La resistenza al moto

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1 UNIVERITA DEGLI TUDI DI NAPOLI FEDERIO II DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA NAVALE. MIRANDA APPUNTI DI ARHITETTURA NAVALE La resistea al moto OTTOBRE 00

2 La resistea al moto ap. : Il Modello teorico.introduzione. LA REITENZA AL RIMORHIO: IL MODELLO TEORIO 3. LE ONDIZIONI AI LIMITI 4. LE ONDIZIONI AI LIMITI PER LA NAVE 5. PRIMA EPREIONE DELLA REITENZA AL RIMORHIO 6. EONDA EPREIONE DELLA REITENZA AL RIMORHIO 7. UN EPREIONE LINEARIZZATA DELLA REITENZA AL RIMORHIO. MIRANDA, Apputi di Architettura Naale, Dipartimeto di Igegeria Naale Napoli, Ottobre, 00

3 . INTRODUZIONE La ae, come è oto, è u corpo galleggiate progettato e costruito per lo solgimeto di u determiato seriio. I relaioe al seriio da solgere, essa dee aere forme, dimesioi e sistemaioi tali da muoersi el mare secodo percorsi oluti, a coeiete elocità e co la ecessaria sicurea. Ne cosegue che ciascua ae ha proprie specifiche caratteristiche e qualità. Tutte le ai, comuque, deoo aere alcue qualità esseiali, el seso che da esse o si può prescidere. Le qualità esseiali di ua ae soo: La galleggiabilità La maorabilità La robustea strutturale La stabilità La teuta al mare La elocità L'Architettura Naale si occupa, i geerale, del progetto idrodiamico della carea e del propulsore della ae. I particolare, il progetto dee forire, i maiera chiara e precisa, le caratteristiche della carea riguardati: La Geometria; La tabilità; Le Prestaioi idrodiamiche; La Maorabilità; La Teuta al mare. Riguardo al propulsore, il progetto dee defiire il tipo e le caratteristiche, sia geometriche che di fuioameto, più adatte alla carea della ae. I questo corso si affroterà lo studio delle prestaioi idrodiamiche di ua carea e della progettaioe di massima del propulsore ad essa accoppiata, al fie di cosetire alla ae di coseguire la elocita richiesta.. MIRANDA, Apputi di Architettura Naale, Dipartimeto di Igegeria Naale Napoli, Ottobre, 00

4 i cosideri la ae aaate di moto traslatorio uiforme sulla superficie libera del mare. L aaameto della ae iduce u moto fluido; sulla superficie libera esso si maifesta co le caratteristiche di ua particolare formaioe odosa, che dal corpo si propaga el fluido a alle. Per effetto di questo moto, il liquido esercita delle aioi diamiche distribuite sulla superficie della carea. La compoete ella direioe del moto della loro risultate è la resistea all aaameto della ae. U idoeo propulsore dorà siluppare ua fora uguale e cotraria, che si dirà spita Pertato, idicate queste fore co R A e T rispettiamete, l equaioe di equilibrio diamico alla traslaioe si scrie: R A T 0 R T A i cosideri la ae u sistema diamico composto dalla carea, dal propulsore e dall'impiato di propulsioe. Ogi sigolo elemeto del sistema, isolatamete preso, ha proprie specifiche caratteristiche di fuioameto. Quado operao isieme i tre elemeti dao origie a mutue iteraioi, che iflueao sesibilmete il fuioameto dell'itero sistema. Ua delle fasi fodametali del progetto riguarda lo studio e la defiiioe delle caratteristiche dei sigoli elemeti del sistema, l'aalisi e la alutaioe delle mutue iteraioi tra essi e dei loro effetti ed, ifie, l'ottimiaioe delle codiioi di fuioameto dell'itero sistema ei riguardi delle arie e dierse esigee, tra le quali, i particolare, quella relatia al massimo alore dell'efficiea propulsia. Del sistema ae già defiito, si cosideri la sola carea. i dirà resistea al rimorchio R T la compoete ella direioe del moto della risultate delle aioi diamiche esercitate dal liquido sulla superficie della carea. I geerale si può affermare che: R T T e scriere la relaioe scalare di equilibrio diamico alla traslaioe ella forma: RA T RT F 3. MIRANDA, Apputi di Architettura Naale, Dipartimeto di Igegeria Naale Napoli, Ottobre, 00

5 o il termie F si uole teere coto degli effetti di iterferea tra la carea ed il propulsore. e V è la elocità della ae, il prodotto RT V è la potea utile. Essa iee detta potea effettia ed è idicata co P E. L'impiato di propulsioe forisce la potea P D al propulsore; questo trasforma la potea riceuta siluppado la spita che farà aaare la ae. La elocità richiesta dee essere coseguita co l'assorbimeto della miima potea, compatibilmete co gli altri dati progettuali assegati. Pertato, il sistema ae dee laorare i codiioi ottime, cosegueti dalla combiaioe di ua bassa resistea all'aaameto e di ua alta efficiea propulsia. Il rapporto tra la potea effettia e quella forita al propulsore defiisce il redimeto propulsio o efficiea propulsia del sistema ae cosiderato ed è idicato co η D : η D P P E D Di seguito si affroterà lo sudio della resistea al rimorchio di ua carea, iiiado co la descriioe dei modelli teorici dispoibili. uccessiamete si preseterao i modelli fisici e si forirao gli strumeti per la determiaioe della resistea R T e delle prestaioi propulsie della ae. 4. MIRANDA, Apputi di Architettura Naale, Dipartimeto di Igegeria Naale Napoli, Ottobre, 00

6 . LA REITENZA AL RIMORHIO: IL MODELLO TEORIO i cosideri la carea della ae u corpo rigido aaate di moto traslatorio uiforme sulla superficie libera del mare, co il piao diametrale costatemete erticale e la elocità oriotale e ad esso complaare. ome già detto, l aaameto della carea geera el fluido ua perturbaioe, che si suppoe essere staioaria rispetto alla ae. ulla superficie libera essa si maifesta co le caratteristiche di ua particolare formaioe odosa, che si propaga dal corpo e si diffode idefiitamete a alle di esso. All ifiito a mote, il fluido è ella codiioe iiiale di quiete. Ne cosegue l isorgere di aioi diamiche tra il corpo ed il liquido che lo lambisce. i defiisce resistea al rimorchio R T la compoete ella direioe della elocità della risultate delle aioi diamiche esercitate dal fluido sulla superficie del corpo: essa è la fora che si oppoe al moto di aaameto della carea. La deomiaioe data uole ricordare che è ecessario trasciare o rimorchiare la carea co ua fora uguale e cotraria alla R T per assicurare le codiioi ciematiche richieste. i assuma la tera leogira di riferimeto O solidale alla ae e ci si riferisca alle codiioi di moto relatio, ale a dire si cosideri la ae ferma iestita da ua correte uiforme aete la elocità V della ae. L asse sia la perpedicolare aati co erso positio erso l alto; i piai O e O coicidao rispettiamete co il piao diametrale della ae e co quello cui appartiee la superficie libera del liquido idisturbato (coicidete ache co il piao del galleggiameto statico); l asse abbia la direioe ed il erso di V, sicché detti i, j, k i ersori degli assi, risulta V iv. ia W la superficie della carea lambita dal liquido (superficie bagata), il ersore della ormale estera i u geerico puto P W ; t lo sforo specifico i P, sicché, detto dσ u elemeto di W preso ell itoro di P, sia t dσ la fora superficiale esercitata dal fluido. La fora risultate F T agete sulla carea è data dalla relaioe: F dσ T t W La resistea al rimorchio è la compoete di F T ella direioe della elocità, ale a dire F i. R T T Lo sforo specifico t è, i geerale, fuioe delle coordiate del puto P, dell orietameto di dσ e delle elocità e pressioi preseti el fluido. 5. MIRANDA, Apputi di Architettura Naale, Dipartimeto di Igegeria Naale Napoli, Ottobre, 00

7 Nota la geometria del corpo, l esame delle aioi diamiche esercitate dal fluido richiede, quidi, lo studio prelimiare della correte fluida itoro alla carea i suppoga isotermico il processo termodiamico che ad essa si accompaga e si suppoga, altresì, il liquido icomprimibile, ewtoiao, oriotalmete idefiito, di profodità illimitata ed iiialmete ouque i quiete. Il campo di moto, per le ipotesi fatte, è limitato, solo superiormete, dalla superficie, che si compoe di quella libera F e di quella bagata di carea W. Le fore estere siao uicamete quelle graitaioali, sicché, detta F la fora per uità di massa, si abbia F g k. Il modello teorico dispoibile è quello del moto staioario del fluido iscoso icomprimibile, le cui equaioi i forma locale si scrioo: di 0 0 ρ( ) t ρf La prima è la codiioe aalitica alla quale deoo soddisfare le elocità i tutti i puti del campo di moto, perché sia rispettato il pricipio di coseraioe della massa. La secoda equaioe è quella del moto ed è la relaioe di equilibrio di Newto tra la fora di ieria e la risultate delle fore estere ageti sulla particella liquida di olume uitario. A primo mebro, ifatti, ( ) è il ettore aete compoeti sugli assi,, rispettiamete pari a: ( ) 6. MIRANDA, Apputi di Architettura Naale, Dipartimeto di Igegeria Naale Napoli, Ottobre, 00

8 e pertato ( ) è l acceleraioe a d dt : e il ettore ρ d dt ( ) ρ ρa è la fora di ieria agete sulla particella fluida di olume uitario. Detto il modulo della elocità e ω la orticità, pari a: ω rot il ettore ( ) può ache scriersi ella forma: a ( ) ω L uso della otaioe co gli idici può redere più semplici e sitetiche le scritture. i poga ; ; ; i i ; j i ; k i e si assuma la coeioe degli idici: 3 3 U idice che appare ua sola olta i u termie o prodotto di termii prede alori da a 3 (idici liberi); U idice che è ripetuto i u termie o prodotto di termii è sommato da a 3 (idici bloccati). Pertato: i j k i i i i 3 3 i i u u 3 u i i i i i ; i 3 ( ) ( ); i,,3; i j i i i j 7. MIRANDA, Apputi di Architettura Naale, Dipartimeto di Igegeria Naale Napoli, Ottobre, 00

9 o la otaioe degli idici la fora di ieria si scrie: ρ ( ) d ρ ρ aρ dt j i j Il secodo membro dell equaioe del moto ( ) ρf ρ t preseta due termii; co riferimeto alla particella di olume uitario, essi soo, ell ordie, la fora estera superficiale e la fora estera di massa. Il termie t è il tesore degli sfori: σ t σ σ e t è il ettore che rappreseta la fora superficiale per uità di olume, co compoeti sugli assi, e pari rispettiamete a: σ σ ; ; σ ; 8. MIRANDA, Apputi di Architettura Naale, Dipartimeto di Igegeria Naale Napoli, Ottobre, 00

10 A queste relaioi, come è oto, si periee scriedo l equaioe di equilibrio alla traslaioe di ua particella elemetare, isolata dalla massa fluida circostate, aete, ad esempio, la forma di u cubo di olume d ddd. Le compoeti σ, σ, σ, che si idicherao ache,,, soo gli sfori ormali, i pedici idicao i piai ad essi ormali; le altre,, ;, ;, ; soo gli sfori tageiali, ageti ei rispettii piai idicati dai pedici. Impoedo ache la codiioe di equilibrio alla rotaioe, si ottegoo le relaioi: ; ;. Ne segue che il tesore degli sfori è rappresetato da ua matrice simmetrica rispetto alla diagoale pricipale: σ t σ σ La otaioe di doppio tratto uole idicare che la matrice rappreseta u tesore del secodo ordie. I ettori, itesi come tesori del primo ordie, soo scritti co ua otaioe sottolieata; aedo la loro matrice ua sola coloa, essi soo ache detti ettori coloa. Ad esempio la elocità può essere scritta co le segueti otaioi: i j k i j k (,, ) T 9. MIRANDA, Apputi di Architettura Naale, Dipartimeto di Igegeria Naale Napoli, Ottobre, 00

11 o la otaioe degli idici il tesore t si scrie: t t ij i cosideri el campo di moto ua particella fluida. ia dσ u elemeto della sua superficie estera, preso ell itoro del puto P(,, ). i idichi co il ersore della ormale estera i,, i suoi cosei direttori. Il prodotto t dσ è la fora superficiale agete su dσ, P e ( ) esercitata sulla particella dal fluido circostate. Oiamete, la fora esercitata i corrispodea di P dalla particella sul fluido circostate è t dσ. Lo sforo specifico t è i geerale fuioe delle coordiate (,, ) del puto e dell orietameto,, per il tramite di dσ. Ifatti, fissato il puto, esso è fuioe lieare omogeea di ( ) della relaioe: t t t t I ettori t, t, t soo gli sfori specifici che si esercitao sugli elemeti di superficie passati per P e aeti ormali parallele agli assi,, e rispettiamete.,,, soo le rispettie compoeti cartesiae di e ( ), ( ), ( ),,, t, t, t, lo sforo t è completamete defiito e le sue compoeti sugli assi, e soo ell ordie: ( ) ( ) ( ) o la otaioe degli idici, lo sforo t ha l espressioe: 0. MIRANDA, Apputi di Architettura Naale, Dipartimeto di Igegeria Naale Napoli, Ottobre, 00

12 ( ) ( ) ( ) t 3 ij j ij j j ; i 3,, o la otaioe tesoriale t iee espresso ella forma: t t e si fa riferimeto alle relatie matrici, si scrierà: t t t t t ed il prodotto a eseguito moltiplicado le righe per le coloe. La deformaioe ed il relatio stato tesioale soo idotti dal campo di elocità presete el fluido. I codiioi statiche, più i geerale, se il fluido o è iscoso, le uiche tesioi preseti soo quelle ormali di pressioe. Le codiioi di equilibrio richiedoo la isotropia della pressioe, sicché, idicata questa co p, e cosegue: σ σ σ p 0. MIRANDA, Apputi di Architettura Naale, Dipartimeto di Igegeria Naale Napoli, Ottobre, 00

13 e il il tesore degli sfori è: ij pδ ij p 0 p p doe δ ij è la fuioe delta di Kroecker data da: δ ij i j 0 i j I queste ipotesi il fluido o subisce deformaioi e si muoe co le leggi dei moti rigidi. I presea di iscosità, il fluido si sposta e si deforma, geerado al suo itero uo stato tesioale che preseta tesioi tageiali i aggiuta a quelle ormali. Per il fluido icomprimibile, la deformaioe elemetare o preseta dilataioe, ma uicamete distorsioi. Il cubo elemetare, isolato dalla massa fluida, cosera il suo olume e la distorsioe subita trasforma le sue facce i parallelogrammi. La deformaioe si ritiee fuioe del campo delle elocità del fluido; le tesioi isorte si cosiderao dipedeti dalla elocità co la quale aiee la deformaioe. I aalogia alla legge elastica di Hooke, l ipotesi più semplice è riteere lieare la legge di ariaioe degli sfori iscosi co la elocità della deformaioe. La alidità di tale ipotesi troa coferma, per le pratiche applicaioi, el comportameto dei fluidi più comui, tra i quali l acqua e l aria. Queste cosideraioi furoo poste da tokes (845) e sitetiate i tre postulati: Il fluido è cotiuo e le compoeti del tesore degli sfori soo fuioi lieari delle elocità di deformaioe; Il fluido è isotropico, ale a dire che le sue proprietà soo idipedeti dalla direioe lugo la quale ci si muoe i esso; Quado la elocità della deformaioe è ulla, gli sfori tageiali si aullao e lo stato tesioale si riduce a quelle delle codiioi idrostatiche, co la presea dei soli sfori ormali di pressioe.. MIRANDA, Apputi di Architettura Naale, Dipartimeto di Igegeria Naale Napoli, Ottobre, 00

14 Queste proprietà defiiscoo il fluido ewtoiao e la sua legge geerale di deformaioe è: ij pδ ij u µ i j u j i δ ij λdi Per il fluido ache icomprimibile, essa si scrie: o la otaioe degli idici: ij p δ ij u µ i j u j i o la otaioe cartesiaa: Gli sfori ageti sulla superficie elemetare di ormale soo: σ p µ ; µ ; 3 µ ; I modo aalogo si scrioo le altre compoeti. 3. MIRANDA, Apputi di Architettura Naale, Dipartimeto di Igegeria Naale Napoli, Ottobre, 00

15 . MIRANDA, Apputi di Architettura Naale, Dipartimeto di Igegeria Naale Napoli, Ottobre, 00 4 o la otaioe delle matrici: µ w w u w w u w u u u p p p ij La prima matrice è il tesore degli sfori ormali o di pressioi, la secoda matrice è il tesore degli sfori iscosi. e il fluido è i quiete è da cosiderare la sola matrice delle pressioi, essedo ulle le compoeti tageiali degli sfori. Alla stessa matrice ci si riduce ell'ipotesi di fluido ideale, essedo i tal caso la iscosità µ 0. ostituedo le espressioi date delle compoeti di t i t, si periee alle equaioi del moto di Naier-tokes: o la otaioe degli idici: p F j i j i i j i i ρ ν ρ I forma ettoriale: ( ) F ρ ν ρ p

16 . MIRANDA, Apputi di Architettura Naale, Dipartimeto di Igegeria Naale Napoli, Ottobre, 00 5 I forma cartesiaa: ρ ν ρ ρ ν ρ ρ ν ρ F p F p F p doe si è idicato: ν µ ρ iscosità ciematica; operatore di Laplace Alle equaioi di Naier-tokes ao associate: L equaioe di cotiuità di 0 0 Le codiioi ai limiti

17 . MIRANDA, Apputi di Architettura Naale, Dipartimeto di Igegeria Naale Napoli, Ottobre, 00 6 i dispoe, pertato, di u sistema di quattro equaioi differeiali, o lieari, alle deriate pariali, elle quattro fuioi icogite p,,,. La loro cooscea i i tutto il campo di moto, i particolare sulla superficie di carea W cosetirebbe di risolere l itegrale: dσ W T t F e quidi il calcolo della resistea al rimorchio della carea. Ifatti, le compoeti dello sforo specifico: t t soo: µ µ µ p t µ µ µ µ p t µ µ µ p t I fuioe della orticità: ω rot

18 . MIRANDA, Apputi di Architettura Naale, Dipartimeto di Igegeria Naale Napoli, Ottobre, 00 7 Le stesse compoeti possoo scriersi ella forma: ( ) ( ) ( ) k ω j ω i ω µ µ µ µ µ µ p t p t p t Pertato, idicado co ( ) il ettore aete compoeti: ( ) lo sforo specifico può scriersi: ( ) ω t µ µ p t t

19 3. LE ONDIZIONI AI LIMITI Nell itegraioe delle equaioi differeiali precedetemete iste, è ecessario teere coto delle codiioi ai limiti. Esse cosistoo ell imporre che le soluioi del sistema di equaioi differeiali, ale a dire le fuioi p,,, dei puti del campo di moto, erifichio particolari codiioi, diamiche e ciematiche, su tutte le superfici, sia proprie che improprie, limitati il fluido i moimeto. Il problema geerale riguarda, pertato, la defiiioe delle codiioi aalitiche cui dee soddisfare u fluido assoggettato, durate il moto, a rimaere i cotatto co ua superficie. Di seguito si farà riferimeto sia al fluido iscoso che a quello perfetto. ia ua superficie propria, i particolare:. è ua superficie rigida fissa;. è ua superficie rigida mobile; 3. è ua superficie aete forma e posiioe ariabile el tempo. è ua superficie rigida fissa. La codiioe da imporre è di tipo ciematico. e il fluido o è iscoso, i ogi istate le particelle fluide a cotatto co deoo aere le elocità tageti ad essa. Pertato, detti: ψ (,,) 0 l equaioe di ; il ersore della ormale ad el geerico puto P(,, ) ; la elocità della particella fluida che all istate t si occupa di P, co compoeti,, ; dee alere: ψ t P grad ψ ψ, : 0 ψ 0 0 La relaioe esprime ache la così detta codiioe di icompeetrabilità tra la superficie e il fluido. e il moto ammette u poteiale di elocità ϕ, questa fuioe dee essere tale che: ϕ t, P : 0 gradϕ MIRANDA, Apputi di Architettura Naale, Dipartimeto di Igegeria Naale Napoli, Ottobre, 00

20 Nel caso del fluido iscoso, sulla superficie a dire: a imposta la codiioe di completa aderea, ale ( P,t) 0 t, P :. è ua superficie rigida mobile; I questo caso, se il fluido o è iscoso, su dorà essere costatemete ulla la compoete ormale della elocità relatia del fluido. Detta V la elocità di e quella assoluta della particella fluida che si occupa di u puto P di, la elocità relatia è r V ; la codiioe su si scrie: t, P : 0 grad ψ 0 r r Ad esempio, se è aimata di moto rettilieo uiforme di elocità V, aete la direioe e erso dell asse, la precedete relaioe dieta: ψ t P grad V ψ ψ, : r ψ 0 ( ) 0 i il moto assoluto del fluido è a poteiale, sicché gradϕ e r V grad( ϕ V ), la codiioe su si scrie: ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ t, P : r 0 r grad ψ 0 ( V) 0 e il fluido è iscoso, la codiioe da imporre è: t, P : r V 0 V 9. MIRANDA, Apputi di Architettura Naale, Dipartimeto di Igegeria Naale Napoli, Ottobre, 00

21 3. è ua superficie aete forma e posiioe ariabile el tempo La superficie sia ariabile di forma e di posiioe el tempo, come aiee, ad esempio per u fluido coteuto i u recipiete ariabile di forma ed i moto el tempo. aioe Nel caso del fluido prio di iscosità, occorre imporre la codiioe che cosete al fluido di scorrere sulla superficie. ia ψ (,,, t) 0 l equaioe di. Pertato se P(,, ) è u puto della superficie occupato dalla particella fluida all istate t, all istate tdt essa dorà occupare la posiioe PdP apparteete acora ad. i ha così la codiioe: ψ ( d, d, d, t dt) 0 Teedo coto che ψ (,,, t) 0 ai termii del primo ordie, la codiioi ai limiti su si scrie:, e siluppado i serie la precedete relaioe, limitatamete ψ t P u ψ ψ w ψ dψ, : 0 grad ψ ψ 0 t dt t La precedete relaioe si ottiee ache dalle segueti cosideraioi. ψ ψ,,, t sia defiita i ogi istate ei puti P della regioe R dello spaio Ua fuioe ( ) occupato da u fluido cotiuo i moimeto. Durate il moto il fluido si sposta e si deforma; e segue che corrispodeti ariaioi subisce R. ia R 0 la regioe dello spaio occupato dal fluido all istate t 0, R quella all istate t>t 0. Per effetto del moimeto u geerico puto Po Ro si porterà el puto P R. Le coordiate,,, di P soo oiamete fuioi delle coordiate,, di P 0 e del tempo t: o o o (,,, t) ; (,,, t) ; (,,, t); o o o o o o o o o Pertato, la elocità del puto P arà compoeti cartesiae; 0. MIRANDA, Apputi di Architettura Naale, Dipartimeto di Igegeria Naale Napoli, Ottobre, 00

22 d dt ; d d dt ; dt ; Associado la posiioe del puto a quella della particella fluida che di esso si occupa, e segue che le elocità su scritte deoo essere uguali alle rispettie compoeti,, della elocità della particella cosiderata: d d d ; ; ; dt dt dt ψ ψ ha forma e posiioe ariabili el tempo ed il fluido è La superficie (,,, t) 0 assoggettato a rimaere i cotatto co essa e si cosiderao i puti materiali iiialmete disposti su di essa, e segue, per i oti motii di cotiuità del meo, che le posiioi da essi occupate el tempo dorao sempre apparteere alle superfici cotiue trasformate di, e erificare l equaioe ψ ψ(,,, t) 0. Pertato dorà essere: dψ ψ ψ dt t ψ ψ 0 Il ettore: gradψ ψ i ψ j ψ k ha la direioe della ormale alla superficie; i cosei direttori di soo:. MIRANDA, Apputi di Architettura Naale, Dipartimeto di Igegeria Naale Napoli, Ottobre, 00

23 ( ψ ) ( ψ ) ( ψ ) ψ ; ( ψ ) ( ψ ) ( ψ ) ψ ; ( ψ ) ( ψ ) ( ψ ) ψ ; All istate t la compoete secodo della elocità del puto (,, ) ψ P è pari a : d d dt dt d dt Dalla espressioe della deriata rispetto al tempo della fuioe compoete è ache data dalla relaioe: ψ, segue che la stessa ( ψ ) ( ψ ) ( ψ ) ψ t La particella fluida che ello stesso istate si occupa del puto P, affichè possa cotiuare ad apparteere alla superficie ψ, dee aere la compoete della sua elocità ella direioe della stessa ormale, uguale a quella del puto P apparteete alla superficie, ale a dire: ( ψ ) ( ψ ) ( ψ ) ψ t. MIRANDA, Apputi di Architettura Naale, Dipartimeto di Igegeria Naale Napoli, Ottobre, 00

24 ostituedo i essa le espressioi dei cosei direttori, segue l espressioe già troata: ψ ψ ψ ψ 0 t e il moto fluido è a poteiale, la stessa relaioe si scrie: ϕ ψ ϕψ ϕ ψ ψ t 0 Nel fluido iscoso, algoo aaloghe relaioi, equialeti alla codiioe di elocità relatia ulla tra il fluido e la superficie cosiderata, ale a dire la completa aderea del fluido alla superficie. U esempio di superficie ariabile di forma e posiioe el tempo, è la superficie libera di u liquido. i suppoga il fluido o iscoso. I quato superficie di separaioe è da imporre su di essa la codiioe diamica di pressioe uguale a quella estera presete. La stessa codiioe è da cosiderarsi alida per il liquido iscoso, quado si ritegao trascurabili gli sfori tageiali i superficie. L ipotesi è da riteersi accettabile per la superficie di separaioe tra l aria e l acqua, essedo la desità di quest ultima molto più grade di quella dell aria. La codiioe ciematica, essedo i presea di ua superficie materiale fluida richiede, per motii di cotiuità, la idefiita apparteea ad essa delle particelle fluide ii poste. Pertato, le elocità, pur cosetedo lo scorrimeto su di essa, deoo aere compoeti ormali ulle. Ne segue la relaioe aalitica geerale: t, P : 0 3. MIRANDA, Apputi di Architettura Naale, Dipartimeto di Igegeria Naale Napoli, Ottobre, 00

25 4. LE ONDIZIONI AI LIMITI PER LA NAVE Le codiioi di moto della ae ed i riferimeti siao quelli già assuti; si faccia riferimeto alle codiioi di moto relatio, sicché la ae è iestita da ua correte uiforme di elocità V i V. Le superfici al cotoro soo: La superficie libera La superficie della carea Il fodale La superficie libera abbia equaioe: ψ (,, ) ζ(, ) 0 La superficie libera è ua superficie fluida e le particelle, ii poste, deoo idefiitamete apparteere ad essa. La codiioe al cotoro che e segue è quella del fluido assoggettato a rimaere i cotatto co ua superficie rigida fissa di equaioe. Detta la elocità del fluido, si ha: ψ (,, ) ζ(, ) 0 ζ t P grad ζ, F : 0 ψ 0 0 Oltre alla codiioe ciematica scritta, sulla superficie libera è ecessario imporre ache la codiioe diamica di pressioe p costate, pari a quella atmosferica p a : t, P : p p F a Riteedo trascurabili gli effetti della tesioe superficiale ell espressioe del tesore degli sfori, su dee altresì essere erificata la codiioe: t, P : t 0 grad ψ t 0 F 4. MIRANDA, Apputi di Architettura Naale, Dipartimeto di Igegeria Naale Napoli, Ottobre, 00

26 Ache la superficie di carea è ua superficie rigida fissa di equaioe: (,,) η(, ) 0 W ψ doe η è la semilarghea. Per il fluido iscoso, la codiioe si scrie: ( P, t) 0 t, P W : Per il fluido perfetto, la codiioe ai limiti è quella di icompeetrabilità: η t P grad η, W : 0 ψ 0 0 Il fodale è ua superficie rigida fissa B di equaioe: (,,) h(, ) 0 B ψ doe h è la profodità i alore assoluto. u di esso la codiioe ai limiti si scrie: ( P, t) 0 t, P B : per il fluido iscoso, per quello perfetto è: h t P grad h, B : 0 ψ 0 0 che, el caso di fodale co profodità costate dieta: 5. MIRANDA, Apputi di Architettura Naale, Dipartimeto di Igegeria Naale Napoli, Ottobre, 00

27 t, P : 0 grad ψ 0 0 B Nel caso di fluido oriotalmete idefiito e di profodità illimitata, all ifiito sulla superficie libera e sul fodo dee essere: t, P (,, ζ(, ) ) t, P F (P) V : ± ; ± ; ζ(, ) 0 (,,) : ; (P) V B 6. MIRANDA, Apputi di Architettura Naale, Dipartimeto di Igegeria Naale Napoli, Ottobre, 00

28 . MIRANDA, Apputi di Architettura Naale, Dipartimeto di Igegeria Naale Napoli, Ottobre, PRIMA EPREIONE DELLA REITENZA AL RIMORHIO i cosideri itoro alla ae il olume di cotrollo, idiiduato da u parallelepipedo limitato dalle superfici: Laterali l, apparteeti a piai paralleli a quello diametrale della carea, Trasersali e apparteeti a piai perpedicolari alla correte uiforme, co e sufficietemete a mote e a alle della ae rispettiamete; Iferiore 0 apparteete ad u piao parallelo a quello del liquido idisturbato sufficietemete lotao dalla ae; uperiore che si costituisce della superficie bagata di carea W e della porioe F di superficie libera compresa tra i suddetti piai erticali. i idichi co W 0 F W Σ, doe 0 F Σ, la superficie che limita il olume. L equaioe del moto, applicata al liquido coteuto el detto olume, si scrie: ( ) ρ ρ d td d F i esamii il primo itegrale. ome già detto il ettore ( ) ha compoeti sugli assi,, : ( )

29 . MIRANDA, Apputi di Architettura Naale, Dipartimeto di Igegeria Naale Napoli, Ottobre, 00 8 Queste, ricordado che di 0, possoo scriersi ella forma: ( ) ( ) ( ) di di di Detta il ersore della ormale estera a, itegrado ciascua compoete sul olume ed applicado il teorema della diergea, si ottiee: ( ) ( ) ( ) d ) ( d di d ) ( d di d; ) ( d di Idicado co ( ) il ettore aete compoeti: ; ) ( ; ) ( ; ) ( ) (

30 si può scriere: ρ ( ) d ρ( ) d Il secodo itegrale: td è la fora superficiale agete sul olume. Il tesore tesore degli sfori: t, le cui compoeti costituiscoo il σ t σ σ può essere ache iteso come risultate dei ettori: t σ i j k t i σ j k t i j σ k Ne segue che: t t t t 9. MIRANDA, Apputi di Architettura Naale, Dipartimeto di Igegeria Naale Napoli, Ottobre, 00

31 . MIRANDA, Apputi di Architettura Naale, Dipartimeto di Igegeria Naale Napoli, Ottobre, e quidi: d d d td t t t Applicado acora il teorema della diergea si ottiee: d t td d d d d t t t t Pertato l equaioe del moto si scrie: ( ) ρ ρ d td d F Le codiioi al cotoro richiedoo: 0 : P t, 0; t 0; : P t, W F Ne seguoo le relaioi: ( ) ( ) d d Σ ρ ρ

32 td W td Σ td ostituedo ella precedete relaioe ρ Σ ( ) d W td td ρf d Σ si periee alla equaioe: W td [ t ρ( ) ] d Σ ρfd Il ettore t è lo sforo specifico t esercitato dal fluido sulla carea, pertato e segue che l itegrale: td F t ρ ( ) d W T [ ] Σ ρfd è la fora risultate F T esercitata dal fluido su di essa; la compoete ella direioe della elocità, R T F T i, è la resistea al rimorchio della carea: R T i td W 3. MIRANDA, Apputi di Architettura Naale, Dipartimeto di Igegeria Naale Napoli, Ottobre, 00

33 Lo sforo specifico t esercitato dal fluido sulla carea può ache esprimersi, come già isto, ella forma: [ µ ( ) µ ω] t t p Il termie i paretesi può scriersi: ( ) µ ω µ [( ) ω] µ ω µ Ricordado che di 0, ale acora: ( ) µ ω µ [( ) ( ) ω] µ ω µ ome si può erificare, ale la relaioe: ( ) ( ) ω ( ) Ne segue che: ( ) µ ω µ ( ) µ ω µ e quidi lo sforo specifico esercitato dal fluido sulla carea è: ( ) µ ω t p µ La fora F T può, quidi, esprimersi ella forma: 3. MIRANDA, Apputi di Architettura Naale, Dipartimeto di Igegeria Naale Napoli, Ottobre, 00

34 F T td pd µ W W W [( ) ] d µ ωd W i idichi co WL la liea di galleggiameto diamico, iterseioe tra la superficie libera e quella di carea. Il secodo itegrale ell espressioe a secodo membro può essere trasformato facedo ricorso al teorema di tokes, applicato ella forma più geerale riportata el testo di L. M. Mile Thomso, Theoretical Hdrodamics, MacMilla&o LTD, Fifth Editio, 968. Posto il ettore d d e detta X ua geerica fuioe, scalare o ettoriale del puto di ormale apparteete a, ale la seguete relaioe: W ( d ) X dx WL Poedo i essa X, si ottiee: W ( d ) d WL equialete ache alla: ( ) d d W WL La codiioe ai limiti richiede che i tutti i puti di WL sia 0, pertato seguoo le relaioi: ( ) d d 0 W WL 33. MIRANDA, Apputi di Architettura Naale, Dipartimeto di Igegeria Naale Napoli, Ottobre, 00

35 F T td pd µ ωd W W W R T pi d µ i ( ω )d W W L ultima relaioe esprime la resistea R T come somma di due aliquote: il primo itegrale dà la resistea di pressioe R P, risultate degli sfori ormali; il secodo itegra le compoeti di ettori tageti alla superficie di carea e dà la resistea iscosa o di attrito superficiale R V. Nelle formule scritte può sembrare o ifluete la presea della superficie libera. i oti che la superficie W è quella bagata di carea, certamete fuioe della formaioe odosa geerata; le pressioi p dipedoo dalle elocità idotte dalla perturbaioe fluida. Nel caso di fluido o iscoso, la resistea al moto si riduce alla sola compoete data dal primo itegrale, di alore certamete o ullo per la eidete presea di ode sulla superficie libera. I questo caso, l itegraioe degli sfori ormali, uici o ulli, dà ua risultate, detta resistea di oda R W. I alori della pressioe p dipedoo, oiamete, dal campo delle elocità della correte fluida o iscosa itoro alla carea. 34. MIRANDA, Apputi di Architettura Naale, Dipartimeto di Igegeria Naale Napoli, Ottobre, 00

36 7. EONDA EPREIONE DELLA REITENZA AL RIMORHIO ome già isto el paragrafo precedete, la fora risultate F T esercitata dal fluido sulla carea è data ache dalla relaioe: F T [ t ρ( ) ] d Σ ρfd Questa relaioe poe la fora uguale alla ariaioe della quatità di moto, subita ell uità di tempo, dalla massa dalla massa fluida che attraersa il olume di cotrollo. Procededo alla sostituioe: [ µ ( ) µ ω] t p ostituedo si ottiee: F T [ p µ ( ) µ ω ρ( ) ] d Σ ρfd ostituedo la relaioe già troata: ( ) µ ω µ ( ) µ ω µ segue: F T [ p µ ( ) µ ω ρ( ) ] d Σ ρfd 35. MIRANDA, Apputi di Architettura Naale, Dipartimeto di Igegeria Naale Napoli, Ottobre, 00

37 Applicado acora il teorema di tokes ella forma più geerale riportata el testo di L. M. Mile Thomso, Theoretical Hdrodamics, MacMilla&o LTD, Fifth Editio, 968, si ha: Σ ( ) d d 0 WL essedo su tutti i puti di WL sia 0. Pertato segue: F T [ p µ ω ρ( ) ] d Σ ρfd i suppoga che la perturbaioe fluida, idotta dal corpo ella correte uiforme, sia cofiabile etro ua defiita porioe del fluido, detta scia iscosa. Il campo di moto rimae, pertato, diiso elle due regioi itera ed estera alla scia iscosa. Le caratteristiche di moto della regioe estera alla scia iscosa siao quelle della correte traslatoria uiforme idisturbata, co alori asitotici V 0 e p 0 della elocità e della pressioe. I essa il moto è quello staioario ed irrotaioale del fluido icomprimibile Nella scia iscosa il moto fluido preseta le medesime caratteristiche, ma o cosera quella della irrotaioalità, sicché i essa si assumerà ωrot 0. i idichi co Ω la seioe della scia co il piao e co F(Ω) la parte della superficie libera F che limita superiormete la scia. i cosideri l equaioe del moto di Naier-tokes ella forma ettoriale: ρ ( ) p ν F ρ e si usio le segueti idetità ettoriali: ( ) ω 36. MIRANDA, Apputi di Architettura Naale, Dipartimeto di Igegeria Naale Napoli, Ottobre, 00

38 ( ) ω; 0 ω Essedo F ( g), l equaioe assume la forma: p g ρg g ω ν ω e la orticità è ulla, ale a dire se il flusso è irrotaioale, si ha: ρg p g 0 Ne segue, ache per il fluido iscoso, l equaioe di Beroulli: p ρ g g cos t. H Per le ipotesi poste, il triomio di Beroulli assume alore costate i tutto il campo di moto estero alla scia iscosa e pari a quello della correte uiforme: p0 V ρ g g H 0 Riferedosi alle pressioi relatie, sulla superficie libera idisturbata l equaioe di Breoulli assume il alore: 37. MIRANDA, Apputi di Architettura Naale, Dipartimeto di Igegeria Naale Napoli, Ottobre, 00

39 H 0 V g Pertato: p 0 0 ρg V H g V g Nella scia iscosa, l equaioe di Beroulli assume il alore H fuioe della posiioe e tale da erificare la relaioe: p g ρ g g ω ν ω i poga: H p ρg g Esteramete alla scia il triomio di Beroulli ha alore costate: H 0 V g Ne segue per la pressioe la relaioe: Doe si è posto p ρv H H H. 0 ρ ρg ρ g H 38. MIRANDA, Apputi di Architettura Naale, Dipartimeto di Igegeria Naale Napoli, Ottobre, 00

40 L itegrale può porsi ella forma: ρf d Σ W ρ g d Pertato, l aioe diamica complessia: F T Σ [ p µ ω ρ( ) ] d Σ ρ g d W Σ p d µ ωd Σ Σ ρ g d W Σ ρ ( ) d i idichio rispettiamete co I, I, I 3 e I 4 le compoeti ella direioe del moto degli itegrali a secodo membro della precedete relaioe. Prima di procedere alle itegraioi si osseri: ulla superficie libera F la pressioe relatia è ouque ulla, pertato il relatio itegrale dà cotributo ullo; ulle superfici laterali 0 e, essedo il prodotto i 0 ache i relatii itegrali si aullao; ulle superfici e il prodotto i ale rispettiamete e. i cosideri l itegrale I sostituedo i esso l espressioe data della pressioe: I Σ ρv ρ ρg H i d I ρv ρ ulla superficie la quatità H 0 e V, peratto: ρg H i d 39. MIRANDA, Apputi di Architettura Naale, Dipartimeto di Igegeria Naale Napoli, Ottobre, 00

41 ρv ρ ρg H i d ρg d ulla superficie la quatità H 0 solo sulla seioe Ω scrie: della scia, pertato l itegrale si ρv ρ ρg H i d ρv ρ ρg d Ω H d Ricordado che le superficie e soo uguali, e segue per I l espressioe: I ρv ρ d Ω H d i cosideri l itegrale: Σ I µ ωd La orticità è ulla ouque, trae che su Ω e su F (Ω) ; essedo su Ω i ettori e i paralleli, si ha: 40. MIRANDA, Apputi di Architettura Naale, Dipartimeto di Igegeria Naale Napoli, Ottobre, 00

42 I µ ω i d ω i d Σ F( Ω ) L itegrale I 3 può scriersi: I3 ρ g i d ρ g i d ρ g i d Σ W Σ W I esso le itegraioi su 0 e l dao cotributi ulli, quelle estese ad e si aullao, l uico itegrale o ullo è quello sulla superficie libera F ; pertato: I3 ρ g i d ρ g i d ρ g i d Σ W F W L ultimo itegrale: I 4 ρ Σ ( ) i d ha alore ullo sulla superficie libera, essedo tale la fuioe itegrada, e su 0 e. ulle superfici e, le elocità soo rispettiamete V e e i ersori soo uguali e cotrari, pertato: I 4 ρ Σ ( ) i d ρ V d ρ d ρ ( V )d 4. MIRANDA, Apputi di Architettura Naale, Dipartimeto di Igegeria Naale Napoli, Ottobre, 00

43 Raccogliedo i ari itegrali, si periee alla relaioe: R T F T i I I I3 I4 ρ ρ ρ V d g Ω H d µ F( Ω ) ω i d ρ g i d ρ g i d F W ρ ( V )d Ricordado che: e per la codiioe di cotiuità: V d d 0 gli itegrali: ρv ρ d ρ ( V )d si possoo scriere ella forma: 4. MIRANDA, Apputi di Architettura Naale, Dipartimeto di Igegeria Naale Napoli, Ottobre, 00

44 ρ [ ( V ) ]ds Ne segue l espressioe della resistea: R T F T i I I I3 I4 ρ g H d ρ ( V ) Ω [ ] ds µ F( Ω ) ω i d ρ g i d F W ρ g i d Gli ultimi due itegrali possoo essere scritti ella forma: F ρ g i d W ρ g i d ρg F rot a d W doe si è posto: i rot a i ; a k 0 0 j k ( ) e Γ è il cotoro della superficie F U W, per il teorema di tokes ale la relaioe: 43. MIRANDA, Apputi di Architettura Naale, Dipartimeto di Igegeria Naale Napoli, Ottobre, 00

45 F W rot a d Γ a t dl Nel calcolo della circuitaioe l uico cotributo o ullo iee dal tratto di Γ apparteete alla superficie, i particolare dall iterseioe di co F(ω). Essa è l eleaioe odosa ζ() el piao di. La fuioe ζ() è simmetrica rispetto al piao, dimiuisce ±, 0, iterseioi di all aumetare della distaa da esso, aulladosi ei puti di coordiate ( ), F(ω) e F. Esteramete ad essi ζ è costatemete ulla. Ne segue: F W rot a d Γ a t dl ( ) Γ k t dl Detto α l agolo tra i ersori t e k, si può scriere: t k π cos α se α; d dl π cos α ; t k dl π ta α ζ' () Ne segue: Γ ( ) k t dl ζ( ) ζ' ( )d Essedo la quatità ζ ( ) ζ' ( ) è la deriata della fuioe ζ ( ) ottiee:, itegrado per parti si 44. MIRANDA, Apputi di Architettura Naale, Dipartimeto di Igegeria Naale Napoli, Ottobre, 00

46 ζ ( ) ζ' ( ) d ζ ( ) [ ] ζ ( ) d ζ ( )d Pertato: ρ g i d ρ g i d ζ ( ) d ζ ( )d F W doe l estesioe dell ultimo itegrale ad è ua pura posiioe. Riteedo, ifie, a grade distaa dal corpo, trascurabile rispetto agli altri il alore dell itegrale: µ F( Ω ) ω i d che compare ell ultima espressioe data della resistea, si periee alla relaioe: g ( V ) R T ρ H d Ω ρ [ ] ds ( g ρ ζ )d Nel paragrafo che segue, si pererrà ad u espressioe della resistea più semplice, co termii approssimati al primo ordie. iò cosetirà ua più chiara idiiduaioe delle sue compoeti. 45. MIRANDA, Apputi di Architettura Naale, Dipartimeto di Igegeria Naale Napoli, Ottobre, 00

47 8. UN EPREIONE LINEARIZZATA DELLA REITENZA AL RIMORHIO Le caratteristiche di o liearità costituiscoo la difficoltà maggiore ell itegraioe delle equaioi differeiali del moto dei fluidi iscosi. Nel caso di u corpo iestito da ua correte traslatoria uiforme, sotto l aioe di fore di ieria e iscose di etità comparabili,. W. Osee suggerì el 90 u metodo per superare questa difficoltà. i suppoga che a grade distaa dal corpo le caratteristiche del moto fluido siao poco dierse da quelle della correte uiforme, sicché la elocità si possa riteere somma di ua costate, pari alla elocità asitotica V della correte uiforme, è di u termie perturbatio. Vale a dire: V ' V ' ' ' doe le compoeti ', ', ' della elocità di perturbaioe soo piccole rispetto a V. ostituedo l espressioe della elocità ell equaioe della quatità di moto: p g ρg g ω ν ω si ottiee: V p ' g ν ω ρ doe a primo membro, data la piccolea di, si è trascurato il termie ( ' ) '. 46. MIRANDA, Apputi di Architettura Naale, Dipartimeto di Igegeria Naale Napoli, Ottobre, 00

48 La soluioe della precedete equaioe può essere espressa come combiaioe lieare di due aliquote: ua elocità r douta al moto rotaioale, u altra douta al moto irrotaioale e, pertato, esprimibile i fuioe del poteiale di elocità: ' r ϕ La elocità r dee soddisfare le equaioi: r V ν 0 r 0 Esteramete alla scia orticosa ω 0. Nell ambito dell approssimaioe lieare, si esprima la pressioe, sia ella scia orticosa che all estero di essa, i fuioe delle compoeti della elocità irrotaioale p ϕ ρ g ρ V i esprima ache l eleaioe odosa come somma di due aliquote, ua ζ p douta al moto irrotaioale, l altra ζ r al moto rotaioale. ostituedo le espressioi della pressioe e delle elocità ella relaioe: 47. MIRANDA, Apputi di Architettura Naale, Dipartimeto di Igegeria Naale Napoli, Ottobre, 00

49 g ( V ) R T ρ H d Ω ρ [ ] ds ( g ρ ζ )d questa dieta: ϕ ϕ ϕ R T ρ ds g ( )d ρ ζ P g ( )d ρ ζ ( )d r r p ζ ζ ρ - ρ ds ρ g Ω ϕ r Ω r ds ρ ( ϕ) ds ρ V Ω Ω r ds I questa relaioe, quado la distaa dalla ae tede all ifiito, tutti gli itegrali tedoo a ero, trae il primo, il secodo e l ultimo, pertato si può scriere: R T ϕ ϕ ϕ ρ ds ρ g ζ P ( ) d ρ V r Ω ds 48. MIRANDA, Apputi di Architettura Naale, Dipartimeto di Igegeria Naale Napoli, Ottobre, 00

50 I essa, come si ota, le approssimaioi fatte hao portato all assea di tutti i termii di iterferea tra le compoeti rotaioali ed irrotaioali del moto. Pertato, associado ai primi la compoete iscosa R V della resistea, ed ai secodi quella R W di oda, si può scriere: doe: R R T V R W R W ϕ ϕ ϕ ρ ds g ρ ζ P ( )d R V ρ V ds Ω r Ne segue che, ell ambito delle approssimaioi lieare fatte, la resistea totale è stata scomposta i due aliquote, sommabili e tra loro idipedeti. Questa ipotesi, come è oto, è alla base del metodo di Froude; le cosideraioi fatte e eideiao, almeo qualitatiamete, i limiti e le approssimaioi. 49. MIRANDA, Apputi di Architettura Naale, Dipartimeto di Igegeria Naale Napoli, Ottobre, 00