LABORATORIO DIDATTICA MATEMATICA Alcune riflessioni sull introduzione/recupero dei concetti di numero e misura

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1 LABORATORIO DIDATTICA MATEMATICA PREMESSA Alcune riflessioni sull introduzione/recupero dei concetti di numero e misura Per disegnare un grafico occorre saper posizionare i numeri sugli assi delle ascisse e delle ordinate e avere chiaro il concetto di unità di misura. Che cosa è un numero (per i ragazzi)? MA Se uno si domanda Che cosa è un numero?, in rete trova Wikipedia: Un numero è una entità astratta usata per descrivere una quantità. I numeri sono generalmente descritti tramite delle cifre, secondo un sistema di numerazione. I numeri possono essere manipolati tramite le quattro operazioni fondamentali, addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione. Lo studio delle proprietà di queste operazioni è parte dell'algebra elementare. Tipi di numeri: segue la classificazione. Però... tutti i giorni abbiamo altri riscontri e già nelle attività di scuola infanzia e primaria: conta per raggruppare maschi/femmine, che mangia/chi va a casa quanti? numero quantità/cardinalità conta per ordinare per altezza, alfabetico, per lunghezza matite primo, secondo... prima e dopo, numero ordinamento conta per gioco bandiera numero codice/etichetta gioco dell oca, dadi numero valore e numero misura mercatino, euro numero valore e numero misura Recentemente poi Spot di Totti La mia vita è tutta un 10: sono nato alle 10:10, abitavo al 10, a scuola voto 10, lei mi ha scelto tra altri 10, maglia con numero 10, 10 cent. per chiamata, 5 ogni 10 di telefonate, a 10 mesi pesavo 10 kg, ho imparato a contare fino a 10, diversi significati/sensi del numero (etichetta o codice, cardinalità, ordinalità, misura, valore) Occorre quindi proporre riflessioni sul numero nei suoi diversi significati/sensi perché in un sistema di riferimento cartesiano si possono leggere tutti, in particolare il concetto di misura. Che cosa vuol dire misurare (per i ragazzi)? Misurare significa contare quante volte l unità di misura scelta è contenuta nella grandezza da misurare.

2 Alcune riflessioni su frazioni, numeri decimali, numeri razionali Di seguito riporto alcune considerazioni che facciamo, nei corsi di didattica, con gli insegnanti di scuola primaria e scuola secondaria di primo grado. Può essere utile riprendere in modo corretto tali concetti in ogni grado di scuola! Ragioniamo con il supporto grafico della retta dei numeri (ovvero asse delle ascisse). Riprendiamo il concetto di frazione. COME INSEGNANTI, occorre conoscere le seguenti due formulazioni: La frazione come rapporto, DEF. 1: una frazione è una divisione indicata e non eseguita tra due numeri interi (numeratore e denominatore) cioè una scrittura convenzionale del numero decimale che si ottiene eseguendo la divisione (per es.: 7/5 U significa 7U : 5 volte = 1.4 U ; 4/5U = 4U : 5 volte = 0.8 U ; 2/3U = 2U : 3 volte = 0.(6) U). La frazione come operatore, DEF. 2: in una frazione il denominatore indica in quante parti è divisa l unità di misura scelta, il numeratore indica quante di queste parti devo considerare. Con la DEF. 2 si evidenzia l aspetto di frazione come sottomultiplo dell unità di misura. Per esempio: nella scrittura 7/5U significa 7 volte 1/5U quindi il denominatore 5 (denomina, dà il nome) indica il numero di parti uguali in cui devo dividere l unità di misura scelta U (1 U : 5 v = 1/5 U ), ciascuna parte è detta unità frazionaria, mentre il numeratore 7" indica il numero di volte che devo considerare l unità frazionaria. Pertanto l unità frazionaria è una nuova unità di misura, sottomultiplo dell unità di misura iniziale e il numeratore indica il numero volte che devo considerare tale sottomultiplo. Con la DEF. 1 si evidenzia la relazione tra il modello delle frazioni e il modello dei numeri decimali. Spesso a scuola si dice che il denominatore indica il numero di parti uguali in cui devo dividere l intero (invece di dire l unità di misura) e si associa tale definizione al modello della torta, confondendo il significato di intero del linguaggio comune (la torta che finisce) con il concetto di unità di misura della definizione (che come tale va interpretata sulla retta dei numeri, infinita). CON I RAGAZZI Analogamente, la definizione di frazione corretta deve: - attraverso la DEF. 2 costruire il significato di frazione come sottomultiplo dell unità di misura ( parti uguali dell unità ). Occorre sottolineare che 5/4 (meglio 5/4 U) significa 5 volte 1/4 U, significa cioè dividere l unità scelta in 4 parti uguali, trovare così 1/4 U che è una nuova unità di misura (l unità frazionaria) e considerarla 5 volte. Analogamente per 3/4 U, 4/2 U o qualunque altra frazione. - attraverso la DEF. 1 costruire il significato di frazione come una scrittura convenzionale del numero decimale che si ottiene eseguendo la divisione tra i due numeri interi (che si chiamano numeratore e denominatore), quindi è una divisione indicata e non eseguita. COME? Pertanto 7/2, 6/2 e 3/5 sono frazioni (senza etichette aggiunte!!!). Per costruire e tenere sotto controllo questi significati è utile far posizionare sulla retta dei numeri sia l unità frazionaria (utilizzando la DEF. 2) e spostarci dallo zero del numero di unità frazionarie indicate dal numeratore sia il numero decimale ottenuto utilizzando la DEF.1. I ragazzi troveranno operativamente che il risultato è un valore numerico talvolta minore di uno talvolta maggiore di uno, talvolta decimale, talvolta intero. Successivamente l insegnante potrà far scoprire che ai primi tre casi corrispondono rispettivamente frazioni con il numeratore minore, maggiore, uguale o multiplo del denominatore. Questo modo di procedere è matematicamente corretto ed evita la classificazione ERRATA delle frazioni in frazione propria (m/n < 1), impropria (m/n > 1 o apparente (m/n = numero intero, cioè numeratore multiplo del denominatore). Seguendo quest ultima classificazione si costruisce l idea errata che ci sono: le frazioni vere, in quanto minori di uno e quindi frazioni o parti più piccole dell unità frazioni apparenti in quanto sembrano frazioni, ma non lo sono perché la divisione tra numeratore e denominatore dà un numero intero (affermazione matematicamente errata perché, al contrario, qualunque numero intero può essere scritto sotto forma di frazione con denominatore 1 e non è un errore!) frazioni improprie perché non sono proprio frazioni in quanto maggiori dell unità (per giustificare un interpretazione errata della definizione di frazione come parte più piccola dell unità). Tale classificazione, non esiste in matematica, è solo interna alla scuola e probabilmente nasce dal bisticcio con: il significato di frazione nel linguaggio comune. Noi frazioniamo un terreno, un eredità, esiste la frazione di un Comune e si intende sempre una parte di qualcosa, intesa come più piccola del qualcosa

3 l utilizzo della frazione come operatore in statistica, nei diagrammi a torta. Se uso la frazione come operatore intendo operare su una parte di una grandezza assegnata e il risultato è un numero decimale con dimensione. Per esempio: i 3/4 di 600 anni, 1/5 della popolazione italiana, Gli uomini sono circa 1/2 della popolazione, le terre emerse sono circa 1/3 della superficie terrestre, ho ereditato 1/3 della proprietà mi riferisco a situazioni in cui l unità di misura è 600 anni, , la popolazione, superficie terrestre,. mentre il risultato è di volta in volta anni, italiani, uomini, m 2, ) forzatamente minore dell unità (e in accordo con il linguaggio comune). Il modello della torta, i misconcetti e le interpretazioni errate! Il modello della torta non si applica, ad esempio, a frazioni come 5/4; 8/5... Per la frazione 5/4, per esempio, molti bambini (ma anche adulti) pensano di dividere la torta in 4 parti uguali (quante ne indica il denominatore) e si arenano quando devono prendere 5 parti (tante quante ne indica il numeratore) perché ne hanno solo 4 (alcuni allora, anche studenti di SFP (!) invertono i termini e calcolano 4:5, per avere un numero di parti opportuno e dimostrando di non aver capito il concetto di frazione ). A scuola, per salvare il modello della torta (interpretato in modo errato!) è introdotto il nome di frazione impropria e si dice che occorrono due torte (ma uguali di forma, peso, ingredienti, divise in 4 parti uguali, per ottenere fette uguali alle precedenti, ma allora l unità è divisa in 4 oppure 8 parti, se ho 8 fette a disposizione?). E se la frazione fosse 456/6? In realtà il problema non è quante torte servono ma eventualmente quante fette di torta (unità frazionaria) uguali a quelle ottenute dalla prima e unica torta che considero (unità di misura), mi servono. Il modello della striscia di carta ottenuta da un foglio a quadretti Sostitutivo del modello della torta e corretto è il modello della striscia di carta. Se devo posizionare il valore della frazione 4/3U devo: - capire che significa 4 volte 1/3 U; - decidere che 3 (oppure 6 oppure 9,... ) quadretti corrispondono all unità; - dividere l unità in 3 parti uguali per individuare a quanti quadretti corrisponde l unità frazionaria 1/3 (1, 2, 3,... quadretti); - riportarla 4 volte, il punto a cui arrivo corrisponde al valore 4/3 U. Questo modello è utile perché è facile da costruire e da gestire in classe. I bambini possono realizzarlo, utilizzarlo concretamente (Realtà) ed imparare operativamente che, per agevolare la ricerca dell unità frazionaria, conviene assegnare all unità un numero di quadretti multiplo del denominatore della frazione da rappresentare; che l unità è una parte della striscia per cui si possono aggiungere unità frazionarie oltre l uno e quindi non avere il problema di una torta che finisce. Dal punto di vista matematico, poi, il modello della striscia: - si avvicina bene al modello teorico della retta dei numeri, quindi agevola la transizione Realtà Modello; - permette di rappresentare indifferentemente frazioni con denominatori pari o dispari, con numeratore minore o maggiore del denominatore, quindi evita la rappresentazione di soli casi particolari (come è facile fare con la torta); - facilita il confronto tra frazioni, la somma, Un modello geometrico: il teorema del falegname Abbiamo detto che per rappresentare una frazione in funzione dei suoi termini (numeratore e denominatore) occorre innanzi tutto saper dividere l unità di misura assegnata nel numero di parti uguali indicato dal denominatore. Si può utilizzare, oltre al righello, un metodo geometrico semplice che prescinde da aspetti di misura e da operazioni ed è giustificato teoricamente dal Teorema di Talete. Vediamo un esempio. Problema: hai assegnata la (semi)retta dei numeri e l unità di misura (nel Modello 1 u) pari a 3 cm nella Realtà., devi posizionare 3/5 u. Risoluzione geometrica: disegno la (semi)retta dei numeri (chiamata a) e l unità di misura assegnata (1u), disegno un altra semiretta (chiamata b) con origine in 0 che formi un angolo a piacere con la (semi)retta a dei numeri. Per dividere in 5 parti uguali l unità di misura scelta su a, mi appoggio ad una suddivisione comoda costruita su b. Vediamo come: per es. punto il compasso nell origine 0 e con apertura a

4 piacere individuo su b un punto V a cui assegno il valore 1/5 u. Con la stessa apertura, punto il compasso in V ed individuo il segmento VW adiacente al primo di lunghezza 1/5 u, quindi il punto W corrisponderà al valore 2/5 e così via 5 volte. Trovo i punti V, W, T, R, Z che individuano rispettivamente i valori 1/5, 2/5, 3/5, 4/5, 5/5 sulla retta b. Unisco ora Z con il punto 1 della retta a e traccio i segmenti paralleli a questo che hanno un estremo rispettivamente in R, T, W, V. Troverò che anche il segmento di lunghezza assegnata 1 della retta a dei numeri è diviso in 5 parti uguali. Analogamente, al posto del compasso si può utilizzare il righello e scegliere ad esempio 1 cm o 2 cm come lunghezza comoda del segmento OV. La giustificazione teorica di questa costruzione è il Teorema di Talete. Per rappresentare la frazione 3/5 occorrono 3 di queste parti (unità frazionarie), per la frazione 7/5 ne occorrono 7 Sul posizionamento di indici numerici positivi sulla retta dei numeri Nel modello dei numeri decimali Occorre spiegare che il valore 0,4U significa 0,1U + 0,1U +0,1U +0,1U ; per posizionarlo occorre partire da zero e fare 4 passi lunghi 0,1U. Per spiegare quale relazione c è tra l unità U di misura e il sottomultiplo 0,1U occorre eseguire la divisione 1U : 10 volte = 0,1U Cioè 0,1U è la decima parte dell unità di misura scelta. Questo modo di procedere è giustificato dal fatto che noi utilizziamo il Sistema Metrico Decimale. Nel disegno, su una porzione di retta dei numeri Se abbiamo assegnata l unità di misura pari, per esempio, a 6 cm troviamo la posizione di 0,1U eseguendo l analoga divisione 6 cm: 10 volte = 0,6 cm Vuol dire che alla distanza di 0,6 cm dallo zero posiziono il valore 0,1U,; ripeto 4 volte il procedimento e posiziono il valore 0,4U; ovvero a partire da zero raggiungiamo 0,4U con 4 passi lunghi 0,6 cm. Nel modello delle frazioni La definizione di frazione come operatore recita: in una frazione il denominatore indica in quante parti è divisa l unità di misura scelta, il numeratore indica quante di queste parti devo considerare. Essa evidenzia l aspetto di frazione come sottomultiplo dell unità di misura scelta. Ognuna delle parti in cui è divisa l unità di misura iniziale si chiama unità frazionaria ed è una nuova unità di misura, sottomultiplo dell unità di misura iniziale. Il numeratore indica quindi il numero di volte che devo considerare tale sottomultiplo.

5 Per esempio nella scrittura 2/5U il denominatore 5 (denomina, dà il nome) indica che devo dividere in 5 parti uguali l unità di misura scelta U, mentre il numeratore 2" indica che devo considerare 2 di queste parti uguali (ciascuna detta unità frazionaria). Quindi il valore 2/5U significa 1/5U +1/5U ovvero a partire da zero raggiungiamo 2/5U con 2 passi lunghi 1/5U. Per spiegare quale relazione c è tra l unità U e il sottomultiplo unità frazionaria occorre, in questo esempio, eseguire la divisione 1U : 5 volte = 1/5U Nel disegno, su una porzione di retta dei numeri Se abbiamo assegnata l unità di misura pari, per esempio, a 6 cm troviamo la posizione di 1/5U eseguendo l analoga divisione 6 cm: 5 volte = 1,2 cm Vuol dire che alla distanza di 1,2 cm dallo zero posiziono il valore 1/5U, ripeto 2 volte il procedimento e posiziono il valore 2/5U, ovvero a partire da zero raggiungiamo 2/5U con 2 passi lunghi 1,2 cm. Relazione tra il modello dei numeri decimali e il modello delle frazioni Se posizioniamo sulla stessa porzione di retta i valori 0,4U e 2/5U ragionando separatamente nei due modelli precedenti, scopriamo che con DUE RAGIONAMENTI DIVERSI arriviamo allo stesso punto sulla retta. Sarà un caso o accade sempre? Accade sempre perché esiste un altra definizione di frazione che mette in relazione il modello dei numeri decimali con il modello delle frazioni e recita: una frazione è una divisione indicata e non eseguita tra due numeri interi (numeratore e denominatore) cioè una scrittura convenzionale del numero decimale che si ottiene eseguendo la divisione assicura. Eseguendo quindi la divisione indicata si ottiene 2U : 5 volte = 0,4U. Il posizionamento di indici numerici negativi sulla retta dei numeri Per posizionare sulla retta dei numeri i valori negativi si può ribaltare rispetto allo zero la posizione del corrispondente valore positivo (si conserva la simmetria rispetto allo zero), ma per decidere quale valore è minore occorre ricordare che l orientamento della retta dei numeri è unico da sinistra verso destra. Con i bambini può essere utile la seguente metafora: Ricorda: per decidere tra due o più valori (positivi e/o negativi) quale è il più piccolo posso immaginare un omino che si muove sulla retta dei numeri, parte dal valore più piccolo (meno infinito) e la percorre da sinistra a destra: è SEMPRE più piccolo il valore che incontra prima. La didattica della retta dei numeri permette di costruire in modo corretto e tenere sotto controllo molti concetti: diversi significati del numero classificazione dei numeri (interi, interi relativi, decimali, frazioni (razionali), irrazionali, reali) corretto ordinamento (numeri positivi e negativi) le quattro operazioni equivalenze prime formalizzazioni di equazioni composizione del numero (unità, decine e centinaia) concetto di uguale (per valore o per misura) che nel tempo verranno ripresi e formalizzati in modo sempre più generale e astratto variando i modelli di riferimento.