Emma Frigerio Dipartimento di Matematica Università degli Studi di Milano.

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1 Emma Frigerio Dipartimento di Matematica Università degli Studi di Milano nel CDO dal 1986

2 Già Froebel aveva riconosciuto le molteplici valenze educative dell origami sviluppo di varie abilità abitudine alla concentrazione e alla pazienza cooperazione e lavoro individuale recupero di alcuni handicap...e la sua potenzialità per fare matematica le pieghe più comuni sono assi e bisettrici l approccio multisensoriale favorisce l interiorizzazione e la memoria a lungo termine

3 Idee- base Foglio = Piano Piega = Retta Ogni piega realizza una simmetria Se con una o più pieghe due cose si sovrappongono esattamente, queste due cose sono uguali

4 Un esempio Riaprendo il foglio, che cosa vedremo?

5 Un esempio Riaprendo il foglio, che cosa vedremo? Un rombo, con le sue diagonali.

6 Scuola primaria Usiamo il rombo per piegare un modello Pappagallo modello di Emma Frigerio

7 Scuola secondaria di primo grado Osservazioni sulle diagonali: sono tra loro perpendicolari e si tagliano a metà; sono anche bisettrici.

8 Scuola secondaria di secondo grado Quale teorema (o teoremi) abbiamo dimostrato? Se le diagonali di un quadrilatero Q sono perpendicolari tra loro e si tagliano scambievolmente a metà, allora i lati di Q sono congruenti e a due a due paralleli, dunque Q è un rombo; le diagonali bisecano gli angoli. NON abbiamo dimostrato che in un rombo le diagonali sono perpendicolari e si tagliano a metà.

9 Un nuovo teorema (Justin) Pieghiamo un triangolo solo lungo le sue bisettrici in modo da ottenere una figura piatta. Allora i tre vertici risultano allineati.

10 Un po di storia 1 Costruzioni geometriche Sundara Row, Geometric Exercises in Paper-Folding, 1893 Costruzioni di Euclide piegando la carta. Si possono fare tutte le costruzioni, anzi si può fare di più! Abe (Giappone), Justin (Francia), Messer (USA), Huzita e Scimemi (Padova), Hatori (Giappone), anni 80

11 Un po di storia 1 Costruzioni geometriche Sundara Row, Geometric Exercises in Paper-Folding, 1893 Costruzioni di Euclide piegando la carta. Si possono fare tutte le costruzioni, anzi si può fare di più! Margherita Piazzolla Beloch (Ferrara), anni 30 Abe (Giappone), Justin (Francia), Messer (USA), Huzita e Scimemi (Padova), Hatori (Giappone), anni 80

12 Un po di storia 2 Piegando la carta si possono risolvere alcuni problemi di costruzione impossibili con riga e compasso: Duplicazione del cubo; Trisezione di un angolo. La caratterizzazione delle costruzioni possibili con l origami, dovuta a Scimemi, si fonda su uno strumento algebrico sofisticato (la teoria di Galois), esattamente come quella delle costruzioni possibili con riga e compasso.

13 Origami, matematica e tecnologia Matematica dell origami Origami computazionale (algoritmi e teorie per risolvere matematicamente problemi di origami) Lang, E. Demaine (USA) Tecnologia dell origami (applicazione dell origami alla soluzione di problemi che nascono nell ingegneria, nel design, e nella tecnologia in generale).

14 Esempi 1 Map folding (K. Miura) Prototipo di Eyeglass Lawrence Livermore National Laboratory, Livermore, California R. Lang

15 Esempi 2 Stent origami (prototipo) Trasporto di medicinali Protein Folding Piegatura di airbags

16 Nella lezione di matematica 1 Geometria piana: riconoscimento e proprietà di figure piane, aree, teoremi di Pitagora e di Euclide, Geometria solida: poliedri Ma anche

17 Nella lezione di matematica 2 Problem solving Problemi di colorazione Calcolo combinatorio Trigonometria Coniche Limiti Frattali Spugna di Menger (J. Mosley)

18 Modello di van Hiele 1 Pierre e Dina van Hiele (Olanda, dalla fine degli anni 50) distinguono 5 livelli nell apprendimento della geometria 1. Visualizzazione (figure come un tutto) 2. Analisi (identificazione e analisi di alcune caratteristiche geometriche) 3. Astrazione (comprensione di relazioni e differenze tra poligoni; classificazione insiemistiche di poligoni in famiglie e loro relazione; per esempio: quadrati, rettangoli, rombi) 4. Deduzione (sviluppo di successioni di affermazioni concatenate logicamente) 5. Rigore (comprensione e confronto di sistemi assiomatici)

19 Modello di van Hiele 2 La definizione di un concetto è possibile solo quando si conosce già, in qualche misura, la cosa che si vuole definire. La mia esperienza di professore di geometria mi ha convinto che troppo spesso gli studenti non raggiungono il livello di astrazione informale. Di conseguenza, falliscono nello studio della geometria euclidea, fondata sulla deduzione formale. (Pierre van Hiele) L origami può utilmente accompagnare i 5 livelli e facilitare la transizione da un livello al successivo.

20 Miri Golan e l Origametria In Israele lezioni di Origametria per migliaia di ragazzi (6 12 anni), tenute da persone appositamente formate, con un progetto creato da Miri Golan. Da qualche anno ha creato il programma Kindergarten Origametria, che è stato approvato dal Ministero Israeliano per l Educazione.

21 Thomas Hull Corsi nelle università degli Stati Uniti e un libro, dal titolo Project Origami in cui presenta dettagliatamente molte e varie attività matematiche adatte a studenti delle superiori.

22 Emma Frigerio Dal 2000 laboratori di Matematica con l origami per corso di Laurea in Scienze della Formazione Primaria di Milano-Bicocca SSIS di Milano (scuola media) per un totale di più di 450 persone. In essi come si piega come si decodificano le istruzioni dei libri come si insegna come si può fare matematica

23 con Sonia Spreafico Dal 2010 laboratori alla Scuola Primaria Chicca Gallazzi di Busto Arsizio (Varese) Il progetto, ispirato al metodo di Miri Golan, si è concluso nell anno scolastico scorso e ha seguito due classi parallele prevededalla prima alla quinta con 3 4 incontri all anno. A breve libretto con i laboratori tenuti.

24 Il programma Primo biennio Riconoscimento forme geometriche (triangolo, quadrato, rettangolo, rombo, esagono) Assi di simmetria (quadrato, rettangolo, rombo, esagono) Secondo biennio Rette (posizione reciproca), angoli (retti, acuti, ottusi, ), equiestensione e aree, frazioni Triangoli (classificazione), misure di angoli, aree. Quinta aree (scelta dell unità di misura più idonea e calcolo), volumi, triangoli, Problem solving con lavori individuali e di gruppo

25 Il progetto CHI: Emma Frigerio e Maria Luisa Sonia Spreafico QUANDO: dal 2010/11 al 2014/15 DOVE: Scuola Primaria Chicca Gallazzi Busto Arsizio (VA) COME: 4 o 5 laboratori all anno per accompagnare il programma di matematica svolto in classe dall insegnante. PERCHE?

26 Aspetti educativi Abilità manuale (importanza di un lavoro accurato) Concentrazione (nell esecuzione e nel seguire le istruzioni) Autostima (nel tempo la precisione migliora) Memoria (ripetizione di pieghe) Aspetti didattici Visualizzazione oggetti matematici (e loro posizione nel piano e nello spazio) Approccio ludico-manuale (importante per chi ha difficoltà in matematica) Utilizzo costruttivo degli interventi

27 Le regole per gli allievi Si ascolta la spiegazione e si aspetta prima di piegare Dopo ogni piega si appoggia il modello sul banco Si alza la mano per intervenire e per gli insegnanti Non ci si sostituisce al bambino nel piegare Ci si accerta che tutti abbiano eseguito le istruzioni prima di proseguire Non si riprende il bambino per la mancanza di precisione

28 La lezione-tipo Non si svela prima che cosa si piegherà (sorpresa!) Si inizia trovando, insieme ai bambini, la forma geometrica coinvolta nel mondo che li circonda. Lezione dialogata, cercando di coinvolgere tutti Quanti triangoli ci sono? Vedete rettangoli di forme diverse? Che piega occorre fare per rendere il modello simmetrico? Caccia a (al rombo, alle rette parallele, agli angoli retti ) Spesso si invita a pensare insieme la risposta. Raramente, scheda da compilare in gruppo.

29 Classe I La diagonale Il triangolo I quadrati e i rettangoli Le simmetrie del quadrato

30 Esempio 1: la diagonale Riconoscimento (conteggio triangoli) Lati, vertici Diagonale (nuovo termine)

31 Classe seconda Le simmetrie del rettangolo Le simmetrie dell esagono Le simmetrie del rombo Ripasso Due solidi modulari

32 Esempio 2: il rettangolo Ricerca sperimentale degli assi di simmetria del rettangolo (mediane). Osservazione sulle diagonali: ciascuna divide il rettangolo in due triangoli uguali, ma questi NON si sovrappongono esattamente mediante la piega!

33 Assi di simmetria Quali sono? Lo rimangono anche nel modello piegato? Come piegare perché una certa retta sia asse dopo la piega? Rettangoli In (6) quanti tipi di rettangoli vedi?

34 Classe terza Posizione reciproca tra rette Angoli retti, acuti, ottusi Frazioni Area

35 Esempio 3: le frazioni In vari stadi del modello, si chiede quale frazione del tutto è la parte colorata e quale la parte bianca. Frazioni equivalenti, frazioni complementari.

36 Classe quarta Classificazione dei triangoli (da un idea di Stefania Serre) Misurazione di angoli Una piramide Il Tangram

37 Esempio 4: classificazione dei triangoli Barca piegata con un triangolo rettangolo isoscele Come cambia la barca se si usa un altro triangolo?

38 Classe quinta Aree (equiestensione, unità di misura e calcolo) Aree (e volumi) Un attività di problem solving Un frattale

39 Aree In vari passaggi si determina l area usando diverse unità di misura. Area(B) = 2 T, Area(C) = 8 T, quindi Area(C) / Area(B) = 4 (indipendentemente dall unità di misura usata) Confronto per equiscomposizione: B = 2 S + 2 t quindi Area(B) = Area(C)

40 e volumi Usando un foglio di dimensioni doppie: i segmenti si raddoppiano le aree si quadruplicano i volumi si moltiplicano per 8

41 Qualche consiglio Decidere l argomento matematico. Trovare un modello origami adatto (anche più di uno!) Lo stesso modello può servire per diversi argomenti. Tarare la durata (per esempio, svolgere attività introduttive il giorno prima, o rinunciare a qualche domanda se la classe è stanca.) Ma, soprattutto, divertirsi insieme ai ragazzi!

42 Per finire La capacità di studiare, comprendere e impadronirsi degli argomenti in ambito matematico è simile, sotto certi aspetti, al saper nuotare o all andare in bicicletta, due abilità che non possono essere raggiunte stando fermi. H.S.M. Coxeter

43 Grazie per l attenzione e buone pieghe matematiche a tutti!