Le rendite finanziarie

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1 Le rendte fnanzare Obettv rconoscere e saper cassfcare una rendta utzzare e formue per cacoo d montante e vaore attuae d una rendta: - mmedata e dfferta - temporanea e perpetua saper rsovere probem rguardant e rendte 1. CHE COS'E' UNA RENDITA 1.1 Le defnzon e a cassfcazone La paroa rendta ne nguaggo comune ha sgnfcato d una somma che perodcamente vene ncassata; vvere d rendta, per esempo, sgnfca avere a dsposzone una certa somma ogn mese che derva da nteress su capta, da rsparm, da asct o atro. In matematca fnanzara termne rendta ha un sgnfcato puá ampo ed eá egato sa aa rscossone che a pagamento d somme stabte a scadenze prefssate. Supponamo per esempo che un gentore s preoccup d accantonare de denaro, dcamo E a'anno, a partre daa nascta de propro fgo, che possa consentrg d competare corso d stud; fgo, una vota gunto a'unverstaá, usufrurebbe dea somma accantonata godendo d una rata annua o mense fno a competamento de cnque ann de corso d stud. G esercz d questo paragrafo sono a pag. 26 Chamamo rendta una successone d mport (e rate) da rscuotere o da pagare n epoche stabte (e scadenze) ad nterva d tempo determnat. In fgura 1 abbamo rappresentato a stuazone sua retta de temp: n ato e rate da rscuotere o pagare, n basso temp dea rscossone o de pagamento. Le rendte d cu c occupamo n questo captoo sono e rendte certe, coeá quee rendte che non sono condzonate da'accadere o meno d event aeator, ma che dpendono soo da tpo d contratto stpuato. Fgura 1 I fattor che caratterzzano una rendta sono seguent. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS LE RENDITE FINANZIARIE 1

2 n La rata, coeá 'mporto che vene rscosso o pagato ad ogn perodo. S possono avere rendte con rata costante o rendte con rata varabe. GLI ELEMENTI CARATTERISTICI DI UNA RENDITA n La numerostaá dee rate, coeá numero d rate che costtusce a rendta. S possono avere rendte con un numero fnto d rate, per esempo 20, e n questo caso s para d rendte temporanee, o con un numero mtato d rate, e cosddette rendte perpetue o vtaze, nee qua soggetto ncassa a rendta fno a che eá n vta o, ne caso d ent, fno a che esste. n I perodo, che ndca 'ntervao d tempo tra a rscossone (o pagamento) d una rata e 'atra. D soto perodo eá costante e s possono avere: rendte annue se tempo che ntercorre tra a rscossone d una rata e 'atra eá d un anno poenna se tempo eá d puá ann frazonate se tempo eá una frazone d anno, per esempo rendte mens, trmestra e cosõá va. n La decorrenza, che ndca quando puoá essere rscossa a prma rata. Possamo avere rendte mmedate se pagamento dee rate avvene entro prmo perodo dopo a stpua de contratto, oppure dfferte se avvene dopo puá perod. Per esempo, s puoá stpuare un contratto con una Asscurazone che prevede che, detro pagamento d E , s abba drtto, a partre da subto, a una rendta vtaza d E a'anno; questa eá una rendta mmedata. La pensone eá nvece una rendta dfferta percheâ pagamento avvene a termne dea carrera avoratva dopo aver raggunto una certa etaá. n La scadenza dee rate, che, una vota fssata a decorrenza, ndca momento n cu puoá essere rscossa a prma rata e, d conseguenza, tutte e atre. S possono avere rendte antcpate se pagamento dea rata avvene a'nzo d ogn perodo, oppure postcpate se avvene a termne. I contraente dea pozza asscuratva portata come esempo d rendta mmedata puoá avere pagamento a'nzo de'anno d decorrenza dea pozza, e n questo caso a rendta eá antcpata, oppure aa fne de'anno, e a rendta eá aora postcpata. Possamo rassumere quanto detto n una tabea che costtusce anche una cassfcazone dee rendte. Reatvamente a perodo Annua Frazonata Poennae Reatvamente aa numerostaá dee rate Temporanea Perpetua Reatvamente aa decorrenza Immedata Dfferta Reatvamente aa scadenza Antcpata Postcpata LA CLASSIFICAZIONE Tornando a'esempo nzae, fgo de gentore avveduto, arrvato a'unverstaá, avraá una rendta: formata da 5 rate annue (oppure 60 mens) d mporto costante temporanea percheâ a durata eá d so 5 ann dfferta percheâ nzeraá a percepra a momento de'scrzone a'unverstaá antcpata percheâ eá stato dsposto che a rata g venga corrsposta a'nzo d ogn anno (o mese). 2 LE RENDITE FINANZIARIE Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

3 ESEMPI 1. Maro deve rscuotere E 500 a'nzo d ogn anno per 6 ann. S tratta d una rendta che eá: costante percheâ 'mporto dea rata eá fsso; annua percheâ perodo che ntercorre tra una rata e 'atra eá d 1 anno; temporanea percheâ numero dee rate eá 6, coeá un numero fnto; antcpata percheâ a rscossone avvene a'nzo de'anno, coeá a'nzo de perodo d competenza. 2. Luca deve pagare E 60 aa fne d ogn mese per 3 ann. La rata eá d E 60 qund s tratta d una rendta costante; tempo che ntercorre tra un perodo e 'atro eá d 1 mese e qund a rendta eá frazonata; numero dee rate eá 36, qund eá una rendta temporanea; pagamento eá fatto aa fne de mese qund eá una rendta postcpata. 3. Un artgano ha n afftto un capannone per quae paga, semestramente, un canone d ocazone d E I contratto scade fra 4 ann. S tratta d una rendta costante che eá: frazonata ( canone d afftto eá semestrae), temporanea ( contratto eá vado 4 ann), mmedata e antcpata ('afftto s paga aa stpua de contratto ed eá antcpato). 4. Fabo potraá rscuotere, a partre da ogg fncheâ saraá n vta, E 1000 ogn tre mes aa scadenza d ogn perodo. La rendta eá costante ed eá evdentemente frazonata, eá perpetua percheâ numero dee rate non eá precsato, eá mmedata, eá postcpata percheâ pagamento avvene aa fne de trmestre. 1.2 Le potes d avoro Per rsovere quaunque probema che rguard movment d denaro, qund anche una rendta, eá necessaro conoscere regme fnanzaro n cu s opera; ne caso dee rendte regme eá queo d nteresse o d sconto composto. Supporremo notre che e rate d una rendta sano costant e che vengano pagate o rscosse a perod fss stabt (una vota a mese, una vota a'anno e cosõá va). I probema che s presenta con maggore frequenza eá queo d vautare una rendta ad un certo punto de contratto. Per esempo (fgura 2), se una rendta eá composta da 8 rate e vogamo sapere qua eá suo vaore aa rscossone dea sesta, dobbamo captazzare e prme cnque, aggungere a sesta rata e attuazzare e successve due. Fgura 2 I vaore d una rendta ad un'epoca t eá a somma de montant dee rate antecedent a t, con vaor attua dee rate che scadono n epoca successva a t, puá a rata a tempo t. Anche se una rendta puoá essere vautata n quaunque momento de contratto, partcoare nteresse hanno e seguent vautazon: Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS LE RENDITE FINANZIARIE 3

4 a vautazone posterore a tutte e rate (o concdente con 'utma), che avvene cacoando montante d tutte e rate a vautazone antecedente a tutte e rate (o concdente con a prma), che avvene cacoando vaore attuae d tutte e rate. Ne fare queste vautazon dobbamo peroá ragonare n modo dverso a seconda che a rata sa antcpata o postcpata. Consderamo per esempo una rendta costante formata da quattro rate d uguae mporto R : se a rendta eá antcpata, e rate vengono pagate a'nzo de perod e possamo rappresentare a stuazone sua retta de temp come n fgura 3a; se a rendta eá postcpata, e rate vengono versate aa fne de perod e a stuazone appare come n fgura 3b (n pratca eá come se a rata vensse dfferta d un perodo). Fgura 3 a. b. Fgura 4 a. D conseguenza: n cacoo de montante deve essere fatto: un perodo dopo versamento de'utma rata se a rendta eá antcpata (fgura 4a) a'atto de pagamento de'utma rata se a rendta eá postcpata (fgura 4b). n cacoo de vaore attuae deve essere fatto: a'atto de pagamento dea prma rata se a rendta eá antcpata (fgura 5a) un perodo prma de pagamento dea prma rata se a rendta eá postcpata (fgura 5b). Ne prossm paragraf vedamo come rsovere quest probem. b. Fgura 5 a. b. VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. Accanto ad ogn descrzone barra e casee che caratterzzano e seguent rendte temporanee (Annua, Frazonata, Immedata, Dfferta, Antcpata, Postcpata). a. Luca rceveraá E 2000 a'nzo d ogn anno quando compraá 20 ann e fno a 25. b. Per 'acqusto de'auto Anna deve pagare E 220 a mese, a partre daa stpua de contratto, aa fne d ogn mese, fno a competo pagamento dea stessa. c. Per 'afftto dea sua abtazone Marco paga E 800 a mese a partre daa stpua de contratto a'nzo d ogn mese. d. Un Ente benefco rceve un ascto che comporta a rscossone d E 5000 aa fne d ogn anno per 10 ann. A F I D A P A F I D A P A F I D A P A F I D A P 2. IL MONTANTE DI UNA RENDITA IMMEDIATA 2.1 I cacoo de montante aa scadenza G esercz d questo paragrafo sono a pag. 27 I caso dee rendte postcpate Rprendamo ora o studo dee rendte e ponamoc seguente probema. Versamo una somma costante d E 700, per 4 ann e aa fne d ogn anno, n un fondo che captazza annuamente a tasso de 2% annuo. 4 LE RENDITE FINANZIARIE Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

5 Vogamo sapere a quanto ammonteraá nostro captae dopo 'utmo versamento fatto. S tratta d stabre montante d una rendta annua d E 700 per 4 ann; sappamo che: perodo dea rendta eá d 1 anno tasso d nteresse eá annuo, conforme a perodo dea rata a rendta eá temporanea percheâ e rate sono 4 s tratta d una rendta postcpata percheâ ogn rata vene versata aa fne d cascun perodo. Per cacoare montante d questa rendta (fgura 6), osservamo che a somma d E 700 versata a'anno 1 produce nteresse per tre ann, a somma d E 700 versata a'anno 2 produce nteresse per due ann, a somma d E 700 versata a'anno 3 produce nteresse per un anno, mentre a somma d E 700 versata a'anno 4 non produce nteresse. I montante fnae saraá qund dato daa somma de montant prodott da quattro capta, cascuno d E 700, per perodo d competenza; possamo qund scrvere che M ˆ , , , Fgura 6 Se eseguamo cacoo con una cacoatrce trovamo che M ˆ 2885,12(E). Generazzamo probema e consderamo una rendta postcpata formata da n rate d mporto R; sa po tasso d nteresse che deve essere conforme a perodo dea rendta: nteresse annuo se a rata eá annua, nteresse semestrae se a rata eá semestrae e cosõá va. I vaore M dea rendta a tempo n eá a somma de montant prodott dae sngoe rate (fgura 7); a prma rata deve qund essere captazzata per n 1 ann, a seconda per n 2 ann, a terza per n 3 e cosõá va fno a'utma rata, che non produce nteresse n quanto vene versata esattamente a tempo n. Ottenamo qund che: Rcordamo e formue per a conversone de tass: ˆ 1 k k 1 k ˆ kp 1 1 j k ˆ k k M ˆ R 1 n 1 R 1 n 2 R 1 n 3 ::::::::::: R 1 2 R 1 1 R Per arrvare ad una formua comoda da appcare raccogamo dapprma 'mporto R dea rata: M ˆ R 1 n 1 1 n 2 1 n 3 ::::::::::: Fgura 7 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS LE RENDITE FINANZIARIE 5

6 Osservamo adesso che g addend a'nterno dea parentes sono termn d una progressone geometrca cu prmo termne vae 1 e a ragone eá 1 : ::::::::::::: 1 n 3 1 n n 1 La somma d quest termn vae coeá 1 montante M eá dato daa formua: M ˆ R 1 n 1 n 1 n 1, qund La somma S de prm n termn d una progressone geometrca avente prmo termne uguae ad a e d ragone q eá data daa formua: S ˆ a qn 1 q 1 Ne nostro caso a ˆ 1 q ˆ 1 L'espressone 1 n 1 s ndca con smboo s che s egge s postcpato, fgurato n, a tasso n. Essa rappresenta montante prodotto da una rendta untara mmedata postcpata per n perod a tasso perodae. In defntva: montante d una rendta mmedata postcpata, formata da n rate d mporto costante R, a tasso perodae, a'atto de versamento de'utma rata, eá uguae a: M ˆ R s dove s 1 n nˆ n 1 LA FORMULA Per ˆ 0 a formua non eá appcabe; tuttava, se tasso d nteresse eá zero, montante equvae a vaore dee n rate d mporto R, coeá M ˆ nr. Per esempo, vaore d una rendta postcpata d rata R ˆ 800 euro, formata da 15 rate mens a tasso mense deo 0,2% eá uguae a: 1 0, M ˆ 800 ˆ 12169,47(E) 0,002 Osservamo che tasso d nteresse eá conforme a perodo dea rata. I caso dee rendte antcpate Rprendamo 'esempo consderato a'nzo de paragrafo, n cu depostamo a somma d E 700 per 4 ann a tasso annuo de 2%, ma supponamo questa vota che versament avvengano a'nzo d ogn anno. S tratta ancora d una rendta temporanea percheâ numero dee rate eá fnto, ma n questo caso a rendta eá antcpata percheâ versament sono effettuat a'nzo d ogn perodo. I cacoo de montante deve aora tener conto che anche 'utma rata ha prodotto nteresse e a stuazone puoá qund essere rappresentata su'asse de temp come n fgura 8; n essa a somma d E 700 versata a'anno 0 produce nteresse per quattro ann, quea versata a'anno 1 produce nteresse per tre ann, quea a'anno 2 produce nteresse per due ann, mentre a'anno 3 a stessa somma produce nteresse per un anno. Possamo dunque consderare montante d questa rendta come a somma de montant prodott da quattro capta, cascuno d E 700, mpegat a 2% rspettvamente per quattro, tre, due, un anno. Fgura 8 6 LE RENDITE FINANZIARIE Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

7 Abbamo qund che M ˆ , , , ,02 Se eseguamo cacoo con una cacoatrce trovamo che M ˆ 2942,83(E). Anche n questo caso possamo gungere ad una formua che esprme vaore d M; ragonamento da segure eá anaogo a queo de paragrafo precedente: I vaore dea rendta a tempo n eá a somma de montant prodott dae sngoe rate (fgura 9); a prma rata deve essere captazzata per n ann, a seconda per n 1 ann, a terza per n 2 e cosõá va fno a'utma rata, che produce nteresse soo per un anno. Fgura 9 I montante compessvo s cacoa qund con a formua M ˆ R 1 n R 1 n 1 R 1 n 2 ::::::::::: R 1 2 R 1 1 Raccogamo fattore R 1 comune a tutt g addend: M ˆ R 1 1 n 1 1 n 2 1 n 3 ::::::::::: L'espressone a'nterno dea parentes quadra eá a somma de termn dea stessa progressone geometrca precedente, qund M ˆ R 1 n 1 1 L'espressone 1 n 1 1 s ndca con smboo s n antcpato, fgurato n, a tasso. che s egge s Essa rappresenta montante prodotto da una rendta untara mmedata antcpata per n perod a tasso perodae. In defntva: montante d una rendta mmedata antcpata, formata da n rate d mporto costante R, a tasso perodae, un perodo dopo 'utmo versamento, eá uguae a: M ˆ R s n dove s ˆ n 1 n 1 1 LA FORMULA Anche n questo caso per ˆ 0 a formua non eá appcabe; tuttava, come ne caso precedente, se tasso d nteresse eá zero montante equvae a vaore dee n rate d mporto R, coeá M ˆ nr. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS LE RENDITE FINANZIARIE 7

8 Per esempo, vaore d una rendta antcpata d rata R ˆ 1200 E, formata da 8 rate trmestra a tasso trmestrae deo 0,4% eá uguae a: 1 0, M ˆ , ,004 ˆ 9774,42(E) Osservamo che tasso d nteresse eá conforme a perodo dea rata. Rassumamo n una tabea e formue che abbamo mparato: Tpo d rendta Montante dea rendta postcpata M ˆ R s s 1 n nˆ n 1 antcpata M ˆ R s n s ˆ 1 n 1 1 n I smbo s e s n n egat daa reazone s ˆ s 1 n n sono Come rsovere probem In un probema d captazzazone sue rendte, e varab n goco sono 4: M, R, n e ; conoscendo tre d esse, eá sempre possbe trovare a quarta rsovendo 'equazone che s ottene sosttuendo vaor dee varab note nee formue. Neg esemp che seguono affrontamo probem d: cacoo de montante cacoo dea rata cacoo de numero d rate. Non possamo ancora affrontare probem reatv a cacoo de tasso d nteresse n quanto d soto s ottengono equazon d grado moto ato che non sappamo rsovere. Per esempo, se voessmo determnare a quae tasso eá stata vautata una rendta postcpata n cu M ˆ 12000, R ˆ 1500, n ˆ 20, dovremmo rsovere 'equazone ˆ 1500 cosa che non samo n grado d fare. Vedremo verso a fne de captoo come sa possbe rsovere n modo approssmato questo tpo d equazon. ESEMPI Esemp su cacoo de montante 1. Cara versa n un fondo che captazza a un tasso de'1,5% annuo E 2000 per 10 ann aa fne d ogn anno. Qua eá montante d questa rendta? S tratta d una rendta annua postcpata dove tasso d nteresse eá gaá conforme a perodo dea rata; dat de probema sono: R ˆ 2000 n ˆ 10 ˆ 0,015. Vogamo trovare M. Appchamo a formua M ˆ R s n : M ˆ 2000 s ˆ , ,015 0,015 ˆ 21405,44 E 8 LE RENDITE FINANZIARIE Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

9 2. Daro ha depostato n un fondo d nvestmento, 6 ann fa e con un unco versamento, a somma d E 4000 e po, da'anno seguente per atr 6 ann, coeá fno ad ogg, ha versato E 600 aa fne d ogn anno. I tasso d nteresse de fondo eá de 2% annuo netto. Se Daro deve estnguere un debto d E 9000, a somma accumuata fno a'utmo versamento fatto eá suffcente a coprre tae debto? I captae d cu potraá dsporre Daro eá dato da montante d E 4000 captazzato per 6 ann, cu s deve aggungere montante d una rendta mmedata temporanea postcpata d E 600 per 6 rate (fgura 10); aora M ˆ , , ,02 coeá La somma a dsposzone non eá dunque suffcente per pagare debto. Esemp sua rcerca de'mporto dea rata M ˆ 8 289,52 E 3. I montante d una rendta annuae vautato a tasso annuo de 2,4% eá d E Se e rate sono 10, costant e postcpate, qua eá 'mporto dea rata? Sappamo che: M ˆ ˆ 0,024 tasso annuo, conforme a perodo dea rata n ˆ 10 Vogamo trovare R. 1 n 1 Appchamo a formua de montante per e rendte postcpate M ˆ R, sosttuendo dat a nostra dsposzone e rsovendo 'equazone ottenuta: 1 0, ˆ R 0,024! ˆ R 11,152! R ˆ 8967 E 4. Cacoamo quae rata trmestrae eá necessaro versare per 6 ann consecutv per avere, un perodo dopo 'utmo versamento, un montante d E 6 630,49 se a captazzazone eá a tasso annuo de 3,2%. Poche a vautazone dea rendta eá stata fatta un perodo dopo 'utmo versamento, possamo usare a formua per a rendta antcpata sapendo che: M ˆ 6630,49 n ˆ 24 (4 rate ogn anno per 6 ann) ˆ 0,032 tasso annuo, non conforme a perodo dea rata p Trasformamo prma d tutto tasso annuo n tasso trmestrae: 4 ˆ 4 1 0,032 1 ˆ 0,0079 Appchamo a formua M ˆ R s e rsovamo 'equazone ottenuta: n 1 0, ,49 ˆ R 0,0079 Esemp sua rcerca de numero dee rate 1 0,0079! 6630,49 ˆ R 26,52! R ˆ 250 E 5. Antono resce a rsparmare E 3000 ogn anno e decde d depostare questa somma n un fondo d nvestmento che rende 5% annuo. Quante rate deve versare per avere un montante d ameno E ? Poche rsparm s vautano e qund s versano aa fne de'anno, s tratta d una rendta postcpata n cu: R ˆ 3000 M ˆ ˆ 0,05 tasso annuo, conforme a perodo dea rata Vogamo cacoare n. Fgura 10 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS LE RENDITE FINANZIARIE 9

10 La formua da appcare eá M ˆ R 1 0,05 n ˆ ,05 1 n 1 e qund 'equazone da rsovere eá:! 1,05 n 1 ˆ , ! 1,05 n ˆ 1, S tratta d un'equazone esponenzae che rsovamo rcorrendo a ogartm decma: og 1,05 n ˆ og 1, ! n og 1,05 ˆ og 1, ! n ˆ og 1, og 1,05 ˆ 10,47 I rsutato ottenuto ndca che numero d rate, necessaramente un numero ntero, deve essere maggore d 10; dcamo qund che s potraá ottenere un montante d ameno E con 11 rate. 2.2 I cacoo de montante n un'epoca posterore aa scadenza Se a somma che s accumua n una rendta non vene rtrata aa scadenza ma rmane n deposto per un atro tempo t, suo vaore deve essere captazzato per tempo t. Vedamo quache esempo. I esempo Marco versa E a'anno per 4 ann ad un tasso d nteresse annuo de 3%. Dopo aver fatto 'utmo versamento asca 'ntera somma n deposto per atr 3 ann. Quae captae avraá aa fne? Per rsovere questo probema dobbamo: trovare montante M dea rendta aa scadenza captazzare M per 3 ann. Poche non c eá stato detto se a rendta eá antcpata o postcpata, dstnguamo due cas. n Caso d rendta postcpata In questo caso Marco fa versament aa fne d ogn anno. I montante M dea rendta a tempo 4 eá qund (fgura 11) Fgura 11 M ˆ 1200 s 40,03 Poche 'utma rata eá stata versata a tempo 4, vaore ottenuto deve po essere captazzato per 3 ann e percoá, aa fne, s ha un montante fnae M 0 par a M 0 3 ˆ 1200 s 1 0,03 da cu M 0 ˆ 5485,87 E 40,03 n Caso d rendta antcpata In questo caso Marco effettua versament a'nzo d ogn anno (fgura 12); montante M aa scadenza (coeá a tempo 4) eá qund: M ˆ 1200 s ˆ , ,03 ˆ 5170,96 E 4 0,03 0,03 I rtro de captae vene fatto tre ann dopo versamento de'utma rata, versamento che eá avvenuto a tempo 3; dobbamo qund captazzare M Fgura LE RENDITE FINANZIARIE Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

11 fno a tempo 6, coeá per due ann. Ottenamo cosõáche captae che Marco avraá aa fne eá: II esempo M 0 ˆ 5170,96 1 0,03 2ˆ 5485,87 E Abbamo versato E 500 a'nzo d ogn anno per 7 ann n un fondo d nvestmento garantto, a tasso annuo de 2,3%. Ogg, un perodo dopo 'utmo versamento, rtramo captae accumuato e o renvestamo a tasso annuo de 3,2%. Che somma avremo a dsposzone fra 3 ann? Con rfermento aa fgura 13, dobbamo cacoare montante d una rendta antcpata d E 500 per 7 ann a tasso annuo de 2,3% e po captazzare vaore ottenuto per atr 3 ann a tasso annuo de 3,2%; n defntva, fra 3 ann avremo a dsposzone una somma par a h M ˆ 500 s 1 0,032 3 ˆ 4217,54 E Fgura 13 70,023 VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. I montante d una rendta postcpata, formata da 7 rate annue d mporto E 750, captazzate a tasso de 4% annuo eá uguae a euro: a. 6160,67 b. 5923,72 c. 5824,32 d. 6215,36 2. I montante d una rendta antcpata mense d rata par a E 200, a tasso deo 0,3% mense d durata 2 ann eá uguae a euro: a. 4980,16 b. 4814,40 c. 4969,30 d. 4984,21 3. Se montante d una rendta antcpata costtuta da 8 rate annue, vautate a tasso de 5% annuo, eá E 9324,70, 'mporto dea rata, arrotondata a'euro puá vcno eá uguae a: a. 930 b. 976 c. 864 d IL VALORE ATTUALE DI UNA RENDITA IMMEDIATA 3.1 I caso dee rendte postcpate Mara ha drtto a rscuotere 4 rate annue postcpate d E cascuna; avendo necesstaá d acqustare un'auto, cede tae drtto a una banca che vauta a rendta a 2,5% annuo. Quae somma rceve ogg Mara n sosttuzone dea rendta? Rappresentamo a stuazone su'asse de temp (fgura 14); vaore attuae dea rendta s ottene attuazzando ogn rata per perodo d competenza: a prma rata per un anno, a seconda per due, a terza per tre, a quarta per quattro: G esercz d questo paragrafo sono a pag. 32 Fgura 14 V ˆ , , , ,025 coeá V ˆ 9404,94 E. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS LE RENDITE FINANZIARIE 11 4

12 Generazzamo probema e consderamo una rendta postcpata formata da n rate d mporto R; sa po tasso d nteresse che, come a soto, deve essere conforme a perodo dea rendta. I vaore V dea rendta a tempo 0 eá a somma de vaor attua prodott dae sngoe rate (fgura 15); 'utma rata deve qund essere attuazzata per n ann, a penutma per n 1 ann, e cosõáva fno aa prma rata, che deve essere attuazzata per un soo anno. I vaore attuae d una somma S dsponbe a tempo t s cacoa con a formua V ˆ S 1 t Fgura 15 Ottenamo qund che: V ˆ R 1 n R 1 1 n R 1 2 n ::::::::::: R 1 2 R 1 1 Raccogamo 'mporto R dea rata e fattore 1 1 : V ˆ R n 1 2 n 1 3 n ::::::::::: G addend a'nterno dea parentes sono termn d una progressone geometrca cu prmo termne vae 1 e a ragone eá 1 1. La somma d quest termn vae dato daa formua: 1 V ˆ R n n qund vaore attuae eá Svuppamo cacoo de'espressone n cu compare tasso n modo da ottenere una forma puá sempce: n ˆ n 1 ˆ In defntva, vaore attuae dea rendta eá dato daa formua V ˆ R 1 1 n 1 n 1 1 L'espressone 1 1 n s ndca con smboo a che s egge a n postcpato, fgurato n, a tasso Essa rappresenta vaore attuae d una rendta untara mmedata postcpata per n perod a tasso perodae. In defntva: ˆ 1 1 n 12 LE RENDITE FINANZIARIE Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

13 vaore attuae d una rendta mmedata postcpata, formata da n rate d mporto costante R, a tasso perodae eá uguae a: M ˆ R a dove a 1 1 n nˆ n LA FORMULA Anche n questo caso per ˆ 0 a formua non eá appcabe; tuttava, se tasso d nteresse eá zero, vaore attuae equvae a vaore dee n rate d mporto R, coeá V ˆ nr. Per esempo, vaore attuae d una rendta postcpata d rata R ˆ 600 euro, formata da 8 rate annue a tasso annuo de 3% eá uguae a: 1 1 0,03 V ˆ 600 0,03 8 ˆ 4211,82 E 3.2 I caso dee rendte antcpate Rprendendo 'esempo precedente, supponamo ora che a rendta d Mara abba e rate antcpate; n questo caso a prma rata non deve essere attuazzata e e atre tre devono essere attuazzate d uno, due, tre perod (fgura 16): V ˆ , , ,025 3ˆ 9640,06 Fgura 16 Rpetendo ragonamento ne caso generae ottenamo che: coeá V ˆ R R 1 V ˆ R R ::::::: R 1 1 n 2 ::::::: 1 D nuovo abbamo una progressone geometrca con prmo termne uguae a 1 e ragone 1 1 ; con caco anaogh a precedent s trova che a somma de suo termn eá 1 1 n 1. L'espressone de vaore attuae eá qund: V ˆ R 1 1 n 1 L'espressone 1 1 n 1 s ndca con smboo a che s egge a n antcpato, fgurato n, a tasso. Essa rappresenta vaore attuae d una rendta untara mmedata antcpata per n perod a tasso perodae. In defntva: 1 n vaore attuae d una rendta mmedata antcpata, formata da n rate d mporto costante R, a tasso perodae eá uguae a: V ˆ R a n dove a n ˆ 1 1 n 1 LA FORMULA La formua non eá appcabe per ˆ 0 ma n questo caso vaore attuae equvae a vaore dee n rate d mporto R, coeá ancora V ˆ nr. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS LE RENDITE FINANZIARIE 13

14 Per esempo, vaore attuae d una rendta antcpata d rata R ˆ 1000 euro, formata da 10 rate trmestra a tasso trmestrae deo 0,4% eá uguae a: 1 1 0,004 V ˆ , ,004 ˆ 9822,61 E Rassumamo n una tabea e formue che abbamo mparato: Tpo d rendta Vaore attuae dea rendta Postcpata V ˆ R a a 1 1 n nˆ n Antcpata V ˆ R a n a n ˆ 1 1 n 1 Anche n un probema d attuazzazone d una rendta, e varab n goco sono 4: V, R, n e ; conoscendo tre d esse, eá sempre possbe trovare a quarta rsovendo 'equazone che s ottene sosttuendo vaor dee varab note nee formue. Come ne caso dea captazzazone, neg esemp che seguono affrontamo probem reatv a cacoo dee dverse varab d una rendta. I smbo a e a sono egat daa n n reazone a ˆ a 1 n n COME RISOLVERE I PROBLEMI ESEMPI Esempo su cacoo de vaore attuae 1. Cacoamo vaore attuae d: a. una rendta postcpata formata da 19 rate annue d E 380 a tasso annuo de 2,25% b. una rendta trmestrae antcpata, con rata d E 4800, dea durata d 6 ann, a tasso annuo de 3,5% c. una rendta mense antcpata, con rata d E 400, dea durata d 3 ann, a tasso de'1,5% annuo convertbe mensmente. a. Sappamo che: R ˆ 380 n ˆ 19 ˆ 0,0225 tasso annuo, conforme a perodo dea rendta. Appchamo a formua V ˆ R 1 1 n : V ˆ ,0225 0,0225 b. Sappamo che: R ˆ 4800 n ˆ 4 6 ˆ 24 (4 rate a'anno per 6 ann) ˆ 0,035 tasso annuo, non conforme a perodo dea rata. 19 ˆ 5822,70 E Trasformamo prma d tutto tasso da annuo a trmestrae appcando a formua de tass equvaent: p 4 ˆ 4 1,035 1! 4 ˆ 0, Appchamo adesso a formua V ˆ R 1 1 n 1 : 1 1 0, V ˆ , , ˆ ,58 E c. Sappamo che: R ˆ 400 n ˆ 12 3 ˆ 36 (12 rate a'anno per 3 ann) j 12 ˆ 0,015 tasso annuo nomnae convertbe, non conforme a perodo dea rata. 14 LE RENDITE FINANZIARIE Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

15 Trasformamo tasso j 12 n tasso mense: 12 ˆ 0, ˆ 0,00125 Appchamo a formua per e rendte con rata antcpata: 1 1 0,00125 V ˆ 400 0, ,00125 ˆ 14089,80 E Esempo su cacoo dea rata 2. I vaore attuae d una rendta formata da 6 rate annue, a tasso annuo de 3%, a'atto de pagamento dea prma rata, eá d E ,12. Trovamo 'mporto dee rate costant. I dat a nostra dsposzone sono: V ˆ 16739,12 n ˆ 6 ˆ 0,03 tasso annuo, conforme a perodo dea rata Vogamo trovare R. I vaore attuae eá rferto a'atto de pagamento dea prma rata; s tratta qund d una rendta antcpata e possamo appcare a formua V ˆ R 1 1 n 1 daa quae ottenamo un'equazone d ncognta R : 1 1 0, ,12 ˆ R 0, ,03! R ˆ 3000 E Esempo su cacoo de numero d rate 3. La cessone, a tasso annuo de 3%, d una rendta formata da rate annue postcpate d E 1500 vene vautata E ,54. Da quante rate eá formata? Sappamo che: V ˆ 10529,54 R ˆ 1500 Vogamo trovare n. ˆ 0,03 tasso annuo, conforme a perodo dea rata Appchamo a formua de vaore attuae per e rendte postcpate e rsovamo 'equazone n n che s ottene: 1 1 0, ,54 ˆ ,03 n! 1 0,03 nˆ 10529,54 0, S tratta d un'equazone esponenzae; rcorramo a ogartm decma: og 1,03 n ˆ og 0, ! n og 1,03 ˆ og 0, ! n ˆ La rendta eá formata da 8 rate.! 1,03 n ˆ 0, og 0, og 1,03 ˆ 8 VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. Caro eredta dao zo una rendta d 10 rate annue antcpate d E cascuna ad un tasso annuo de 3%; suo frateo Luca eredta dao stesso zo una rendta postcpata d 8 rate annue d E 4000 cascuna ao stesso tasso annuo. a. La rendta d Caro vae, n euro: , , ,33 b. La rendta d Luca vae, n euro: , , ,13 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS LE RENDITE FINANZIARIE 15

16 2. Una rendta antcpata con rata costante d E annua vene vautata E ,27 a tasso annuo de 4%. I numero d rate eá: a. 9 b. 6 c. 8 d LE RENDITE DIFFERITE Rcordamo che: G esercz d questo paragrafo sono a pag. 36 una rendta s dce dfferta quando a prma rata vene pagata o rscossa dopo un certo numero p d perod. I perodo che ntercorre tra a stpua de contratto e pagamento dea prma rata vene detto dffermento (fgura 17). Fgura 17 I dffermento d una rendta non ha acuna nfuenza su cacoo de montante, n quanto questo vene cacoato a termne dea rendta e a captazzazone nza a momento de versamento dea prma rata. Ha nvece dee conseguenze su cacoo de vaore attuae. I caso dea rendta postcpata Crstna, che ha ogg 15 ann, avraá drtto aa rscossone d una rendta postcpata formata da 4 rate annue de vaore d E cascuna a partre da suo dcottesmo compeanno. Se a rendta eá cacoata ad un nteresse annuo de 4%, c chedamo quae sa suo vaore ogg. Rappresentamo a stuazone su'asse de temp, dove abbamo posto 'etaá attuae d Crstna a tempo zero (fgura 18). Per cacoare vaore V dea rendta ogg dobbamo: Fgura 18 cacoare vaore attuae V 0 dea rendta a tempo 3, epoca n cu ha nzo drtto d rscossone 1 V 0 ˆ 1200 a ,04 nˆ 4 0,04 attuazzare V 0 per tre ann: V ˆ V 0 1 0,04 3ˆ 1 1 0, ,04 3 0,04 {z } V 0 16 LE RENDITE FINANZIARIE Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

17 Svogendo caco trovamo che vaore attuae dea rendta aa data oderna eá d E 3 872,36. Generazzamo come a soto probema. Consderamo una rendta postcpata, con perodo d dffermento p, formata da n rate d mporto R a tasso perodae conforme a perodo dea rendta e rpetamo g stess caco fatt ne'esempo (fgura 19): Fgura 19 vaore attuae a tempo p, un perodo prma de pagamento dea prma rata: V 0 ˆ R a n attuazzazone de captae per perodo d dffermento p: V ˆ V 0 1 p In defntva: V ˆ R a 1 p n L'espressone a 1 p s ndca con smboo p= a che s egge: n n a postcpato, fgurato n, a tasso, dfferto p. Essa rappresenta vaore attuae d una rendta untara postcpata dfferta d un tempo p. In defntva: vaore attuae d una rendta dfferta postcpata, formata da n rate d mporto costante R, a tasso perodae eá uguae a: V ˆ R p= a dove n p=a a 1 nˆ p n LA FORMULA I caso dea rendta antcpata Supponamo ora che a rendta d Crstna de'esempo precedente sa antcpata, coeá che a prma rata e venga corrsposta a compmento de suo dcottesmo compeanno (fgura 20); dffermento eá sempre d 3 ann ma questa vota vaore da attuazzare eá vaore attuae d una rendta antcpata, qund: Fgura 20 vaore attuae V 0 dea rendta a tempo 3 eá uguae a: V 0 ˆ 1200 a n 1 1 0,04 ˆ , ,04 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS LE RENDITE FINANZIARIE 17

18 vaore attuae V dea rendta s ottene captazzando V 0 per tre ann: V ˆ V 0 1 0,04 3ˆ 1 1 0, , ,04 {z } V 0 1 0,04 3 Svogendo caco trovamo che vaore attuae dea rendta aa data oderna eá d E 4027,25. Generazzamo a procedura per una rendta antcpata d n rate d mporto R, a tasso perodae conforme a perodo dea rendta, dfferta d p perod, e rpetamo g stess caco fatt ne'esempo: vaore attuae a tempo p, coeá a'atto de pagamento dea prma rata: V 0 ˆ R a attuazzazone de captae per perodo d dffermento p: V ˆ V 0 1 p n In defntva: V ˆ R a 1 p n L'espressone a 1 p s ndca con smboo p= a n n a antcpato, fgurato n, a tasso, dfferto p. che s egge: Essa rappresenta vaore attuae d una rendta untara antcpata dfferta d un tempo p. In defntva: vaore attuae d una rendta dfferta antcpata, formata da n rate d mporto costante R, a tasso perodae eá uguae a: V ˆ R p= a n dove p=a n ˆ a 1 p n LA FORMULA ESEMPI 1. Cacoamo vaore attuae d una rendta: a. postcpata, formata da 6 rate annue d E 2 000, con dffermento 2 ann, vautata a tasso annuo de 4% b. antcpata, formata da 4 rate semestra d E con dffermento 3 ann e vautata a tasso annuo de 2,5% c. formata da 5 rate annue d E 600, vautata a tasso annuo de 2% e a cu prma rata eá rscuotbe fra 4 ann. a. Sappamo che: R ˆ 2000 postcpata n ˆ 6 p ˆ 2 Vogamo cacoare V. ˆ 0,04 tasso annuo, conforme a perodo dea rata e de dffermento La rendta eá postcpata, appchamo qund a formua V ˆ R p= a n : 1 1 0,04 V ˆ , ,04 {z } dffermento 2! V ˆ 9693,30 E b. Sappamo che: R ˆ 1000 antcpata n ˆ 4 semestra p ˆ 3 ann ˆ 6 semestr Vogamo cacoare V. ˆ 0,025 tasso annuo, non conforme a perodo dea rata 18 LE RENDITE FINANZIARIE Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

19 p Trovamo nnanz tutto tasso semestrae: 2 ˆ 1 0,025 1 ˆ 0,01242 I perodo d dffermento eá d 6 semestr se usamo tasso semestrae, eá d 3 ann se usamo tasso annuo. La rendta eá antcpata, appchamo qund a formua V ˆ R p= a dffermento con tasso semestrae: 1 1 0,01242 V ˆ ,01242 dffermento con tasso annuo: 1 1 0,01242 V ˆ , n 1 0, ,01242 {z } dffermento 1 0, ,025 {z } dffermento 3 6 :! V ˆ 3646,67 E! V ˆ 3646,61 E I due vaor, tenendo conto deg error d arrotondamento, ovvamente concdono. c. Sappamo che: R ˆ 600 n ˆ 5 ˆ 0,02 tasso annuo, conforme a perodo dea rata e de dffermento Per a vautazone de perodo d dffermento possamo ragonare n due mod: consderare a rendta antcpata con un perodo d dffermento d 4 ann: p ˆ 4 consderare a rendta postcpata con un perodo d dffermento d 3 ann: p ˆ 3. Ne prmo caso ottenamo che 1 1 0,02 V ˆ 600 0, ,02 1 0, ˆ ,02 {z } 0,02 dffermento 1 1 0,02 Ne secondo caso ottenamo che V ˆ 600 0, ,02 {z } dffermento 3 1 0,02 3 Le due espresson sono evdentemente e stesse ed vaore attuae dea rendta eá d E 2 664, I padre d Govann assegna a fgo una rendta d E a'anno per 5 ann a tasso annuo de 6% a partre da momento dea sua aurea. Ogg peroá Govann vuoe rscuotere a sua rendta e s accorda con una banca per un vaore attuae d E Fra quanto tempo dovraá aurears Govann per soddsfare e rcheste dea banca? Rappresentamo probema su'asse de temp (fgura 21); dobbamo n sostanza cacoare dffermento d una rendta d 5 rate da E cascuna a tasso de 6% n modo che suo vaore attuae sa ogg d E Fgura 21 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS LE RENDITE FINANZIARIE 19

20 Indcando con p dffermento e consderando e rate come antcpate, modeo de probema eá 'equazone p= a 50,06 ˆ coeá ,06 5 0,06 Svogendo caco e approssmando rsutat dee potenze convote ottenamo 1 0,06 1 0,06 p ˆ ,06 p ˆ 1, da cu, rcorrendo a ogartm, rcavamo che p ˆ 2,06 Govann deve qund aurears entro 2 ann e 21 gorn. VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. I vaore attuae d una rendta postcpata formata da 8 rate d E 3000 cascuna, con dffermento d 6 ann e tasso annuo de 2% eá uguae a euro: a ,14 b ,95 c ,74 d ,45 2. I vaore attuae d una rendta antcpata formata da 4 rate d E 1000 cascuna, con dffermento 3 ann e tasso annuo de 4% eá uguae a euro: a ,24 b ,04 c ,16 d ,65 5. LE RENDITE PERPETUE Come abbamo gaá detto a'nzo de'untaá ddattca, una rendta s dce perpetua quando ha un numero mtato d rate oppure quando non s conosce a pror quae sa oro numero. Sono ad esempo rendte perpetue n g nteress prodott da Buon fruttfer rredmb (non eá coeá precsato quando o Stato rmborseraá captae) n 'usufrutto su terren cedut n uso perpetuo n g nteress prodott da un ascto. G esercz d questo paragrafo sono a pag. 38 In tutt quest cas non ha senso parare d montante dea rendta n quanto, non potendo stabre un'utma rata, non sapremmo n quae perodo cacoaro; n reazone a rendte perpetue avremo qund soo probem d cacoo d vaore attuae. Per determnare vaore attuae d una rendta perpetua c servremo dee formue gaá vste ne cas d rendte temporanee, n cu dovremo tenere peroá presente che n rappresenta un vaore che puoá crescere ndefntamente; per esprmere questo fatto dremo che n tende a'nfnto. I smbo fnanzar che useremo sono qund g stess usat per e rendte temporanee n cu, a posto d n, scrvamo smboo 1. Esamnamo dunque cas che s possono presentare. Rendta perpetua mmedata postcpata 1 1 n Consderamo a reazone a che rappresenta vaore attuae d una rendta temporanea mmedata postcpata. Osservamo ora nˆ che, 20 LE RENDITE FINANZIARIE Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

21 per n che tende a'nfnto coeá che dventa sempre puá grande, termne 1 n dventa sempre puá pccoo; nfatt, un numero postvo mnore d 1 quae eá 1 1 tende ad assumere vaor sempre puá pcco quando eá eevato ad una potenza che assume vaor sempre puá grand. Prova, ad esempo, a cacoare 1,05 n per n ˆ 10, 100, 1000: ad un certo punto a cacoatrce t resttusce vaore 0 percheâ rsutato eá tamente pccoo da non poter essere evdenzato su dspay. Se nea formua rcordata trascuramo tae vaore commettamo qund, quando n tende a'nfnto, un errore tamente pccoo che pratcamente non nfusce su rsutato fnae. Possamo aora dre che a 1 ˆ 1 e per una rendta d rata R V ˆ R Fgura 22 I grafco dea reazone ottenuta eá un ramo d perboe equatera ed appartene a prmo quadrante (rcorda che R ed sono numer postv) (fgura 22). Ad esempo, vaore attuae d una rendta perpetua postcpata d rata E 100 a tasso annuo de 5% eá V ˆ 100 0,05 ˆ 2000 E Rendta perpetua mmedata antcpata Se a rendta perpetua eá antcpata, con un procedmento anaogo a precedente e tenendo presente a reazone a ˆ a 1, s ottene che n a ˆ e per una rendta d rata R V ˆ R 1 n 1 Rendta perpetua dfferta Infne se a rendta perpetua eá dfferta e a prma rata vene rscossa o pagata fra p ann abbamo e due reazon (fgura 23): Fgura 23 n p 1= a ˆ 1 1 p 1 1 n p= a ˆ 1 1 p 1 se a rendta eá postcpata se a rendta eá antcpata In ogn caso vae comunque a reazone p 1=a 1 ˆp= a 1 ESEMPI 1. Cacoamo vaore attuae d una rendta perpetua ne seguent cas: a. rendta postcpata con rata d E 3800 a'anno, vautata a tasso annuo de'1,1% b. rendta d E 250 da rscuotere a'nzo d ogn semestre e vautata a tasso annuo de 3%. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS LE RENDITE FINANZIARIE 21

22 a. I tasso eá conforme a perodo dea rata e pocheâ a rendta eá postcpata dobbamo appcare a formua V ˆ R : V ˆ ,011 ˆ ,55 E b. I tasso non eá conforme a perodo dea rendta; trasformamoo n tasso semestrae: p 2 ˆ 1 0,03 1 ˆ 0,01489 Poche a rendta eá antcpata (a rscossone avvene a'nzo d ogn semestre), dobbamo appcare a formua V ˆ R 1 : V ˆ 250 0, ,01489 ˆ 17039,79 E 2. Daa cessone d una rendta perpetua postcpata d rata trmestrae E 2400 rcavamo E ,58. Qua eá tasso d vautazone annuo? Sappamo che: R ˆ 2400 V ˆ ,58 Daa formua V ˆ R tasso trmestrae: rcavamo che ˆ R V 4 ˆ dove, dovendo essere conforme a perodo dea rata, eá un ,58 ˆ 0,0188 Appcando a formua de tass equvaent trovamo tasso annuo: ˆ 1 0, ˆ 0,0773 coeá 7,73%. VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. I vaore attuae d una rendta annua perpetua postcpata a cu rata eá d E 3000, a tasso de 5% annuo eá uguae a euro: a b d d Acun buon rredmb fruttano E 300 a'anno; se vuo vendere a'atto dea scadenza dea prma cedoa e a vautazone vene fatta a tasso annuo de 3,5% puo rcavare: a. E 8 572,14 b. E 8 871,43 c. E 8 571,43 d ,72 6. L'INTERPOLAZIONE LINEARE PER RISOLVERE I PROBLEMI G esercz d questo paragrafo sono a pag. 40 Affrontando probema dea vautazone de tasso d nteresse d una rendta c samo accort che 'equazone d ncognta non s puoá rsovere per va agebrca essendo spesso d grado moto maggore d 2 (rved a questo proposto 'equazone a pagna 45). In quest cas s puoá rcorrere a metod d rsouzone approssmata; vedamo come s puoá procedere con un esempo. Un rendta annua eá formata da 9 rate cascuna d E Determnamo tasso annuo d nteresse sapendo che montante cacoato a'atto de'utmo versamento eá d E 14373, LE RENDITE FINANZIARIE Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

23 Daa reazone de montante possamo scrvere 'equazone 14373,59 ˆ daa quae rcavamo che coeá s 9 ˆ 11, ˆ 11, C rendamo conto mmedatamente che non eá possbe rsovere agebrcamente un'equazone d questo tpo. Possamo aora segure questo ragonamento. Damo ad un vaore compatbe con dat de probema, per esempo dcamo che ˆ 0,06; 'espressone a prmo membro de'equazone dventa cosõá s 90,06 ˆ 1, ,06 ˆ 11, Poche 11, > 11,056608, tasso 0,06 usato eá troppo ato. Damo ad un vaore puá basso, per esempo ponamo ˆ 0,05 e rpetamo g stess caco: s ˆ 1,059 1 ˆ 11, ,05 0,05 Poche 11, < 11,056608, tasso 0,05 usato eá troppo basso. Aora tasso che eá a souzone de probema eá compreso tra 0,05 e 0,06. Per trovare un vaore approssmato puá precso rcorramo a'nterpoazone neare. S tratta d un procedmento che possamo descrvere grafcamente n questo modo. Consderamo un fenomeno rappresentato da una egge f x che ha un certo grafco; d questa curva sono note e coordnate d due punt A e B e s vuoe trovare 'ascssa d un punto P de quae s conosce soo 'ordnata y (fgura 24a). Poche non s resce, con metod agebrc, a trovare vaore d x che corrsponde a y, s puoá sostture a curva con a retta che passa per punt A e B e po trovare vaore d x che corrsponde a punto d ordnata y su tae retta (fgura 24b). Fgura 24 La formua per scrvere 'equazone dea retta (non paraea ag ass cartesan) che passa per due punt eá a seguente: y y 1 ˆ x x 1 y 2 y 1 x 2 x 1 a. b. Questa operazone ntroduce naturamente un errore che peroá s puoá rtenere trascurabe se a curva s dscosta poco daa retta. Da punto d vsta anatco a procedura eá a seguente: s scrve 'equazone dea retta passante per punt Ax 1, y 1 e Bx 2, y 2 s sosttusce vaore y ne'equazone trovata e s rcava x. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS LE RENDITE FINANZIARIE 23

24 Appchamo questa procedura a probema: punt A e B sono que che hanno per ascssa rspettvamente due tass 0,05 e 0,06 e come ordnata due vaor s 9 ; vaore d y eá 11, Scrvamo dat n una tabea: s 9 punto A 0,05 11, punto B 0,06 11, y x 11, a retta che passa per quest punt ha equazone: y 11, x 0,05 ˆ 11, , ,06 0,05 per trovare vaore d x che rappresenta tasso cercato sosttuamo a posto d y vaore d y coeá 11,056608: 11, , x 0,05 ˆ 11, , ,06 0,05! 0,06464 ˆ x 0,05 0,01 Rsovendo 'equazone trovamo che x ˆ 0,0506. I tasso cercato eá dunque par a 5,06%. Mettamo n evdenza a procedura da segure per rsovere equazon d questo tpo: n s trova un vaore de'ncognta che approssma per dfetto a souzone n s trova un vaore de'ncognta che approssma per eccesso a souzone n s esegue 'nterpoazone neare fra vaor trovat. LA PROCEDURA DI INTERPOLAZIONE 24 LE RENDITE FINANZIARIE Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

25 I concett e e regoe Le rendte Una rendta eá una successone d mport (e rate) da rscuotere o da pagare n epoche stabte (e scadenze) ad nterva d tempo determnat ( perod). Una cassfcazone dee rendte puoá essere fatta secondo dvers parametr ed eá rassunta nea seguente tabea: reatvamente a perodo ANNUA FRAZIONATA POLIENNALE reatvamente aa numerostaá dee rate TEMPORANEA PERPETUA reatvamente aa decorrenza IMMEDIATA DIFFERITA reatvamente aa scadenza ANTICIPATA POSTICIPATA Le rendte temporanee I montante d una rendta s cacoa con due formue dverse a seconda che a rata sa antcpata oppure postcpata: montante d una rendta postcpata: M ˆ R s dove s ˆ 1 n 1 n n montante d una rendta antcpata: M ˆ R s n dove s n ˆ 1 n 1 1 I vaore attuae d una rendta s cacoa anch'esso con due formue dverse a seconda che a rata sa antcpata oppure postcpata: vaore attuae d una rendta postcpata: V ˆ R a dove a ˆ 1 1 n n n vaore attuae d una rendta antcpata: V ˆ R a dove a ˆ 1 1 n 1 n n Le rendte dfferte In una rendta dfferta perodo d dffermento p nfusce soo su cacoo de vaore attuae: n caso d rata postcpata: V ˆ R p= a dove n p=a ˆ a 1 p n n n caso d rata antcpata: V ˆ R p= a n dove p=a n ˆ a 1 p n Le rendte perpetue Una rendta eá perpetua se ha un numero mtato d rate; d questo tpo d rendte ha senso cacoare soo vaore attuae e s ha che: n caso d rata postcpata: V ˆ R n caso d rata antcpata: V ˆ R 1 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS LE RENDITE FINANZIARIE 25

26 Le rendte fnanzare CHE COS'EÁ UNA RENDITA a teora eá a pag. 1 Comprensone 1 Sceg e voc corrette. La pensone a cu s ha drtto aa fne de perodo avoratvo eá una rendta: a. annua b. perpetua c. mmedata d. antcpata 2 Sceg e voc corrette. Franco paga 'afftto dea casa dove abta una vota ogn se mes. S tratta d una rendta: a. dfferta b. perpetua c. frazonata d. antcpata 3 Sceg e voc corrette. Luca ha acqustato una nuova autovettura. I concessonaro g propone d ratezzare 'mporto dovuto con 24pagament mens, pagab aa fne d ogn mese, con prmo pagamento fra tre mes. S tratta d una rendta: a. bennae b. dfferta c. postcpata d. temporanea 4 Con rfermento aa fgura, vaore dea rendta a tempo 3 s cacoa: a. captazzando tutte e rate fno a tempo 3 b. scontando e rate R 4 e R 5 a tempo 3 c. captazzando e rate R 0, R 1,R 2 e scontando e rate R 4 e R 5 a tempo 3 e sommando vaor ottenut d. captazzando e rate R 0, R 1,R 2 e scontando e rate R 4 e R 5 a tempo 3 e sommando a quest vaor 'mporto dea rata R 3. 5 La fgura a ato rappresenta una rendta che s puoá consderare: a. temporanea mmedata con rate postcpate b. temporanea dfferta d un perodo con rate antcpate c. temporanea dfferta d un perodo con rate postcpate d. temporanea mmedata con rate antcpate. V V V V F F F F Appcazone Cassfca e seguent rendte n base aa durata, a perodo, aa data d decorrenza. 6 Una eredtaá che, a partre da'anno prossmo, frutteraá E 200 a mese per 3 ann. 7 Un ascto che, fra 6 ann, comnceraá a fruttare n perpetuo E 1800 a'anno. 8 Un ttoo che frutta E 380 ogn 6 mes e che scade fra 4ann. 9 I drtto a rscuotere 10 rate annue costant d E 300, a prma rscuotbe fra 2 ann. 26 LE RENDITE FINANZIARIE Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

27 10 Un debto composto da 6 rate costant pagab a partre da'anno prossmo per 6 ann. 11 Una asscurazone sua vta costtuta da rate annua che pagheremo fncheâ saremo n vta. 12 Un canone d ocazone semestrae d E 6000 per 'afftto d un magazzno che scade fra 5 ann. IL MONTANTE DI UNA RENDITA IMMEDIATA a teora eá a pag. 4 RICORDA n I montante d una rendta, a'atto dea sua scadenza, s cacoa con e seguent formue: se a rendta eá postcpata: M ˆ R s n se a rendta eá antcpata: M ˆ R s n dove dove s n ˆ s ˆ n 1 n 1 1 n 1 1 n I montante M 0, k perod dopo a scadenza, s ottene captazzando M per k perod, coeá : se a rendta eá postcpata: M 0 ˆ M 1 k se a rendta eá antcpata: M 0 ˆ M 1 k 1 Comprensone 13 I montante d una rendta mmedata postcpata formata da 3 rate annue d E 250 a tasso annuo de 2% eá d euro: a. 780,40 b. 750 c. 765,10 d. 798,32 14 I montante d una rendta mmedata antcpata formata da 4rate annue d E 200 a tasso annuo de 4% eá d euro: a. 883,26 b. 918,60 c d. 991,50 15 I montante d una rendta mmedata postcpata formata da 3 rate semestra d E 100 a tasso semestrae de 2% eá d euro: a. 300 b. 305,50 c. 312,16 d. 306,04 16 I montante d una rendta mmedata postcpata formata da 4rate annue, a tasso annuo de 3%, eá d E 836,73. L'mporto dea rata annua n euro eá uguae a: a. 190 b. 200 c. 205 d I montante d una rendta mmedata antcpata formata da 3 rate annue, a tasso annuo de 5%, eá d E 1 986,08. L'mporto dea rata annua n euro eá uguae a: a. 650 b. 605 c. 600 d Una rendta mmedata d rata E 150, a tasso annuo de 3%, produce, a'atto de'utmo versamento, un montante d E 796,37. I numero dee rate eá: a. 7 b. 6 c. 5 d I montante, cacoato 3 ann dopo 'utmo versamento d una rendta mmedata postcpata, formata da 10 rate annue d E 480, a tasso annuo de 6% eá d euro: a ,77 b ,30 c ,39 d ,42 20 I montante cacoato 5 ann dopo 'utmo versamento d una rendta mmedata antcpata, formata da 6 rate annue d E 300, a tasso annuo de 4% eá d euro: a. 2421,01 b. 2327,89E c. 2517,85 d. 2069,49 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS LE RENDITE FINANZIARIE 27

28 Appcazone Rsov seguent esercz su cacoo de montante. 21 Cacoa montante d una rendta postcpata: a. formata da 8 rate annue d E 500 a tasso annuo de 4% [E 4607,11] b. formata da 6 rate annue d E 800 a tasso annuo de 2% [E 5 046,50] c. formata da 12 rate annue d E a tasso annuo de 3%. [E 14192,03] 22 Cacoa montante d una rendta antcpata: a. formata da 5 rate annue d E 100 a tasso annuo de 5% [E 580,19] b. formata da 11 rate annue d E 550 a tasso annuo de 2,5% [E 7 037,55] c. formata da 4rate annue d E 670 a tasso annuo de 1,3%. [E 2 768,24] 23 Cacoa montante dee seguent rendte a'atto de'utmo versamento: a. 12 rate annue d E 3350 cascuna a tasso de 13,5% annuo E 88597,80Š b. 7 rate annue d E 1300 cascuna a tasso de 7% annuo E 11250,23Š c. 18 rate annue d E 750 cascuna a tasso de 9% annuo. E 30976Š 24 Cacoa montante dee seguent rendte a'atto de'utmo versamento: a. 8 rate annue d E 1750 cascuna a tasso de 9; 5% annuo E 19652,85Š b. 10 rate annue d E 925 cascuna a tasso de 10,25% annuo E 14920Š c. 5 rate annue d E 3350 cascuna a tasso de 7,25% annuo. E 19361,31Š 25 Marco versa E 500 aa fne d ogn trmestre per 3 ann. Quae montante avraá a dsposzone a'atto de'utmo versamento se tasso d nteresse eá de'1,5% trmestrae? E 6520,61Š 26 ESERCIZIO GUIDA Cacoa montante, a'atto de'utmo versamento, d una rendta d rata semestrae d E 2000 dea durata d 4ann a tasso annuo de 4%. S tratta d una rendta semestrae postcpata: numero dee rate eá 8 (rate semestra per 4ann) p tasso deve essere convertto n tasso semestrae: 2 ˆ 1,04 1 ˆ 0,0198 Appchamo adesso a formua de montante: 1 0, M ˆ ,0198 ˆ 17153,81 E 27 Cacoa montante d una rendta postcpata d E 750 bmestra dea durata d 16 mes a seguent tass: a. 12% bmestrae E 9224,77Š b. 12% annuo convertbe bmestramente E 6437,23Š c. 12% annuo. E 6416,06Š 28 Cacoa montante d una rendta antcpata d E 400 trmestra dea durata d 3 ann a seguent tass: a. 6% trmestrae E 7152,85Š b. 6% annuo convertbe trmestramente E 5294,73Š c. 6% annuo. E 5283,38Š 29 Una persona vuoe costture una somma che g consenta, fra 4ann, d poter cambare 'auto; per questo versa E 1350 ogn quadrmestre a partre da ogg, ad un tasso annuo nomnae convertbe quadrmestramente de 6%. Quae somma avraá a dsposzone a'epoca stabta? E 18468,45Š 30 Ha versato n banca E 8000 aa fne d ogn anno e per 6 ann, a tasso annuo de 2,5%. Se decd d rtrare captae a'atto de'utmo versamento, d quae somma potra dsporre? E 51101,89Š 28 LE RENDITE FINANZIARIE Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS