MODULI DI LINEAMENTI DI MATEMATICA

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1 N. DODERO - P. BARONCINI - R. MANREDI TRIENNIO licei scientifici MODULI DI LINEAMENTI DI MATEMATICA er il triennio della scuola secondaria di secondo grado A DISEQUAZIONI ALGEBRICHE UNZIONI SUCCESSIONI NUMERICHE E PROGRESSIONI

2 N. Dodero - P. Baroncini - R. Manfredi MODULI DI LINEAMENTI DI MATEMATICA er il triennio dei licei scientifici A Disequazioni algebriche unzioni Successioni numeriche e rogressioni Moduli di lineamenti di matematica A - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S..A. - Novara

3 internet: Prorietà letteraria riservata Coyright 00 by SEDES sa Milano ª edizione: De Agostini Scuola SA Novara Printed in Italy Turbo Pascal, è un marchio deositato di Borland Software Cororation. Lotus è un marchio deositato di Lotus Software. MS-Dos, Microsoft Excel sono marchi deositati di Microsoft Cororation. Derive for Windows è un marchio deositato di Texas Instruments. L Editore dichiara la roria disonibilità a regolarizzare eventuali omissioni o errori di attribuzione. Nel risetto del DL 74/9 sulla trasarenza nella ubblicità, le immagini escludono ogni e qualsiasi ossibile intenzione o effetto romozionale verso i lettori. Tutti i diritti riservati. Nessuna arte del materiale rotetto da questo coyright otrà essere rirodotta in alcuna forma senza l autorizzazione scritta dell Editore. Le fotocoie er uso ersonale del lettore ossono essere effettuate nei limiti del 5% di ciascun volume/fascicolo di eriodico dietro agamento alla SIAE del comenso revisto dall art. 68, commi 4 e 5, della legge arile 94 n. 6. Le riroduzioni er finalità di carattere rofessionale, economico o commerciale o comunque er uso diverso da quello ersonale ossono essere effettuate a seguito di secifica autorizzazione rilasciata da AIDRO, Corso di Porta Romana 08, Milano 0, [email protected] e sito web: Eventuali segnalazioni di errori o refusi e richieste di chiarimenti sulle scelte oerate dagli Autori e dalla Casa Editrice ossono essere inviate all indirizzo di osta elettronica della redazione. Stama: Cartolibraria Tiberina s.r.l. Città di Castello (PG) Ristama: Anno: Moduli di lineamenti di matematica A - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S..A. - Novara

4 Indice CAPITOLO Disequazioni algebriche: richiami e comlementi 5 Terminologia e rincii di equivalenza, 5. Disequazioni di rimo grado, 6. Disequazioni di secondo grado, 8. Schema riassuntivo er le disequazioni di secondo grado, 0. Disequazioni frazionarie e di grado sueriore al secondo,. Sistemi di disequazioni, 5. Moduli o valori assoluti, 7. Risoluzione della disequazione jf ðxþj < k, con k > 0, 9. Risoluzione della disequazione jf ðxþj > k, con k > 0, 0. Altre disequazioni in cui comaiono valori assoluti,. Disequazioni irrazionali,. Diseguaglianze,. Disequazioni ffiffiffiffiffiffiffiffi irrazionali,. Risoluzione di disequazioni irrazionali,. Disequazioni del tio f ðxþ _ gðxþ, 5. Esercizi, n 0. CAPITOLO unzioni 80 Definizioni e terminologia, 80. unzioni numeriche e funzioni matematiche, 8. Osservazioni sull esressione analitica di una funzione, 8. Grafico di una funzione, 84. unzioni ari e funzioni disari, 85. unzioni iniettive, suriettive, biunivoche, 86. unzioni biunivoche, 87. unzioni inverse, 88. unzioni comoste, 88. unzioni eriodiche, 90. unzioni crescenti e decrescenti in un intervallo, 9. unzioni monotòne, 9. Grafico di y ¼jf ðxþj, 9. Classificazione delle funzioni matematiche, 9. Zeri di una funzione, 94. Risoluzione grafica di un equazione, 95. Il metodo di bisezione, 96. Il metodo del unto unito, 98. Esercitazioni di laboratorio, 00. Esercizi, 05. CAPITOLO Successioni numeriche e rogressioni Princiio di induzione,. Definizione di successione, 6. Definizione analitica di una successione, 7. Definizione ricorsiva di una successione, 9. Osservazione, 0. Successioni limitate,. Successioni monotòne,. Progressioni aritmetiche, 4. Somma dei termini di una rogressione aritmetica finita, 40. Alicazioni, 4. Progressioni geometriche, 4. Termine generale di una rogressione geometrica, 45. Progressioni geometriche a termini di segno qualsiasi, 48. Prodotto di n termini consecutivi di una rogressione geometrica, 50. Somma dei termini di una rogressione geometrica finita, 5. Esercizi, 5. Indice Moduli di lineamenti di matematica A - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S..A. - Novara

5 5 Disequazioni algebriche: richiami e comlementi Osservazioni. Lo svolgimento degli argomenti di questo caitolo uò raresentare un utile sunto er il riasso dell algebra studiata nel biennio e uò anche essere sviluato nell intero arco dell anno scolastico. Gli esercizi (quelli svolti nel testo e quelli roosti nell eserciziario) sono vari: oltre a quelli iù semlici, utili er imadronirsi della tecnica risolutiva, ve ne sono altri er la cui soluzione è richiesto un ragionamento algebrico, che ne semlifica la risoluzione, e altri ancora iù comlessi. Le disequazioni contenenti arametri sono destinate a un arofondimento dei concetti acquisiti. La risoluzione grafica delle disequazioni è sviluata nel seguito, là dove si utilizzano le conoscenze relative alla geometria analitica e alle trasformazioni geometriche (modulo D). Secondo i ercorsi didattici seguiti, si otrà affrontare la risoluzione grafica di alcuni tii di disequazioni anche rima o contemoraneamente a quella algebrica. Le disequazioni non algebriche vengono trattate nel modulo C (disequazioni goniometriche, esonenziali e logaritmiche). Terminologia e rincii di equivalenza Disequazioni di o e o grado Disequazioni frazionarie e di grado sueriore al secondo Sistemi di disequazioni Moduli o valori assoluti Disequazioni in cui figurano valori assoluti di esressioni contenenti l incognita Disequazioni irrazionali Una diseguaglianza in cui comare un incognita si chiama disequazione (in una incognita). Se in una disequazione si sostituisce un numero al osto dell incognita, la disequazione si trasforma in una diseguaglianza, che, se ha senso, uò essere vera o falsa. Si dice che un numero è soluzione di una data disequazione se, sostituendolo all incognita, la disequazione si trasforma in una diseguaglianza vera. Risolvere una disequazione significa determinarne l insieme delle soluzioni. Tale insieme, nei casi iù comuni, è un intervallo (*) o un unione di intervalli e sarà da noi indicato con S. Per comodità del lettore riortiamo qui di seguito le notazioni usate nei recedenti volumi er i vari tii di intervalli, ricordando che la raresentazione geometrica è, a seconda dei casi, un segmento o una semiretta dell asse reale. Disequazioni algebriche: richiami e comlementi TEORIA (*) In alcuni casi tale intervallo uò ridursi a un unico elemento. Moduli di lineamenti di matematica A - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S..A. - Novara

6 6 ½a ; bš ¼fxRja x bg ða ; bþ ¼fxRja < x < bg ½a ; bþ ¼fx Rja x < bg ða ; bš ¼fx Rja < x bg ½a ; þþ ¼ fx Rjx ag ða ; þþ ¼ fx Rjx > ag ð ; aš ¼fxRjx ag ð ; aþ ¼fx Rjx < ag TEORIA Disequazioni algebriche: richiami e comlementi Se l incognita comare al denominatore di qualche frazione, la disequazione si dice frazionaria; in caso contrario la disequazione si dice intera. Si definisce dominio di una disequazione l insieme dei numeri reali che, sostituiti al osto dell incognita, trasformano la disequazione in una diseguaglianza dotata di senso (vera o falsa). Per esemio la disequazione x > x ha er dominio R, mentre la disequazione > ha er dominio R f0g. x Tutte le disequazioni razionali intere hanno er dominio R. Due disequazioni si dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme delle soluzioni. Primo rinciio d equivalenza delle disequazioni. Se a entrambi i membri di una disequazione si somma o si sottrae uno stesso numero o una stessa esressione algebrica definita er ogni valore dell incognita aartenente al dominio della disequazione, si ottiene una disequazione equivalente alla data. Secondo rinciio d equivalenza delle disequazioni. Moltilicando o dividendo entrambi i membri di una disequazione er uno stesso numero ositivo (o er una stessa esressione algebrica semre ositiva nel dominio della disequazione), si ottiene una disequazione equivalente alla data. Terzo rinciio d equivalenza delle disequazioni. Moltilicando o dividendo entrambi i membri di una disequazione er uno stesso numero negativo (o er una stessa esressione algebrica semre negativa nel dominio della disequazione) e cambiando il verso del simbolo di diseguaglianza, si ottiene una disequazione equivalente alla data. Disequazioni di rimo grado Alicando oortunamente i rincii di equivalenza è ossibile risolvere le disequazioni di rimo grado, cioè le disequazioni che si ossono ridurre a una delle seguenti forme ax > b; ax b; ax < b; ax b; essendo a e b numeri reali. La risoluzione della rima di queste uò, er esemio, essere così schematizzata. Possono arontarsi schemi analoghi er le altre tre forme. 8 se a > 0! x > b b cioe S ¼ a a ; þ se a < 0! x < b ax > b a ; cioe S ¼ ; b >< a ( se b < 0! 8x R; cioe S ¼ R >: se a ¼ 0! 0 x > b! se b 0! nessuna soluzione! S ¼ x Moduli di lineamenti di matematica A - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S..A. - Novara

7 7 Risolviamo la disequazione 5 þ ðx þ Þ x ðx Þ: 5 Eliminiamo i denominatori moltilicando entrambi i membri er il m.c.m. ð5 ; Þ ¼5 ( o rinciio) 6 þ 5ðx þ Þ 0x ðx Þ!6 þ 5x þ 5 0x 6x þ : Trasortiamo i termini con l incognita x nel rimo membro e i termini noti nel secondo alicando il o rinciio 5x 0x þ 6x 6 5 þ! 9x 8: Alichiamo il o rinciio e dividiamo entrambi i membri er 9 < 0; si ottiene che la disequazione è verificata er x 8 9! x 8 9 : 8 L insieme delle soluzioni è quindi l intervallo S ¼ ;. 9 Sia da risolvere la disequazione x þ 4ðx Þ < ðx þ 4Þ : () Svolgendo i calcoli indicati e alicando il o rinciio di equivalenza, la () si riduce alla disequazione 0 x < 8 che è verificata da qualsiasi valore di x; l insieme S delle soluzioni coincide quindi con l insieme R dei numeri reali: S ¼ R: Sia da risolvere la disequazione ðx þ Þ ðx þ Þ 4 < xð x Þ 4 x þ x þ : ðþ Doo aver svolto i calcoli ed eliminato i denominatori moltilicando entrambi i membri er, si ottiene la disuguaglianza <, che è falsa indiendentemente dal valore attribuito alla variabile x. In altre arole, qualunque sia il valore che si sostituisce a x, la () si trasforma in una diseguaglianza falsa. Perciò essa è una disequazione imossibile, ossia l insieme delle sue soluzioni è l insieme vuoto: S ¼ x: 4 Risolviamo ora la disequazione letterale ða þ Þx < 4 a. Il coefficiente dell incognita cambia segno al variare del arametro a e dovremo quindi considerare distintamente i tre ossibili casi. o caso. Sia a þ > 0, cioè a > : er il o rinciio si ha 4 a x < a þ : o caso. Sia a þ ¼ 0, cioè a ¼ : la disequazione data diventa 0 x < 7; er qualsiasi valore di x il rimo membro è zero e quindi, essendo 0 < 7 una diseguaglianza vera, si ha che la disequazione è verificata 8x R. o caso. Sia a þ < 0, cioè a < : er il o rinciio di equivalenza, si ha 4 a x > a þ : Riassumendo, otremo concludere che la disequazione data è verificata er 4 a x <, a þ se è a > 8x R, se è a ¼ er 4 a x > ; a þ se è a < : Disequazioni algebriche: richiami e comlementi TEORIA Moduli di lineamenti di matematica A - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S..A. - Novara

8 8 TEORIA Disequazioni algebriche: richiami e comlementi 5 Risolviamo ora la seguente disequazione letterale x k þ x < x k 6 : Osserviamo darima che, affinché le frazioni resenti nella () abbiano significato, dovrà essere k 6¼ 0! k 6¼ : Riduciamo ora allo stesso denominatore ottenendo x þ kx x k þ ðk Þ < x ðk Þ : Per eliminare i denominatori dalla (4), occorre moltilicare entrambi i membri er ðk Þ, esressione questa che cambia segno al variare del arametro k. Dovremo quindi esaminare distintamente i due casi ossibili. o caso. Sia k > 0! k >. Per il secondo rinciio di equivalenza la (4) equivale alla seguente x þ kx k þ < x! kx < k 4: ð5þ Poiché stiamo considerando il caso k >, è quindi, a maggior ragione, k > 0 e erciò, nella (5), il coefficiente dell incognita è ositivo: semre er il secondo rinciio si avrà quindi x < k 4 : k o caso. Sia k < 0! k <. Dalla (4), er il terzo rinciio di equivalenza, moltilicando entrambi i membri er k, si ottiene x þ kx k þ > x! kx > k 4: ð6þ Osserviamo che, in questo caso, il coefficiente dell incognita, nella (6), uò anche essere negativo e recisamente è ositivo er 0 < k < e negativo er k < 0. Quindi se è 0 < k <, er il o rinciio si ha x > k 4 ; k se è k < 0, er il o rinciio si ha x < k 4. k Consideriamo ora il caso k ¼ 0: la (6) si riduce alla forma 0 x > 0 4! 0 x > 4! 8x R: Si ossono riassumere i risultati trovati e concludere così scrivendo che la (), equivalente alla (4), è verificata er x < k 4 k se è k < 0 _ k > er x > k 4 k se è 0 < k < 8x R se è k ¼ 0. Come già è stato osservato, er k ¼ la () erde significato Disequazioni di secondo grado ðþ ð4þ Una disequazione di secondo grado è una disequazione che si uò ridurre a una delle seguenti forme canoniche ax þ bx þ c > 0; ax þ bx þ c 0; ax þ bx þ c < 0; ax þ bx þ c 0: Moduli di lineamenti di matematica A - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S..A. - Novara

9 9 Nel biennio abbiamo già imarato a risolvere tali disequazioni. Suoniamo di dover risolvere una disequazione che, doo le oortune semlificazioni, si riduca alla forma ax þ bx þ c > 0: ðþ La risoluzione della () uò essere interretata graficamente: infatti la () è equivalente al sistema misto y ¼ ax þ bx þ c ðþ y > 0: L interretazione grafica di tale sistema è la seguente: determinare i unti del iano cartesiano le cui coordinate soddisfano sia l equazione sia la disequazione del sistema (). L equazione y ¼ ax þ bx þ c, com è noto, è raresentata, nel iano cartesiano, da una arabola che volge la concavità verso l alto se è a > 0 e verso il basso se è a < 0. La disequazione y > 0èinvece raresentata, nel iano cartesiano, dall insieme di tutti i unti la cui ordinata y è ositiva, ossia dai unti che si trovano al di sora dell asse x, unti che costituiscono il semiiano delle ordinate ositive,il quale non comrende l asse x. I unti le cui coordinate soddisfano il sistema () sono erciò quei unti della arabola y ¼ ax þ bx þ c che si trovano internamente al semiiano delle ordinate ositive. Poiché nella disequazione da risolvere comare solo l incognita x, l insieme delle soluzioni sarà costituito dall insieme delle ascisse di tali unti. Se invece la disequazione da risolvere è del tio ax þ bx þ c < 0; y ¼ ax þ bx þ c si considererà il sistema y < 0 e erciò si dovrà determinare l insieme dei unti della arabola y ¼ ax þ bx þ c che si trovano nel semiiano delle ordinate negative (ossia al di sotto dell asse x). Se infine nella disequazione da risolvere comare il segno o, si dovranno considerare come soluzioni, oltre ai unti della arabola che giacciono internamente a uno dei due semiiani generati dall asse x, anche gli eventuali unti d intersezione della arabola con l asse x. Risolviamo la disequazione x þ 4x 5 > 0: igura y y ¼ x þ 4x 5 La disequazione equivale al sistema y > 0: Dobbiamo erciò determinare i unti della arabola A B y ¼ x þ 4x 5 che si trovano nel semiiano delle ordinate ositive, asse x escluso. Tale arabola incontra l asse x 5 O x nei unti la cui ascissa è data dalle soluzioni dell equazione x þ 4x 5 ¼ 0! x ¼ 5; x ¼ : Essi sono dunque i unti Að 5 ; 0Þ e Bð ; 0Þ; la concavità della arabola è volta verso l alto (fig. ). I unti della arabola che si trovano nel semiiano delle ordinate ositive sono quelli che hanno ascissa minore di 5 o maggiore di, ossia quelli er cui si ha x < 5 _ x > : L insieme delle soluzioni è dunque costituito dall unione di due intervalli illimitati: S ¼ ð ; 5Þ[ð ; þþ: Disequazioni algebriche: richiami e comlementi TEORIA Risolviamo la disequazione x þ 6x 5 > 0: Si tratta di determinare i unti della arabola di equazione y ¼ x þ 6x 5 che giacciono nel semiiano delle ordinate ositive, asse x escluso. Cerchiamo di determinare i unti d inter- Moduli di lineamenti di matematica A - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S..A. - Novara

10 0 sezione tra la arabola e l asse x; a tal fine dobbiamo risolvere l equazione x þ 6x 5 ¼ 0! x 6x þ 5 ¼ 0; TEORIA Disequazioni algebriche: richiami e comlementi che non ha soluzioni, essendo ¼ 6 < 0. Dunque, la arabola non interseca l asse x e, 4 avendo la concavità verso il basso ð < 0Þ, giace interamente nel semiiano delle ordinate negative: nessun unto della arabola giace nel semiiano delle y > 0. La disequazione data è quindi imossibile: S ¼ x. Risolviamo la disequazione x 8x þ 6 > 0. Dobbiamo determinare i unti della arabola di equazione y ¼ x 8x þ 6 che si trovano nel semiiano delle ordinate ositive, asse x escluso. I unti di intersezione della arabola con l asse x si trovano risolvendo l equazione x 8x þ 6 ¼ 0. Risulta ¼ 0; l equazione ha erciò due soluzioni coincidenti: x ¼ x ¼ 4. Ciò significa che la arabola, che volge la concavità verso l alto, è tangente all asse x nel unto Að4 ; 0Þ: Come si vede dalla figura, tutti i unti della arabola si trovano nel semiiano delle ordinate ositive, eccetto il unto A, che è il vertice e si trova sull asse x. Perciò la disequazione data è soddisfatta da qualunque valore di x eccetto x ¼ 4, cioè la disequazione è verificata 8x 6¼ 4; l insieme delle soluzioni è quindi Schema riassuntivo er le disequazioni di secondo grado S ¼ R f4g ¼ ð ; 4Þ [ð4 ; þþ: y 6 O A 4 x igura 4 Prooniamo, qui di seguito, uno schema riassuntivo in cui si è considerato solo il caso in cui il rimo coefficiente della disequazione di secondo grado in forma canonica è ositivo ða > 0Þ; ciò non è riduttivo erché, se fosse a < 0, basterebbe moltilicare entrambi i membri della disequazione er e cambiare il verso del simbolo di diseguaglianza er ottenere una disequazione equivalente e con il rimo coefficiente ositivo. Per esemio si ha x þ 4x > 0! x 4x þ < 0; 5x x 0! x 5x 0; ecc: a > 0 ¼ b 4ac arabola + > 0 ( x < x ) x x x ¼ 0 + b x=x= a x valori di x che verificano la disequazione ax þ bx þ c > 0 ax þ bx þ c 0 ax þ bx þ c < 0 ax þ bx þ c 0 x < x _ x > x x x _ x x x < x < x x x x con qualsiasi x x 6¼ b a 8x R nessun valore di x x ¼ b a < 0 + x 8x R 8x R nessun valore di x nessun valore di x Moduli di lineamenti di matematica A - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S..A. - Novara

11 Da questo schema lo studente uò dedurre le seguenti osservazioni, utili er la risoluzione delle disequazioni della forma ax þ bx þ c 0oax þ bx þ c 0. Se è > 0 e il rimo coefficiente è concorde con il verso della disequazione, allora la disequazione è verificata er valori di x esterni all intervallo delle radici ðx ; x Þ. Se è > 0 e il rimo coefficiente è discorde con il verso della disequazione, allora la disequazione è verificata er valori di x interni all intervallo delle radici ðx ; x Þ. Se è < 0 e il rimo coefficiente è concorde con il verso della disequazione, allora la disequazione è semre verificata. Se è < 0 e il rimo coefficiente è discorde con il verso della disequazione, allora la disequazione è mai verificata. Si noti infine che se è ¼ 0, oltre alla risoluzione grafica, uò essere agevole risolvere la disequazione di secondo grado riducendo il binomio ax þ bx þ c a un quadrato erfetto. x 6x þ 5 > 0! x < _ x > 5, essendo x ¼ ; x ¼ 5: 4x 0! x _ x : 4 x x > 0! x þ x 4 < 0! 4 < x < : 4 4x x þ 9 > 0! x 6¼ infatti è ¼ 0ex ¼ x ¼ oure: 4x x þ 9 > 0! ð x Þ > 0! x 6¼ : 5 x 5x þ 8 < 0! nessun valore di x infatti è ¼ 5 64 < 0 e il rimo coefficiente è discorde con il verso della disequazione : 6 5x x 0! x 5x 0! x 0 _ x 5 : 7 4x 0x þ 5 0! x ¼ 5 infatti è ¼ 0 e, er x ¼ x ¼ 5 ; è 4x 0x þ 5 ¼ 0, mentre non uò essere 4x 0x þ 5 < 0 er alcun valore di x. 8 x þ x þ 5 > 0! 8x R (infatti è ¼ < 0 e il verso della disequazione è concorde con il rimo coefficiente). 9 Risolvere la disequazione letterale x 4x þ 4 9a > 0; con a R: Il discriminante del trinomio osto al rimo membro varia al variare del arametro a; infatti è 4 ¼ 4 4 þ 9a ¼ 9a e quindi si ha Esaminiamo quindi i due casi ossibili. o caso. Sia a ¼ 0: la () assume la forma ¼ 0 er a ¼ 0 > 0 er a 6¼ 0: ðþ Disequazioni algebriche: richiami e comlementi TEORIA x 4x þ 4 > 0! ðx Þ > 0! x 6¼ : Moduli di lineamenti di matematica A - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S..A. - Novara

12 TEORIA Disequazioni algebriche: richiami e comlementi o caso. Sia a 6¼ 0 : x ¼ a ; x ¼ þ a. Poiché il verso della disequazione è concorde con il rimo coefficiente, la () è verificata er valori di x esterni a x e x ; dobbiamo quindi confrontare tra loro le due soluzioni, ottenendo x < x! a < þ a! a > 0; x > x! a < 0: Quindi la () è verificata se è a < 0 er x < þ a _ x > a se è a > 0 er x < a _ x > þ a. 0 Risolvere la disequazione kx ðk Þx k < 0; con k R: () Osserviamo che il rimo coefficiente, essendo uguale al arametro k, cambia segno al variare di k e recisamente si ha o coeff. > 0 er k > 0 e o coeff. < 0erk < 0. Il discriminante è ¼ðk Þ þ 4k ¼ðk þ Þ e, ertanto, è > 0 8 k R: le due radici sono e k (la rima radice esiste er k 6¼ 0). k Consideriamo ora i ossibili casi determinati dalla variazione del arametro k. o caso. Sia k < 0 (il rimo coefficiente è negativo e risulta concorde con il verso della disequazione). In tal caso, oiché risulta k < 0e k > 0, la () è verificata er x < k _ x > k. o caso. Sia k > 0 (il rimo coefficiente è ositivo e quindi risulta discorde con il verso della disequazione). In questo caso risulta < 0ek > 0. k La () è quindi verificata er k < x < k. o caso. Sia k ¼ 0 (il rimo coefficiente è nullo). La () si riduce a una disequazione di rimo grado, verificata er x < 0. Disequazioni frazionarie e di grado sueriore al secondo 5 Esoniamo ora un metodo er risolvere le disequazioni frazionarie e le disequazioni di grado sueriore al secondo. Suorremo che l incognita della disequazione sia la lettera x.. Si trasortano tutti i termini al rimo membro della disequazione, in modo che al secondo membro comaia solo lo zero.. Si cerca di scrivere l esressione al rimo membro come rodotto di olinomi di rimo o di secondo grado in x oure come un unica frazione, avente er numeratore e er denominatore olinomi di rimo o secondo grado in x o rodotti di tali olinomi: si determina quindi il dominio della disequazione.. Si studia il segno di ciascuno dei olinomi di rimo o secondo grado rima determinati. 4. Si disegna uno schema grafico che riassuma il variare dei segni dei singoli fattori al variare del valore dell incognita x. 5. Ricordando che il segno di un rodotto o di un raorto è ositivo se i fattori negativi sono in Moduli di lineamenti di matematica A - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S..A. - Novara

13 numero ari, negativo se i fattori negativi sono in numero disari, si stabilisce il segno che assume l esressione al rimo membro della disequazione al variare di x. Si tenga resente che, in corrisondenza dei valori di x er cui si annulla un fattore al numeratore, si annulla anche l intera esressione (urché, er tale valore, non si annulli anche il denominatore); in corrisondenza di quei valori di x er cui si annulla un fattore al denominatore, invece, l esressione al rimo membro erde senso e con essa erde senso la disequazione (*). 6. Tenendo conto dei risultati così ottenuti si determinerà infine l insieme delle soluzioni della disequazione. Risolvere la disequazione frazionaria x þ x : Cominciamo con il trasortare al rimo membro i termini che figurano al secondo membro ðx Þ ðx Þð xþ ð xþ ðx Þð xþ 0! x þ x 4 ðx Þð xþ 0: Il rimo membro è ora una frazione il cui numeratore è un olinomio di secondo grado e il cui denominatore è il rodotto di olinomi di rimo grado: il dominio della disequazione è R ; : Studiamo il segno dei fattori che comaiono nell esressione di tale frazione. Per studiare il segno di ciascun fattore basta risolvere la disequazione che si ottiene onendo tale fattore maggiore di zero. Per semlicità chiameremo N il numeratore e D, D i fattori del denominatore N N ¼ x þ x 4 > 0! x < 4 _ x > D ¼ x > 0! x > ; D ¼ x > 0! x < : 4 D D + + N D D igura Raresentiamo ora il segno di questi tre fattori su tre linee arallele, tratteggiate in corrisondenza dei valori di x er cui il risettivo fattore è negativo e continue in corrisondenza dei valori di x er cui è ositivo. Un tondino raresenta l annullarsi del fattore (fig. ). Su una quarta linea, arallela alle recedenti raresentiamo il segno della frazione al rimo membro della (). Nell intervallo ; 4 vi è un solo fattore negativo e quindi è negativo anche il rimo membro della disequazione. La quarta linea, erciò, a sinistra di 4 dev essere tratteggiata. Per x ¼ 4 si annulla il numeratore (e non il denominatore) e erciò si annulla anche la frazione. Disegniamo dunque un tondino sulla quarta linea in corrisondenza di 4. ðþ ðþ Disequazioni algebriche: richiami e comlementi TEORIA (*) Tali valori evidentemente non aartengono al dominio della disequazione. Moduli di lineamenti di matematica A - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S..A. - Novara

14 4 Nell intervallo 4 ;, essendovi due fattori negativi, la frazione risulta ositiva. La quarta linea erciò, a destra di 4 e a sinistra di,ècontinua. TEORIA Disequazioni algebriche: richiami e comlementi Per x ¼ si annulla un fattore del denominatore e ertanto non ha senso la frazione: disegniamo quindi una crocetta sulla quarta linea in corrisondenza del unto che raresenta il nume- ro, il numero che non aartiene al dominio della disequazione. Nell intervallo ; vi sono tre fattori negativi e quindi la frazione è negativa. Per x ¼ si annulla il numeratore (e non il denominatore) e quindi si annulla anche la frazione. Nell intervallo ð ; Þ vi sono due fattori negativi e la frazione risulta quindi ositiva. Per x ¼ si annulla un fattore del denominatore e erciò la frazione erde significato (il numero non aartiene al dominio della disequazione). Nell intervallo ð ; þþ essendovi un solo fattore negativo la frazione risulta negativa. Possiamo ora risolvere la disequazione (), equivalente alla (): si tratta di stabilire quali sono i valori di x er cui la frazione al rimo membro della () è negativa o nulla. Osservando la quarta linea del grafico di figura si deduce che tale frazione è negativa o nulla er x 4 _ < x _ x >! S ¼ ; 4 Sia da risolvere la disequazione x þ x 4x 4 < 0: [ ; [ð ; þþ: Essendo la () una disequazione intera essa ha er dominio l insieme R dei numeri reali. Il secondo membro è già zero. Scomoniamo in fattori il olinomio al rimo membro, ottenendo x ðx þ Þ 4ðx þ Þ < 0! ð x þ Þðx 4Þ < 0!! ð x þ Þðx Þðx þ Þ < 0: Studiamo ora il segno di ciascuno dei tre fattori. A ¼ x þ > 0! x > B ¼ x > 0! x > C ¼ x þ > 0! x > : A B C A B C + + ðþ igura 4 Raresentiamo ora il segno di tali tre fattori su tre linee arallele e deduciamo quindi il segno del rimo membro della (), che raresentiamo su una quarta linea. Le soluzioni della () sono quei valori di x er cui il olinomio al rimo membro risulta negativo. Tali valori, come si deduce dal grafico di figura 4, sono x < _ < x <! S ¼ ð ; Þ[ð ; Þ: Risolviamo la disequazione x x 5x þ 8 > 0: ð4þ Il denominatore della (4) ha discrimante negativo, essendo ¼ 5 < 0, e ertanto non si annulla mai: il dominio della disequazione è quindi R. Poiché il numeratore è ositivo er qualsiasi valore di x 6¼ 0, basterà, affinché la (4) sia verificata, che sia ositivo anche il denominatore: dovrà quindi essere x 5x þ 8 > 0: Moduli di lineamenti di matematica A - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S..A. - Novara

15 5 Quest ultima disequazione è verificata er qualsiasi valore di x e quindi la (4) è soddisfatta er x 6¼ 0. 4 Sia da risolvere la disequazione x 6 7x 4 þ 4x 8 < 0: Il dominio della disequazione è R. Detto PðxÞ il olinomio al rimo membro, si trova subito che è Pð Þ ¼0ePðÞ ¼0; ertanto, er il teorema del resto, risulta che PðxÞ è divisibile sia er x þ sia er x e, con la regola di Ruffini, si ottiene che la (5) uò scriversi ðx þ Þðx Þðx 4 6x þ 8Þ < 0: Cerchiamo ora di scomorre anche il trinomio x 4 6x þ 8, osservando che x 4 6x þ 8 ¼ 0 è un equazione biquadratica: onendo x ¼ y, essa si scrive y 6y þ 8 ¼ 0 e ha er radici y ¼ ey ¼ 4. Ricordando la scomosizione in fattori del trinomio di secondo grado, si avrà cioè, essendo y ¼ x, La (6) si riduce così alla disequazione y 6y þ 8 ¼ðy Þðy 4Þ; x 4 6x þ 8 ¼ðx Þðx 4Þ: ðx þ Þðx Þðx Þðx 4Þ < 0: Procediamo ora al solito modo ed esaminiamo quindi il segno di ciascun fattore che comare nel rimo membro della (7): con l aiuto dell oortuno schema si ottiene che la (7), e quindi la (5), è verificata er < x < ffiffiffi ffiffiffi _ < x < _ < x < : Sistemi di disequazioni 6 Quando si considerano contemoraneamente iù disequazioni, tutte nella stessa incognita, si ha un sistema di disequazioni. Per dominio di un sistema di disequazioni si intende l insieme dei numeri reali er i quali hanno significato tutte le disequazioni del sistema, cioè l intersezione dei domini delle disequazioni del sistema. Si dice che un numero è una soluzione di un sistema di disequazioni se, sostituito all incognita, trasforma tutte le disequazioni del sistema in diseguaglianze vere. Perciò er risolvere un sistema di disequazioni è sufficiente risolvere singolarmente ciascuna disequazione e quindi considerare l intersezione degli insiemi delle loro soluzioni: tale insieme è l insieme delle soluzioni del sistema. Per determinare tale insieme è utile raresentare graficamente l insieme delle soluzioni di ciascuna disequazione; esaminando tale raresentazione sarà facile determinare l insieme delle soluzioni del sistema: esso, se non è vuoto, sarà costituito da tutti quegli intervalli in cui sono soddisfatte tutte le disequazioni. Tali intervalli, nella raresentazione da noi usata, sono quelli in cui tutte le linee, che raresentano gli insiemi delle soluzioni delle disequazioni del sistema, sono continue (*). ð5þ ð6þ ð7þ Disequazioni algebriche: richiami e comlementi TEORIA (*) In qualche caso articolare un intervallo di soluzioni uò ridursi a un unico elemento. Per esemio la soluzione del sistema x è, evidentemente, x ¼ e erciò è S ¼fg; questo insieme uò essere considerato un intervallo chiuso i cui estremi x coincidono con l elemento. Moduli di lineamenti di matematica A - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S..A. - Novara

16 6 TEORIA Disequazioni algebriche: richiami e comlementi Risolviamo insieme il sistema x þ 0 x < 0: Il dominio del sistema è R. Risolvendo le due disequazioni e indicando con S ed S risettivamente l insieme delle soluzioni della rima e quello delle soluzioni della seconda, si avrà che l insieme S delle soluzioni del sistema () è S ¼ S \ S : 8 >< x Si ha quindi x < e, er determinare S, raresentiamo graficamente in figura 5 gli insiemi S e S. Abbiamo raresentato il unto x ¼ sulla rima linea con un circoletto ie- >: no erché S, mentre il unto x ¼ sulla seconda linea è raresentato con un circo- letto vuoto erché 6 S : Dalla figura 5 si uò vedere che l insieme S \ S è costituito dall intervallo S ¼ ; e quindi il sistema () risulta verificato er x < : Sia da risolvere il sistema Il dominio del sistema è R f 4g. 8 >< x 4 þ x 0 >: x x > 0: S S () igura 5 a disequazione. È una disequazione frazionaria che risolviamo con il metodo esosto nel n. 5: si ottiene che è verificata er 4 < x _ x. a disequazione. x x > 0! x < 0 _ x > : S S igura Risolviamo il seguente sistema che ha er dominio R: ( þ x 0 ( x x > 0 x þ < 0! x 6¼ 0 x < : Raresentiamo in figura 7 gli insiemi S, S, S delle soluzioni delle tre disequazioni: si uò vedere che esse non sono mai verificate contemoraneamente er alcun valore di x. Si deduce così che il sistema dato è imossibile. ðþ Raresentiamo, in figura 6, gli insiemi S e S delle soluzioni delle due disequazioni. L insieme delle soluzioni del sistema () è S ¼ S \ S ¼ð 4 ; Š [ð ; þþ e quindi il sistema () risulta verificato er 4 < x _ x > : S S S 0 igura 7 Avvertenza. Nel seguito, trattando di disequazioni razionali intere, ometteremo di dichiarare eslicitamente il dominio R. Moduli di lineamenti di matematica A - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S..A. - Novara

17 7 Moduli o valori assoluti 7 Ricordiamo la definizione di modulo (o valore assoluto) di un numero reale; se x è un generico numero reale è ( x er x 0 jxj ¼ x er x < 0 Per esemio se è x ¼þ > 0 sarà jþj ¼ se è x ¼ < 0 sarà j j ¼ ð Þ ¼ se è x ¼ 0 sarà j0j ¼0. Dalla definizione data, quindi, si deduce che jxj > 0 er x 6¼ 0 jxj 0 er 8x R: Semre dalla definizione data, risulta che numeri oosti hanno lo stesso modulo jj ¼ ; j 5j ¼jþ5j ; jxj ¼j xj ; ja bj ¼jb aj ; ecc: Concludendo, due numeri reali avranno lo stesso valore assoluto o se sono uguali o se sono oosti jaj ¼jbj ()a ¼ b _ a ¼ b Inoltre è jabj ¼jajjbj e a b ¼ jaj jbj : a; b R 8 In base alla definizione di valore assoluto è ossibile risolvere raidamente semlici e articolari tii di equazioni e di disequazioni in cui comaia il valore assoluto di esressioni contenenti l incognita, come si uò vedere dai seguenti esemi. Risolvere l equazione jxj ¼4. Si tratta di determinare i numeri x il cui valore assoluto è 4 e quindi, er quanto visto nel aragrafo recedente, si ha x ¼4: Le equazioni jxj ¼ 5 jx 7j ¼ sono imossibili, erché il valore assoluto di un numero reale non uò essere negativo. Risolvere l equazione jx xj ¼0. Il valore assoluto di un numero reale è zero quando il numero è zero e erciò jx xj ¼0! x x ¼ 0! x ¼ 0 _ x ¼ : Disequazioni algebriche: richiami e comlementi TEORIA 4 Risolviamo l equazione jx j ¼4. Essa equivale a x ¼4! x ¼ 4 _ x ¼ 4! x ¼ 7 _ x ¼ : 5 Risolvere l equazione jx j ¼j4 xj. Moduli di lineamenti di matematica A - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S..A. - Novara

18 8 Si è visto che due numeri reali sono uguali in valore assoluto o quando sono uguali o quando sono oosti jx j ¼j4 xj!x ¼ 4 x _ x ¼ ð4 xþ!! 5x ¼ 7 _ x ¼! x ¼ 7 5 _ x ¼ : TEORIA Disequazioni algebriche: richiami e comlementi 6 La disequazione jx j < 0èimossibile erché il modulo di un numero reale non uò essere negativo. Invece la disequazione jx j 0èsoddisfatta solo er x ¼, valore er cui il rimo membro è zero. 7 La disequazione jx 5j 0èsemre verificata. Invece la disequazione jx 5j > 0èsoddisfatta er x 6¼ 5 (infatti er x ¼ 5 la disequazione diviene la diseguaglianza 0 > 0 che è falsa). 8 Ricordando il significato di valore assoluto, è evidente che le disequazioni jx j > sono semre verificate; invece le disequazioni non ammettono soluzioni. jx þ 7x 8j > j4x j < jx 7 x 6 j < ; 7 9 La disequazione jx jþjx j > 0 è soddisfatta er x 6¼ ; infatti la somma di due moduli è ositiva tranne nel caso in cui essi siano contemoraneamente nulli ossia, in questo caso, tranne che er x ¼. 0 La disequazione jx jþjx 6j > 0èsemre verificata erché, a differenza del caso del recedente esemio, i due moduli non ossono essere contemoraneamente nulli. Risolvere l equazione jx 6x þ 5j ¼5 x. Ricordando la definizione di valore assoluto si ha jx 6x þ 5j ¼5 x! x 6x þ 5 0 _ x 6x þ 5 ¼ 5 x! x _ x 5 _ x ¼ 0 _ x ¼ 5 ( x 6x þ 5 < 0 ðx 6x þ 5Þ ¼5 x < x < 5 x ¼ _ x ¼ 5: Il rimo sistema è verificato er x ¼ 0 _ x ¼ 5, il secondo er x ¼ e quindi l equazione data è verificata er x ¼ 0 _ x ¼ _ x ¼ 5. Sia da risolvere l equazione j4 þ xj ¼j5 xjþ7x. Determiniamo, darima, er quali valori di x gli argomenti dei due moduli sono ositivi 4 þ x > 0 er x > 4 5 x > 0 er x < 5 ; disoniamo ora in ordine crescente i due caisaldi 4 e 5! ed esaminiamo lo schema in figura 8. 4+x> x>0 igura 8 Moduli di lineamenti di matematica A - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S..A. - Novara

19 9 Dallo schema si caisce che è necessario distinguere tre casi: infatti er x < 4 èj4 þ xj ¼ ð4 þ xþ e j5 xj ¼5 x er 4 x 5 è j4 þ xj ¼4 þ x e j5 xj ¼5 x er x > 5 è j4 þ xj ¼4 þ x e j5 xj ¼ ð5 xþ. Le soluzioni dell equazione data sono quindi le soluzioni dei tre seguenti sistemi misti ( x < 4 x < 4! 4 x ¼ 5 x þ 7x x ¼ non accettabile > 4 8 ( 4 x 5 >< 4 x 5! 4 þ x ¼ 5 x þ 7x x ¼ 4 accettabile 4 < 4 < 5 >: 8 ( x > 5 >< x > 5! 4 þ x ¼ 5þx þ 7x x ¼ non accettabile 8 < 5 >: L equazione ha quindi er unica soluzione x ¼ 4. 9 In alcune alicazioni caita di dover risolvere disequazioni del tio jf ðxþj < k con k > 0 oure jf ðxþj > k con k > 0: Si noti che, se k fosse un numero negativo o nullo, saremmo già in grado di risolvere le disequazioni jf ðxþj < k o jf ðxþj > k in base al concetto stesso di modulo di un numero reale (si vedano gli esemi 6, 7, 8 del n. 8). Risoluzione della disequazione j f ðxþj < k, con k > 0 Quindi la disequazione equivale ai due sistemi f ðxþ 0 f ðxþ < k 0 Incominciamo a considerare la disequazione j f ðxþj < k, essendo k R þ e f ðxþ una qualsiasi esressione nella variabile x. Ricordando la definizione di valore assoluto, si ha f ðxþ se e f ðxþ 0 jf ðxþj ¼ f ðxþ se e f ðxþ < 0: _ f ðxþ < 0 f ðxþ < k jf ðxþj < k ( f ðxþ 0! f ðxþ < k _ f ðxþ < 0 f ðxþ > k: ðþ Disequazioni algebriche: richiami e comlementi TEORIA La () è quindi verificata er 0 f ðxþ < k _ k < f ðxþ < 0 cioè er k < f ðxþ < k. Moduli di lineamenti di matematica A - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S..A. - Novara

20 0 Riassumendo, scriveremo jf ðxþj < k () k < f ðxþ < k; k > 0 () TEORIA Disequazioni algebriche: richiami e comlementi Si noti che risolvere la relazione k < f ðxþ < k equivale a risolvere il sistema ( f ðxþ < k f ðxþ > k: Pertanto, detto S l insieme delle soluzioni della () e S quello delle soluzioni della (4), l insieme delle soluzioni della disequazione jf ðxþj < k è dato da S ¼ S \ S : Risolviamo la disequazione jx 4xj < : ( jx 4xj <! < x 4x <! x 4x > x 4x < (! x ( 4x þ > 0! x < _ x > x 4x < 0 ffiffiffi ffiffiffi 7 < x < þ 7 ; con l ausilio di un oortuno grafico si uò dedurre che il sistema e quindi la disequazione data sono verificati er ffiffiffi ffiffiffi 7 < x < _ < x < þ 7 : Risoluzione della disequazione j f ðxþj > k, con k > 0 oure Quindi la disequazione è verificata er Riassumendo, scriveremo! Consideriamo la disequazione jf ðxþj > k, con k R þ. Semre ricordando la definizione di valore assoluto, essa equivale ai due sistemi f ðxþ 0! f ðxþ > k f ðxþ > k f ðxþ < 0 f ðxþ > k! f ðxþ < 0 f ðxþ < k jf ðxþj > k f ðxþ > k _ f ðxþ < k.! f ðxþ < k: jf ðxþj > k () f ðxþ < k _ f ðxþ > k; k > 0 () ðþ ð4þ ðþ Se indichiamo con S l insieme delle soluzioni della disequazione f ðxþ < k e con S quello della disequazione f ðxþ > k, allora si uò notare che l insieme delle soluzioni della disequazione jf ðxþj > k è S ¼ S [ S : Moduli di lineamenti di matematica A - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S..A. - Novara

21 Risolviamo la disequazione j þ xj > 5: Per la () si ha þ x < 5 _ þ x > 5, da cui x < 6 _ x > 4! x < _ x > : Risolviamo j4 x j > 5: () Dalla () si ha che deve essere 4 x < 5 _ 4 x > 5! x > 9 _ x < : Poiché la seconda disequazione x < è imossibile, la () è verificata solo er x > 9! x < _ x > : Altre disequazioni in cui comaiono valori assoluti ediamo insieme qualche esercizio. Risolvere la disequazione jx jþx > 5. Ricordando che jx j ¼x er x 0 jx j ¼ x er x < 0; la () equivale a x 0 x þ x > 5 ðþ _ 8 < x Il sistema () è risolto er : x > < x < Il sistema () è risolto er : x >! < x <! S ¼! x! S ¼½ ; þþ: Riunendo i risultati si vede che la () è verificata er x S ¼ S [ S ¼ S [ S ¼ ; [½ ; þþ ¼ Risolvere la disequazione Esaminiamo, er rima cosa, il segno di ciascuno degli argomenti dei due moduli resenti nella disequazione, servendoci dello schema in figura 9. jx j < j xj: x >0 x < 0 x þ x > 5: ; : I quattro casi che si resentano ossono x>0 essere esaminati nei tre seguenti sistemi 8 >< x _ x! x >: ; x < ð xþ ; þ, cioè er x >. () () ð4þ igura 9 Disequazioni algebriche: richiami e comlementi TEORIA Moduli di lineamenti di matematica A - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S..A. - Novara

22 0 Disequazioni algebriche: richiami e comlementi ESERCIZI Disequazioni algebriche: richiami e comlementi Disequazioni di rimo grado Disequazioni numeriche intere x þ < 5 x; > 5 þ ð xþ: ½x > ; x > Š ðx Þ < x; > ðx Þ. x < 4 5 ; x < ðx 7Þ > ð4 xþ; 4x < x ð þ xþ. x > 6 5 ; x > 7 4 x þ ð þ 5xÞ > 0; ðx þ Þ < ð xþ. x > 6 7 ; x < 5 ðx þ Þ 8 ðx Þ ; x ð xþ 0. x ; x 6 ðx þ Þ þ > ½6 ð xþšx; ðx þ 5Þðx þ Þ < ðx þ 9Þðx þ Þ: ½x < ; x > Š 7 ð þ xþ þ x ð 5xÞ; ð0 x þ Þ > 4ð4 x þ Þ þð6 x þ Þ : x ; x < 6 x 8 > x 4 x þ ; > x x > 4; x > ðx þ Þ > 4 ðx Þ ; ½x ðþxþš > x 6 ð xþ. x < 7 ; x < 9 0 x x ðx 4Þ. ½x Š x x 4 ðx Þ < x x x < 46 ðx þ Þðx Þ x þ ðx Þ. x 5 7 ð xþ 7 x þ 5 x > 0. x < ½ðx Þ xðx ÞŠ ð 5xÞ. ½imossibileŠ 5 x þ 5 ð xþ > x. x < x 4 x 4 x. x 60 Moduli di lineamenti di matematica A - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S..A. - Novara

23 þ 7x 7 x 5 0 x > 4 þ 5 ð xþ. x > x x þ 8 5 x < ; 4 5 x > x. ðx Þ x þ 4 9 ðx þ Þ x 6x > 0 4ðx 7Þðx þ 7Þ < ðx 5Þ 6; ðx þ Þ x x þ > x: 4 x ðx Þ ðx þ Þ ðx þ Þ > ðx þ Þ 4ðx þ Þ : ðx þ Þ 4x ðx þ Þ < ðx Þ : 4 5 x þ xð 5xÞ xð xþ < : 5 5 ð xþð þ xþ 6 ðx þ Þ < ðx þ Þ þ 0x þ x > x 6 ðx Þ : : 4 x < x xðx Þ x < 7 ; x < 0. ½x > Š x > 0: x < 8; x > x > 6 x > 8 5 x < 4 x < 4 x < 8 x > 9 8 ðx Þ ðx Þ 7 þ. ½x < 0Š ffiffi ffiffi ffiffi 8 ðx Þ < x; xð Þ > x. x > ð þ ffiffi ffiffi þ 6 Þ; x > 7 9 4xð ffiffi x þ x þ Þ < ffiffi ; ffiffi > x ffiffi. x > þ þ 9 ; x < ffiffi Disequazioni algebriche: richiami e comlementi ERO O ALSO 0 ð ffiffi ffiffi Þx >! x < ð þ Þ. x < þ ffiffi ffiffi x! x < þ. x > ffiffi ffiffi 5 x! x > ð þ 5 Þ. ESERCIZI L insieme A ¼fx N jx < 5 xg è uguale all insieme B ¼f0 ; g. 4 L insieme A ¼fx N jð xþþ > 0g è un sottoinsieme di B ¼fx N 0 j4ðx Þ > g. Moduli di lineamenti di matematica A - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S..A. - Novara

24 ESERCIZI Disequazioni algebriche: richiami e comlementi 5 I valori x N 0, che rendono vero il redicato ðxþ: x x þ ð xþ > sono 0 e : 6 Dati gli insiemi A ¼fx Rjðx Þðx þ Þþx xðx Þg e B ¼fxRjx þðx Þðx þ Þ > þðxþþ g,èa [ B ¼ R. ffiffi x x 7 La disequazione < 5 è verificata er x < 6 5 ffiffi. ffiffi ffiffi ffiffi ffiffi 8 La disequazione ðx Þ 5 ðx 5 Þ < è verificata er x > ffiffi ffiffi 5 þ. Disequazioni letterali intere COMPLETARE... La disequazione kx < èverificata er x < k quando è k::::::; èverificata er x > k quando.... Se è k ¼ 0, la disequazione kx < èverificata.... Risolvendo la disequazione ðk Þx > 5, si ottiene er k > :::! x > 5 5 ; er k ¼! :::::::::::; er k:::! x < k ::::::::: : Risolvendo la disequazione ðk Þx þ 6 0 si ottiene er k > :::! x 6 k ; er k ¼! :::::::::: ; er k::: 6! x ::::::::::. x 4 0èverificata er qualsiasi valore reale di x solo se è a::::. a x 5 0èverificata 8x R solo se è a::::. a 6 þ ax < þ ax, con a > 0; þ ax < þ ax, con a < 0. 4 x a 4ax 7 þ a < ax 4 4. x a 8 b x < ; ða > 0; b > 0Þ. b a x < a ; x > a ½x < aš x < a þ b þ ab a þ b x 9 a þ x ða þ bþ; ða < 0; b < 0Þ. ½x abš b a x 0 b a x b b x a b x a con a > b > 0. ½x a þ bš con 0 < a < b. ½x a þ bš Moduli di lineamenti di matematica A - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S..A. - Novara

25 a x b x con a < b < 0. ½x a þ bš b a ðx þ ffiffi a Þ þ b < ðx þ ffiffi b Þ ffiffi ffiffi þ xð a þ b Þ; con a > 0; b > 0. x > a 4 ffiffi b 4 xða þ Þ 4þa > 0; con a > 0. ½x > aš 5 xða þ Þ ða þ Þð aþ > 0. ½a > : x > a; a ¼ : nessun valore di x; a < : x < aš 6 aðx aþ < ðx Þ. ½a > : x < a þ ; a ¼ : nessun valore di x; a < : x > a þ Š ax 7 a x þ 8 x x > a 9 þ kx k þ x þ. x x 0 a þ a þ. < x þ ða Þ ða Þ ; a 6¼. a > : x < ; a < : x > a. a 6¼ ; a > : x > 4 a; a < : x < 4 a k ¼ : diseq. riva di senso; k < : x 5 k ; k > : x 5 k a ¼ : diseq. riva di senso; a > : x þ 4 a; a < : x þ 4 a ða Þðx Þ ðx Þða þ Þ > ax. a > : x < a þ a þ ; a < : x > a þ a þ ; a ¼ : 8x R ðx þ aþðx bþ < ðx aþðx þ bþ. ½a > b : x < 0; a < b : x > 0; a ¼ b: nessun valore di xš 4 x a > x x a a 6 a. ax x > 0. a a a ¼ 0: disequazione riva di senso; a < 0 : x < a 7 a ; 0 < a < 7 : x > a a ; a ¼ 7: nessun valore di x; a > 7 : x < 7 a 7 a deve essere a 6¼ 0; a < 0 : x > 4a ; 0 < a < 4 : x < 4a ; a ¼ 4 : 8x R; a > 4 : x > 4a x 5 a þ a b > b a x ; con a > 0; b < 0: b ½a > b : x < b a; 0 < a < b : x > b a; a ¼ b: nessuna soluzioneš 6 ax a þ x þ < : 4 a > : x < þ a ; deve essere a 6¼ ; 9a 9 < a < : x > þ a 9a ; a ¼ 9 : nessuna soluzione; a < 9 : x < þ a 9a Disequazioni algebriche: richiami e comlementi ESERCIZI Moduli di lineamenti di matematica A - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S..A. - Novara

26 4 Esercizi vari 7 Determinare i valori del arametro reale a er i quali è ositiva la soluzione dell equazione x þ a ¼ x a þ. ½a < Š ESERCIZI Disequazioni algebriche: richiami e comlementi 8 Determinare i valori di k er i quali è minore di la soluzione dell equazione þ k x x þ ¼ 7k 5 þ x. ½k < Š 9 Determinare i valori di k er i quali è minore di la soluzione dell equazione ERO O ALSO x þ k 5 ¼ k þ x. xðx a þ Þþ 0 La soluzione dell equazione ¼ að xþþx, con a R, è minore di er a < 5 6. L insieme delle soluzioni della disequazione axð aþ aðx aþþ, con a R, èl intervallo S ¼ ; a a. La soluzione dell equazione x þ 5 k ¼ x kð þ xþþ è maggiore x di er k < 6. QUESITI A RISPOSTA MULTIPLA L equazione 5k ¼ 5 þ x x þ 5k þ x þ ammette er soluzione un numero minore di quando il arametro è a) k < 0; b) k < ; c) k > ; d) k < 7. 4 L equazione x x þ k ¼ 0 ha radici reali er a) k > ; b) k < 5 4 ; c) k 5 ; d) k. 4 k < 6 5 La disequazione x þ x > x, con k > 0, è verificata er k k a) x < 6k ; b) x < ; c) x > 6k 6k ; d) x > 6k. Moduli di lineamenti di matematica A - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S..A. - Novara

27 5 6 Le soluzioni della disequazione ðk 4Þx k 6 sono a) er k < 4! x k þ 4; b) er k ¼ 4! 8 x R; c) er k 4! x k þ 4; d) er k > 4! x k þ 4; e) er k < 4! x k þ 4; f) er k 4! x k þ 4: Determinare i valori del arametro k er i quali le seguenti equazioni hanno radici reali: 7 x x þ k 5 ¼ 0; x 9 þ k ¼ 0. k 98 ; k 9 8 4x k þ ¼ 0; x þ ð kþx þ k ¼ 0. k ; k 9 kx ðk Þx þ k ¼ 0. ½k Š 40 Determinare i valori di x che rendono vero il redicato ðxþ : aðx þ Þþa < ax þ. a > 0 : x > Disequazioni di secondo grado Disequazioni numeriche intere a ; a < 0 : x < a a ; a ¼ 0 : 8x R a 4x > 0; 5x 0: ½x 6¼ 0; x ¼ 0Š x þ 4 > 0; x < 0. ½8x R; x 6¼ 0Š x x > 0; 5x 4x > 0. 0 < x < ; x < 0 _ x > x þ < 0; x x > 0. ½nessun valore di x; x < 0 _ x > Š 5 x > 0; x 4 > 0; 4x x > 0. ½nessun valore di x; x < _ x > ; 0 < x < 4Š 6 x þ 5 > 0; x x > 0. ½8x R; x < _ x > Š 7 x x 0; x x þ > 0. ½0 x ; x 6¼ Š 8 4x 4x þ 0; x 5x þ 7 > 0. ½8x R; 8x RŠ 9 x þ 5x þ 6 0; x 9 > 0. ½ x ; x < _ x > Š 0 x 8x þ 0; x 5x þ 6 > 0. ½x _ x 6; x < _ x > Š x þ 9x < 0; 4x þ > 0. ½x < 0 _ x > ; 8x RŠ x 0x þ < 0; 5 x x > 0. nessun valore di x; < x < 5 Disequazioni algebriche: richiami e comlementi ESERCIZI x þ 6x þ 5 < 0; x þ 4x > 0. ½ 5 < x < ; < x < Š Moduli di lineamenti di matematica A - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S..A. - Novara

28 6 4 x þ x > 0; x þ x þ > 0: x < _ x > ; x 6¼ 5 x þ x þ 0; x x þ 4 > 0: ½8x R; 8x RŠ 6 x þ x 5 > 0; 9x þ x 4 0: nessun valore di x; x ¼ ESERCIZI Disequazioni algebriche: richiami e comlementi 7 x 4x þ 4 > 0; x þ 4x þ 4 0: ½x 6¼ ; x ¼ Š 8 4x 4x þ < 0; x þ x þ > 0: [nessun valore di x; 8x RŠ 9 x þ x 0; x þ 5x 0. x _ x ; x 0 x 4x þ 7 0; x þ x > 7x 0. [nessun valore di x; 8x RŠ x þ 6x 80 < 0; 5x 0. rffiffi rffiffi 0 < x < 4; x 5 5 4xðx Þ þðx 4Þ. ½ x Š xðx þ 5Þ > x ; x > 5x þ. 0 < x < 5; x < _ x > 4 4 4x 4 < 0; 6x 0x þ 6 > x. 4 < x < 4 ; x < _ x > 5 5 5ð4x Þþðx 5Þ 0; 5x > 8x 6 5. x 90 _ x 0; x 6¼ x 6 9ðx þ 4Þ ðx þ 4Þþ5 > ; x 7 þ 5 ðx Þðx Þ < ; 6 ðx Þ 4 x ð þ x Þ < x þ 5. ½x < 6 _ x > 7; 8x RŠ x < _ x > 65 ; 8x R < 7 x. 4 ffiffi ffiffi 8 ðx Þðx Þ ðx Þ½ðx ÞþxŠ < 0. x < _ x > 9 ðx þ 5Þ ðx Þðx þ Þ > ðx þ Þ. ½ < x < 0Š x ð xþð þ xþ 0 x þ þ x. ½0 x 6Š 5 5 þ x > 6 4 þ þ x x 4. ½x < _ x > Š x ðx ffiffiffi ffiffi ffiffi ffiffi þ ffiffi 5 5 Þðx þ 5 Þþ 5 < 0. x < 5 _ x > xðx þ Þþ ffiffi ffiffi ffiffi 5 ð xþ < ð 5 Þ. ½ < x < 5 Š ffiffi 4 xð x þ Þþx þ ffiffiffi ffiffi ffiffi ffiffi ffiffi ðx Þ > þ xðx þ Þ. x < _ x > Moduli di lineamenti di matematica A - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S..A. - Novara

29 7 ERO O ALSO 5 x þ 7 0! x 9 _ x 9. 6 x 0! imossibile. 7 4 x x þ > 0! x 6¼. 8 4x þ 4 x þ 9 0! x ¼ 6. 9 x þ x þ > 0! 8x R x x þ 0! nessun valore di x. 4 x þ 0 < 0! nessun valore di x. 4 x 5x þ 00 < 0! 5 x 0. 4 x þ 9 6x 0! x ¼. 44 x þ ax > 0 con a < 0! x < a _ x > x > 4! x > : 46 ð ffiffi Þx þ x < 0! x < 0 _ x > ffiffi þ. 47 x ax < 0; con a > 0! 0 x a. 48 x > 4a ; con a < 0! x < a _ x > a. 49 x ax > 0; con a < 0! x < 0 _ x > a. 50 4ax x > 0 a > 0! x < 0 _ x > 4a a < 0! 0 < x < 4a : Disequazioni algebriche: richiami e comlementi COMPLETARE... 5 x :::5 > 0! 8 x R; x :::7 < 0! imossibile; x :::4 > 0! x < _ x > : 5 x :::::: > 0! x < _ x > ; x :::::: < 0! < x < ; x x:::::: > 0! x 6¼ : ESERCIZI 5 x :::x þ ::: < 0! < x < 5; x :::x þ ::: 0! x 4 _ x 6: 54 x x þ :::0! 8 x R; x þ x þ 5:::0! imossibile. Moduli di lineamenti di matematica A - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S..A. - Novara

30 8 QUESITI A RISPOSTA MULTIPLA 55 x < 5 è verificata er a) x < 5; b) x 5; c) 5 < x < 5; d) x < 5 _ x > x > è verificata er ESERCIZI Disequazioni algebriche: richiami e comlementi a) < x < ; b) x > ; c) x < ; d) x < _ x >. 57 x þ ax > 0 con a < 0èverificata er a) x < 0 _ x > a; b) a < x < 0; c) x < a _ x > 0; d) 0 < x < a. ffiffi ffiffi 58 ð Þx < èverificata er a) x < ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ _ x > ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ ; b) 8x R; c) x > ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ; d) ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ < x < ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ. 59 ð ffiffi Þx þ x > 0èverificata er a) 0 < x < ffiffi ffiffi þ ; b) x < 0 _ x > þ. c) x < ffiffi ffiffi _ x > 0; d) 0 < x <. 60 kx 4k > 0, con k < 0, è verificata er a) ffiffiffi ffiffiffi k < x < k ; b) nessun valore di x; c) ffiffiffiffiffiffi ffiffiffiffiffiffi k < x < k ; d) 4k < x < 0. 6 ðk Þx < k, con 0 < k <, è verificata a) er ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi k þ < x < ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi k þ ; b) 8x R; c) er x > 0; d) er x < ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi k þ _ x > ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi k þ. Determinare er quali valori di k le seguenti equazioni ammettono soluzioni reali: 6 x þ ¼ kx þ 6 k ; ð kþx ðk Þx þ 6 5k ¼ 0. k 85 ^ k 6¼ ; k 6 4xðx kþ ¼ 4k ; ðk Þx x þ k ¼ 0. k ; 7 k 5 64 kx ðk Þx þ k ¼ 0; ðk Þx kx þ k ¼ 0. k ; 8k R Moduli di lineamenti di matematica A - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S..A. - Novara