Lezione 2 Maggio 2000 Statistica classica. 1. Partizioni di molte particelle macrostati e microstati

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1 Lon Maggo 000 Statstca classca. Parton d molt partcll macrostat mcrostat S s confrontano gl spttr n msson d un gas rarfatto d un flamnto rscaldato, la dffrna pù rlvant è ch nl prmo caso s ossrvano ln strtt bn dfnt n poson (frquna o lungha d onda), nl scondo l msson avvn su un contnuo d nrga. S può affrmar ch tal dffrna è da mputars al fatto ch nl gas rarfatto l ntraon fra sngol atom mtttor sono trascurabl, pr cu lo spttro rlvato è ssnalmnt qullo dll atomo sngolo (transon dscrt), mntr nl flamnto gl atom (ch, prs sngolarmnt, s comportano ancora scondo uno schma quantato) sono part d un sstma a moltssm corp ntragnt, n modo tal ch l lgg ch govrnano spgano lo spttro ossrvato dvono tnr conto dlla popolostà dl sstma stsso. D qusto tpo d problm s ntrssa la mccanca statstca ch, a sconda dlla natura dl sstma nvstgato, può ssr d tpo sa classco ch quantstco. C ntrssamo ora ad asptt ntroduttv pr nquadrar opportunamnt lo studo statstco dlla mccanca d sstm a molt corp, a prscndr dalla natura classca o quantstca dl sstma n sam. Vrrà po prsa n consdraon la part classca dlla statstca. Antutto è mportant crcar d nquadrar formalmnt l problma dl contggo o cnsmnto dgl stat d un sstma fsca a molt corp. Prtanto c ntrssamo al caso n cu un dato numro (tpcamnt lvatssmo, anch s qusto non è rlvant a fn dll mpostaon dl problma) d partcll, N, ch possono occupar var stat dscrt d nrga (lvll, anch s n qusta fas non s ntnd con cò rfrrs splctamnt ad una stuaon quantstca). Pr ssr prcs, consdramo una squna dscrta d lvll d nrga, E,,,, ch vngono occupat dall N partcll scondo la squna n, n,, n, ossa l lvllo -smo d nrga è occupato da n partcll. Supponamo pr ora ch l partcll sano dntch ma dstngubl (pr comodtà d contggo soltanto, po rmuovrmo qusta condon puttosto nconsstnt). E ora possbl calcolar l numro d mod possbl d popolar qusto sstma fsco. Partndo dal prmo stato nrgtco, possamo scglr una qualunqu dll N partcll, pr cu v sono N mod d popolar l sstma. Sccom voglamo sstmar n partcll, s tal numro è maggor d ( mnor d N), possamo contnuar dsponndo una sconda partclla a partr dall rstant N-. Il numro d mod nta qund N(N). S procd così fno ad avr sstmato tutt l n partcll nl prmo lvllo, scondo l numro total d possbltà dstnt N(N)(N) (Nn ). Qusto numro s può anch scrvr com N!/(Nn )!. In raltà, oprando n qusto modo stamo sovrastmando l numro d possbltà d dsposon n quanto l partcll sono gual, dunqu non dobbamo consdrar cas abc d acb com dstnt. Tnndo dunqu conto d qust n! possbltà rmangono N!/[n!(Nn )!] cas, ossa l prmutaon d N oggtt n class d n. Passando al scondo lvllo, la procdura s rpt a partr ora da Nn partcll, pr cu l numro d possbltà pr qusto lvllo rsulta par a (Nn )!/[n!(nn n )!] d l numro total pr l I d l II lvllo, dato dal prodotto d qust du, rsulta qund dato da N!/[n!n!(Nn n )!]. Procdndo ancora fno al -smo lvllo, l numro total d possbltà d occupaon pr l sstma s scrv, gra ad una ovva smplfcaon, com N! n! n! n! Qusto smplc rsultato è molto mportant: sso fornsc la moltplctà (o probabltà dlla statstca fsca) d un macrostato dl sstma. S ntnd con tal trmn ndcar un assm d mcrostat, ossa d confguraon accssbl al sstma, tutt gualmnt probabl pr quanto rguarda la loro occupaon da part dll partcll. Un macrostato, con moltplctà, è un nsm d mcrostat gualmnt probabl. Pr qusta cntralssma assunon, maggor è Statstca Classca -

2 pr un dato macrostato, maggor è la probabltà ch, spontanamnt, l sstma lo occup. Pr charr qusto punto, utlamo numr pccol vdamo splctamnt cosa accad n trmn d occupaon. Prndamo a tal scopo N4 partcll ch occupano un sstma a 3 lvll (con nrg E, E, E 3 ). A sconda d quant partcll s dspongono n qust 3 stat (vncolat alla consrvaon sa dll nrga, n E +n E +n 3 E 3 E TOT, ch dl numro d partcll total, n +n +n 3 N), ottrrmo dffrnt macrostat con dffrnt moltplctà, ossa numro d mcrostat. I possbl macrostat s ottngono smplcmnt com parton ntr d N vncolat alla consrvaon dll nrga total. S, ad smpo, l nrga total è par a untà approprat, cascuna partclla può assumr valor ntr dll nrga, macrostat ammss sono qull ch soddsfano alla n +n 3, n quanto l nrga dl prmo lvllo (con popolaon n ) è nulla. Dovndo rsultar n +n +n 3 4, macrostat prmss sono [n n n 3 ][30] [0], ossa, rspttvamnt, 3 partcll nl I lvllo d nl tro ovvro sa nl I ch nl II lvllo. S sottolna ch, n qusto modo, v sono n tutto 4 partcll con nrga total gual a untà approprat. Qust du macrostat hanno moltplctà rs, ossa sono dat n trmn d un numro corrspondntmnt rso d mcrostat. Il calcolo fa uso dlla rlaon sopra ottnuta. Pr l I macrostato, [30], s ottn [30] 4!/(3!0!!)4, pr l II macrostato, [0], s ottn [0] 4!/(!!0!)6. In altr trmn, sstono 4 mcrostat assocat al macrostato [30] 6 al macrostato [0]. Qust sono faclmnt nduabl n trmn d dsposon ammss d partcll, ad smpo, con 3 possbltà nl I lvllo d nl III. S dnotamo con abcd l partcll (rcordamo ch sono gual ma dstngubl), l 4 confguraon sono dat da abc+d, abd+c, bcd+a acd+b. Non dobbamo contar com rs mcrostat abc+d, ad smpo, acb+d. Da un punto d vsta pù fsco, la costruon svolta fno a qusto punto spga, almno n suo tratt ssnal, l voluon spontana d sstm ralstc ch possono scglr fra var macrostat a loro dsposon: automatcamnt l sstma dsporrà l partcll nlla confguraon ch massma l numro d mcrostat, cò a causa dlla natura casual dll voluon d sstm a moltssm partcll. S la dscron appna ctata ad smpo s rfrss all confguraon d un gas a 4 partcll, ssndo tutt 0 mcrostat con nrga gual a gualmnt probabl, coè accssbl all partcll, sarà l macrostato pù popoloso d mcrostat (dunqu l [0] rsptto l [30]) ad ssr sclto, smpr statstcamnt parlando. In altr parol ancora, s l sstma vn prparato nalmnt nllo stato [0] non s assstrà a un rassstamnto spontano vrso lo stato [30], ch pur ha la stssa nrga, prché cò rchdrbb una concntraon d nformaon ch l sstma non può prmttrs d ottnr sna apport strn (vntualmnt nrgtc). Al contraro, a partr dallo stato [30] l sstma volvrà spontanamnt vrso lo stato [0] prché cò massma l numro d mcrostat occupat. S non foss ancora charo, stamo rproponndo n vst probablstca l II prncpo dlla trmodnamca. S not noltr ch lo stato pù probabl è anch qullo con pù partcll nl lvllo a bassa nrga (tr con nrga nulla d una con nrga doppa). Il lvllo mno probabl ha du partcll con nrga untara du con nrga nulla. D fatto, s potrà ossrvar ch sst una prcsa rlaon ch lga la statstca d occupaon d lvll nrgtc con la statstca d popolaon appna dscussa. Pr puntualar ultrormnt (a costo d smbrar ccssv), la connsson fra macrostat, mcrostat statstca può trovar un valdo paragon nl goco dll cart, ad smpo l por. In qusto goco s possono contar man dstnt, ossa combnaon d 5 cart ch possono captar. Sono tutt quprobabl, ossa sono crca du mlon mo d mcrostat accssbl pr qusto sstma. Tra qusto numro grandssmo d mcrostat, sstono d macrostat tanto pù ambt da gocator quanto mno popolos, ossa mprobabl. La scala ral (squna dal 0 all asso d un dato sm) è fatta da solo quattro mcrostat fra tutt qull possbl (l combnaon d scala pr quattro sm). Ovvamnt qusto spga l valor d qusta mano. Ma una qualunqu altra mano, ad smpo 4C-5Q-JP-3F-F, è altrttanto probabl quanto la scala ral o un por. E l fatto d non attrbur puntggo alla mano qualunqu scrtta sopra ch n annulla l valor. Ma la sua probabltà è la stssa dlla scala ral (an, è quattro volt pù pccola prché d scal ral n sstono quattro!). Statstca Classca -

3 . Parton pù probabl: dstrbuon d Mawll-Boltmann Ora è mportant stablr, n bas a smplc rsultat ottnut, qual sa la confguraon pù probabl da un punto d vsta quanttatvo: s è gà capto ch, qualtatvamnt, qusta vrrà raggunta n corrspondna dll occupaon dl macrostato con massmo numro d mcrostat dsponbl compatblmnt con la consrvaon dll nrga dl sstma. Pr sgur l calcolo modfchamo l rsultato prma ottnuto da du punt d vsta. Antutto, rconoscamo ch lvll nrgtc potrbbro avr ps statstc dffrnt (com accad ad smpo quando dll nrg sono dgnr n mccanca quantstca). Chamando g l pso dllo stato -smo, quando n partcll occupano lo stato, la probabltà d occupaon va moltplcata pr g n. Po rmuovamo la dstngubltà dll partcll, pr cu l rsultato fnal va so pr N! s scrv N! n n g g! g N! n! n!! n! n n g n! Il calcolo prosgu crcando la confguraon ch massma qusta granda. E convnnt comunqu ottnr l massmo dl logartmo natural d : ln ( n ln g ln n!) ; utlando l approssmaon d Strlng, ln(!) ln, d l fatto ch Σn N, s scrv ln N n ln( n / g ). Pr trovar l massmo dffrnamo qusta rlaon, ncludndo la consrvaon dl numro d partcll, pr la qual Σ dn dn0; rman la d0 quvalnt alla dn ln( n / g ) 0. S l varaon d n fossro arbtrar la soluon sarbb smplcmnt n g, ma dobbamo applcar la consrvaon dll nrga dl sstma, nlla forma dl vncolo Σ E dn 0. L quaon può ssr rsolta adottando la tcnca d moltplcator d Lagrang ntroducndo du paramtr, α β, ch s assocano a vncol sul numro total d partcll sull nrga total dl sstma scondo l sprsson data da dn [ln( n / g ) + α + βe ] 0, dalla qual s ottn subto ch n g p[ ( α + βe )]. E consutudn rscrvr la consrvaon dl numro d partcll scondo la NΣ n Σ g p(α)p(βe ) p(α)σ g p(βe ) Zp(α), dov ZΣ g p(βe ) è la funon d parton dl sstma qund n (N/Z)g p(βe ). Qusta sprsson, ch fornsc l numro d partcll ch popolano un dato lvllo n conformtà alla rchsta d massma probabltà, sgu la lgg sponnal dtta dstrbuon d Mawll-Boltmann. Statstca Classca - 3

4 E ora possbl applcar qusto rsultato ad un caso pratco pr comprndr mglo l sgnfcato dlla dstrbuon. Consdramo l caso n cu un numro abbastana grand d partcll (N4000) ha a dsposon tr lvll quspaat (pr smplfcar l calcolo) d nrga, ossa E 0, E, E 3, tutt con la stssa probabltà d occupaon (g ). Scglamo arbtraramnt d collocar l 4000 partcll scondo la dstrbuon data da n 000, n 700 n 3 300, confrontamo l probabltà dlla confguraon assgnata con qulla nlla qual una sngola partclla passa dal lvllo ntrmdo a qullo nfror d una a qullo supror, n ossrvana dlla consrvaon dll nrga. Utlando drttamnt la /(n!n!n 3!) (ssndo l g ), l probabltà pr l du confguraon stanno nl rapporto ' 00!698! 30! !700! 300! Cò sgnfca ch la probabltà d modfcar (su una popolaon d 4000 partcll) la confguraon d du sol collocaon nrgtch (la partclla ch passa dal lvllo ntrmdo a qull supror d nfror) vara d quas cnqu volt. Il rsultato mplca ch l sstma è bn lontano da una confguraon stabl, d qulbro. Il fatto è ch, dalla dstrbuon d Mawll- Boltmann, c s asptta una popolaon ch dcrsc sponnalmnt con l aumntar dll nrga. La confguraon assgnata n qusto smpo ha tropp partcll n lvll cctat rsptto l fondamntal d nrga. Pr calcolar qual sa la confguraon alla qual l sstma tnd spontanamnt, utlamo drttamnt la lgg d Mawll-Boltmann, data la confguraon nal d popolaon, n +n +n , d nrga, E n +E n +E 3 n 3 300, nonché n (N/Z), n (N/Z)p(β), n 3 (N/Z)p(β). Posto p(β), s può faclmnt rcondurr l sstma d du quaon ad una sngola quaon pr ch rsolta dà I valor corrspondnt pr l popolaon sono n 77, n 46, n Utlando qust nuov numr pr un confronto d probabltà com qullo fatto sopra pr la transon d una sngola partclla fra lvll adacnt portrbb a mostrar ch l sstma è ffttvamnt n una confguraon stabl (l probabltà dll du confguraon rsultano ssnalmnt l stss). Com vdrmo nl prossmo captolo, ddcato alla mccanca quantstca, v sono cas n qual la dstrbuon d Mawll-Boltmann non è adatta alla dscron d molt stuaon d rlvana fsca notvol, com la conduon trmca/lttrca n un soldo, l comportamnto dgl lttron n un mtallo, la radaon trmca. In qust stuaon bsogna tnr conto splctamnt dlla natura quantstca dll partcll convolt. In partcolar, gl schm d occupaon dscuss fno a qusto punto vanno modfcat da du punt d vsta: antutto l partcll dlla mccanca quantstca sono ndstngubl. La consguna mmdata d qusto fatto (lgato al prncpo d ndtrmnaon, ch mpon lmt prcs all ossrvabltà d dtrmnat dttagl d un sstma) è ch la moltplctà d tutt macrostat nta untara. Bsognrà po tnr conto, nl caso d lttron o d altr partcll a spn smntro, dl prncpo d scluson d Paul. In qusto caso, du lttron non potranno occupar lo stsso mcrostato prché cò rchdrbb l guaglana d loro numr quantc. 3. Dstrbuon dll vloctà dll molcol n un gas classco C ntrssamo ora d un caso partcolar d dstrbuon statstca, ch rntra nllo schma d contggo d popolaon d grand numr d partcll prma dscrtta, ma ch ha anch autonoma logca concttual. Parlamo dlla dstrbuon dll vloctà ( dll nrga) d un gas classco d molcol non ntragnt (gas dal). La dstrbuon può ssr drvata a partr da consdraon spcfch sulla tora cntca statstca, ma trova anch gustfcaon abbastana rgorosa a partr da pots gnral d sotropa dllo spao nl qual l partcll dl gas s muovono. C s pon l problma d dtrmnar, pr un dato gas (coè una data massa) ad una data tmpratura (o altr coordnat trmodnamch rlvant) l numro d molcol pr untà d volum Statstca Classca - 4

5 ch possggono una data vloctà o, mglo, la cu vloctà (ntsa pr ora vttoralmnt) è comprsa n un dato ntrvallo d valor (è la natura ntrnscamnt statstca dl problma ch prvlga lo studo d ntrvall d vloctà puttosto ch valor prfttamnt dfnt). Consdrando l quvalna fra l partcll d gas l sotropa trdmnsonal dllo spao la dstrbuon d una qualunqu componnt cartsana dlla vloctà dovrà avr dstrbuon cntrata attorno al valor nullo smmtrcamnt dsposta attorno ad sso. Esstono vald motv (ch qu non approfondamo) pr assgnar a tal dstrbuon una lgg d tpo gaussano, ch scrvamo dunqu nl modo sgunt: bv f ( v ),,,. A Con tal sprsson s ndca l numro d partcll pr untà d volum ch possdono vloctà con componnt,, comprsa nll ntrvallo d valor [v, v + ]. Pr ottnr la dstrbuon dl modulo dlla vloctà v, s stnd l pots d dstrbuon sopra scrtta n tr dmnson: f ( v, v, v ) A A A bv bv bv A bv. v Voglamo dtrmnar ora la f(v), con v(v + v + v ) /. A tal scopo ossrvamo ch l lmnto d volum può ssr rcondotto al volum dl gusco sfrco d raggo suprfc 4πv. Val dunqu la rlaon sgunt pr la dstrbuon d vloctà (dstrbuon d Mawll- Boltmann pr l gas rarfatto): f ( v) 4π A bv v. L andamnto rportato nl dsgno vdna l fatto (attso) ch l vloctà s dstrbuscono n modo ch valor strm (molto pccol o molto grand) sono poco probabl. Vdamo d sguto d carattrar pù prcsamnt la dstrbuon fssando paramtr pr ora arbtrar A b. La dstrbuon d vloctà è dtrmnabl sprmntalmnt con ccllnt prcson d n ottmo accordo con l modllo torco. Com rportato nl dsgno, s utla un sstma dtto d choppng, nl qual du ruot coassal ntrcttano un fasco d molcol msso da un forno a tmpratura fssabl a pacmnto. L scanalatur nll ruot sono tal ch, n funon dlla vloctà d rotaon dl sstma, al rlvator gungono solo l molcol ch possggono una vloctà comprsa fra valor dtrmnat n nfatt dalla vloctà con la qual l choppr sta ruotando. Statstca Classca - 5

6 La dtrmnaon d paramtr A b è ottnuta a partr da du condon ndpndnt sulla natura dl sstma dscrtto. Il paramtro A è una costant d normalaon ch s fssa rchdndo ch 0 f ( v) n, dov n è l numro d partcll pr untà d volum (a prscndr dall vloctà ch ss possggono). Il paramtro b s dtrmna chamando n causa un asptto fondamntal dlla tora cntca d gas prftt, ossa ch l nrga cntca mda dll molcol è lgata alla tmpratura assoluta tramt la rlaon <E >3 B T/, con B costant d Boltmann. L nrga cntca mda s calcola a partr dalla < E 3 > mv f ( v) BT. n 0 Mttndo assm qust rlaon s gung al rsultato fnal: 3 / mv BT m f ( v) 4πn v BT. π Ossrvamo ch la dstrbuon d vloctà dpnd sa dalla massa dll partcll ch dalla tmpratura dl gas. Il grafco rportato c vdna ch con l aumntar dlla tmpratura la dstrbuon s sparpagla attorno al cntro d massma probabltà, ch a sua volta s sposta vrso valor d vloctà smpr pù grand, n accordo con quanto c s può aspttar n bas alla tora cntca d gas. E anch possbl passar allo studo dlla dstrbuon n nrga, smpr a partr dalla lgg d Mawll-Boltmann. Essndo Emv /, possamo scrvr demv pr cu de/(mv)de/(me) /. Sosttundo nlla dstrbuon pr l vloctà ottnamo subto la rlaon crcata: E E BT f ( E) de n de. 3 3 π T Notamo ch, a dffrna dl caso dll vloctà, qusta dstrbuon non dpnd dalla massa dll partcll: pr una data tmpratura tutt gas possdono la stssa dstrbuon statstca d nrga cntca. Qusto rsultato, d ovva mportana, non è comunqu d gnraltà suffcntmnt ampa da potrlo applcar ad altr cas d ntrss alla statstca classca: l partcolar pots fatt sulla rlaon fra vloctà d nrga (solo cntca n qusto caso) dvono ssr rvst s l tpo d ntraon da studar nl sstma è d natura rsa. La gnraltà dl rsultato s lmta a potr prvdr pr qualunqu tpo d nrga consdrata un andamnto sponnal scondo la rlaon data da Statstca Classca - 6 B

7 f MB E BT ( E), A mntr la natura spcfca dll nrga n goco condurrà ad una dnstà d stat, g(e), pr la qual la dstrbuon d probabltà pr l nrga è dl tpo (E)g(E) f MB (E). Abbamo gà vsto l caso n cu la dnstà dgl stat (dfnta com moltplctà propra d lvll) goca un ruolo ssnal nlla dtrmnaon dlla dstrbuon d popolaon d lvll. Qusto modo d procdr va stso nllo stsso sprto alla dtrmnaon dlla dnstà d stat n una dstrbuon d Mawll-Boltmann. Possamo ad smpo calcolar la popolaon rlatva n un gas d drogno atomco a tmpratura ambnt (93 K) dl I lvllo cctato (n, E0. V). A tal scopo è ncssaro calcolar l fattor d dnstà g(e) rcordando ch, pr l drogno atomco, la dgnraon è data da n (l fattor vn da sottolvll d spn). Dunqu g pr l fondamntal g8 pr l I lvllo lttronco cctato. L costant d normalaon sono l stss pr du stat, pr cu l rapporto d probabltà d occupaon è smplcmnt dato da ( E ) ( E ) g( E ) g( E ) ( E E ) BT In bas a qusto rsultato, la probabltà d trovar un atomo cctato d drogno a tmpratura ambnt è tal ch, pr trovarn uno soltanto, è ncssaro contar su una massa d drogno par a crca 0 48 g, ch è molto maggor dlla massa dll ntro unvrso! 4. Esrc (a) Svolgr splctamnt calcol ncssar pr dtrmnar l costant A b nlla dstrbuon d Mawll-Boltmann pr l vloctà n un gas prftto. (b) Trovar valor dlla vloctà mda, dlla vloctà quadratca mda dlla vloctà pù probabl (ossa l massmo dlla funon d probabltà) n una dstrbuon d Mawll- Boltmann. (c) Utlando dat dll ultmo smpo rportato sulla popolaon d lvll n un gas d drogno atomco, calcolar a qual tmpratura c s asptta d avr l 30% dgl atom nl I lvllo cctato. (d) Un atomo con spn total ½ ha momnto magntco µ. Un nsm d atom d qusto tpo è posto n un campo magntco unform B, pr fftto d qust ultmo, gl atom s dspongono su du lvll d nrga con spn allnat d oppost al campo stsso (con gual dgnraon g). L ntraon è data da Eµ B. Calcolar l rapporto dll popolaon d du lvll ad una data tmpratura. Lttur consglat F.Rf, Fsca Statstca, La Fsca d Brl Vol. 5 McGraw-Hll/Zanchll Statstca Classca - 7