Nuovi lineamenti di matematica

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1 N. Dodero P. Baroncini R. Manfredi Nuovi lineamenti di matematica Per il triennio degli Istituti Tecnici Industriali

2 Nella Dodero Paolo Baroncini Roberto Manfredi Nuovi lineamenti di matematica con la collaborazione di Estrella Colombo Per il triennio degli Istituti Tecnici Industriali

3 internet: Proprietà letteraria riservata Copyright 008 by SEDES spa Milano Ghisetti & Corvi Editori 1ª edizione: febbraio 008 Printed in Italy Microsoft Excel è un marchio depositato di Microsoft Corporation. Derive for Windows è un marchio depositato di Texas Instruments. Turbo Pascal è un marchio depositato di Borland Software Corporation. L Editore dichiara la propria disponibilità a regolarizzare eventuali omissioni o errori di attribuzione. Nel rispetto del DL 74/9 sulla trasparenza nella pubblicità, le immagini escludono ogni e qualsiasi possibile intenzione o effetto promozionale verso i lettori. Tutti i diritti riservati. Nessuna parte del materiale protetto da questo copyright potrà essere riprodotta in alcuna forma senza l autorizzazione scritta dell Editore. Le fotocopie per uso personale del lettore possono essere effettuate nei limiti del 15% di ciascun volume/fascicolo di periodico dietro pagamento alla SIAE del compenso previsto dall art. 68, commi 4 e 5, della legge aprile 1941 n. 6. Le riproduzioni per finalità di carattere professionale, economico o commerciale o comunque per uso diverso da quello personale possono essere effettuate a seguito di specifica autorizzazione rilasciata da AIDRO, Corso di Porta Romana 108, Milano 01, [email protected] e sito web: Eventuali segnalazioni di errori o refusi e richieste di chiarimenti sulle scelte operate dagli Autori e dalla Casa Editrice possono essere inviate all indirizzo di posta elettronica della redazione. Stampa: A.G.S. All Graph System Novara Edizione: II III IV V VI VII Anno:

4 Indice Presentazione a Studenti e Insegnanti 9 Simboli usati nel testo 10 DISEQUAZIONI ALGEBRICHE E FUNZIONI UNITÀ 1 Richiami sulle disequazioni algebriche 1 Disequazioni algebriche, 14. Introduzione, 14. Terminologia e principi di equivalenza, 14. Disequazioni di primo e secondo grado, 15. Disequazioni di primo grado, 15. Disequazioni di secondo grado, 17. Schema riassuntivo per le disequazioni di secondo grado, 18. Disequazioni frazionarie e sistemi, 0. Disequazioni frazionarie e di grado superiore al secondo, 0. Sistemi di disequazioni,. Esercizi, 5. Scheda di autovalutazione, 6. UNITÀ Disequazioni algebriche contenenti valori assoluti 65 Terminologia, 66. Introduzione, 66. Moduli o valori assoluti, 66. Disequazioni del tipo jf ðxþj : k (k > 0), 68. Introduzione, 68. Risoluzione della disequazione jf ðxþj < k, con k > 0, 68. Risoluzione della disequazione j f ðxþj > k, con k > 0, 69. Esercizi, 71. Scheda di autovalutazione, 80. UNITÀ Disequazioni irrazionali 81 Richiami e definizioni, 8. Introduzione, 8. Disuguaglianze, 8. Disequazioni pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiirraziona- li, 8. Risoluzione di disequazioni pffiffiffiffiffiffiffiffi irrazionali, 8. Disequazioni del tipo fp ðxþ ffiffiffiffiffiffiffiffi : gðxþ, n n n 85. Disequazioni del tipo f ðxþ : gðxþ pffiffiffiffiffiffiffiffi con n dispari, 85. Disequazioni del tipo f ðxþ < gðxþ n con n pari, 85. Disequazioni del tipo f ðxþ > gðxþ con n pari, 86. Altri tipi di disequazioni irrazionali, 87. Esercizi, 89. Scheda di autovalutazione, 99. UNITÀ 4 Funzioni: definizioni e terminologia 101 Definizioni generali, 10. Introduzione, 10. Prime definizioni, 10. Funzioni numeriche e funzioni matematiche, 10. Osservazioni sull espressione analitica di una funzione, 104. Rappresentazione cartesiana di una funzione, 105. Grafico di una funzione, 105. Funzioni uguali, 105. Grafico di y ¼jf ðxþj, 107. Principali caratteristiche delle funzioni, 107. Funzioni pari e funzioni dispari, 107. Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche, 108. Funzioni biunivoche, 109. Funzioni inverse, 110. Funzioni composte, 111. Funzioni periodiche, 11. Funzioni crescenti e decrescenti in un intervallo, 11. Funzioni monotòne, 114. Esercizi, 116. Scheda di autovalutazione, 17. Indice UNITÀ 5 Funzioni matematiche 19 Le funzioni matematiche, 10. Introduzione, 10. Classificazione delle funzioni matematiche, 10. Ricerca degli zeri di una funzione, 11. Definizione di zero di una funzione, 11. Risoluzione grafica di un equazione, 11. Il metodo di bisezione: un esempio, 1. Il metodo di bisezione: caso generale, 1. Il metodo del punto unito, 14. Esercitazioni di laboratorio, 16. Esercizi, 141. Scheda di autovalutazione, 149. GEOMETRIA ANALITICA UNITÀ 6 Introduzione alla geometria analitica 15 Coordinate cartesiane nel piano e nello spazio, 154. Introduzione, 154. Il piano cartesiano, 154. Distanza tra due punti, 154. Coordinate del punto medio di un segmento nel piano cartesiano, 156. Coordinate del baricento di un triangolo, 156. Coordinate cartesiane nello

5 4 spazio, 157. Distanza di due punti nello spazio cartesiano, 158. Equazione di un luogo geometrico in un piano, 158. Concetto di luogo geometrico, 158. Forma implicita e forma esplicita dell equazione di una curva, 160. Intersezioni tra curve, 161. Traslazione del sistema di riferimento, 16. Trasformazioni geometriche nel piano cartesiano, 16. Introduzione, 16. Trasformazioni isometriche, 164. Funzioni pari e funzioni dispari, 165. Trasformazioni non isometriche, 166. Esercizi, 168. Scheda di autovalutazione, 187. UNITÀ 7 La retta nel piano cartesiano 189 Rette in posizioni particolari, 190. Introduzione, 190. La retta: rappresentazione grafica di un equazione lineare in due variabili, 190. Assi cartesiani e rette parallele a essi, 190. Retta passante per l origine, 191. Coefficiente angolare, 19. Bisettrici dei quadranti, 19. Retta in posizione generica, 195. Equazione della retta in forma esplicita, 195. Rette parallele, 197. Rette perpendicolari, 197. Equazione generale della retta, 00. Equazione della retta in forma implicita, 00. Posizione reciproca di due rette, 0. Fascio improprio e fascio proprio di rette, 0. Fascio improprio di rette, 0. Fascio proprio di rette, 04. Equazioni della retta passante per uno o per due punti, 05. Equazione della retta passante per un punto e con un assegnato coefficiente angolare, 05. Coefficiente angolare della retta passante per due punti, 05. Asse di un segmento, 06. Equazione della retta passante per due punti, 07. Equazione segmentaria della retta, 08. Distanza dell origine da una retta, 09. Distanza di un punto da una retta, 10. Bisettrice di un angolo, 11. Equazioni parametriche di una curva, 1. Fascio di rette generato da due rette, 1. Esercitazioni di laboratorio, 14. Esercizi, 19. Scheda di autovalutazione, 5. UNITÀ 8 La circonferenza nel piano cartesiano 5 Equazione della circonferenza, 54. Introduzione, 54. Equazione della circonferenza di centro e raggio assegnati, 54. Circonferenze in posizioni particolari, 57. Posizione reciproca tra retta e circonferenza, 58. Circonferenza per tre punti, 60. Posizione reciproca tra due circonferenze, 61. Tangenti a una conica, 6. Punto di tangenza tra retta e conica, 6. Tangenti a una conica da un punto esterno, 6. Tangenti a una circonferenza da un punto esterno (metodo particolare), 64. Tangente a una conica in un suo punto, 65. Applicazioni a grafici, equazioni e disequazioni, 66. Curve di equazioni riconducibili all equazione della circonferenza, 66. Risoluzione grafica di equazioni irrazionali, 67. Risoluzione grafica di disequazioni irrazionali, 67. Esercitazioni di laboratorio, 68. Esercizi, 70. Scheda di autovalutazione, 86. Indice UNITÀ 9 La parabola nel piano cartesiano 87 La parabola come luogo geometrico, 88. Introduzione, 88. Parabola di equazione y ¼ ax, 88. Parabola con asse parallelo all asse y, 89. Parabole di equazione y ¼ ax þ bx þ c in posizioni particolari, 9. Parabola con asse di simmetria parallelo all asse x, 9. Problemi relativi alla parabola, 94. Posizione reciproca tra retta e parabola, 94. Parabola per tre punti, 96. Condizioni per determinare l equazione di una parabola, 96. Un esempio di problema, 98. Costruzione della parabola per punti, 98. Applicazioni a grafici, equazioni e disequazioni, 99. Studio di particolari curve, 99. Risoluzione grafica di equazioni irrazionali, 00. Risoluzione grafica di disequazioni irrazionali, 01. Esercitazioni di laboratorio, 01. Esercizi, 04. Scheda di autovalutazione,. UNITÀ 10 L ellisse nel piano cartesiano 5 L ellisse, 6. Introduzione, 6. Definizione di ellisse, 6. Ellisse riferita al centro e ai suoi assi di simmetria, 6. Equazione canonica dell ellisse con i fuochi appartenenti all asse x, 6. Proprietà dell ellisse: simmetrie, vertici e assi, 8. Ellisse: conica limitata, 9. Equazione canonica dell ellisse con i fuochi appartenenti all asse y, 0. Esercizi sull ellisse in forma canonica, 1. Eccentricità,. Ellisse riferita a rette parallele ai suoi assi, 4. Equazione dell ellisse in un sistema di riferimento traslato, 4. Condizioni affinché un equazione di o grado in due incognite rappresenti un ellisse, 5. Costruzione dell ellisse per punti, 8. Applicazioni a grafici, equazioni e disequazioni, 9. Esercizi, 40. Scheda di autovalutazione, 57.

6 5 UNITÀ 11 L iperbole nel piano cartesiano 59 L iperbole come luogo geometrico, 60. Introduzione, 60. Definizione di iperbole, 60. Iperbole riferita al centro e agli assi, 61. Iperbole con i fuochi appartenenti all asse x, 61. Il grafico dell iperbole, 6. Iperbole con i fuochi appartenenti all asse y, 6. Esercizi vari sull iperbole, 64. Eccentricità, 65. Iperbole equilatera, 66. Iperbole equilatera riferita al centro e agli assi, 66. Iperbole equilatera riferita ai propri asintoti, 67. La funzione della proporzionalità inversa, 69. Funzione omografica, 69. Iperbole riferita a rette parallele ai suoi assi, 70. Equazione dell iperbole in un sistema di riferimento traslato, 70. Condizione affinché un equazione di o grado in due incognite rappresenti un iperbole, 7. Costruzione dell iperbole per punti, 7. Applicazioni a grafici, equazioni e disequazioni, 74. Un po di storia. La scoperta delle coniche, 75. La nascita della geometria analitica, 76. Le coniche nella realtà, 77. Esercizi, 79. Scheda di autovalutazione, 40. Esercizi di ricapitolazione di geometria analitica 40 FUNZIONI ESPONENZIALI E LOGARITMICHE UNITÀ 1 Numeri reali. Potenze a esponente reale 415 Numeri reali, 416. Introduzione, 416. Approssimazioni di numeri irrazionali, 416. Classi contigue di numeri razionali, 416. Numeri reali, 418. Classi contigue di numeri reali, 418. Osservazione, 419. Osservazione, 419. Potenze a esponente reale, 419. Potenze a esponente razionale, 419. Potenze a esponente irrazionale, 40. Definizione di potenza a esponente reale, 41. Proprietà delle potenze a esponente reale, 4. Definizione della funzione esponenziale, 4. Proprietà della funzione esponenziale, 4. Codominio della funzione esponenziale, 4. Esercizi, 44. Scheda di autovalutazione, 40. UNITÀ 1 Funzioni esponenziali 41 Grafico della funzione esponenziale, 4. Introduzione, 4. Grafico di y ¼ a x, 4. Applicazioni alla teoria delle funzioni, 44. Equazioni esponenziali, 46. Forma canonica delle equazioni esponenziali, 46. Risoluzione grafica di una equazione esponenziale, 47. Disequazioni esponenziali, 48. Forma canonica delle disequazioni esponenziali, 48. Risoluzione grafica di una disequazione esponenziale, 440. Esercitazioni di laboratorio, 44. Esercizi, 44. Scheda di autovalutazione, 467. UNITÀ 14 Logaritmi 469 I logaritmi e la funzione logaritmica, 470. Introduzione, 470. Definizione di logaritmo, 470. Calcolo dei logaritmi, 47. Relazione tra base, argomento e logaritmo, 47. Logaritmi decimali e logaritmi naturali, 47. Logaritmo di un prodotto, 474. Logaritmo di un quoziente, 475. Logaritmo di una potenza, 475. Logaritmo di un radicale, 476. Espressioni con i logaritmi, 477. Cambiamento di base, 478. Definizione della funzione logaritmica, 479. Proprietà della funzione logaritmica, 480. Applicazioni, 48. Applicazione dei logaritmi alla risoluzione di equazioni e disequazioni esponenziali, 484. Equazioni esponenziali risolubili con i logaritmi, 484. Disequazioni esponenziali risolubili con i logaritmi, 486. Equazioni e disequazioni logaritmiche, 487. Risoluzione delle equazioni logaritmiche in forma canonica, 487. Risoluzione delle disequazioni logaritmiche ridotte in forma canonica, 490. Un po di storia. I logaritmi, 49. Esercitazioni di laboratorio, 495. Esercizi, 498. Scheda di autovalutazione, 550. Indice GONIOMETRIA UNITÀ 15 Funzioni goniometriche: definizioni 55 Introduzione, 554. Misura degli angoli, 554. Premessa, 554. Misura degli angoli in gradi, 554. Misura degli angoli in radianti, 555. Da gradi a radianti e viceversa, 556. Circonferenza goniometrica, 557. Le funzioni goniometriche, 559. Seno e coseno di un angolo, 559.

7 6 Variazioni e periodicità del seno e del coseno, 560. Prima relazione goniometrica fondamentale, 56. Tangente di un angolo, 56. Variazione della tangente, 56. La cotangente di un angolo, 565. Altre funzioni goniometriche, 566. Esercizi, 567. Scheda di autovalutazione, 580. UNITÀ 16 Funzioni goniometriche: proprietà 581 Introduzione, 58. Funzioni goniometriche di angoli particolari, 58. Angolo di 45 o, 58. Angolo di 0 o, 58. Angolo di 60 o, 58. Tabelle riepilogative, 584. Applicazioni delle relazioni tra le funzioni goniometriche di uno stesso angolo, 584. Periodo delle funzioni goniometriche, 587. Rappresentazione grafica delle funzioni goniometriche, 589. Grafici delle funzioni seno, coseno, tangente e cotangente di un angolo, 589. Funzioni goniometriche inverse, 590. Costruzione delle funzioni goniometriche inverse, 590. Rappresentazione grafica delle funzioni goniometriche inverse, 59. Trasformazioni di grafici di funzioni goniometriche, 594. Funzioni sinusoidali, 598. Angoli associati e angoli complementari, 599. Angoli associati a un dato angolo, 599. Angoli opposti, 601. Angoli complementari, 60. Riduzione al primo quadrante, 60. Esercizi, 605. Scheda di autovalutazione, 61. UNITÀ 17 Formule goniometriche 6 Formule di addizione e sottrazione, 64. Introduzione, 64. Formula di sottrazione del coseno, 64. Formula di addizione del coseno, 65. Formule di addizione e sottrazione del seno, 65. Formule di addizione e sottrazione della tangente, 66. Formule di duplicazione, parametriche e di bisezione, 68. Formule di duplicazione, 68. Formule parametriche, 69. Formule di bisezione, 641. Applicazioni, 64. Formule di prostaferesi e di Werner, 64. Formule di prostaferesi, 64. Formule di Werner, 644. Applicazioni, 645. Ancora sul periodo delle funzioni goniometriche, 646. Ancora sulle funzioni sinusoidali, 647. Esercitazioni di laboratorio, 650. Esercizi, 654. Scheda di autovalutazione, 68. Indice UNITÀ 18 Equazioni e disequazioni goniometriche 68 Equazioni goniometriche elementari, 684. Introduzione, 684. Equazioni elementari, 684. Angoli aventi un dato seno, 684. Relazione tra due angoli aventi lo stesso seno, 686. Angoli aventi un dato coseno, 686. Relazioni tra due angoli aventi lo stesso coseno, 688. Angoli aventi una data tangente, 688. Relazioni tra due angoli aventi la stessa tangente, 689. Equazioni riducibili a equazioni elementari, 690. Equazioni contenenti funzioni goniometriche diverse, ma con lo stesso argomento, 690. Equazioni contenenti funzioni goniometriche e argomenti diversi, 691. Equazioni lineari in seno e coseno, 69. Definizioni e metodi risolutivi, 69. Risoluzione mediante le formule parametriche, 696. Equazioni omogenee di secondo grado in seno e coseno, 698. Definizioni e metodi risolutivi, 698. Sistemi di equazioni goniometriche, 700. Esempi di risoluzione, 700. Disequazioni goniometriche, 701. Disequazioni goniometriche elementari, 701. Disequazioni goniometriche non elementari, 70. Esercitazioni di laboratorio, 706. Esercizi, 708. Scheda di autovalutazione, 760. TRIGONOMETRIA UNITÀ 19 Relazioni tra lati e angoli di un triangolo 76 Teoremi sui triangoli rettangoli, 764. Introduzione, 764. Oggetto della trigonometria, 764. Primo teorema sui triangoli rettangoli, 764. Secondo teorema sui triangoli rettangoli, 766. Risoluzione dei triangoli rettangoli, 766. Esercizi sui triangoli rettangoli, 768. Applicazioni dei teoremi sui triangoli rettangoli, 769. Area di un triangolo, 769. Teorema della corda in una circonferenza, 770. Teoremi sui triangoli qualsiasi, 771. Teorema del coseno o di Carnot, 771. Teorema dei seni, 77. Osservazione, 77. Risoluzione dei triangoli qualsiasi, 774. Problemi di riepilogo, 777. Un po di storia. La nascita della trigonometria e i suoi sviluppi, 780. Esercitazioni di laboratorio, 78. Esercizi, 785. Scheda di autovalutazione, 80. UNITÀ 0 Applicazioni della trigonometria 81 Coefficiente angolare di una retta, 8. Introduzione, 8. Coefficiente angolare di una retta passante per l origine, 8. Coefficiente angolare di una generica retta, 8. Condizioni di parallelismo e di perpendicolarità tra rette, 85. Angolo tra due rette, 86. Coordinate

8 7 polari, 87. Definizioni e terminologia, 87. Trasformazione delle coordinate polari in coordinate cartesiane e viceversa, 88. Equazioni di curve in coordinate polari, 89. Rotazione degli assi cartesiani, 80. Equazioni della rotazione, 80. Equazioni parametriche di una curva, 81. Equazioni parametriche della circonferenza, 81. Equazioni parametriche dell ellisse, 8. Equazioni parametriche dell iperbole, 8. Equazioni parametriche razionali delle coniche, 8. Applicazioni in topografia, geodesia e astronomia, 84. Applicazioni pratiche della trigonometria, 84. Lunghezza di un segmento verticale con un estremo accessibile, 84. Lunghezza di un segmento verticale i cui estremi sono inaccessibili, 85. Distanza tra due punti separati da un ostacolo, 85. Distanza tra due punti entrambi inaccessibili, 86. Calcolo della lunghezza del raggio della Terra, 86. Calcolo della distanza Terra-Luna, 87. Calcolo della distanza Terra-Sole, 88. Applicazioni in fisica, 88. Lavoro di una forza, 88. Moto armonico, 89. Risultante di due forze, 840. Condizioni di equilibrio di un grave su un piano inclinato, 840. Lamina trasparente a facce piane e parallele, 841. Esercizi, 84. Scheda di autovalutazione, 860. NUMERI COMPLESSI UNITÀ 1 Forma algebrica dei numeri complessi 86 Numeri immaginari, 864. Introduzione, 864. Unità immaginaria e numeri immaginari, 864. Operazioni con i numeri immaginari, 865. Numeri complessi, 866. Prime definizioni, 866. Somma e differenza di numeri complessi, 867. Prodotto e quoziente di numeri complessi, 867. Risoluzione di equazioni di secondo grado nell insieme dei numeri complessi, 869. Rappresentazione geometrica dei numeri complessi, 870. Il piano di Gauss, 870. Corrispondenza tra vettori e numeri complessi, 871. Vettore associato alla somma di due numeri complessi, 87. Modulo e argomento di un numero complesso, 87. Numeri complessi e coordinate polari, 874. Esercizi, 876. Scheda di autovalutazione, 891. UNITÀ Forma trigonometrica ed esponenziale dei numeri complessi 89 Introduzione, 894. Forma trigonometrica dei numeri complessi, 894. Dalla forma algebrica alla forma trigonometrica, 894. Prodotto di due numeri complessi in forma trigonometrica, 896. Quoziente di due numeri complessi in forma trigonometrica, 897. Potenza di un numero complesso, 897. Radici n-esime dei numeri complessi, 898. Radici n-esime dell unità, 899. Forma esponenziale dei numeri complessi, 901. La prima formula di Eulero, 901. Operazioni con i numeri complessi in forma esponenziale, 90. Formule di Eulero, 904. Funzioni sinusoidali e numeri complessi, 904. Corrispondenza tra funzioni sinusoidali e vettori, 906. Corrispondenza tra funzioni sinusoidali e numeri complessi, 907. Un po di storia, 910. Esercitazioni di laboratorio, 91. Esercizi, 914. Scheda di autovalutazione, 94. Risposte ai test 95 Risposte alle schede di autovalutazione 941 Indice

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10 9 Presentazione a Studenti e Insegnanti Questo volume della collana Nuovi lineamenti di matematica è destinato agli studenti del triennio degli istituti tecnici industriali. Ogni unità didattica si articola in due parti: nella prima è sviluppata la teoria, nella seconda parte sono proposti gli esercizi applicativi. Due o più unità sono riunite in raggruppamenti tematici Ciascuna unità è suddivisa in sezioni. Le sezioni di un unità sono riassunte in un sommario posto all inizio, dove sono riportati i prerequisiti necessari per la comprensione degli argomenti trattati e gli obiettivi cognitivi e operativi da raggiungere con lo studio dell unità stessa. Ogni sezione è poi suddivisa, di solito, in sottosezioni. La teoria è esposta in forma semplice, ma in modo organico, esauriente e con quel rigore logico che è caratteristico della materia. La teoria, come noto, per poter essere consolidata necessita di un adeguata esemplificazione; pertanto lo studente viene guidato, nella comprensione da numerosi esempi esplicativi nei quali si chiariscono i concetti esposti oppure si guida lo studente alla risoluzione di esercizi applicativi fondamentali. Prima di affrontare gli esercizi proposti alla fine di ciascuna unità, è bene che lo studente analizzi attentamente questi esempi esplicativi e li utilizzi per rendersi conto del proprio grado di preparazione. Alcune unità sono corredate da esercitazioni di laboratorio. Si tratta di esercitazioni svolte con Excel, con Derive o con il linguaggio Pascal, atte a familiarizzare con l informatica e ad approfondire la conoscenza di alcuni argomenti di matematica che ben si prestano a essere affrontati e risolti con strumenti informatici. Assai ampia è la raccolta di esercizi, opportunamente graduati e diversificati: dai più semplici, se necessario anche ripetitivi, si passa ad altri più impegnativi, adatti a stimolare l intelligenza dello studente. Gli esercizi sono organizzati secondo le sezioni della teoria e preceduti da unsintetico ma esaustuvo box intitolato Ricordiamo la teoria che riassume definizioni, concetti e regole di ciascun argomento. Oltre ai tradizionali numerosissimi esercizi, lo studente incontrerà i seguenti gruppi di esercitazioni. Esercizi svolti. Essi integrano gli esempi esplicativi presenti nella parte teorica. Quesiti a risposta multipla. In questo tipo di test viene proposto un quesito con tre o più possibili risposte precedute da un quadratino: lo studente, dopo aver risolto il quesito, dovrà barrare con una crocetta la risposta ritenuta esatta. Vero o falso. In questo tipo di test, viene proposta un affermazione che esprime, ad esempio, una definizione o una proprietà, oppure un uguaglianza algebrica, ecc., che può essere o vera o falsa (non sono previste altre possibilità). Se lo studente, dopo un breve ragionamento oppure dopo aver svolto opportuni calcoli, ritiene che l affermazione sia vera, barrerà la casella V, se invece la ritiene falsa, barrerà la casella F cabile che lo studente motivi la risposta.. È auspi- In ogni unità, alla fine degli esercizi è proposta una scheda di autovalutazione. Tale scheda, relativa ai principali argomenti, offre allo studente la possibilità di valutare sia il livello di comprensione raggiunto sia le abilità acquisite. Le risposte ai test e agli esercizi contenuti nelle schede di autovalutazione si trovano al termine del volume. Si segnala inoltre la presenza di note storiche ediapprofondimento. Auguriamo a studenti e docenti buon lavoro! Gli Autori Presentazione

11 10 Simboli usati nel testo simbolo di appartenenza N insieme dei numeri naturali, compreso lo zero N Z insieme dei numeri naturali, escluso lo zero insieme dei numeri interi relativi Q R R þ R þ 0 R R 0 C insieme dei numeri razionali insieme dei numeri reali insieme dei numeri reali positivi insieme dei numeri reali positivi e dello zero insieme dei numeri reali negativi insieme dei numeri reali negativi e dello zero insieme dei numeri complessi [ simbolo di unione tra insiemi \ simbolo di intersezione tra insiemi simbolo di differenza tra insiemi simbolo di inclusione tra insiemi in senso stretto simbolo di inclusione tra insiemi in senso largo [ insieme vuoto j A C U A «tale che» simbolo di prodotto cartesiano tra insiemi complementare dell insieme A rispetto all insieme ambiente complementare dell insieme A rispetto all insieme ambiente U 9 quantificatore esistenziale ( leggi «esiste») Simboli 8 quantificatore universale ( leggi «per ogni») _ simbolo di disgiunzione tra proposizioni o predicati ( leggi «vel», «o», «oppure») ^ simbolo di congiunzione tra proposizioni o predicati ( leggi «et», «e contemporaneamente») ffi ¼ simbolo di composizione tra funzioni simbolo di congruenza tra figure simbolo di uguaglianza // simbolo di parallelismo tra rette? simbolo di perpendicolarità tra rette ¼ : simbolo di equivalenza tra superfici ¼) simbolo di implicazione logica () simbolo di equivalenza logica simbolo di uguaglianza numerica approssimata simbolo di coincidenza tra punti o tra figure e di equiveridicità

12 DISEQUAZIONI ALGEBRICHE E FUNZIONI UNITÀ 1 RICHIAMI SULLE DISEQUAZIONI ALGEBRICHE UNITÀ DISEQUAZIONI ALGEBRICHE CONTENENTI VALORI ASSOLUTI UNITÀ DISEQUAZIONI IRRAZIONALI UNITÀ 4 FUNZIONI: DEFINIZIONI ETERMINOLOGIA UNITÀ 5 FUNZIONI MATEMATICHE

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14 UNITÀ 1 RICHIAMI SULLE DISEQUAZIONI ALGEBRICHE & Disequazioni algebriche & Disequazioni di primo e secondo grado & Disequazioni frazionarie e sistemi PREREQUISITI Questa unità costituisce un ripasso delle disequazioni di primo e secondo grado, di quelle frazionarie e dei sistemi di disequazioni. Quindi è utile aver già affrontato tali argomenti nel biennio; in ogni caso l attuale trattazione, pur essendo rapida, è abbastanza esauriente da colmare eventuali lacune. È indispensabile la conoscenza del calcolo letterale. CONOSCENZE In questa unità verranno ripresi i concetti di & intervallo; & disequazione ed equivalenza tra disequazioni; & algoritmo risolutivo delle disequazioni di secondo grado; & sistema di disequazioni. ABILITÀ Al termine di questa unità si sarà acquisita la capacità di risolvere & disequazioni di primo e secondo grado; & disequazioni frazionarie; & sistemi di disequazioni in cui sono presenti disequazioni di primo e secondo grado o disequazioni a esse riconducibili; & disequazioni contenenti parametri, anche nei casi che richiedono una discussione.

15 14 Disequazioni algebriche 1 Con questa unità ripasseremo concetti già affrontati nel biennio, come Introduzione i principi di equivalenza delle disequazioni e i metodi risolutivi delle disequazioni di primo e secondo grado, di quelle a esse riconducibili e delle disequazioni frazionarie. Rincontreremo anche i sistemi di disequazioni. Affronteremo inoltre disequazioni contenenti parametri. TEORIA DISEQUAZIONI ALGEBRICHE E FUNZIONI Chiamiamo disequazione una disuguaglianza in cui compaiono incognite. Le disequazioni che vedremo saranno in una sola incognita. Terminologia e principi di equivalenza Se in una disequazione sostituiamo un numero al posto dell incognita, la disequazione si trasforma in una disuguaglianza, che, se ha senso, può essere vera o falsa. Diciamo che un numero è soluzione di una data disequazione se, sostituendolo all incognita, la disequazione si trasforma in una disuguaglianza vera. Risolvere una disequazione significa determinarne l insieme delle soluzioni, che sarà indicato con S. Tale insieme, nei casi più comuni, è un intervallo (che in taluni casi può ridursi a un unico elemento) o un unione di intervalli. Per comodità dello studente riportiamo qui di seguito le notazioni usate per i vari tipi di intervalli, ricordando che la rappresentazione geometrica, secondo che siano limitati o illimitati, è un segmento o una semiretta dell asse reale. ½a ; bš ¼fx Rja x bg ða ; bþ ¼fx Rja < x < bg ½a ; bþ ¼fx Rja x < bg ða ; bš ¼fx Rja < x bg ½a ; þ1þ ¼ fx Rjx ag ða ; þ1þ ¼ fx Rjx > ag ð 1 ; aš ¼fx Rjx ag ð 1 ; aþ ¼fx Rjx < ag Sottolineiamo che 1 non è un numero, quindi non potrà mai appartenere a un intervallo che è un insieme di numeri. Di conseguenza scritture del tipo ½a ; þ1š, ½ 1 ; aþ, ecc. sono assolutamente inaccettabili. Se l incognita compare al denominatore di qualche frazione, la disequazione è frazionaria; in caso contrario la disequazione è intera. Chiamiamo dominio di una disequazione l insieme dei numeri reali che, sostituiti al posto dell incognita, trasformano la disequazione in una disuguaglianza dotata di senso (vera o falsa). Per esempio, la disequazione x > x ha per dominio R, mentre la disequazione > 1 ha per dominio R f0g. x Tutte le disequazioni razionali intere hanno per dominio R. Due disequazioni sono equivalenti se hanno lo stesso insieme delle soluzioni. Primo principio d equivalenza delle disequazioni. Se a entrambi i membri di una disequazione si somma o si sottrae uno stesso numero o una stessa espressione algebrica definita per ogni valore dell incognita appartenente al dominio della disequazione, si ottiene una disequazione equivalente a quella data. Secondo principio d equivalenza delle disequazioni. Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di una disequazione per uno stesso numero positivo (o per una stessa espressione algebrica sempre positiva nel dominio della disequazione), si ottiene una disequazione equivalente a quella data.

16 15 Terzo principio d equivalenza delle disequazioni. Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di una disequazione per uno stesso numero negativo (o per una stessa espressione algebrica sempre negativa nel dominio della disequazione) e cambiando il verso della disuguaglianza, si ottiene una disequazione equivalente a quella data. Disequazioni di primo e secondo grado Disequazioni di primo grado Applicando opportunamente i principi di equivalenza è possibile risolvere le disequazioni di primo grado, cioè le disequazioni che si possono ridurre a una delle seguenti forme ax > b; ax b; ax < b; ax b ð1þ essendo a e b numeri reali. La risoluzione della prima di queste può, per esempio, essere così schematizzata. 8 se a > 0! x > b b a ; cioè S ¼ a ; þ1 >< ax > b se a < 0! x < b a ; cioè S ¼ 1 ; b a se b < 0! 8x R; cioè S ¼ R >: se a ¼ 0! 0 x > b! se b 0! nessuna soluzione! S ¼ x Compilare schemi analoghi per le altre tre forme può costituire un utile esercizio. Osservazione Ricordiamo che per ridurre una disequazione di primo grado in forma canonica (cioè in una delle forme (1)) dobbiamo svolgere le eventuali operazioni indicate, liberandola anche dagli eventuali denominatori. Successivamente, trasportiamo tutti i monomi contenenti l incognita nel primo membro, tutte le costanti nel secondo e riduciamo i termini simili. A questo punto, se il coefficiente a dell incognita è diverso da zero, dividiamo entrambi i membri per quel coefficiente, ricordando che, se è negativo, dobbiamo cambiare il verso della disuguaglianza. Se il coefficiente a è zero, la disequazione diventa una disuguaglianza vera o falsa indipendentemente dal valore dato all incognita. 1 Risolviamo la disequazione 5 þ 1 ðx þ 1Þ x 1 ðx 1Þ 5 Eliminiamo i denominatori moltiplicando entrambi i membri per il m.c.m. ð5 ; Þ ¼15 ( o principio) 6 þ 5ðx þ 1Þ 0x ðx 1Þ!6 þ 5x þ 5 0x 6x þ Trasportiamo i termini con l incognita x nel primo membro e i termini noti nel secondo applicando il 1 o principio 5x 0x þ 6x 6 5 þ! 19x 8 Richiami sulle disequazioni algebriche UNITÀ 1 TEORIA

17 16 Applichiamo il o principio e dividiamo entrambi i membri per 19 < 0; si ottiene che la disequazione è verificata per x 8 19! x 8 19 : 8 L insieme delle soluzioni è quindi l intervallo S ¼ 1 ;. 19 Consideriamo la disequazione x þ 4ðx Þ < ðx þ 4Þ Svolgendo i calcoli indicati e applicando il 1 o principio di equivalenza, la () si riduce alla disequazione 0 x < 8 che è verificata da qualsiasi valore di x; l insieme S delle soluzioni coincide quindi con l insieme R dei numeri reali: S ¼ R. ðþ TEORIA DISEQUAZIONI ALGEBRICHE E FUNZIONI Risolviamo la disequazione ðx þ 1Þ 4 ðx þ 1Þ 1 < xð1 x Þ 4 x þ 1 x þ 1 Dopo aver svolto i calcoli ed eliminato i denominatori moltiplicando entrambi i membri per 1, si ottiene la disuguaglianza < 1, che è falsa indipendentemente dal valore attribuito alla variabile x. In altre parole, qualunque sia il valore che si sostituisce a x, la () si trasforma in una disuguaglianza falsa. Perciò essa è una disequazione impossibile, ossia l insieme delle sue soluzioni è l insieme vuoto: S ¼ x. 4 Risolviamo ora la disequazione letterale ða þ 1Þx < 4 a. Il coefficiente dell incognita cambia segno al variare del parametro a e dovremo quindi considerare distintamente i tre possibili casi. 1 o caso. Sia a þ 1 > 0, cioè a > 1: per il o principio si ha 4 a x < a þ 1 o caso. Sia a þ 1 ¼ 0, cioè a ¼ 1: la disequazione data diventa 0 x < 7; per qualsiasi valore di x il primo membro è zero e quindi, essendo 0 < 7 una disuguaglianza vera, si ha che la disequazione è verificata 8x R. o caso. Sia a þ 1 < 0, cioè a < 1: per il o principio di equivalenza, si ha 4 a x > a þ 1 Riassumendo, potremo concludere che la disequazione data è verificata, 4 a per x < a þ 1, se è a > 1 8x R, se è a ¼ 1 4 a per x > a þ 1 se è a < 1 Attenzione ai parametri... Come sappiamo, i parametri rappresentano numeri noti, ma il cui valore non è specificato. In generale la discussione è necessaria quando si devono moltiplicare o dividere entrambi i membri della disequazione per un espressione, contenente un parametro, di cui non conosciamo il segno. Dobbiamo infatti distinguere tre casi, determinando i valori del parametro che rendono tale espressione positiva, negativa o nulla. ðþ

18 17 In corrispondenza dei valori del parametro per cui l espressione è positiva, applicheremo il secondo principio (non cambiando il verso della disuguaglianza). In corrispondenza dei valori del parametro per cui l espressione è negativa applicheremo il terzo principio (cambiando il verso della disuguaglianza). In corrispondenza dei valori del parametro che annullano l espressione non possiamo ovviamente moltiplicare o dividere entrambi i membri della disequazione per tale espressione. Dobbiamo invece sostituire tali valori del parametro nella disequazione e analizzare quella così ottenuta. Come vedremo negli esercizi, la discussione non è necessaria se, ad esempio, vengono date a priori opportune restrizioni sul parametro, oppure se il segno dell espressione per cui dobbiamo moltiplicare o dividere è indipendente dal valore del parametro. Disequazioni di secondo grado 4 Una disequazione di secondo grado è una disequazione che si può ridurre a una delle seguenti forme canoniche ax þ bx þ c > 0; ax þ bx þ c 0; ax þ bx þ c < 0; ax þ bx þ c 0 Nel biennio abbiamo già imparato a risolvere tali disequazioni. Supponiamo di dover risolvere una disequazione che, dopo le opportune semplificazioni, si riduca alla forma ax þ bx þ c > 0 ð4þ La risoluzione della (4) può essere interpretata graficamente: infatti la (4) è equivalente al sistema misto y ¼ ax þ bx þ c ð5þ y > 0 L interpretazione grafica di tale sistema è la seguente: determinare i punti del piano cartesiano le cui coordinate soddisfano sia l equazione sia la disequazione del sistema (5). L equazione y ¼ ax þ bx þ c, com è noto, è rappresentata, nel piano cartesiano, da una parabola che volge la concavità verso l alto se è a > 0 e verso il basso se è a < 0. La disequazione y > 0èinvece rappresentata, nel piano cartesiano, dall insieme di tutti i punti la cui ordinata y è positiva, ossia dai punti che si trovano al di sopra dell asse x, punti che costituiscono il semipiano delle ordinate positive,il quale non comprende l asse x. I punti le cui coordinate soddisfano il sistema (5) sono perciò quei punti della parabola y ¼ ax þ bx þ c che si trovano internamente al semipiano delle ordinate positive. Poiché nella disequazione da risolvere compare solo l incognita x, l insieme delle soluzioni sarà costituito dall insieme delle ascisse di tali punti. Se invece la disequazione da risolvere è del tipo ax þ bx þ c < 0, considereremo il sistema y ¼ ax þ bx þ c y < 0 e perciò dovremo determinare l insieme dei punti della parabola y ¼ ax þ bx þ c che si trovano nel semipiano delle ordinate negative (ossia al di sotto dell asse x). Se infine nella disequazione da risolvere compare il segno o, dovremo considerare come soluzioni, oltre ai punti della parabola che giacciono internamente a uno dei due semipiani generati dall asse x, anche gli eventuali punti d intersezione della parabola con l asse x. Sottolineiamo che per risolvere il sistema (5), o analogamente il (6), la prima cosa da fare è controllare il segno del discriminante ¼ b 4ac, per verificare se la parabola interseca l asse delle ascisse. Ricordiamo che, se < 0, parabola e asse x non si intersecano, infatti l equazione ax þ bx þ c ¼ 0 non ha soluzione. ð6þ Richiami sulle disequazioni algebriche UNITÀ 1 TEORIA

19 18 TEORIA DISEQUAZIONI ALGEBRICHE E FUNZIONI 1 Risolviamo la disequazione x þ 4x 5 > 0. La disequazione equivale al sistema y ¼ x þ 4x 5 y > 0 Dobbiamo perciò determinare i punti della parabola y ¼ x þ 4x 5 che si trovano nel semipiano delle ordinate positive, asse x escluso. Tale parabola incontra l asse x nei punti la cui ascissa è data dalle soluzioni dell equazione Figura 1 x þ 4x 5 ¼ 0! x 1 ¼ 5; x ¼ 1 Essi sono dunque i punti Að 5 ; 0Þ e Bð1 ; 0Þ; la concavità della parabola è volta verso l alto (fig. 1). I punti della parabola che si trovano nel semipiano delle ordinate positive sono quelli che hanno ascissa minore di 5 o maggiore di 1, ossia quelli per cui si ha x < 5 _ x > 1 L insieme delle soluzioni è dunque costituito dall unione di due intervalli illimitati: S ¼ ð 1 ; 5Þ[ð1 ; þ1þ Risolviamo la disequazione x þ 6x 5 > 0. Dobbiamo determinare i punti della parabola di equazione y ¼ x þ 6x 5 che giacciono nel semipiano delle ordinate positive, asse x escluso. Cerchiamo di determinare i punti d intersezione tra la parabola e l asse x; a tal fine dobbiamo risolvere l equazione x þ 6x 5 ¼ 0! x 6x þ 5 ¼ 0 che non ha soluzioni, essendo ¼ 6 < 0. Dunque, la parabola non interseca l asse x e, 4 avendo la concavità verso il basso ð < 0Þ, giace interamente nel semipiano delle ordinate negative: nessun punto della parabola giace nel semipiano delle y > 0. La disequazione data è quindi impossibile: S ¼ x. Risolviamo la disequazione x 8x þ 16 > 0. Dobbiamo determinare i punti della parabola di equazione y ¼ x 8x þ 16 che si trovano nel semipiano delle ordinate positive, asse x escluso. I punti di intersezione della parabola con l asse x si trovano risolvendo l equazione x 8x þ 16 ¼ 0. Risulta ¼ 0; l equazione ha perciò due soluzioni coincidenti: x 1 ¼ x ¼ 4. Ciò significa che la parabola, che volge la concavità verso l alto, è tangente all asse x nel punto Að4 ; 0Þ. Come si vede dalla figura, tutti i punti della parabola si trovano nel semipiano delle ordinate positive, eccetto il punto A, che è il vertice e si trova sull asse x. Perciò la disequazione data è soddisfatta da qualunque valore di x eccetto x ¼ 4, cioè la disequazione è verificata 8x 6¼ 4; l insieme delle soluzioni è quindi Schema riassuntivo per le disequazioni di secondo grado S ¼ R f4g ¼ ð 1 ; 4Þ[ð4 ; þ1þ Figura 5 Proponiamo, qui di seguito, uno schema riassuntivo in cui abbiamo considerato solo il caso in cui il primo coefficiente della disequazione di secondo grado in forma canonica sia positivo (a > 0); ciò non è riduttivo perché se fosse a < 0 basterebbe moltiplicare entrambi i membri della disequazione per 1 e cambiare il verso del simbolo di disuguaglianza per ottenere una disequazione equivalente e con il primo coefficiente positivo.

20 19 Per esempio si ha x þ 4x > 0! x 4x þ < 0; 5x x 0! x 5x 0; ecc: ¼ b 4ac parabola valori di x che verificano la disequazione ax þ bx þ c > 0 ax þ bx þ c 0 ax þ bx þ c < 0 ax þ bx þ c 0 > 0 (x 1 < x ) x < x 1 _ x > x x x 1 _ x x x 1 < x < x x 1 x x a > 0 ¼ 0 con qualsiasi x x 6¼ b a 8x R < 0 8x R 8x R 1 x 6x þ 5 > 0! x < 1 _ x > 5, essendo x 1 ¼ 1, x ¼ 5. 4x 1 0! x 1 _ x 1. 4 x x > 0! x þ x 4 < 0! 4 < x < x 1x þ 9 > 0! x 6¼ infatti è ¼ 0 e x 1 ¼ x ¼ oppure: 4x 1x þ 9 > 0! ð x Þ > 0! x 6¼ nessun valore di x nessun valore di x x ¼ b a nessun valore di x Sai già che... L intervallo ðx 1 ; x Þ si chiama intervallo delle radici. Se x è interno all intervallo delle radici, vi è discordanza di segno tra il coefficiente a e il trinomio ax þ bx þ c; sex è esterno all intervallo delle radici, vi è concordanza di segno. 5 x 5x þ 8 < 0! nessun valore di x infatti è ¼ 5 64 < 0 e il primo coefficiente è discorde con il verso della disequazione. 6 5x x 0! x 5x 0! x 0 _ x x 0x þ 5 0! x ¼ 5 infatti è ¼ 0 e, per x 1 ¼ x ¼ 5,è4x 0x þ 5 ¼ 0, mentre non può essere 4x 0x þ 5 < 0 per alcun valore di x. Richiami sulle disequazioni algebriche UNITÀ 1 TEORIA 8 x þ x þ 5 > 0! 8x R (infatti è ¼ 1 < 0 e il verso della disequazione è concorde con il primo coefficiente).

21 0 9 Risolvere la disequazione kx ðk 1Þx k < 0; con k R ð7þ Osserviamo che il primo coefficiente, essendo uguale al parametro k, cambia segno al variare di k e precisamente si ha 1 o coeff. > 0 per k > 0 e 1 o coeff. < 0perk < 0 Il discriminante è ¼ðk 1Þ þ 4k ¼ðk þ 1Þ e, pertanto, è > 0 8k R: le due radici sono 1 k e k (la prima radice esiste solo per k 6¼ 0). Consideriamo ora i possibili casi determinati dalla variazione del parametro k. TEORIA DISEQUAZIONI ALGEBRICHE E FUNZIONI 1 o caso. Sia k < 0 (il primo coefficiente è negativo e risulta concorde con il verso della disequazione). In tal caso, poiché risulta k < 0e 1 k > 0, la (7) è verificata per x < k _ x > 1 k. o caso. Sia k > 0 (il primo coefficiente è positivo e quindi risulta discorde con il verso della disequazione). In questo caso risulta 1 < 0ek > 0. k La (7) è quindi verificata per 1 k < x < k. o caso. Sia k ¼ 0 (il primo coefficiente è nullo). La (7) si riduce alla disequazione di primo grado þ1x < 0, verificata per x < 0. Disequazioni frazionarie e sistemi Disequazioni frazionarie e di grado superiore al secondo 6 Esponiamo ora un metodo per risolvere le disequazioni frazionarie e le disequazioni di grado superiore al secondo. Supporremo che l incognita della disequazione sia la lettera x. Ricordiamo che per stabilire il grado di una disequazione bisogna porla in forma canonica, cioè in una delle forme PðxÞ > 0, PðxÞ < 0, PðxÞ 0, PðxÞ 0. Il suo grado è quindi il grado del polinomio PðxÞ rispetto alla variabile x. Ecco il procedimento da seguire per risolvere le disequazioni frazionarie o di grado superiore al secondo. 1. Trasportiamo tutti i termini al primo membro della disequazione, in modo che al secondo membro compaia solo lo zero.. Cerchiamo di scrivere l espressione al primo membro come prodotto di polinomi di primo o di secondo grado in x oppure come un unica frazione, avente per numeratore e per denominatore polinomi di primo o secondo grado in x o prodotti di tali polinomi. Determiniamo poi il dominio della disequazione: se la disequazione è frazionaria, è fondamentale porre le condizioni di accettabilità delle soluzioni, imponendo che il denominatore sia diverso da zero.. Studiamo il segno di ciascuno dei polinomi di primo o secondo grado prima determinati. 4. Disegniamo uno schema grafico che riassuma il variare dei segni dei singoli fattori al variare del valore dell incognita x.

22 1 5. Ricordando che il segno di un prodotto o di un rapporto è positivo se i fattori negativi sono in numero pari, negativo se i fattori negativi sono in numero dispari, stabiliamo il segno che assume l espressione al primo membro della disequazione al variare di x. Bisogna ricordare che in corrispondenza dei valori di x per cui si annulla un fattore al numeratore, si annulla anche l intera espressione (purché, per tale valore, non si annulli anche il denominatore); in corrispondenza di quei valori di x per cui si annulla un fattore al denominatore, invece, l espressione al primo membro perde significato e con essa perde significato la disequazione. Sottolineiamo che, in generale, non possiamo eliminare il denominatore di una disequazione frazionaria, perché esso è un espressione che può essere positiva per alcuni valori dell incognita, negativa per altri. 6. Tenendo conto dei risultati così ottenuti determiniamo infine l insieme delle soluzioni della disequazione. 1 Risolvere la disequazione frazionaria 1 x 1 þ ð1þ x Cominciamo con il trasportare al primo membro i termini che figurano al secondo membro ed eseguiamo poi le operazioni indicate ðx Þ ðx Þð1 xþ ð1 xþ ðx Þð1 xþ 0! x þ x 4 ðx Þð1 xþ 0 Il primo membro è ora una frazione il cui numeratore è un polinomio di secondo grado e il cui denominatore è il prodotto di polinomi di primo grado: il dominio della disequazione è 1 R ; Studiamo il segno dei fattori che compaiono nell espressione di tale frazione. Per studiare il segno di ciascun fattore basta risolvere la disequazione che si ottiene ponendo tale fattore maggiore di zero. Per semplicità chiameremo N il numeratore e D 1, D i fattori del denominatore N ¼ x þ x 4 > 0! x < 4 _ x > 1 D 1 ¼ x > 0! x > ; D ¼ 1 x > 0! x < 1 Rappresentiamo ora il segno di questi tre fattori su tre linee parallele, tratteggiate in corrispondenza dei valori di x per cui il rispettivo fattore è negativo e continue in corrispondenza dei valori di x per cui è positivo. Un tondino rappresenta l annullarsi del fattore (fig. ). Su una quarta linea, parallela alle precedenti, rappresentiamo il segno della frazione al primo membro della (). Consideriamo ora la figura. Nell intervallo 1 ; 4 vi è un solo fattore negativo e quindi è negativo anche il primo membro della disequazione. La quarta linea, perciò, a sinistra di 4 dev essere tratteggiata. Per x ¼ 4 si annulla il numeratore (e non il denominatore) e perciò si annulla anche la frazione. Disegniamo dunque un tondino sulla quarta linea in corrispondenza di 4. Nell intervallo 4 ; 1, essendovi due fattori negativi, la frazione risulta positiva. La quarta linea, perciò, a destra di 4 e a sinistra di 1 è continua. ðþ Richiami sulle disequazioni algebriche UNITÀ 1 TEORIA

23 Per x ¼ 1 si annulla un fattore del denominatore e pertanto non ha senso la frazione: disegniamo quindi una crocetta sulla quarta linea in corrispondenza del punto che rappresenta il numero 1, il quale non appartiene al dominio della disequazione. 1 Nell intervallo ; 1 vi sono tre fattori negativi e quindi la frazione è negativa. Per x ¼ 1 si annulla il numeratore (e non il denominatore) e quindi si annulla anche la frazione. Nell intervallo ð1 ; Þ vi sono due fattori negativi e la frazione risulta quindi positiva. Per x ¼ si annulla un fattore del denominatore e perciò la frazione perde significato (il numero non appartiene al dominio della disequazione). Nell intervallo ð ; þ1þ essendovi un solo fattore negativo la frazione risulta negativa. TEORIA DISEQUAZIONI ALGEBRICHE E FUNZIONI Figura Possiamo ora risolvere la disequazione (), equivalente alla (1): dobbiamo stabilire quali sono i valori di x per cui la frazione al primo membro della () è negativa o nulla. Osservando la quarta linea del grafico di figura, possiamo dedurre che tale frazione è negativa o nulla per x 4 _ 1 < x 1 _ x >! S ¼ 1 ; 4 Risolviamo la disequazione x x 5x þ 8 > 0 [ 1 ; 1 [ð; þ1þ Il denominatore della () ha discriminante negativo, essendo ¼ 5 < 0, e pertanto non si annulla mai: il dominio della disequazione è quindi R. Poiché il numeratore è positivo per qualsiasi valore di x 6¼ 0, affinché la () sia verificata basterà che sia positivo anche il denominatore: quindi dovrà essere x 5x þ 8 > 0 Quest ultima disequazione è verificata per qualsiasi valore di x e quindi la () è soddisfatta per x 6¼ 0. Consideriamo la disequazione x 6 7x 4 þ 14x 8 < 0 Il dominio della disequazione è R. Detto PðxÞ il polinomio al primo membro, notiamo subito che è Pð 1Þ ¼0ePð1Þ ¼0; pertanto, per il teorema del resto, risulta che PðxÞ è divisibile sia per x þ 1 sia per x 1 e, con la regola di Ruffini, otteniamo che la (4) si può scrivere ðx þ 1Þðx 1Þðx 4 6x þ 8Þ < 0 ðþ ð4þ ð5þ

24 Cerchiamo ora di scomporre anche il trinomio x 4 6x þ 8, osservando che x 4 6x þ 8 ¼ 0 è un equazione biquadratica: ponendo x ¼ y, otteniamo y 6y þ 8 ¼ 0, che ha per radici y 1 ¼ ey ¼ 4. Ricordando la scomposizione in fattori del trinomio di secondo grado, avremo y 6y þ 8 ¼ðy Þðy 4Þ cioè, essendo y ¼ x, x 4 6x þ 8 ¼ðx Þðx 4Þ La (5) si riduce così alla disequazione ðx þ 1Þðx 1Þðx Þðx 4Þ < 0 ð6þ Procediamo ora al solito modo ed esaminiamo quindi il segno di ciascun fattore che compare nel primo membro della (6): con l aiuto dell opportuno schema otteniamo che la (6), e quindi la (4), è verificata per p < x < ffiffiffi p ffiffiffi _ 1 < x < 1 _ < x < Una precisazione Osserviamo che, poiché nel polinomio PðxÞ l incognita x compare solo con esponente pari, risulta ovviamente Pð xþ ¼PðxÞ. Quindi se x ¼ x 1 è soluzione della disequazione, anche x ¼ x 1 lo sarà: ènaturale aspettarsi che l insieme delle soluzioni sia costituito da intervalli simmetrici rispetto a x ¼ 0. Naturalmente tale caratteristica sarà propria, in particolare, dell insieme delle soluzioni di una qualunque disequazione biquadratica. Sistemi di disequazioni 7 Ricordiamo che un sistema di disequazioni è un insieme di disequazioni, tutte nella stessa incognita, considerate contemporaneamente. Il dominio di un sistema di disequazioni è l insieme dei numeri reali per i quali hanno significato tutte le disequazioni del sistema, ed è quindi l intersezione dei domini delle disequazioni del sistema. Un numero è una soluzione di un sistema di disequazioni se, sostituito all incognita, trasforma tutte le disequazioni del sistema in disuguaglianze vere. Perciò per risolvere un sistema di disequazioni è sufficiente risolvere singolarmente ciascuna disequazione e considerare poi l intersezione degli insiemi delle loro soluzioni: tale insieme è l insieme delle soluzioni del sistema. Per determinare tale insieme è utile rappresentare graficamente l insieme delle soluzioni di ciascuna disequazione; esaminando tale rappresentazione sarà facile determinare l insieme delle soluzioni del sistema: esso, se non è vuoto, sarà costituito da tutti quegli intervalli in cui sono soddisfatte tutte le disequazioni. Tali intervalli, nella rappresentazione da noi usata, sono quelli in cui tutte le linee che rappresentano gli insiemi delle soluzioni delle disequazioni del sistema sono continue. In qualche caso particolare un intervallo di soluzioni può ridursi a un unico elemento. Per esempio la x 1 soluzione del sistema è, evidentemente, x ¼ 1 e perciò ès ¼f1g; questo insieme può essere x 1 considerato un intervallo chiuso i cui estremi coincidono con l elemento 1. Richiami sulle disequazioni algebriche UNITÀ 1 TEORIA

25 4 TEORIA DISEQUAZIONI ALGEBRICHE E FUNZIONI 1 Risolviamo il sistema x þ 0 ð7þ x 1 < 0 Il dominio del sistema è R. Risolvendo le due disequazioni e indicando con S 1 ed S rispettivamente l insieme delle soluzioni della prima disequazione e quello delle soluzioni della seconda, avremo che l insieme S delle soluzioni del sistema (7) è S ¼ S 1 \ S. 8 >< x Si ha quindi x < 1 e, per determinare S, rappresentiamo graficamente in figura 4 gli insiemi S 1 e S. Abbiamo rappresentato il punto x ¼ sulla prima linea con un circoletto pieno >: perché S 1, mentre il punto x ¼ 1 sulla seconda linea è rappresentato con un circoletto vuoto perché 1 6 S. Dalla figura 4 si può vedere che l insieme S 1 \ S è costituito dall intervallo S ¼ ; 1 e quindi il sistema (7) risulta verificato per x < 1. Figura 4 Risolviamo il sistema 8 < 1 x 4 þ x 0 : x x > 0 Il dominio del sistema è R f 4g. 1 a disequazione. È una disequazione frazionaria, che risolviamo con il metodo esposto precedentemente: otteniamo che è verificata per 4 < x 1 _ x 1. a disequazione. x x > 0! x < 0 _ x > Rappresentiamo, in figura 5, gli insiemi S 1 ed S delle soluzioni delle due disequazioni. L insieme delle soluzioni del sistema (8) è S ¼ S 1 \ S ¼ð 4 ; 1Š [ð ; þ1þ e quindi il sistema (8) risulta verificato per 4 < x 1 _ x > Figura 5 Due diversi modi di utilizzare uno schema grafico Quando utilizziamo lo schema grafico per risolvere una disequazione frazionaria o di grado superiore al primo, vogliamo determinare il segno di un espressione costituita da più fattori. Teniamo quindi conto anche delle linee tratteggiate, sapendo che se sono in numero pari l espressione ha nell intervallo considerato segno positivo, mentre se sono dispari ha segno negativo. Invece, quando vogliamo risolvere un sistema, utilizziamo per ogni disequazione nello schema grafico una linea continua per indicare dove tale disequazione è verificata, tratteggiata per indicare dove non lo è. Poiché vogliamo conoscere i valori dell incognita che soddisfano contemporaneamente ogni disequazione, dobbiamo accettare come soluzione solo gli intervalli in cui la linea in corrispondenza di ogni disequazione è continua. ð8þ

26 5 UNITÀ 1 RICHIAMI SULLE DISEQUAZIONI ALGEBRICHE ESERCIZI Disequazioni di primo grado Ricordiamo la teoria Disequazione: disuguaglianza in cui compare almeno un incognita (cioè un numero non determinato). Dominio di una disequazione: insieme dei numeri reali che, sostituiti all incognita, trasformano la disequazione in una disuguaglianza dotata di significato (vera o falsa). Soluzioni di una disequazione: insieme dei numeri reali che, sostituiti all incognita, trasformano la disequazione in una disuguaglianza vera. Disequazioni equivalenti: disequazioni che hanno lo stesso insieme delle soluzioni. Primo principio di equivalenza: A > B! A C > B C dove A e B sono rispettivamente il primo e il secondo membro di una disequazione, mentre C può essere o un numero o un espressione algebrica sempre definita nel dominio della disequazione data. Secondo principio di equivalenza: Terzo principio di equivalenza: A > B ^ C > 0! C A > C B A > B ^ C > 0! A C > B C A > B ^ C < 0! C A < C B A > B ^ C < 0! A C < B C Risoluzione di una disequazione di primo grado: applicando i principi di equivalenza si eseguono le operazioni necessarie per ridurre la disequazione a una delle seguenti forme Ad esempio, per la prima disequazione si ha ax > b ax < b ax b ax b 8 se a > 0! x > b b a, cioè S ¼ a ; þ1 >< ax > b se a < 0! x < b 1 a, cioè S ¼ ; b a se b < 0!8x R; cioè S ¼ R >: se a ¼ 0! 0 x > b! se b 0! nessuna soluzione! S ¼ x Richiami sulle disequazioni algebriche UNITÀ 1 ESERCIZI

27 6 Disequazioni numeriche intere 1 x þ < 5x; > 5 þ ð xþ. ½x > 1; x > Š ðx 1Þ < 1 x; 1 > ðx 1Þ. x < 4 5 ; x < ðx 7Þ > ð4 xþ; 4x < x ð þ xþ. x > 6 5 ; x > 7 4 x þ ð1 þ 5xÞ > 10; ðx þ Þ < ð1 xþ. x > 6 7 ; x < 1 5 ðx þ 1Þ 8 ðx 1Þ ; x ð xþ 0. x 1; x ESERCIZI DISEQUAZIONI ALGEBRICHE E FUNZIONI 6 ðx þ 1Þ þ > ½6 ð1 xþšx; ðx þ 5Þðx þ Þ < ðx þ 9Þðx þ 1Þ. ½x < 1; x > Š 7 ð þ xþþx ð1 5xÞ; ð10x þ 1Þ > 4ð4x þ 1Þ þð6x þ 1Þ. x 1; x < 1 6 x 1 8 > x 4 x þ 1; > x x > 4; x > 5 7 x x 4 ðx 1Þ < 1 x x x < ðx þ Þðx Þ x þ 1 1 ðx 1Þ. x ð xþ 1 7 x 1 þ x > 0. x < ½ðx Þ xðx ÞŠ ð1 5xÞ. ½impossibileŠ 1 1 x 1 þ 5 ð1 xþ > x. x < ½x ð1þxþš > x 1 ð1 xþ; 1 x 1 1 x 1 1 x ðx 4Þ. < 19 ; x 1 þ 7x 15 x x > 4 þ ð1 xþ. x > 16 x 5 x þ 1 4 < 1 x ; x > x. x < 17 1 ; x < 0 ðx 1Þ x þ 4 17 ðx þ 1Þ x 1 1 6x >. ½x > 1Š 18 4ðx 7Þðx þ 7Þ < ðx 5Þ x 61; ðx 1Þ x 1 > 0. x < 8; x > 1

28 7 19 ðx þ 1Þ 4 x 1 x þ 1 > 1 x. 0 ðx þ 1Þ ðx þ 1Þ > ðx þ Þ 4ðx þ Þ. 1 ðx þ 1Þ 4x ðx þ 1Þ < ðx 1Þ. x þ xð1 15xÞ xð xþ < ð1 xþð1 þ xþ 4 ðx þ Þ < ðx þ Þ þ 10x þ 1 x > x 1 6 ðx Þ x < x xðx 1Þ 1 x > 1 6 x > 8 5 x < 1 14 x < 4 x < 8 x > 9 8 ðx 1Þ ðx 1Þ 5 1 þ 1 1. ½x < 0Š pffiffi pffiffi p ffiffi 6 ðx 1Þ < x; xð1 Þ > x. x > ð1 þ ffiffi pffiffi p þ 6 Þ; x < 17 p 7 4xð1 ffiffi x þ 1 x þ Þ < pffiffi ; pffiffi > x pffiffi. x > 1 þ 1 þ ; x < p ffiffi VERO O FALSO p 8 ð1 ffiffi pffiffi Þx >! x < ð1 þ Þ. p 9 x < 1 þ ffiffi p ffiffiffi x! x < 1 þ. p 0 x 1 > ffiffi pffiffi 5 x! x > ð þ 5 Þ. 1 L insieme A ¼fx Njx 1 < 5 xg è uguale all insieme B ¼f0 ; 1g. L insieme A ¼fx Njð xþþ1 > 0g è un sottoinsieme di B ¼fx N j4ðx 1Þ > 1g. V V V V V F F F F F Richiami sulle disequazioni algebriche UNITÀ 1 Dati gli insiemi A ¼fxRjðx Þðx þ Þþx xðx 1Þg e B ¼fxRjx þðx 1Þðx þ 1Þ > 1 þðxþ1þ g,èa [ B ¼ R. pffiffi x 1 x 4 La disequazione < 5 è verificata per x < p 6 5 ffiffi. pffiffi pffiffi pffiffi pffiffi 5 La disequazione p ðx 1Þ 5 ðx 5 Þ < è verificata per x > ffiffiffi p ffiffi 5 þ. V V V F F F ESERCIZI

29 8 Disequazioni letterali intere ESERCIZI GUIDATI 6 La disequazione kx < èverificata per x < k quando è k:::::.; è verificata per x > quando... Se è k k ¼ 0, la disequazione kx < èverificata... ESERCIZI DISEQUAZIONI ALGEBRICHE E FUNZIONI 7 Risolvendo la disequazione ðk 1Þx > 5, si ottiene per k > :::! x > 5 k 1 ; per k ¼ 1! ::::::::::.; per k:::1! x < 5 ::::::::: 8 Risolvendo la disequazione ðk Þx þ 6 0, si ottiene per k > :::! x 6 k ; per k ¼! ::::::::::; per k:::! x 6 ::::::::::. 9 x 0èverificata per qualsiasi valore reale di x solo se è a::::: a 40 x 0èverificata 8x R solo se è a::::: a 41 1 þ ax < 1 þ ax 4 x a, con a > 0; 1 þ ax < þ ax, con a < ax 1 þ a < ax x a b x < 1, con a > 0; b > 0. b a x < 1 a ; x > a ½x < aš x < a þ b þ ab a þ b 44 x a þ x ða þ bþ, con a < 0; b < 0. ½x abš b 45 a x b 46 a x b b x a, con a > b > 0; a x b x b a b x a con a < b < 0. p 47 ðx þ ffiffiffi a Þ p þ b < ðx þ ffiffiffi b Þ pffiffi þ xð a þ con 0 < a < b. ½x a þ b; x a þ bš ½x a þ bš pffiffiffi b Þ con a > 0, b > 0. x > p a 4 ffiffiffi b 48 xða þ Þ 4 þ a > 0 con a > 0. ½x > aš

30 9 ESERCIZIO SVOLTO 49 Risolviamo la seguente disequazione letterale x k þ x 1 < x k 6 Osserviamo dapprima che, affinché le frazioni presenti nella (1) abbiano significato, dovrà essere k 6¼ 0! k 6¼ : Riduciamo ora allo stesso denominatore ottenendo ð1þ x þ kx x k þ < x ðk Þ ðk Þ ðþ Per eliminare i denominatori dalla (), occorre moltiplicare entrambi i membri per ðk Þ, espressione questa che cambia segno al variare del parametro k. Dovremo quindi esaminare separatamente i due casi possibili. 1 o caso. Sia k > 0! k >. Per il secondo principio di equivalenza la () equivale alla seguente x þ kx k þ < x! kx < k 4 Poiché stiamo considerando il caso k >, è quindi, a maggior ragione, k > 0 e perciò nella () il coefficiente dell incognita è positivo: sempre per il secondo principio avremo quindi x < k 4 k o caso. Sia k < 0! k <. Dalla (), per il terzo principio di equivalenza, moltiplicando entrambi i membri per k, otteniamo x þ kx k þ > x! kx > k 4 Osserviamo che, in questo caso, il coefficiente dell incognita, nella (4), può anche essere negativo e precisamente è positivo per 0 < k < e negativo per k < 0. Quindi se è 0 < k <, per il o principio si ha x > k 4 k se è k < 0, per il o principio si ha x < k 4 k Consideriamo ora il caso k ¼ 0: la (4) si riduce alla forma 0 x > 0 4! 0 x > 4! 8x R Possiamo riassumere i risultati trovati e concludere scrivendo che la (1), equivalente alla (), è verificata per x < k 4 k se è k < 0 _ k > ; per x > k 4 k se è 0 < k < ; ðþ ð4þ Richiami sulle disequazioni algebriche UNITÀ 1 ESERCIZI 8x R se è k ¼ 0. Come già è stato osservato, per k ¼ la (1) perde significato.