idrostatico e deiatorico. È possibile defiire degli iariati ace per le tesioi ridotte: J ( ) ( ) ( ) J I I 6 J I I I I 7 (.79a-c) Utiliado le defiiioi (79) e ricordado le (7-7) è possibile dimostrare ce la tesioe tageiale ottaedrica è proporioale all iariate J, qidi le espressioi delle tesioi ottaedrice possoo essere sitetiate co le segeti relaioi: I L iariate J pò essere espresso i fioe delle tesioi cartesiae come: ( ) ( ) ( ) I I J (.8,8) J 6 (.8).4

15 G. Petrcci Leioi di Costrioe di Maccie La posiioe del ettore sl piao di ormale Come detto, la tesioe agete s geerico piao, la ci giacitra è idetificata dal ersore o dalle coordiate sferice φ e θ, è costitita da ettore p (9,,5) scompoibile i compoete ormale (9), parallelo ad, e compoete tageiale (), ce giace sl piao. Nel caso di sollecitaioi statice la posiioe del ettore o è di particolare iteresse, metre el caso di sollecitaioi ariabili el tempo, sopratttto ell aalisi di fatica mltiassiale, pò essere ecessario determiare le dierse posiioi asste da sl piao al ariare del tempo. Per determiare i modo completo la posiioe del ettore el piao di ormale è opporto stabilire sistema di coordiate cartesiae aete asse coicidete co la direioe stessa ed assi e ortogoali ad, opportamete orietati el piao (fig.5). Idetificado la direioe mediate le coordiate sferice φ, θ (fig.5a), sistema di assi pò essere otteto assegado rotaioi rigide al sistema di riferimeto i modo ce l asse ada a coicidere co la direioe della ormale. I particolare iee assegata al sistema a prima rotaioe pari a φ attoro all asse e a sccessia rotaioe pari a π/θ attoro alla posiioe assta dall asse dopo la prima rotaioe. Operado i qesto modo (fig.5b): l asse rislta giacete el piao, è ortogoale ad e, co erso tale ce la tera rislti leogira; l asse si iee a troare all iterseioe tra il piao di ormale e il piao coteete il ettore e l asse. Le coordiate sferice delle direioi e possoo essere ottete da qelle di mediate le segeti relaioi: φ φ π φ φ π θ π θ π θ A loro olta le compoeti cartesiae dei ersori, e possoo essere ottete mediate la (.58) come cosφ siθ siφ siθ cosθ cosφ siθ siφ siφ siθ cosφ cosθ cosφ siθ cosφ cosθ siφ siθ siφ cosθ cosθ siθ (.8,84) (.85a-c) Utiliado qesto sistema di coordiate, il ettore tesioe agete sl piao di ormale (fig.6) pò essere espresso come [ ] T p (.86) Le compoeti del ettore (86) possoo essere altate effettado il prodotto scalare tra il ettore p (5) e i ersori,, (85) mediate le segeti relaioi: p ɶ p p ɶ p p ɶ p Se tile, il modlo di e l agolo formato co l asse (fig.6) possoo essere otteti come (.87a-c) ta (.88) β I defiitia, la determiaioe della posiioe del ettore el piao di ormale pò essere effettata determiado i ersori, e mediate le (85) e le compoeti di tesioe mediate le (87), tiliado le sole coordiate sferice φ -θ, oppre le coppie di coordiate φ -θ e φ -θ, φ -θ ottete co le (8,84). Natralmete se la direioe coicide co a delle direioi cartesiae, gli assi e coicidoo co le altre de direioi cartesiae stesse e il ettore p (86) pò essere rappresetato direttamete co o dei ettori p, p o p (5a-c). a) b) θ φ φ θ θ φ c) θ9 θ θ 9 φ φ8 9 8 φ θ 9 φ φ9 9 θ β Fig..5 Sistema di assi e coordiate sferice dei ersori. a) orietaioe del ersore, b) orietaioe dei ersori e, c) relaioi tra gli agoli. Fig..6 Compoeti del ettore tesioe p..5

16 G. Petrcci Leioi di Costrioe di Maccie a) φ θ w χ w b) c) w χ P P χ χ w w d) w cosχ seχ Fig..7 a) Le coordiate e l'asse w, formate agolo χ co l asse ; b-d) Proieioi del ettore lgo l asse w. I alteratia alle compoeti cartesiae e, i alci casi, è tile determiare la proieioe del ettore lgo asse w formate agolo χ co l asse (fig.7a,b), defiita w. Proiettado le compoeti e lgo l asse w (fig.7c,d) e ricordado le (87b,c) si ottiee ( ) cos χ si χ ɶ cos χ ɶ si χ p (.89) w Itrodcedo il ettore w defiito come siφ cos χ cosφ cosθ si χ w cos χ si χ cosφ cos χ siφ cosθ si χ (.9) siθ si χ la (89) pò essere riscritta coeietemete come w p w p w ɶ (.9) Oiamete i alori di w per χ e χπ/ coicidoo co le compoeti e. Nel caso dell'aalisi di fatica mltiassiale i tesori degli sfori ei diersi pti della strttra soo fioe del tempo e, i geerale, la determiaioe delle compoeti del ettore p dee essere effettata teoricamete i ttte le giacitre cetrate ei pti aaliati. Voledo descriere l adameto el tempo delle tesioi ageti s ciasca giacitra, le gradee di iteresse, matriciali, ettoriali e scalari, risltao fioe delle ariabili t e/o φ, θ e χ defiite ei campi t<t, π/ φ <π/, θ <π, χ<π. Oiamete l'aalisi merica riciede ce le ariabili t, φ, θ e χ egao opportamete discretiate. Al fie di semplificare la gestioe delle ariabili ettoriali e matriciali e di ametare la elocità di esecioe è possibile itrodrre, i logo del tesore, ettore s coteete le 6 compoeti di tesioe, così defiito: e i ettori riga,, ed w loro olta defiiti come: T s (.9) w w w w w w w w w w (.9a-d) i modo ce le relaioi (87a-c) possao essere coeietemete riscritte el modo segete: e la relaioe (9) come: s Notare come la (94a) forisca la (8) qi riscritta: s s (.94a-c) w ws (.95) (.8).6

17 G. Petrcci Leioi di Costrioe di Maccie EQUAZIONI DELLO STATO TENSIONALE Tesore Tesore Stato Piao Iariati I I I Iariati el piao I Eqaioe secolare I I I Versore ello spaio e el piao Coordiate sferice cosα cosφ siθ cosα cos β siφ siθ siα cosγ cosθ I cos β ta φ ta cos α θ γ cos Tesioi sl piao di ormale (α agolo tra la direioe e la direioe ; α agolo tra la direioe la direioe ) p ɶ p p ɶ ɶ ɶ ( ɶ ) p i i,, α α α cos cos se ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ± se α si cos ± α α Cerci di Mor ( )( ) Tesioi ormali - caso piao Tesioi tageiali- caso piao ±, cos α ma ± ± ± si α ± ( ) ( ) Agolo α tra l'asse e la direioe ta α si α siα cosα ± Differea tra le tesioi pricipali ( ) cos α ( ) 4 Relaioi tra e ( ) 4 ( ) cos ± α ± ma Differea tra le tesioi ormali cartesiae ( ) ( ) ± cos α ± 4.7

18 G. Petrcci Leioi di Costrioe di Maccie Tesioi ottaedrice - Tesore deiatorico ed iariati ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) I I I J i i J ( ) ( ) ( ) J I I 6 J ( ) ( ) ( ) 6 J I I I I 7 Legge di trasformaioe degli assi delle compoeti cartesiae della tesioe el piao cos α si α cosα siα si α cos α cosα siα cosα siα cosα siα cos α si α Legge di trasformaioe degli assi delle compoeti cartesiae della tesioe ello spaio T N N N cosα cosα cosα N cos β cos β cos β cosγ cosγ cosγ cosφ cosθ cosφ siθ siω siφ cosω cosφ siθ cosω siφ siω N siφ cosθ siφ siθ siω cosφ cosω siφ siθ cosω cosφ siω siθ cosθ siω cosθ cosω.8

19 G. Petrcci Leioi di Costrioe di Maccie p [ ] T Il ettore p p β ta p ɶ p p ɶ p p ɶ p cosφ siθ siφ siθ cosθ cosφ siθ siφ siφ siθ cosφ cosθ cosφ siθ cosφ cosθ siφ siθ siφ cosθ cosθ siθ φ θ φ φ π φ φ π θ π θ π θ La compoete w w p wɶ p w siφ cos χ cosφ cosθ si χ w cos χ si χ cosφ cos χ siφ cosθ si χ siθ si χ s s Compoeti,, e w s s w ws w w w w w w w w w w.9