lineamenti di matematica

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1 Nella Dodero Paolo Baroncini Roberto Manfredi lineamenti di matematica geometria analitica e comlementi di algebra er il triennio del liceo scientifico

2 internet: Redattore resonsabile: Stefano Parravicini Tecnico resonsabile: Daniele Pagliari Redazione delle nuove sezioni di Esercizi di recuero e di otenziamento: Magda Bosoni, Stefano Parravicini, Federica Pizzetti, Sergio Miotto, Francesca Riccioni Progetto grafico: Daniele Pagliari Coertina: Daniele Pagliari Imaginazione: Gabriella Carmignano Art Director: Nadia Maestri Hanno collaborato alle sezioni di Esercizi di recuero e di otenziamento: Ilaria Fragni e Olga Mannella. Prorietà letteraria riservata 010 De Agostini Scuola SA Novara 1ª edizione: febbraio 010 Printed in Italy Foto coertina: istockhoto L Editore dichiara la roria disonibilità a regolarizzare eventuali omissioni o errori di attribuzione. Nel risetto del DL 74/9 sulla trasarenza nella ubblicità, le immagini escludono ogni e qualsiasi ossibile intenzione o effetto romozionale verso i lettori. Tutti i diritti riservati. Nessuna arte del materiale rotetto da questo coyright otrà essere rirodotta in alcuna forma senza l autorizzazione scritta dell Editore. Fotocoie er uso ersonale del lettore ossono essere effettuate nei limiti del 15% di ciascun volume dietro agamento alla SIAE del comenso revisto dall art. 6, comma 4, della legge arile 1941 n. 6. Le riroduzioni ad uso differente da quello ersonale otranno avvenire, er un numero di agine non sueriore al 15% del resente volume, solo a seguito di secifica autorizzazione rilasciata da AIDRO Corso di Porta Romana, Milano [email protected]; Eventuali segnalazioni di errori, refusi, richieste di chiarimento/funzionamento dei suorti multimediali o siegazioni sulle scelte oerate dagli autori e dalla Casa Editrice ossono essere inviate all indirizzo di osta elettronica [email protected]. Stama: A.G.F. Italia s.r.l. Peschiera Borromeo (MI) Ristama: Anno:

3 Simboli usati nel testo... 1 Disequazioni algebriche: richiami e comlementi Terminologia e rincii di equivalenza... 1 Disequazioni di rimo grado... Disequazioni di secondo grado... 4 Schema riassuntivo er le disequazioni di secondo grado... 6 Disequazioni frazionarie e di grado sueriore al secondo... Sistemi di disequazioni Disequazioni in cui comaiono valori assoluti... 1 Risoluzione della disequazione jf ðxþj < k, con k > Risoluzione della disequazione jf ðxþj > k, con k > Altre disequazioni in cui comaiono valori assoluti Disequazioni irrazionali... 1 Diseguaglianze... 1 Disequazioni irrazionali Risoluzione di disequazioni irrazionali ffiffiffiffiffiffiffiffi n Disequazioni del tio f ðxþ _ gðxþ... 1 Esercizi Esercizi di recuero e di otenziamento Esercizi di recuero Esercizi di otenziamento... 0 X Funzioni Definizioni e terminologia... Funzioni numeriche e funzioni matematiche... 4 Osservazioni sull esressione analitica di una funzione... 6 Grafico di una funzione... 7 Funzioni ari e funzioni disari... Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche... 9 Funzioni biunivoche Funzioni inverse Funzioni comoste Funzioni eriodiche... 9 Funzioni crescenti e decrescenti in un intervallo.. 94 Funzioni monotòne Grafico di y ¼jf ðxþj Classificazione delle funzioni matematiche Zeri di una funzione Risoluzione grafica di un equazione... 9 ll metodo di bisezione Il metodo del unto unito Esercizi Esercizi di recuero e di otenziamento Esercizi di recuero Esercizi di otenziamento indice III

4 Indice Il iano cartesiano Sistema di ascisse su una retta... 1 Segmenti orientati e loro misura... 1 Sistema di coordinate ascisse su una retta orientata Distanza tra due unti su una retta orientata Ascissa del unto medio di un segmento su una retta orientata... 1 Coordinate cartesiane nel iano... 1 Distanza tra due unti nel iano cartesiano Coordinate del unto medio di un segmento Segmenti di una retta orientata aventi un dato raorto Baricentro di un triangolo... 1 Coordinate cartesiane nello sazio Distanza di due unti nello sazio cartesiano Coefficiente angolare Bisettrici dei quadranti Retta in osizione generica. Rette arallele e erendicolari Rette arallele Rette erendicolari Esercizi vari sulla retta in osizione generica Equazione generale della retta Posizione reciroca di due rette Fascio imrorio e rorio di rette e alicazioni... 1 Fascio imrorio di rette... 1 Fascio rorio di rette... 1 Equazione della retta assante er uno o er due unti dati Equazione della retta assante er un unto e con un assegnato coefficiente angolare Coefficiente angolare della retta 190 assante er due unti... indice Equazione di un luogo geometrico nel iano cartesiano Rette e coniche Nota sulle sezioni coniche Forma imlicita e forma eslicita dell equazione di una curva Asse di un segmento Equazione della retta assante er due unti Equazione segmentaria della retta Distanza di un unto da una retta Bisettrice di un angolo Intersezioni tra curve Traslazione del sistema di riferimento Il metodo analitico e i teoremi di geometria Esercizi Equazioni arametriche di una curva Fascio di rette generato da due rette Osservazione Esercizi IV 4 La retta nel iano cartesiano Assi cartesiani e rette arallele a essi Retta assante er l origine Esercizi di recuero e di otenziamento Esercizi di recuero... 4 Esercizi di otenziamento... 40

5 Indice 5 La circonferenza nel iano cartesiano Le coniche... 4 Equazione della circonferenza... 4 Circonferenze in osizioni articolari Posizione reciroca tra retta e circonferenza... 4 Circonferenza er tre unti Posizione reciroca tra due circonferenze Tangenti a una conica... 5 Tangenti a una conica da un unto esterno... 5 Tangenti a una circonferenza da un unto esterno (metodo articolare) Tangente a una conica in un suo unto Alicazioni a grafici, equazioni e disequazioni Curve di equazioni riconducibili all equazione della circonferenza Risoluzione grafica di equazioni irrazionali Risoluzione grafica di disequazioni irrazionali Fascio di circonferenze... 5 Esercizi La arabola nel iano cartesiano Parabola di equazione y ¼ ax... 7 Parabola con asse di simmetria arallelo all asse y... 0 Parabole di equazione y ¼ ax þ bx þ c in osizioni articolari... Parabola con asse di simmetria arallelo all asse x... 4 Posizione reciroca tra retta e arabola... 5 Problemi relativi alla arabola... 7 Parabola er tre unti... 7 Condizioni er determinare l equazione di una arabola... 7 Un esemio di roblema... 9 Alicazioni a grafici, equazioni e disequazioni Studio di articolari curve Risoluzione grafica di equazioni irrazionali Risoluzione grafica di disequazioni irrazionali... 9 Fascio di arabole... 9 Osservazione Equazione di articolari fasci Costruzione della arabola er unti... 9 Esercizi L ellisse nel iano cartesiano Definizione di ellisse... 1 Ellisse riferita al centro e ai suoi assi di simmetria Equazione canonica dell ellisse con i fuochi aartenenti all asse x Equazione canonica dell ellisse con i fuochi aartenenti all asse y... Esercizi vari sull ellisse... Eccentricità... 6 Ellisse riferita a rette arallele ai suoi assi... 7 Alicazioni a grafici, equazioni e disequazioni... Costruzione dell ellisse er unti... 4 Esercizi... 5 indice V

6 Indice L ierbole nel iano cartesiano Definizione di ierbole... 4 Ierbole riferita al centro e agli assi Ierbole con i fuochi aartenenti all asse x Trasformazioni geometriche nel iano cartesiano Introduzione Grafici trasformati indice Ierbole con i fuochi aartenenti all asse y... 5 Esercizi vari sull ierbole... 5 Eccentricità Ierbole equilatera Ierbole equilatera riferita al centro e agli assi Ierbole equilatera riferita ai rori asintoti Funzione omografica Ierbole riferita a rette arallele ai suoi assi Alicazioni a grafici, equazioni e disequazioni... 6 Costruzione dell ierbole er unti Nota storica Esercizi... 6 Il teorema sulla trasformazione dei grafici Comosizione di trasformazioni... 4 Isometrie... 4 Simmetria centrale... 4 Simmetria risetto a un unto generico e all origine... 4 Simmetria centrale e funzioni Esemi relativi alla simmetria centrale Simmetria assiale... 4 Simmetria risetto a una retta o simmetria assiale... 4 Simmetrie risetto ad assi in osizioni articolari Simmetrie assiali e funzioni Simmetria risetto alla bisettrice del 1 o o quadrante: grafico della funzione inversa Grafico di y ¼jf ðxþj ediy ¼ f ðjxjþ VI 5- Esercizi di recuero e di otenziamento Esercizi di recuero... Esercizi di otenziamento Esercizi di ricaitolazione: iano cartesiano retta e coniche 94 Traslazioni Traslazioni di grafici Comosizione di isometrie Osservazione: il gruo delle isometrie Similitudini Omotetie Comosizione di similitudini Osservazione: il gruo delle similitudini Affinità Dilatazioni Dilatazioni di grafici di funzioni Classificazione delle affinità

7 Indice Osservazione: il gruo delle affinità e i suoi sottogrui Prorietà invarianti risetto alle trasformazioni Nota storica Alicazioni allo studio delle coniche Centro di simmetria di una conica Assi di simmetria di una conica Osservazione Raresentazione di una conica Alicazioni alla risoluzione di disequazioni er via grafica Esercizi Esercizi di recuero e di otenziamento Esercizi di recuero Esercizi di otenziamento Funzioni esonenziali La funzione esonenziale Alicazioni alla teoria delle funzioni... 5 Equazioni esonenziali Disequazioni esonenziali Risoluzione grafica di una disequazione esonenziale Logaritmi Definizione di logaritmo Logaritmi decimali e logaritmi naturali Prorietà dei logaritmi Cambiamento di base La funzione logaritmica Prorietà della funzione logaritmica Alicazioni Equazioni esonenziali risolubili con i logaritmi Disequazioni esonenziali risolubili con i logaritmi Equazioni logaritmiche Disequazioni logaritmiche... 5 Nota storica Esercizi Esercizi di recuero e di otenziamento Esercizi di recuero Esercizi di otenziamento Soluzioni 640 indice Esercizi Tabelle riassuntive 645 VII

8 Questa nuova edizione del corso si resenta in forma mista, secondo quanto revisto dalle attuali norme di legge e indicazioni ministeriali. Gli argomenti essenziali sono oggetto dei caitoli ubblicati in questo volume. Tali caitoli sono numerati in sequenza. I caitoli di arofondimento, contraddistinti dalle lettere maiuscole dell alfabeto, sono invece disonibili on line insieme alle attività di laboratorio su nell area contrassegnata dal simbolo. A Successioni numeriche e rogressioni Princiio di induzione... 1 Definizione di successione... 4 B Numeri reali. Potenze a esonente reale Numeri reali... 1 indice Definizione analitica di una successione. 5 Definizione ricorsiva di una successione... 7 Osservazione... Successioni limitate... 9 Successioni monotòne Classi contigue di numeri razionali... Numeri reali... Classi contigue di numeri reali... 4 Osservazioni... 4 Potenze a esonente reale... 5 Progressioni aritmetiche... 1 Somma dei termini di una rogressione aritmetica finita... 1 Alicazioni Progressioni geometriche... 1 Termine generale di una rogressione geometrica... Progressioni geometriche a termini di segno qualsiasi... 6 Prodotto di n termini consecutivi di una rogressione geometrica... Somma dei termini di una rogressione geometrica finita... 9 Potenze a esonente razionale... 5 Potenze a esonente irrazionale... 5 Diseguaglianze notevoli... 6 Monotonia delle otenze... Definizione di otenza a esonente reale Prorietà delle otenze a esonente reale... 1 Funzione esonenziale... 1 Prorietà della funzione esonenziale... 1 Codominio della funzione esonenziale... 1 Esercizi VIII Esercizi... 1

9 Le risorse on line C Discussione di equazioni e roblemi Discussione delle equazioni arametriche di rimo grado... 1 Discussione algebrica delle equazioni arametriche di secondo grado... Metodo diretto... Metodo di Cartesio... 4 Metodi grafici di discussione di un equazione di secondo grado... 6 Metodo della famiglia di arabole... 6 Metodo della arabola fissa... 1 Metodo del arametro isolato... 1 Discussione grafica di sistemi arametrici... 4 Discussione grafica di equazioni irrazionali... Problemi di geometria con discussione... Discussione di roblemi di rimo grado... Problemi con equazione risolvente di secondo grado... 4 Esercizi... 9 indice IX

10 simboli simbolo di aartenenza N insieme dei numeri naturali, comreso lo zero N 0 insieme dei numeri naturali, escluso lo zero Z insieme dei numeri interi relativi Q insieme dei numeri razionali R insieme dei numeri reali R þ insieme dei numeri reali ositivi R þ 0 insieme dei numeri reali ositivi e dello zero R insieme dei numeri reali negativi R 0 insieme dei numeri reali negativi e dello zero [ simbolo di unione tra insiemi \ simbolo di intersezione tra insiemi simbolo di differenza tra insiemi simbolo di inclusione tra insiemi in senso stretto simbolo di inclusione tra insiemi in senso largo [ insieme vuoto j «tale che» simbolo di rodotto cartesiano tra insiemi A comlementare dell insieme A risetto all insieme ambiente C U A comlementare dell insieme A risetto all insieme ambiente U 9 quantificatore esistenziale (leggi «esiste») quantificatore universale (leggi «er ogni») _ simbolo di disgiunzione tra roosizioni o redicati (leggi «vel», «o», «oure») ^ simbolo di congiunzione tra roosizioni o redicati (leggi «et», «e contemoraneamente») negazione della roosizione! simbolo di imlicazione materiale tra roosizioni o redicati (usato anche er collegare due assaggi algebrici)! simbolo di coimlicazione materiale tra roosizioni o redicati simbolo di comosizione tra funzioni ffi simbolo di congruenza tra figure // simbolo di arallelismo tra rette? simbolo di erendicolarità tra rette ¼ : simbolo di equiestensione o equivalenza tra figure ¼) simbolo di imlicazione logica () simbolo di equivalenza logica simbolo di uguaglianza numerica arossimata simbolo di coincidenza tra unti o tra figure e di equiveridicità X

11 Disequazioni di rimo grado Disequazioni di secondo grado Disequazioni frazionarie e di grado sueriore al secondo Sistemi di disequazioni Disequazioni in cui comaiono valori assoluti Disequazioni irrazionali Osservazioni. Lo svolgimento degli argomenti di questo caitolo uò raresentare un utile sunto er il riasso dell algebra studiata nel biennio e uò anche essere sviluato nell intero arco dell anno scolastico. Gli esercizi (quelli svolti nel testo e quelli roosti nell eserciziario) sono vari: oltre a quelli iù semlici, utili er imadronirsi della tecnica risolutiva, ve ne sono altri er la cui soluzione è richiesto un ragionamento algebrico, che ne semlifica la risoluzione, e altri ancora iù comlessi. Le disequazioni contenenti arametri sono destinate a un arofondimento dei concetti acquisiti. La risoluzione grafica delle disequazioni è sviluata nel seguito, là dove si utilizzano le conoscenze relative alla geometria analitica e alle trasformazioni geometriche. Secondo i ercorsi didattici seguiti, si otrà affrontare la risoluzione grafica di alcuni tii di disequazioni anche rima o contemoraneamente a quella algebrica. Le disequazioni non algebriche verranno trattate in seguito (disequazioni esonenziali e logaritmiche nei caitoli 10 e 11 e disequazioni goniometriche nel successivo volume). Terminologia e rincii di equivalenza 1 Una diseguaglianza in cui comare un incognita si chiama disequazione (in una incognita). Se in una disequazione si sostituisce un numero al osto dell incognita, la disequazione si trasforma in una diseguaglianza, che, se ha senso, uò essere vera o falsa. Si dice che un numero è soluzione di una data disequazione se, sostituendolo all incognita, la disequazione si trasforma in una diseguaglianza vera. Risolvere una disequazione significa determinarne l insieme delle soluzioni. Tale insieme, nei casi iù comuni, è un intervallo (*) o un unione di intervalli e sarà da noi indicato con S. Per comodità del lettore riortiamo qui di seguito le notazioni usate nei recedenti volumi er i vari tii di intervalli, ricordando che la raresentazione geometrica è, a seconda dei casi, un segmento o una semiretta dell asse reale. (*) In alcuni casi tale intervallo uò ridursi a un unico elemento. 1

12 ½a ; bš ¼fx Rja x bg ða ; bþ ¼fx Rja < x < bg ½a ; bþ ¼fx Rja x < bg ða ; bš ¼fxRja < x bg ½a ; þ1þ ¼ fx Rjx ag ða ; þ1þ ¼ fx Rjx > ag ð 1 ; aš ¼fx Rjx ag ð 1 ; aþ ¼fxRjx < ag Se l incognita comare al denominatore di qualche frazione, la disequazione si dice frazionaria; in caso contrario la disequazione si dice intera. Si definisce dominio di una disequazione l insieme dei numeri reali che, sostituiti al osto dell incognita, trasformano la disequazione in una diseguaglianza dotata di senso (vera o falsa). Per esemio la disequazione x > x ha er dominio R, mentre la disequazione > 1 ha er dominio R f0g. x Tutte le disequazioni razionali intere hanno er dominio R. Due disequazioni si dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme delle soluzioni. Primo rinciio d equivalenza delle disequazioni. Se a entrambi i membri di una disequazione si somma o si sottrae uno stesso numero o una stessa esressione algebrica definita er ogni valore dell incognita aartenente al dominio della disequazione, si ottiene una disequazione equivalente alla data. Secondo rinciio d equivalenza delle disequazioni. Moltilicando o dividendo entrambi i membri di una disequazione er uno stesso numero ositivo (o er una stessa esressione algebrica semre ositiva nel dominio della disequazione), si ottiene una disequazione equivalente alla data. Terzo rinciio d equivalenza delle disequazioni. Moltilicando o dividendo entrambi i membri di una disequazione er uno stesso numero negativo (o er una stessa esressione algebrica semre negativa nel dominio della disequazione) e cambiando il verso del simbolo di diseguaglianza, si ottiene una disequazione equivalente alla data. Disequazioni di rimo grado Alicando oortunamente i rincii di equivalenza è ossibile risolvere le disequazioni di rimo grado, cioè le disequazioni che si ossono ridurre a una delle seguenti forme ax > b; ax b; ax < b; ax b; essendo a e b numeri reali. La risoluzione della rima di queste uò, er esemio, essere così schematizzata. Possono arontarsi schemi analoghi er le altre tre forme. ax > b se a > 0! x > b b a ; cioe S ¼ a ; þ1 se a < 0! x < b a ; cioe S ¼ 1 ; b >< a ( se b < 0! x R; cioe S ¼ R >: se a ¼ 0! 0 x > b! se b 0! nessuna soluzione! S ¼ [

13 1 Risolviamo la disequazione 5 þ 1 ðx þ 1Þ x 1 ðx 1Þ: 5 Eliminiamo i denominatori moltilicando entrambi i membri er il m.c.m. ð5 ; Þ ¼15 ( o rinciio) 6 þ 5ðx þ 1Þ 0x ðx 1Þ!6 þ 5x þ 5 0x 6x þ : Trasortiamo i termini con l incognita x nel rimo membro e i termini noti nel secondo alicando il 1 o rinciio 5x 0x þ 6x 6 5 þ! 19x : Alichiamo il o rinciio e dividiamo entrambi i membri er 19 < 0; si ottiene che la disequazione è verificata er x 19! x 19 : L insieme delle soluzioni è quindi l intervallo S ¼ 1 ;. 19 Sia da risolvere la disequazione x þ 4ðx Þ < ðx þ 4Þ : (1) Svolgendo i calcoli indicati e alicando il 1 o rinciio di equivalenza, la (1) si riduce alla disequazione 0 x < che è verificata da qualsiasi valore di x; l insieme S delle soluzioni coincide quindi con l insieme R dei numeri reali: S ¼ R. Sia da risolvere la disequazione ðx þ 1Þ 4 ðx þ 1Þ 1 < xð1 x Þ 4 x þ 1 x þ 1 : ðþ Doo aver svolto i calcoli ed eliminato i denominatori moltilicando entrambi i membri er 1, si ottiene la disuguaglianza < 1, che è falsa indiendentemente dal valore attribuito alla variabile x. In altre arole, qualunque sia il valore che si sostituisce a x, la () si trasforma in una diseguaglianza falsa. Perciò essa è una disequazione imossibile, ossia l insieme delle sue soluzioni è l insieme vuoto: S ¼ [. 4 Risolviamo ora la disequazione letterale ða þ 1Þx < 4 a. Il coefficiente dell incognita cambia segno al variare del arametro a e dovremo quindi considerare distintamente i tre ossibili casi. 1 o caso. Sia a þ 1 > 0, cioè a > 1: er il o rinciio si ha 4 a x < a þ 1 : o caso. Sia a þ 1 ¼ 0, cioè a ¼ 1: la disequazione data diventa 0 x < 7; er qualsiasi valore di x il rimo membro è zero e quindi, essendo 0 < 7 una diseguaglianza vera, si ha che la disequazione è verificata x R. o caso. Sia a þ 1 < 0, cioè a < 1: er il o rinciio di equivalenza, si ha 4 a x > a þ 1 : Riassumendo, otremo concludere che la disequazione data è verificata er 4 a x <, a þ 1 se è a > 1 x R, se è a ¼ 1 4 a er x > a þ 1 ; se è a < 1:

14 5 Risolviamo ora la seguente disequazione letterale x k þ x 1 < x k 6 : Osserviamo darima che, affinché le frazioni resenti nella () abbiano significato, dovrà essere k 6¼ 0! k 6¼ : Riduciamo ora allo stesso denominatore ottenendo x þ kx x k þ ðk Þ < x ðk Þ : Per eliminare i denominatori dalla (4), occorre moltilicare entrambi i membri er ðk Þ, esressione questa che cambia segno al variare del arametro k. Dovremo quindi esaminare distintamente i due casi ossibili. 1 o caso. Sia k > 0! k >. Per il secondo rinciio di equivalenza la (4) equivale alla seguente x þ kx k þ < x! kx < k 4: ð5þ Poiché stiamo considerando il caso k >, è quindi, a maggior ragione, k > 0 e erciò, nella (5), il coefficiente dell incognita è ositivo: semre er il secondo rinciio si avrà quindi x < k 4 : k o caso. Sia k < 0! k <. Dalla (4), er il terzo rinciio di equivalenza, moltilicando entrambi i membri er k, si ottiene x þ kx k þ > x! kx > k 4: ð6þ Osserviamo che, in questo caso, il coefficiente dell incognita, nella (6), uò anche essere negativo e recisamente è ositivo er 0 < k < e negativo er k < 0. Quindi se è 0 < k <, er il o rinciio si ha x > k 4 ; k se è k < 0, er il o rinciio si ha x < k 4. k Consideriamo ora il caso k ¼ 0: la (6) si riduce alla forma 0 x > 0 4! 0 x > 4! x R: Si ossono riassumere i risultati trovati e concludere così scrivendo che la (), equivalente alla (4), è verificata er x < k 4 k se è k < 0 _ k > er x > k 4 k se è 0 < k < x R se è k ¼ 0. Come già è stato osservato, er k ¼ la () erde significato ðþ ð4þ Disequazioni di secondo grado 4 Una disequazione di secondo grado è una disequazione che si uò ridurre a una delle seguenti forme canoniche ax þ bx þ c > 0; ax þ bx þ c 0; ax þ bx þ c < 0; ax þ bx þ c 0:

15 Nel biennio abbiamo già imarato a risolvere tali disequazioni. Suoniamo di dover risolvere una disequazione che, doo le oortune semlificazioni, si riduca alla forma ax þ bx þ c > 0: ð1þ La risoluzione della (1) uò essere interretata graficamente: infatti la (1) è equivalente al sistema misto y ¼ ax þ bx þ c ðþ y > 0: L interretazione grafica di tale sistema è la seguente: determinare i unti del iano cartesiano le cui coordinate soddisfano sia l equazione sia la disequazione del sistema (). L equazione y ¼ ax þ bx þ c, com è noto, è raresentata, nel iano cartesiano, da una arabola che volge la concavità verso l alto se è a > 0 e verso il basso se è a < 0. La disequazione y > 0èinvece raresentata, nel iano cartesiano, dall insieme di tutti i unti la cui ordinata y è ositiva, ossia dai unti che si trovano al di sora dell asse x, unti che costituiscono il semiiano delle ordinate ositive,il quale non comrende l asse x. I unti le cui coordinate soddisfano il sistema () sono erciò quei unti della arabola y ¼ ax þ bx þ c che si trovano internamente al semiiano delle ordinate ositive. Poiché nella disequazione da risolvere comare solo l incognita x, l insieme delle soluzioni sarà costituito dall insieme delle ascisse di tali unti. Se invece la disequazione da risolvere è del tio ax þ bx þ c < 0, si considererà il sistema y ¼ ax þ bx þ c y < 0 e erciò si dovrà determinare l insieme dei unti della arabola y ¼ ax þ bx þ c che si trovano nel semiiano delle ordinate negative (ossia al di sotto dell asse x). Se infine nella disequazione da risolvere comare il segno o, si dovranno considerare come soluzioni, oltre ai unti della arabola che giacciono internamente a uno dei due semiiani generati dall asse x, anche gli eventuali unti d intersezione della arabola con l asse x. 1 Risolviamo la disequazione x þ 4x 5 > 0: y ¼ x þ 4x 5 La disequazione equivale al sistema y > 0: Dobbiamo erciò determinare i unti della arabola y ¼ x þ 4x 5 che si trovano nel semiiano delle ordinate ositive, asse x escluso. Tale arabola incontra l asse x nei unti la cui ascissa è data dalle soluzioni dell equazione x þ 4x 5 ¼ 0! x 1 ¼ 5; x ¼ 1. Figura 1 Essi sono dunque i unti Að 5 ; 0Þ e Bð1 ; 0Þ; la concavità della arabola è volta verso l alto (fig. 1). I unti della arabola che si trovano nel semiiano delle ordinate ositive sono quelli che hanno ascissa minore di 5 o maggiore di 1, ossia quelli er cui si ha x < 5 _ x > 1: L insieme delle soluzioni è dunque costituito dall unione di due intervalli illimitati: S ¼ ð 1 ; 5Þ[ð1 ; þ1þ: Risolviamo la disequazione x þ 6x 5 > 0: Si tratta di determinare i unti della arabola di equazione y ¼ x þ 6x 5 che giacciono 5

16 nel semiiano delle ordinate ositive, asse x escluso. Cerchiamo di determinare i unti d intersezione tra la arabola e l asse x; a tal fine dobbiamo risolvere l equazione x þ 6x 5 ¼ 0! x 6x þ 5 ¼ 0; che non ha soluzioni, essendo ¼ 6 < 0. Dunque, la arabola non interseca l asse x e, 4 avendo la concavità verso il basso ð < 0Þ, giace interamente nel semiiano delle ordinate negative: nessun unto della arabola giace nel semiiano delle y > 0. La disequazione data è quindi imossibile: S ¼ [. Risolviamo la disequazione x x þ 16 > 0. Dobbiamo determinare i unti della arabola di equazione y ¼ x x þ 16 che si trovano nel semiiano delle ordinate ositive, asse x escluso. I unti di intersezione della arabola con l asse x si trovano risolvendo l equazione x x þ 16 ¼ 0. Risulta ¼ 0; l equazione ha erciò due soluzioni coincidenti: x 1 ¼ x ¼ 4. Ciò significa che la arabola, che volge la concavità verso l alto, è tangente all asse x nel unto Að4 ; 0Þ: Come si vede dalla figura, tutti i unti della arabola si trovano nel semiiano delle ordinate ositive, eccetto il unto A, che è il vertice e si trova sull asse x. Perciò la disequazione data è soddisfatta da qualunque valore di x eccetto x ¼ 4, cioè la disequazione è verificata x 6¼ 4; l insieme delle soluzioni è quindi S ¼ R f4g ¼ ð 1 ; 4Þ [ð4 ; þ1þ: Figura Schema riassuntivo er le disequazioni di secondo grado 4 Prooniamo, qui di seguito, uno schema riassuntivo in cui si è considerato solo il caso in cui il rimo coefficiente della disequazione di secondo grado in forma canonica è ositivo ða > 0Þ; ciò non è riduttivo erché, se fosse a < 0, basterebbe moltilicare entrambi i membri della disequazione er 1 e cambiare il verso del simbolo di diseguaglianza er ottenere una disequazione equivalente e con il rimo coefficiente ositivo. Per esemio si ha x þ 4x > 0! x 4x þ < 0; 5x x 0! x 5x 0; ecc: ¼ b 4ac arabola valori di x che verificano la disequazione ax þ bx þ c > 0 ax þ bx þ c 0 ax þ bx þ c < 0 ax þ bx þ c 0 + > 0 ( x 1 < x ) x 1 x x x < x 1 _ x > x x x 1 _ x x x 1 < x < x x 1 x x a > 0 ¼ 0 + x=x= 1 b a x con qualsiasi x x 6¼ b a x R nessun valore di x x ¼ b a 6 < 0 + x x R x R nessun valore di x nessun valore di x

17 Da questo schema lo studente uò dedurre le seguenti osservazioni, utili er la risoluzione delle disequazioni della forma ax þ bx þ c 0oax þ bx þ c 0. Se è > 0 e il rimo coefficiente è concorde con il verso della disequazione, allora la disequazione è verificata er valori di x esterni all intervallo delle radici ðx 1 ; x Þ. Se è > 0 e il rimo coefficiente è discorde con il verso della disequazione, allora la disequazione è verificata er valori di x interni all intervallo delle radici ðx 1 ; x Þ. Se è < 0 e il rimo coefficiente è concorde con il verso della disequazione, allora la disequazione è semre verificata. Se è < 0 e il rimo coefficiente è discorde con il verso della disequazione, allora la disequazione è mai verificata. Si noti infine che se è ¼ 0, oltre alla risoluzione grafica, uò essere agevole risolvere la disequazione di secondo grado riducendo il binomio ax þ bx þ c a un quadrato erfetto. 1 x 6x þ 5 > 0! x < 1 _ x > 5, essendo x 1 ¼ 1, x ¼ 5. 4x 1 0! x 1 _ x 1. 4 x x > 0! x þ x 4 < 0! 4 < x < x 1x þ 9 > 0! x 6¼ infatti è ¼ 0ex 1 ¼ x ¼ oure: 4x 1x þ 9 > 0! ð x Þ > 0! x 6¼ : 5 x 5x þ < 0! nessun valore di x infatti è ¼ 5 64 < 0 e il rimo coefficiente è discorde con il verso della disequazione. 6 5x x 0! x 5x 0! x 0 _ x x 0x þ 5 0! x ¼ 5 infatti è ¼ 0 e, er x 1 ¼ x ¼ 5 ; è 4x 0x þ 5 ¼ 0, mentre non uò essere 4x 0x þ 5 < 0 er alcun valore di x. x þ x þ 5 > 0! x R (infatti è ¼ 1 < 0 e il verso della disequazione è concorde con il rimo coefficiente). 9 Risolvere la disequazione letterale x 4x þ 4 9a > 0; con a R: Il discriminante del trinomio osto al rimo membro varia al variare del arametro a; infatti è 4 ¼ 4 4 þ 9a ¼ 9a e quindi si ha Esaminiamo quindi i due casi ossibili. 1 o caso. Sia a ¼ 0: la (1) assume la forma ¼ 0 er a ¼ 0 > 0 er a 6¼ 0: ð1þ x 4x þ 4 > 0! ðx Þ > 0! x 6¼ : 7

18 o caso. Sia a 6¼ 0: x 1 ¼ a; x ¼ þ a. Poiché il verso della disequazione è concorde con il rimo coefficiente, la (1) è verificata er valori di x esterni a x 1 e x ; dobbiamo quindi confrontare tra loro le due soluzioni, ottenendo x 1 < x! a < þ a! a > 0; x 1 > x! a < 0: Quindi la (1) è verificata se è a < 0 er x < þ a _ x > a se è a > 0 er x < a _ x > þ a. 10 Risolvere la disequazione kx ðk 1Þx k < 0, con k R. () Osserviamo che il rimo coefficiente, essendo uguale al arametro k, cambia segno al variare di k e recisamente si ha 1 o coeff. > 0 er k > 0 e 1 o coeff. < 0erk < 0. Il discriminante è ¼ðk 1Þ þ 4k ¼ðk þ 1Þ e, ertanto, è > 0 k R: le due radici sono 1 e k (la rima radice esiste er k 6¼ 0). k Consideriamo ora i ossibili casi determinati dalla variazione del arametro k. 1 o caso. Sia k < 0 (il rimo coefficiente è negativo e risulta concorde con il verso della disequazione). In tal caso, oiché risulta k < 0e 1 k > 0, la () è verificata er x < k _ x > 1 k. o caso. Sia k > 0 (il rimo coefficiente è ositivo e quindi risulta discorde con il verso della disequazione). In questo caso risulta 1 < 0ek > 0. k La () è quindi verificata er 1 k < x < k. o caso. Sia k ¼ 0 (il rimo coefficiente è nullo). La () si riduce a una disequazione di rimo grado, verificata er x < 0. Disequazioni frazionarie e di grado sueriore al secondo 5 Esoniamo ora un metodo er risolvere le disequazioni frazionarie e le disequazioni di grado sueriore al secondo. Suorremo che l incognita della disequazione sia la lettera x. 1. Si trasortano tutti i termini al rimo membro della disequazione, in modo che al secondo membro comaia solo lo zero.. Si cerca di scrivere l esressione al rimo membro come rodotto di olinomi di rimo o di secondo grado in x oure come un unica frazione, avente er numeratore e er denominatore olinomi di rimo o secondo grado in x o rodotti di tali olinomi: si determina quindi il dominio della disequazione.. Si studia il segno di ciascuno dei olinomi di rimo o secondo grado rima determinati. 4. Si disegna uno schema grafico che riassuma il variare dei segni dei singoli fattori al variare del valore dell incognita x. 5. Ricordando che il segno di un rodotto o di un raorto è ositivo se i fattori negativi sono in numero ari, negativo se i fattori negativi sono in numero disari, si stabilisce il segno che assume

19 l esressione al rimo membro della disequazione al variare di x. Si tenga resente che, in corrisondenza dei valori di x er cui si annulla un fattore al numeratore, si annulla anche l intera esressione (urché, er tale valore, non si annulli anche il denominatore); in corrisondenza di quei valori di x er cui si annulla un fattore al denominatore, invece, l esressione al rimo membro erde senso e con essa erde senso la disequazione (*). 6. Tenendo conto dei risultati così ottenuti si determinerà infine l insieme delle soluzioni della disequazione. 1 Risolvere la disequazione frazionaria 1 x 1 þ x : Cominciamo con il trasortare al rimo membro i termini che figurano al secondo membro ðx Þ ðx Þð1 xþ ð1 xþ ðx Þð1 xþ 0! x þ x 4 ðx Þð1 xþ 0: Il rimo membro è ora una frazione il cui numeratore è un olinomio di secondo grado e il cui denominatore è il rodotto di olinomi di rimo grado: il dominio della disequazione è 1 R ; : Studiamo il segno dei fattori che comaiono nell esressione di tale frazione. Per studiare il segno di ciascun fattore basta risolvere la disequazione che si ottiene onendo tale fattore maggiore di zero. Per semlicità chiameremo N il numeratore e D 1, D i fattori del denominatore ð1þ ðþ N ¼ x þ x 4 > 0! x < 4 _ x > 1 D 1 ¼ x > 0! x > ; D ¼ 1 x > 0! x < 1 : Figura Raresentiamo ora il segno di questi tre fattori su tre linee arallele, tratteggiate in corrisondenza dei valori di x er cui il risettivo fattore è negativo e continue in corrisondenza dei valori di x er cui è ositivo. Un tondino raresenta l annullarsi del fattore (fig. ). Su una quarta linea, arallela alle recedenti raresentiamo il segno della frazione al rimo membro della (). Nell intervallo 1 ; 4 vi è un solo fattore negativo e quindi è negativo anche il rimo membro della disequazione. La quarta linea, erciò, a sinistra di 4 dev essere tratteggiata. Per x ¼ 4 si annulla il numeratore (e non il denominatore) e erciò si annulla anche la frazione. Disegniamo dunque un tondino sulla quarta linea in corrisondenza di 4. (*) Tali valori evidentemente non aartengono al dominio della disequazione. 9

20 Nell intervallo 4 ; 1, essendovi due fattori negativi, la frazione risulta ositiva. La quarta linea erciò, a destra di 4 e a sinistra di 1,ècontinua. Per x ¼ 1 si annulla un fattore del denominatore e ertanto non ha senso la frazione: disegniamo quindi una crocetta sulla quarta linea in corrisondenza del unto che raresenta il nume- ro 1, il numero che non aartiene al dominio della disequazione. 1 Nell intervallo ; 1 vi sono tre fattori negativi e quindi la frazione è negativa. Per x ¼ 1 si annulla il numeratore (e non il denominatore) e quindi si annulla anche la frazione. Nell intervallo ð1 ; Þ vi sono due fattori negativi e la frazione risulta quindi ositiva. Per x ¼ si annulla un fattore del denominatore e erciò la frazione erde significato (il numero non aartiene al dominio della disequazione). Nell intervallo ð ; þ1þ essendovi un solo fattore negativo la frazione risulta negativa. Possiamo ora risolvere la disequazione (), equivalente alla (1): si tratta di stabilire quali sono i valori di x er cui la frazione al rimo membro della () è negativa o nulla. Osservando la quarta linea del grafico di figura si deduce che tale frazione è negativa o nulla er x 4 _ 1 < x 1 _ x >! S ¼ 1 ; 4 Sia da risolvere la disequazione [ 1 ; 1 [ð ; þ1þ: x þ x 4x 4 < 0: Essendo la () una disequazione intera essa ha er dominio l insieme R dei numeri reali. Il secondo membro è già zero. Scomoniamo in fattori il olinomio al rimo membro, ottenendo x ðx þ 1Þ 4ðx þ 1Þ < 0! ð x þ 1Þðx 4Þ < 0!! ð x þ 1Þðx Þðx þ Þ < 0: Studiamo ora il segno di ciascuno dei tre fattori. A ¼ x þ 1 > 0! x > 1 B ¼ x > 0! x > C ¼ x þ > 0! x > : Figura 4 Raresentiamo ora il segno di tali tre fattori su tre linee arallele e deduciamo quindi il segno del rimo membro della (), che raresentiamo su una quarta linea. Le soluzioni della () sono quei valori di x er cui il olinomio al rimo membro risulta negativo. Tali valori, come si deduce dal grafico di figura 4, sono x < _ 1 < x <! S ¼ ð 1 ; Þ[ð 1 ; Þ: ðþ 10 Risolviamo la disequazione x x 5x þ > 0: ð4þ Il denominatore della (4) ha discrimante negativo, essendo ¼ 5 < 0, e ertanto non si annulla mai: il dominio della disequazione è quindi R. Poiché il numeratore è ositivo er qualsiasi valore di x 6¼ 0, basterà, affinché la (4) sia verificata, che sia ositivo anche il denominatore: dovrà quindi essere x 5x þ > 0:

21 Quest ultima disequazione è verificata er qualsiasi valore di x e quindi la (4) è soddisfatta er x 6¼ 0. 4 Sia da risolvere la disequazione x 6 7x 4 þ 14x < 0: Il dominio della disequazione è R. Detto PðxÞ il olinomio al rimo membro, si trova subito che è Pð 1Þ ¼0ePð1Þ ¼0; ertanto, er il teorema del resto, risulta che PðxÞ è divisibile sia er x þ 1 sia er x 1 e, con la regola di Ruffini, si ottiene che la (5) uò scriversi ðx þ 1Þðx 1Þðx 4 6x þ Þ < 0: Cerchiamo ora di scomorre anche il trinomio x 4 6x þ, osservando che x 4 6x þ ¼ 0 è un equazione biquadratica: onendo x ¼ y, essa si scrive y 6y þ ¼ 0 e ha er radici y 1 ¼ ey ¼ 4. Ricordando la scomosizione in fattori del trinomio di secondo grado, si avrà cioè, essendo y ¼ x, La (6) si riduce così alla disequazione y 6y þ ¼ðy Þðy 4Þ; x 4 6x þ ¼ðx Þðx 4Þ: ðx þ 1Þðx 1Þðx Þðx 4Þ < 0: Procediamo ora al solito modo ed esaminiamo quindi il segno di ciascun fattore che comare nel rimo membro della (7): con l aiuto dell oortuno schema si ottiene che la (7), e quindi la (5), è verificata er < x < ffiffiffi ffiffiffi _ 1 < x < 1 _ < x < : Sistemi di disequazioni 6 Quando si considerano contemoraneamente iù disequazioni, tutte nella stessa incognita, si ha un sistema di disequazioni. Per dominio di un sistema di disequazioni si intende l insieme dei numeri reali er i quali hanno significato tutte le disequazioni del sistema, cioè l intersezione dei domini delle disequazioni del sistema. Si dice che un numero è una soluzione di un sistema di disequazioni se, sostituito all incognita, trasforma tutte le disequazioni del sistema in diseguaglianze vere. Perciò er risolvere un sistema di disequazioni è sufficiente risolvere singolarmente ciascuna disequazione e quindi considerare l intersezione degli insiemi delle loro soluzioni: tale insieme è l insieme delle soluzioni del sistema. Per determinare tale insieme è utile raresentare graficamente l insieme delle soluzioni di ciascuna disequazione; esaminando tale raresentazione sarà facile determinare l insieme delle soluzioni del sistema: esso, se non è vuoto, sarà costituito da tutti quegli intervalli in cui sono soddisfatte tutte le disequazioni. Tali intervalli, nella raresentazione da noi usata, sono quelli in cui tutte le linee, che raresentano gli insiemi delle soluzioni delle disequazioni del sistema, sono continue (*). ð5þ ð6þ ð7þ (*) In qualche caso articolare un intervallo di soluzioni uò ridursi a un unico elemento. Per esemio la soluzione del sistema x 1 è, evidentemente, x ¼ 1 e erciò è S ¼f1g; questo insieme uò essere considerato un intervallo chiuso i cui estremi x 1 coincidono con l elemento 1. 11

22 1 Risolviamo insieme il sistema x þ 0 x 1 < 0: Il dominio del sistema è R. Risolvendo le due disequazioni e indicando con S 1 ed S risettivamente l insieme delle soluzioni della rima e quello delle soluzioni della seconda, si avrà che l insieme S delle soluzioni del sistema (1) è S ¼ S 1 \ S. >< x Si ha quindi x < 1 e, er determinare S, raresentiamo graficamente in figura 5 gli insiemi S 1 e S. Abbiamo raresentato il unto x ¼ sulla rima linea con un circoletto ie- >: no erché S 1, mentre il unto x ¼ 1 sulla seconda linea è raresentato con un circoletto vuoto erché 1 6 S. Dalla figura 5 si uò vedere che l insieme S 1 \ S è costituito dall intervallo S ¼ ; 1 e quindi il sistema (1) risulta verificato er (1) x < 1 : Figura 5 >< 1 x Sia da risolvere il sistema 4 þ x 0 ðþ >: x x > 0: Il dominio del sistema è R f 4g. 1 a disequazione. È una disequazione frazionaria che risolviamo con il metodo esosto nel n. 5: si ottiene che è verificata er 4 < x 1 _ x 1. a disequazione. x x > 0! x < 0 _ x > : Figura 6 Raresentiamo, in figura 6, gli insiemi S 1 e S delle soluzioni delle due disequazioni. L insieme delle soluzioni del sistema () è S ¼ S 1 \ S ¼ð 4 ; 1Š [ð ; þ1þ e quindi il sistema () risulta verificato er 4 < x 1 _ x > : Risolviamo il seguente sistema che ha er dominio R: ( 1 þ x 0 ( x 1 x > 0 x þ < 0! x 6¼ 0 x < : Raresentiamo in figura 7 gli insiemi S 1, S, S delle soluzioni delle tre disequazioni: si uò vedere che esse non sono mai verificate contemoraneamente er alcun valore di x. Si deduce così che il sistema dato è imossibile. Figura 7 1 Avvertenza. Nel seguito, trattando di disequazioni razionali intere, ometteremo di dichiarare eslicitamente il dominio R.

23 Moduli o valori assoluti 7 Ricordiamo la definizione di modulo (o valore assoluto) di un numero reale; se x è un generico numero reale è ( jxj ¼ x er x 0 x er x < 0 Per esemio se è x ¼þ > 0 sarà jþj ¼ se è x ¼ < 0 sarà j j ¼ ð Þ ¼ se è x ¼ 0 sarà j0j ¼0. Dalla definizione data, quindi, si deduce che jxj > 0 er x 6¼ 0 jxj 0 er x R: Semre dalla definizione data, risulta che numeri oosti hanno lo stesso modulo jj ¼ ; j 5j ¼jþ5j ; jxj ¼j xj ; ja bj ¼jb aj ; ecc: Concludendo, due numeri reali avranno lo stesso valore assoluto o se sono uguali o se sono oosti jaj ¼jbj ()a ¼ b _ a ¼ b a; b R Inoltre è jabj ¼jajjbj e a b ¼ jaj jbj : In base alla definizione di valore assoluto è ossibile risolvere raidamente semlici e articolari tii di equazioni e di disequazioni in cui comaia il valore assoluto di esressioni contenenti l incognita, come si uò vedere dai seguenti esemi. 1 Risolvere l equazione jxj ¼4. Si tratta di determinare i numeri x il cui valore assoluto è 4 e quindi, er quanto visto nel aragrafo recedente, si ha x ¼4: Le equazioni jxj ¼ 5 jx 7j ¼ 1 sono imossibili, erché il valore assoluto di un numero reale non uò essere negativo. Risolvere l equazione jx xj ¼0. Il valore assoluto di un numero reale è zero quando il numero è zero e erciò jx xj ¼0! x x ¼ 0! x ¼ 0 _ x ¼ : 4 Risolviamo l equazione jx j ¼4. Essa equivale a x ¼4! x ¼ 4 _ x ¼ 4! x ¼ 7 _ x ¼ 1. 5 Risolvere l equazione jx j ¼j4 xj. 1

24 Si è visto che due numeri reali sono uguali in valore assoluto o quando sono uguali o quando sono oosti jx j ¼j4 xj!x ¼ 4 x _ x ¼ ð4 xþ!! 5x ¼ 7 _ x ¼ 1! x ¼ 7 5 _ x ¼ 1: 6 La disequazione jx j < 0èimossibile erché il modulo di un numero reale non uò essere negativo. Invece la disequazione jx j 0èsoddisfatta solo er x ¼, valore er cui il rimo membro è zero. 7 La disequazione jx 5j 0èsemre verificata. Invece la disequazione jx 5j > 0èsoddisfatta er x 6¼ 5 (infatti er x ¼ 5 la disequazione diviene la diseguaglianza 0 > 0 che è falsa). Ricordando il significato di valore assoluto, è evidente che le disequazioni jx j > sono semre verificate; invece le disequazioni non ammettono soluzioni. jx þ 7x j > 1 j4x j < jx 7 x 6 j < 1; 7 9 La disequazione jx 1jþjx 1j > 0 è soddisfatta er x 6¼ 1; infatti la somma di due moduli è ositiva tranne nel caso in cui essi siano contemoraneamente nulli ossia, in questo caso, tranne che er x ¼ La disequazione jx 1jþjx 6j > 0èsemre verificata erché, a differenza del caso del recedente esemio, i due moduli non ossono essere contemoraneamente nulli. 11 Risolvere l equazione jx 6x þ 5j ¼5 x. Ricordando la definizione di valore assoluto si ha jx 6x þ 5j ¼5 x! x 6x þ 5 0 _ x 6x þ 5 ¼ 5 x! x 1 _ x 5 _ x ¼ 0 _ x ¼ 5 ( x 6x þ 5 < 0 ðx 6x þ 5Þ ¼5 x 1 < x < 5 x ¼ _ x ¼ 5: Il rimo sistema è verificato er x ¼ 0 _ x ¼ 5, il secondo er x ¼ e quindi l equazione data è verificata er x ¼ 0 _ x ¼ _ x ¼ 5.! 1 Sia da risolvere l equazione j4 þ xj ¼j5 xjþ7x. Determiniamo, darima, er quali valori di x gli argomenti dei due moduli sono ositivi 4 þ x > 0 er x > 4 5 x > 0 er x < 5 ; disoniamo ora in ordine crescente i due caisaldi 4 e 5 ed esaminiamo lo schema in figura. 14 Figura

25 Dallo schema si caisce che è necessario distinguere tre casi: infatti er x < 4 èj4 þ xj ¼ ð4 þ xþ e j5 xj ¼5 x er 4 x 5 è j4 þ xj ¼4 þ x e j5 xj ¼5 x er x > 5 è j4 þ xj ¼4 þ x e j5 xj ¼ ð5 xþ. Le soluzioni dell equazione data sono quindi le soluzioni dei tre seguenti sistemi misti ( x < 4 x < 4! 4 x ¼ 5 x þ 7x x ¼ non accettabile > 4 ( 4 x 5 >< 4 x 5! 4 þ x ¼ 5 x þ 7x x ¼ 1 4 accettabile 4 < 1 4 < 5 >: ( x > 5 4 þ x ¼ 5þx þ 7x >< x > 5! x ¼ 9 9 non accettabile < 5 >: L equazione ha quindi er unica soluzione x ¼ In alcune alicazioni caita di dover risolvere disequazioni del tio j f ðxþj < k con k > 0 oure j f ðxþj > k con k > 0: Si noti che, se k fosse un numero negativo o nullo, saremmo già in grado di risolvere le disequazioni j f ðxþj < k o j f ðxþj > k in base al concetto stesso di modulo di un numero reale (si vedano gli esemi 6, 7, del n. ). Risoluzione della disequazione jfðxþj < k, con k > 0 10 Incominciamo a considerare la disequazione j f ðxþj < k, essendo k R þ e f ðxþ una qualsiasi esressione nella variabile x. Ricordando la definizione di valore assoluto, si ha f ðxþ se e f ðxþ 0 j f ðxþj ¼ f ðxþ se e f ðxþ < 0: Quindi la disequazione j f ðxþj < k ð1þ equivale ai due sistemi f ðxþ 0 f ðxþ < k _ f ðxþ < 0 f ðxþ < k ( f ðxþ 0! f ðxþ < k _ f ðxþ < 0 f ðxþ > k: La (1) è quindi verificata er 0 f ðxþ < k _ k < f ðxþ < 0 cioè er k < f ðxþ < k. 15

26 Riassumendo, scriveremo j f ðxþj < k () k < f ðxþ < k; k > 0 () Si noti che risolvere la relazione k < f ðxþ < k equivale a risolvere il sistema ( f ðxþ < k f ðxþ > k: ðþ ð4þ Pertanto, detto S 1 l insieme delle soluzioni della () e S quello delle soluzioni della (4), l insieme delle soluzioni della disequazione j f ðxþj < k è dato da S ¼ S 1 \ S : Risolviamo la disequazione jx 4xj < : ( jx 4xj <! < x 4x <! x 4x > x 4x < (! x ( 4x þ > 0! x < 1 _ x > x 4x < 0 ffiffiffi ffiffiffi 7 < x < þ 7 ;! con l ausilio di un oortuno grafico si uò dedurre che il sistema e quindi la disequazione data sono verificati er ffiffiffi ffiffiffi 7 < x < 1 _ < x < þ 7 : Risoluzione della disequazione j fðxþj > k, con k > 0 oure 11 Consideriamo la disequazione j f ðxþj > k, con k R þ. Semre ricordando la definizione di valore assoluto, essa equivale ai due sistemi f ðxþ 0! f ðxþ > k f ðxþ > k f ðxþ < 0 f ðxþ > k! f ðxþ < 0 f ðxþ < k! f ðxþ < k: Quindi la disequazione è verificata er Riassumendo, scriveremo j f ðxþj > k f ðxþ > k _ f ðxþ < k. ð1þ j f ðxþj > k () f ðxþ < k _ f ðxþ > k; k > 0 () Se indichiamo con S 1 l insieme delle soluzioni della disequazione f ðxþ < k e con S quello della disequazione f ðxþ > k, allora si uò notare che l insieme delle soluzioni della disequazione j f ðxþj > k è 16 S ¼ S 1 [ S :

27 1 Risolviamo la disequazione j1 þ xj > 5. Per la () si ha 1 þ x < 5 _ 1 þ x > 5, da cui x < 6 _ x > 4! x < _ x > : Risolviamo j4 x j > 5. () Dalla () si ha che deve essere 4 x < 5 _ 4 x > 5! x > 9 _ x < 1: Poiché la seconda disequazione x < 1 è imossibile, la () è verificata solo er x > 9! x < _ x > : Altre disequazioni in cui comaiono valori assoluti 1 Vediamo insieme qualche esercizio. 1 Risolvere la disequazione jx jþx > 5. (1) Ricordando che jx j ¼x er x 0 jx j ¼ x er x < 0; la (1) equivale a x 0 x < 0 ðþ _ x þ x > 5 x þ x > 5: () < x Il sistema () è risolto er x > 7! x! S : 1 ¼½ ; þ1þ: 4 < x < Il sistema () è risolto er x >! : < x <! S ¼ ; : Riunendo i risultati si vede che la (1) è verificata er x S ¼ S 1 [ S ¼ S [ S 1 ¼ ; [½ ; þ1þ ¼ ; þ1, cioè er x >. Risolvere la disequazione Esaminiamo, er rima cosa, il segno di ciascuno degli argomenti dei due moduli resenti nella disequazione, servendoci dello schema in figura 9. jx 1j < j xj: I quattro casi che si resentano ossono essere esaminati nei tre seguenti sistemi >< x 1 _ 1 x >: x 1 < ð xþ! 1 x ; ð4þ Figura 9 17

28 ( 1 < x < 1! 1 x < ð xþ < x > : x 1 < ð þxþ ffiffiffi 1 < x < 1;! < x < ffiffiffi 7 1: Riunendo i risultati dei tre sistemi (fig. 10), si conclude che la disequazione (4) è verificata er ffiffiffi 1 < x < 1 _ 1 x _ < x < ffiffiffi 7 1, cioè er ffiffiffi ffiffiffi 1 < x < 7 1: Figura 10 Disequazioni irrazionali Diseguaglianze 1 Prima di intrarendere lo studio delle disequazioni irrazionali è utile ricordare due rincii delle diseguaglianze tra numeri. 1º) Se a e b sono numeri ositivi o nulli esen è un generico numero ari ðn N 0 Þ,siha a < b () a n < b n a; b R þ 0 ; n N 0 In articolare a noi interesserà il caso n ¼. Dalla diseguaglianza < 4 si deduce < 4, cioè 9 < 16. Viceversa, da 9 < 16, cioè da < 4, si deduce < 4. Si noti che il rinciio vale se a >0eb > 0; in caso contrario otrebbe non valere. Per esemio è 4 <, ma non è ð 4Þ <, cioè non è 16 < 9. E ancora, er esemio, mentre è vera la diseguaglianza non è vera la diseguaglianza < : ð Þ < ð Þ, cioè 4 < 9; º) Se invece a e b sono due generici numeri reali e se indichiamo con n þ 1 un generico numero disari ðn NÞ,siha a < b () a nþ1 < b nþ1 a; b R; n N In articolare a noi interesserà il caso n þ 1 ¼ : Dalla diseguaglianza < si deduce che è <, cioè < 7. Viceversa da < 7, cioè da <, si deduce <. Il rinciio vale anche se a e b sono discordi o entrambi negativi; er esemio, si ha <! ð Þ <, cioè < 7 (e viceversa) 1 <! ð Þ < ð Þ, cioè 7 < (e viceversa).

29 Disequazioni irrazionali 14 D Una disequazione in una incognita si dice irrazionale quando in essa comaiono uno o iù radicali contenenti l incognita. Ci occueremo er lo iù di disequazioni contenenti radicali quadratici o radicali cubici. Ricordiamo che si chiama dominio di una disequazione in una incognita l insieme dei numeri che, sostituiti al osto dell incognita, trasformano la disequazione in una diseguaglianza dotata di senso (o vera o falsa). Pertanto se la disequazione contiene solo radicali di indice disari, in articolare radicali cubici, er determinarne il dominio non si deve orre alcuna condizione oltre quella dell esistenza di ciascun radicando (il radicale esiste urché esista il radicando). Se invece la disequazione contiene radicali di indice ari, in articolare radicali quadratici, er determinarne il dominio occorre orre le condizioni affinché tutti i radicandi siano contemoraneamente ositivi o nulli, oltre, ovviamente, le condizioni di esistenza dei radicandi. Risoluzione di disequazioni irrazionali 15 Similmente a quanto visto er le equazioni irrazionali, er risolvere una generica disequazione irrazionale si cerca di trasformarla in una razionale, er mezzo di oortuni elevamenti di entrambi i membri della disequazione a una stessa otenza. Ricordando il 1º rinciio visto nel n. 1, si deduce che l innalzamento a una otenza con esonente ari di entrambi i membri di una disequazione è ossibile solo se entrambi i membri sono ositivi; la nuova disequazione che così si ottiene è equivalente alla data, ma solo nel dominio della disequazione data. Ricordando invece il º rinciio del n. 1, si deduce che l innalzamento a una otenza con esonente disari di entrambi i membri di una disequazione, la trasforma in un altra semre equivalente a quella data. In qualche caso molto articolare si uò anche risolvere la disequazione irrazionale senza elevarne a una stessa otenza i suoi membri. 1 Risolvere la disequazione irrazionale ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x < 4: Il radicale al rimo membro esiste se è x 0 cioè x. Il dominio della disequazione è dunque l intervallo D ¼½ ; þ1þ: Per x il rimo membro è ositivo o nullo; il secondo membro, uguale a 4, è senz altro ositivo e erciò, er tali valori di x, ossiamo elevare entrambi i membri della disequazione al quadrato ( ( ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x 0 x < 4!! x! x < 19: x < 4 x < 19 Risolvere la disequazione Il radicale esiste er ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x x > : x x 0! x 0 _ x! D ¼ ð 1 ; 0Š[½ ; þ1þ: Per tali valori di x il 1 membro della disequazione è ositivo o nullo ed è quindi senz altro maggiore del secondo membro che è il numero negativo. Si conclude che la disequazione roosta è soddisfatta nel suo dominio, cioè er x 0 _ x : 19

30 Si noti che, in questo caso, non sarebbe ossibile elevare al quadrato entrambi i membri della disequazione: infatti nel dominio della disequazione i due nembri non sono entrambi ositivi e quindi, se li elevassimo entrambi al quadrato, non si otterrebbe una disequazione equivalente alla data e, ertanto, si erverrebbe a un risultato errato. Risolvere la disequazione ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x þ 5 < 0: La disequazione è imossibile erché un radicale quadratico, se reale, è ositivo o nullo e quindi non uò mai essere negativo. 4 Risolvere la disequazione rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 6 x > 0: x þ 1 Il suo dominio si ottiene onendo x 0, ma, oiché è richiesto che il radicale sia ositivo, dovrà essere x > 0! x < 1 _ x >. x þ 1 x þ 1 5 Risolvere la disequazione ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x þ > 1: Il suo dominio è R; oiché l indice della radice è disari, elevando entrambi i membri al cubo, si ha la disequazione equivalente x þ > 1! x > 4: 0 6 Risolvere la disequazione ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x > ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4x 1: ð1þ Il dominio della (1) è l insieme dei valori di x er i quali sono contemoraneamente soddisfatte le condizioni di esistenza dei due radicali, ertanto, er tali valori, il 1 eil membro della disequazione sono ositivi o nulli e quindi è lecito elevare al quadrato entrambi i membri; si deve quindi risolvere il seguente sistema x x 0 >< >< 4x 1 0! x 1! 1 >: 4 4 x < 7 : x > 4x 1 >: x < 7 7 Risolvere la disequazione Dovrà essere rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x 1 >. () x þ >< >: x 1 x þ 0 x 1 x þ > : Si uò osservare che, er i valori di x er cui è soddisfatta la seconda disequazione, è soddisfatta, a maggior ragione, anche la rima e quindi basterà che risulti x 1 x þ > 4! x 1 4ðx þ Þ x þ > 0! x 9 x þ > 0! x þ x þ < 0: Quest ultima disequazione, che è frazionaria, è verificata er < x < e quindi la () è anch essa verificata er < x <.

31 Disequazioni del tio ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi n fðxþ _ gðxþ 16 Consideriamo er ora solo quelle disequazioni nelle quali comare un solo radicale. Per risolverle si comincerà con l isolare il radicale facendo in modo che esso sia receduto dal segno þ. Le due ossibili disequazioni che ossono resentarsi saranno dunque della forma qffiffiffiffiffiffiffiffi n f ðxþ _ gðxþ: (1) Prendiamo darima in considerazione il caso in cui l indice n del radicale resente nella disequazione sia un numero disari. Per quanto già osservato nel aragrafo recedente, er risolvere la (1) basta in tal caso elevare entrambi i membri della disequazione alla otenza n-esima e risolvere le disequazioni equivalenti f ðxþ _ ½gðxÞŠ n (*). Si ha quindi, er n disari, ffiffiffiffiffiffiffiffi n f ðxþ < gðxþ!f ðxþ < ½gðxÞŠ n ffiffiffiffiffiffiffiffi n f ðxþ > gðxþ!f ðxþ > ½gðxÞŠ n n disari 1 Risolvere la disequazione ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x < x : Elevando entrambi i membri al cubo, si ha la disequazione equivalente x < x 6x þ 1x! 6x 1x < 0! 0 < x < : ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 5 Risolvere la disequazione x 5 þ x x 6 > x. L indice del radicale è disari: elevando entrambi i membri alla quinta otenza si ottiene la disequazione equivalente x 5 x 6 > x 5! x x 6 > 0! x < _ x > : 17 Esaminiamo ora il caso in cui l indice n del radicale resente nella disequazione sia un numero ari. Incominciamo a considerare le disequazioni del tio qffiffiffiffiffiffiffiffi n f ðxþ < gðxþ: ð1þ Occorrerà innanzitutto orre la condizione di esistenza del radicale f ðxþ 0: Se è soddisfatta la condizione (), il rimo membro della (1) è ositivo o nullo; si osserva allora, dalla (1), che deve necessariamente essere gðxþ > 0 ðþ ffiffiffiffiffiffiffiffi n erché gðxþ deve risultare maggiore di f ðxþ che, se esiste, è ositiva o nulla. Se sussistono la () e la (), si ha che la (1) è una diseguaglianza tra numeri ositivi e quindi ossiamo elevarne entrambi i membri alla otenza n-esima, ottenendo una disequazione dello stesso senso f ðxþ < ½gðxÞŠ n : ðþ ð4þ (*) Si noti che, er n disari, il dominio della (1) coincide con l intersezione dei domini di f ðxþ e gðxþ, di cui si terrà conto risolvendo le disequazioni f ðxþ _ ½gðxÞŠ n. 1

32 Possiamo quindi concludere che la disequazione (1) è equivalente al sistema formato dalle condizioni (), () e (4); si ha quindi qffiffiffiffiffiffiffiffi >< f ðxþ 0 n f ðxþ < gðxþ! gðxþ > 0 n ari (5) >: f ðxþ < ½gðxÞŠ n Risolvere la disequazione ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x 4x þ < 5 x: ð6þ Alicando la (5), ossiamo affermare che le soluzioni della disequazione roosta sono quelle del sistema x 4x þ 0 >< 5 x > 0 >: x 4x þ < ð5 xþ x 1 _ x >< x < 5! >: x < 11 L insieme delle soluzioni della (6) è quindi S ¼ ð 1 ; 1Š [! x 1 _ x < 11 : ; 11 : N.B. Nel caso in cui la disequazione (1) resenti il simbolo, avremo f ðxþ 0 qffiffiffiffiffiffiffiffi >< n f ðxþ gðxþ! gðxþ 0 ðn ariþ >: f ðxþ ½gðxÞŠ n : 1 Vediamo ora come si risolve una disequazione del tio qffiffiffiffiffiffiffiffi n f ðxþ > gðxþ; ð1þ semre con n ari. Anche in questo caso occorrerà orre la condizione di esistenza del radicale f ðxþ 0: ðþ A differenza del caso visto nel aragrafo recedente, nel quale il verso della disequazione era l oosto di quello qui considerato, il secondo membro della (1) uò ora essere sia ositivo sia negativo o nullo: infatti, se sussiste la condizione (), il rimo membro è ositivo o nullo e quindi la (1) uò essere verificata sia se è gðxþ > 0 sia se è gðxþ < 0 sia se è gðxþ ¼0. Nel caso in cui il secondo membro della (1) sia ositivo o nullo, si otranno elevare alla otenza n- esima entrambi i membri. Nel caso invece in cui il secondo membro della (1) sia negativo, la disequazione stessa sarà soddisfatta urché sussista la (): in tal caso infatti il rimo membro, ositivo o nullo, sarà senz altro maggiore di una quantità negativa.

33 L insieme delle soluzioni della (1) sarà quindi dato dall unione degli insiemi delle soluzioni dei seguenti due sistemi >< f ðxþ 0 ð*þ f ðxþ 0 gðxþ 0 _ >: f ðxþ > ½gðxÞŠ n gðxþ < 0: Fissiamo ora l attenzione sul rimo dei due sistemi. La condizione f ðxþ > ½gðxÞŠ n imlica che f ðxþ sia maggiore di una otenza con esonente ari, cioè che sia f ðxþ > 0: quindi la rima delle tre condizioni, cioè f ðxþ 0, è imlicitamente soddisfatta dalla condizione f ðxþ > ½gðxÞŠ n e uò essere tralasciata. Riassumendo avremo ( ( qffiffiffiffiffiffiffiffi gðxþ 0 gðxþ < 0 n f ðxþ > gðxþ! _ n ari () f ðxþ > ½gðxÞŠ n f ðxþ 0 Le soluzioni della disequazione (1) sono sia quelle del rimo sistema sia quelle del secondo sistema. In altre arole, detto S l insieme delle soluzioni della disequazione (1) e detti risettivamente S 1 e S gli insiemi delle soluzioni del rimo e del secondo sistema, si ha S ¼ S 1 [ S : Nel caso in cui risulti S 1 ¼ [, allora S ¼ [ [ S ¼ S ; se invece è S ¼ [, sarà S ¼ S 1 [ [ ¼ S 1. ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Risolvere la disequazione 4 x > x : Avremo, er la (), ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4 x > x!! x 0 < x < ( x 0 x < 0 _! 4 x > ðx Þ 4 x 0! x x < _! x x < 0 x 4 x < _! x < _ x < : x 4 La disequazione data è quindi verificata er x < _ x <. Detto S 1 ¼½ ; Þ l insieme delle soluzioni del rimo sistema e S ¼ ð 1 ; Þ l insieme delle soluzioni del secondo sistema, ossiamo dire che l insieme delle soluzioni della disequazione roosta è S ¼ S 1 [ S ¼ S [ S 1 ¼ ð 1 ; Þ[½ ; Þ ¼ ð 1 ; Þ: Si uò quindi concludere che la disequazione data è soddisfatta er x <. N.B. Nel caso in cui la disequazione (1) resenti il simbolo, avremo ( ( qffiffiffiffiffiffiffiffi gðxþ 0 gðxþ < 0 n f ðxþ gðxþ! _ f ðxþ ½gðxÞŠ n f ðxþ 0: ðn ariþ (*) Si noti che basterebbe orre f ðxþ > 0, infatti f ðxþ non uò essere uguale a zero erché, altrimenti, avendo qui suosto gðxþ 0, il rimo membro della (1) non otrebbe essere maggiore del secondo membro.

34 19 Nel caso di disequazioni irrazionali di tio diverso da quelli recedentemente esaminati, si rocederà seguendo ragionamenti simili a quelli già esosti, semre in accordo con i due rincii resentati nel aragrafo n Risolvere la disequazione ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 5 þ x ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ 5 x: ð1þ > ffiffiffi x Per la realtà di tutte le radici resentate, dovrà essere 5 þ x 0 ^ x 0 ^ 5 x 0! 0 x 5: ðþ Si ha quindi D ¼½0 ; 5Š. Per oter elevare entrambi i membri al quadrato dobbiamo verificare che essi siano, se reali, entrambi ositivi o nulli. Nella (1) tale condizione è evidentemente verificata essendo i radicali quadratici, nel loro dominio, ositivi o nulli. Elevando quindi al quadrato i due membri e riducendo, si ottiene la nuova disequazione irrazionale x > ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi xð5 xþ, che è del tio già considerato nel aragrafo n. 17 e che risulta verificata er 4 < x 5: ðþ Ponendo a sistema le due condizioni () e (), cioè tenendo conto del dominio della (1), si conclude che la disequazione data è soddisfatta er 4 < x 5. ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Risolvere x þ 1 > 9 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x þ 10. (4) Condizioni di realtà: x þ 1 0 ^ x þ 10 0! x 1.Èquindi D ¼ 1. ; þ1 Cerchiamo di riscrivere la (4) in modo che si ossa facilmente dedurre la ositività di entrambi i membri nel dominio; si ha ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x þ 1 þ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x þ 10 > 9: Eleviamo al quadrato e riduciamo ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ðx þ 1Þðx þ 10Þ > 5 x: Siamo ora in resenza di una disequazione irrazionale del tio già considerato nel aragrafo n. 1. Risolvendola, si ottiene x > 5. Tale risultato è comatibile con il dominio della (4) rima trovato e concludiamo così che la (4) è verificata er x > 5: Risolvere la disequazione ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x 1 < ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x þ 1: ð5þ Il rimo membro, reale er x R, uò essere sia ositivo sia nullo sia negativo; il secondo membro è reale e ositivo x R: il dominio della (5) è quindi R. Se è x 1 0! x 1, la disequazione è verificata. Infatti, er x 1, il rimo membro è negativo o nullo e quindi sicuramente minore del secondo che è semre ositivo. Se invece è x 1 > 0! x > 1, entrambi i membri della disequazione data sono ositivi e ertanto ossiamo elevare entrambi i membri alla sesta otenza conservando il senso della disuguaglianza ðx 1Þ < ðx þ 1Þ : 4 Risolvendo, si ha x 4 þ x þ x > 0! x ðx þ x þ Þ > 0: (6) Il rimo fattore, er x 6¼ 0, è ositivo e il secondo, avendo il discriminante negativo, è ositivo x R. La (6), che consideravamo er x > 1, è quindi semre verificata e così, riunendo i risultati, la (5) è soddisfatta er x 1 _ x > 1, cioè x R. L insieme delle soluzioni della (5) è quindi R e coincide con il suo dominio.

35 4 Risolvere la disequazione x þ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 6x 5 x ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi < 0: ð7þ 6x 5 Per la realtà della radice dovrà essere 6x 5 0! x 5 e er l esistenza della frazione ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 6 dovrà essere 6x 5 6¼ x! x 6¼ 1 ^ x 6¼ 5. Il dominio della (7) è quindi 5 D ¼ 6 ; 1 [ð1 ; 5Þ[ð5 ; þ1þ: Esaminiamo ora il segno dei termini della frazione al 1 o membro della (7). N ¼ x þ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 6x 5 > 0! ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 6x 5 > x! 5 6 x < 9: D ¼ x ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 6x 5 > 0! ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 6x 5 < x! 5 6 x < 1 _ x > 5: Esaminiamo ora lo schema riassuntivo (fig. 11) dove si sono considerati solo i valori di x aartenenti al dominio della disequazione data. Concludiamo così che, dovendo N e D essere discordi, la disequazione data è soddisfatta er 1 < x < 5 _ x > 9: Figura 11 5

36 Disequazioni di rimo grado Disequazioni numeriche intere 1 x þ < 5 x; > 5 þ ð xþ. ½x > 1; x > Š ðx 1Þ < 1 x; 1 > ðx 1Þ. x < 4 5 ; x < ðx 7Þ > ð4 xþ; 4x < x ð þ xþ. x > 6 5 ; x > 7 4 x þ ð1 þ 5xÞ > 10; ðx þ Þ < ð1 xþ. x > 6 7 ; x < 1 5 ðx þ 1Þ ðx 1Þ ; x ð xþ 0. x 1; x 1 caitolo 6 ðx þ 1Þ þ > ½6 ð1 xþšx; ðx þ 5Þðx þ Þ < ðx þ 9Þðx þ 1Þ. ½x < 1; x > Š 7 ð þ xþ þ x ð1 5xÞ; ð10 x þ 1Þ > 4ð4 x þ 1Þ þð6 x þ 1Þ. x 1; x < 1 6 x 1 > x 4 x þ 1; > x x > 4; x > ðx þ Þ > 1 4 ðx 1Þ 1 ; 1 ½x ð1þxþš > x 1 61 ð1 xþ. x < 7 ; x < x 1 1 x 1 1 ðx 4Þ. ½x Š x x 4 ðx 1Þ < 1 x x x < ðx þ Þðx Þ x þ 1 ðx 1Þ. x ð xþ 1 7 x 1 þ x > 0. x < ½ðx Þ xðx ÞŠ ð1 5xÞ. ½imossibileŠ 1 15 x 1 þ 5 ð1 xþ > x. x < x 14 1 x 11 4 x. x 60

37 1 þ 7x 17 x 5 10 x > 4 þ 5 ð1 xþ. 1 x ; x > x. x > x < 17 1 ; x < 0 x x þ < 4 ðx 1Þ x þ 4 19 ðx þ 1Þ x 1 1 6x >. ½x > 1Š 0 4ðx 7Þðx þ 7Þ < ðx 5Þ x 61; ðx 1Þ x 1 > 0. x < ; x > 1 ðx þ 1Þ 1 x 1 x þ 1 > 1 x. x > ðx þ 1Þ ðxþ1þ > ðx þ Þ 4ðx þ Þ. x > 5 ðx þ 1Þ 4x ðx þ 1Þ < ðx 1Þ. x < 1 14 x 4 þ xð1 15xÞ xð xþ <. x < ð1 xþð1 þ xþ 1 x 5 > x 1 6 ðx Þ. x < 6 ðx þ Þ < ðx þ Þ þ 10x þ 1 1. x > 4 9 x ðx 1Þ ðx 1Þ 7 1 þ 1 < x xðx 1Þ 1 1. ½x < 0Š ffiffi ffiffi ffiffi ðx 1Þ < x; xð1 Þ > x. x > ð1 þ ffiffi ffiffi þ 6 Þ; x < xð1 ffiffi x þ 1 x þ Þ < ffiffi ; ffiffi > x ffiffi. x > 1 þ 1 þ ; x < ffiffi vero o falso? 0 ð1 ffiffi ffiffi Þx >! x < ð1 þ Þ. 1 x < 1 þ ffiffi ffiffiffi x! x < 1 þ. x 1 > ffiffi ffiffi 5 x! x > ð þ 5 Þ. V V V F F F L insieme A ¼fx N jx 1 < 5 xg è uguale all insieme B ¼f0 ; 1g. V F 4 L insieme A ¼fx N jð xþþ1 > 0g è un sottoinsieme di B ¼fx N 0 j4ðx 1Þ > 1g. V F 7

38 5 I valori x N 0, che rendono vero il redicato ðxþ: x 1 x 1 þ ð1 xþ > sono 0 e 1: 6 Dati gli insiemi A ¼fxRjðx Þðx þ Þþx xðx 1Þg e B ¼fx Rjx þðx 1Þðx þ 1Þ > 1 þðxþ1þ g,èa [ B ¼ R. ffiffi x 1 x 7 La disequazione < 5 è verificata er x < 6 5 ffiffi. ffiffi ffiffi ffiffi ffiffi La disequazione ðx 1Þ 5 ðx 5 Þ < è verificata er x > ffiffiffi ffiffi 5 þ. V V V V F F F F Disequazioni letterali intere comletare... 1 caitolo 9 La disequazione kx < èverificata er x < k quando è k::::::; èverificata er x > k quando.... Se è k ¼ 0, la disequazione kx < èverificata Risolvendo la disequazione ðk 1Þx > 5, si ottiene er k > :::! x > 5 k 1 ; er k ¼ 1! :::::::::::; er k:::1! x < 5 ::::::::: : 41 Risolvendo la disequazione ðk Þx þ 6 0 si ottiene er k > :::! x 6 k ; er k ¼! :::::::::: ; er k:::! x 6 ::::::::::. x 4 0èverificata er qualsiasi valore reale di x solo se è a::::. a x 4 0èverificata x R solo se è a::::. a 44 1 þ ax < 1 þ ax, con a > 0; 1 þ ax < þ ax, con a < 0. 4 x a 4ax 1 45 þ a < ax x a 46 b x < 1; ða > 0; b > 0Þ. b a x < 1 a ; x > a ½x < aš x < a þ b þ ab a þ b x 47 a þ x ða þ bþ; ða < 0; b < 0Þ. ½x abš b a x 4 b a x 49 b b x a b x a con a > b > 0. ½x a þ bš con 0 < a < b. ½x a þ bš

39 a x 50 b x con a < b < 0. ½x a þ bš b a 51 ðx þ ffiffi a Þ þ b < ðx þ ffiffi b Þ ffiffi ffiffi þ xð a þ b Þ; con a > 0, b > 0. x > a 4 ffiffi b 5 xða þ Þ 4þa > 0; con a > 0. ½x > aš 5 xða þ Þ ða þ Þð aþ > 0. ½a > : x > a; a ¼ : nessun valore di x; a < : x < aš 54 aðx aþ < ðx Þ. ½a > : x < a þ ; a ¼ : nessun valore di x; a < : x > a þ Š ax a 1 x þ 1 x x 1 > a 1 57 þ kx k þ 1 x þ 1. 5 x 1 x 1 a þ 1 a þ. < x þ 1 ða 1Þ ða 1Þ ; a 6¼ 1. a > 1: x < ; a < 1: x > a. a 6¼ 1 ; a > 1 : x > 4 a; a < 1 : x < 4 a k ¼ 1: diseq. riva di senso; k < 1: x 5 k ; k > 1 : x 5 k a ¼ 1: diseq. riva di senso; a > 1: x 1 þ 4 a; a < 1: x 1 þ 4 a 59 ða 1Þðx 1Þ ðx Þða þ 1Þ > ax. a > : x < a þ a þ ; a < : x > a þ a þ ; a ¼ : x R 60 ðx þ aþðx bþ < ðx aþðx þ bþ. ½a > b: x < 0; a < b: x > 0; a ¼ b: nessun valore di xš 61 6 x a 1 > x x a a 6 a. ax 1 x > 0. a a a ¼ 0: disequazione riva di senso; a < 0: x < 11a 7 a ; 0 < a < 7: x > 11a 11a ; a ¼ 7: nessun valore di x; a > 7: x < 7 a 7 a deve essere a 6¼ 0; a < 0: x > 1 1 4a ; 0 < a < 1 4 : x < 1 1 4a ; a ¼ 1 4 : x R; a > 1 4 : x > 1 1 4a x 6 a þ a b > b a x ; con a > 0; b < 0: b ½a > b: x < b a; 0 < a < b: x > b a; a ¼ b: nessuna soluzioneš 64 1 ax 1 a þ x þ < 1. 4 a > 1: x < þ a ; deve essere a 6¼ 1; 9a 1 1 þ a < a < 1: x > 9 9a 1 ; a ¼ 1 9 : nessuna soluzione; a < 1 9 : x < þ a 9a 1 9

40 Esercizi vari 65 Determinare i valori del arametro reale a er i quali è ositiva la soluzione dell equazione 1 x þ a ¼ x a þ. 66 Determinare i valori di k er i quali è minore di la soluzione dell equazione 1 þ 11k x x þ ½a < Š ¼ 7k 5 þ x. ½k < 1Š 67 Determinare i valori di k er i quali è minore di 1 la soluzione dell equazione x þ k 5 ¼ k þ x. k < 1 6 vero o falso? xðx a þ 1Þþ1 6 La soluzione dell equazione ¼ að xþþx, con a R, è minore di er a < 5 6. V F 1 caitolo 69 L insieme delle soluzioni della disequazione axð aþ aðx aþþ1, con a R, èl intervallo S ¼ 1; a 1 a. 70 La soluzione dell equazione x þ 5 k ¼ x kð þ xþþ è maggiore 1 x di er k < 1 6. quesiti a risosta multila 71 L equazione 5k ¼ 5 þ x quando il arametro è 1 x þ 5k þ x þ ammette er soluzione un numero minore di a) k < 0; b) k < 1; c) k > 1; d) k < 7. V V F F 7 L equazione x x þ k 1 ¼ 0 ha radici reali er a) k > ; b) k < 5 4 ; c) k 5 ; d) k La disequazione x 1 þ x > x, con k > 0, è verificata er k k a) x < 1 6k ; b) x < 1 1 ; c) x > 6k 6k ; d) x > 1 6k.

41 74 Le soluzioni della disequazione ðk 4Þx k 16 sono a) er k < 4! x k þ 4; b) er k ¼ 4! x R; c) er k 4! x k þ 4; d) er k > 4! x k þ 4; e) er k < 4! x k þ 4; f) er k 4! x k þ 4: Determinare i valori del arametro k er i quali le seguenti equazioni hanno radici reali: 75 x x þ k 5 ¼ 0; x 9 þ k ¼ 0. k 9 ; k x k þ 1 ¼ 0; x þ ð1 kþx þ k ¼ 0. k 1; k 1 77 kx ðk 1Þx þ k ¼ 0. ½k 1Š 7 Determinare i valori di x che rendono vero il redicato ðxþ : aðx þ 1Þþa < ax þ 1. a > 0: x > Disequazioni di secondo grado a 1 ; a < 0: x < a a 1 ; a ¼ 0: x R a Disequazioni numeriche intere 1 4x > 0; 5x 0. ½x 6¼ 0; x ¼ 0Š x þ 4 > 0; x < 0. ½ x R; x 6¼ 0Š x x > 0; 5x 4x > 0. 0 < x < 1 ; x < 0 _ x > x þ < 0; x x > 0. ½nessun valore di x; x < 0 _ x > 1Š 5 x > 0; x 4 > 0; 4x x > 0. ½nessun valore di x; x < _ x > ; 0 < x < 4Š 6 x þ 5 > 0; x x > 0. ½ x R; x < 1 _ x > Š 7 x x 0; x x þ 1 > 0. ½0 x ; x 6¼ 1Š 4x 4x þ 1 0; x 5x þ 7 > 0. ½ x R; x RŠ 9 x þ 5x þ 6 0; x 9 > 0. ½ x ; x < _ x > Š 10 x x þ 1 0; x 5x þ 6 > 0. ½x _ x 6; x < _ x > Š 11 x þ 9x < 0; 4x þ 1 > 0. ½x < 0 _ x > ; x RŠ 1 x 10x þ < 0; 15 x x > 0. nessun valore di x; < x < 5 1 x þ 6x þ 5 < 0; x þ 4x > 0. ½ 5 < x < 1; 1 < x < Š 1

42 14 x þ x 1 > 0; x þ x þ 1 > 0. x < 1 _ x > 1 ; x 6¼ 1 15 x þ x þ 1 0; x x þ 4 > 0. ½ x R; x RŠ 16 x þ x 5 > 0; 9x þ 1x 4 0. nessun valore di x; x ¼ 17 x 4x þ 4 > 0; x þ 4x þ 4 0. ½x 6¼ ; x ¼ Š 1 4x 4x þ 1 < 0; x þ x þ > 0. [nessun valore di x; x RŠ 19 x þ x 0; x þ 5x 0. x _ x 1 ; x 1 1 caitolo 0 x 4x þ 7 0; x þ x > 7x 10. [nessun valore di x; x RŠ rffiffi rffiffi 1 x þ 16x 0 < 0; 5x 0. 0 < x < 4; x 5 5 4xðx Þ 11 þðx 4Þ. ½ x Š xðx þ 5Þ > x ; x > 5x þ 1. 0 < x < 5; x < _ x > 4 4 4x 1 4 < 0; 6x 0x þ 6 > 1 x. 1 4 < x < 1 4 ; x < 1 _ x > 5 5 5ð4x 1Þþðx 5Þ 0; 5x > x x 90 _ x 0; x 6¼ 4 5 x 9ðx þ 4Þ ðx 1Þ 6 ðx þ 4Þþ5 > ; 6 4 x 1 7 þ 1 ðx Þðx Þ x ðþx Þ < ; < 7 x. x < 1 _ x > ðx 1Þðx Þ ðx 1Þ½ðx 1ÞþxŠ < 0. x < _ x > < x þ 5. ½x < 6 _ x > 17; x RŠ 5 ; x R ffiffi ffiffi 9 ðx þ 5Þ ðx 1Þðx þ 1Þ > 1ðx þ Þ. ½ < x < 0Š 1 x ð xþð þ xþ 0 x þ 1 þ x. ½0 x 6Š 15 5 þ x 1 > þ 1 þ x x 4. ½x < _ x > Š x ðx ffiffiffi ffiffi ffiffi ffiffi 1 þ ffiffi 5 5 Þðx þ 5 Þþ 5 < 0. x < 5 _ x > xðx þ 1Þþ ffiffi ffiffi ffiffi 5 ð1 xþ < ð 5 1Þ. ½ 1 < x < 5 Š ffiffi 4 xð x þ 1Þþx þ ffiffiffi ffiffi ffiffi ffiffi ffiffi ðx 1Þ > þ xðx þ Þ. x < _ x >