MATEMATICA per l ECONOMIA

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1 ESAMI e CONCORSI COLLANA TIMONE 201/1 ELEMENTI di MATEMATICA per l ECONOMIA EDIZIONI GIURIDICHE SIMONE Excerpt Gruppo of Editoriale the full Esselibri publication - Simone

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3 TUTTI I DIRITTI RISERVATI Vietata la riproduzione anche parziale Di particolare interesse per i lettori di questo volume: 43/1 Compendio di statistica 43/2 Esercizi svolti per la prova di statistica 43/3 Prepararsi per l esame di statistica 43/4 Compendio di matematica finanziaria e attuariale 43/6 Compendio di statistica economica 43/9 Compendio di demografia 44/A Manuale di economia politica 44/1 Schemi e schede di economia politica 44/2 L esame di economia politica 44/3 Esercizi svolti per la prova scritta di microeconomia 44/6 Matematica per economisti 44/7 Esercizi svolti per la prova di economia pubblica 44/8 Compendio di politica economica 200 Elementi di economia politica 582 Nuovo dizionario di economia Risorse ed approfondimenti gratuiti sono disponibili al seguente indirizzo Internet: A cura di Carla Iodice Impaginazione del testo a cura di Carmela De Marco Finito di stampare nel mese di marzo 2004 dalla «Officina Grafica Iride» - Via Prov.le Arzano-Casandrino, VII Trav., 24, Arzano (NA) VII Traversa, 24, Arzano (NA) per conto della ESSELIBRI S.p.A. - Via F. Russo, 33/D Napoli Grafica di copertina a cura di Giuseppe Ragno

4 PREMESSA Il testo è rivolto sia agli studenti delle facoltà economiche che devono sostenere l esame di Matematica per l economia o Metodi quantitativi per l economia, sia a coloro che necessitano dello strumento matematico per le applicazioni all economia. Il volume non si limita a dare definizioni matematiche con casuali applicazioni economiche ma si distingue per l esplicazione e la dimostrazione dei concetti di analisi matematica funzionali all economia. Il testo è diviso in nove capitoli. Dopo un primo capitolo introduttivo sugli insiemi, il volume, sostanzialmente, è articolato in due parti: la prima, relativa alle funzioni di una variabile, dedica numerose pagine ai concetti di limiti, continuità, derivate e loro applicazioni, e integrali; la seconda, relativa alle funzioni di due variabili, dedica, in modo parallelo alla prima, numerose pagine agli analoghi concetti di limiti, continuità, derivate e loro applicazioni.

5 A α alfa B β beta Γ γ gamma Δ δ delta Ε ε epsilon Ζ ζ zeta Η η eta Θ θ ϑ theta ALFABETO GRECO Ι ι iota Κ κ kappa Λ λ lambda Μ μ mi Ν ν ni Ξ ξ xi Ο ο òmicron Π π pi Ρ ρ rho Σ σ sigma Τ τ tau Υ υ ipsilon Φ ϕ φ phi Χ χ chi Ψ ψ psi Ω ω òmega INDICE DEI SIMBOLI > maggiore < minore maggiore o uguale minore o uguale diverso da infinito tende a quantificatore universale quantificatore esistenziale appartenenza di un elemento ad un insieme non appartenenza di un elemento ad un insieme unione tra insiemi intersezione tra insiemi N insieme dei numeri naturali Z insieme dei numeri interi Q insieme dei numeri razionali R insieme dei numeri reali circa uguale a ± più o meno log logaritmo in base 10 ln logaritmo neperiano lim limite derivata parziale integrale sommatoria produttoria

6 CAPITOLO PRIMO NOZIONI DI TEORIA DEGLI INSIEMI. I NUMERI Sommario: 1. Generalità Operazioni sugli insiemi Prodotto cartesiano. 4. Relazioni tra insiemi I numeri Richiami di calcolo combinatorio. 1. GENERALITÀ Ogni branca della matematica si basa su alcuni concetti della teoria degli insiemi, una cui formulazione più o meno conclusiva è stata data dal matematico tedesco Georg Cantor ( ). Quello di insieme è un concetto intuitivo basato su un processo mentale di astrazione che consiste nel pensare più oggetti o elementi in un unica entità, per cui ogni insieme è costituito da elementi per i quali deve essere sempre possibile stabilire se appartengono o no all insieme considerato. Sono esempi di insiemi: l insieme dei punti di una retta, l insieme dei numeri interi, l insieme dei libri di una biblioteca etc. Generalmente, gli insiemi sono indicati con le lettere latine maiuscole (A, B, C,, X, Y, Z), mentre gli elementi sono indicati con le lettere latine minuscole (a, b, c,, x, y, z). Per indicare che un elemento a appartiene all insieme A si usa la notazione: a A e si legge a appartiene ad A. Se a non è un elemento di A si usa, invece, la notazione: a A e si legge a non appartiene ad A.

7 6 Capitolo Primo Se un dato insieme è costituito dagli elementi a, b, c,, esso è denotato con il simbolo: {a, b, c, } 1.1 Nozione di uguaglianza Se due elementi a e b di un insieme sono uguali, si scrive: a = b e si ha che a e b denotano lo stesso elemento. Analogamente, se due insiemi A e B sono uguali si scrive: A = B e si ha che i simboli A e B denotano lo stesso insieme. Se i due elementi a e b non sono uguali, si scrive: a b e si dice che a è diverso da b. Analogamente, se due insiemi A e B non sono uguali, si scrive: A B e si dice che A è diverso da B. 1.2 Nozione d inclusione Siano A e B due insiemi, se ogni elemento di A è anche elemento di B, si dice che A è contenuto (o incluso) in B o che A è un sottoinsieme di B e si usa la notazione: A B dove è il simbolo di inclusione. Se A è incluso in B ed esiste un elemento di B che non appartiene ad A, vale a dire se A B, ma A B si dice che A è incluso strettamente in B, o che A è un sottoinsieme proprio di B, o, ancora, che A è una parte propria di B, e si usa la notazione: A B dove è il simbolo di inclusione stretta.

8 Nozioni di teoria degli insiemi. I numeri 7 Se, invece, A non è strettamente incluso in B, si usa la notazione: A B Sia dato un insieme A, con il simbolo (A) si denota l insieme delle parti di A, vale a dire l insieme i cui elementi sono le parti di A. Si dimostra che, dato un insieme A contenente n elementi, l insieme delle parti di A, (A) contiene 2 n elementi. Infine, con il simbolo si denota l insieme vuoto, ossia l insieme che non è costituito da alcun elemento e che, per definizione, è incluso strettamente in ogni altro insieme. ESEMPIO L insieme costituito dagli elementi {a, b, c} ha i seguenti sottoinsiemi: {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}. che sono gli elementi dell insieme delle parti di {a, b, c}. Dall esempio si deduce che, dato che A contiene 3 elementi, l insieme delle parti di A contiene 2 3 = 8 elementi. Il matematico svizzero Leonhard Euler fece uso degli insiemi nel secondo volume delle Lettres à une princesse d Allemagne (1770). In seguito furono ampiamente utilizzati dal logico inglese John Venn. Dai nomi dei due illustri matematici, le rappresentazioni grafiche degli insiemi sono designate con l espressione di diagrammi di Eulero - Venn; che non sono altro che delle porzioni di piano euclideo che consentono di rilevare relazioni tra gli stessi. La figura seguente indica che l insieme A è incluso nell insieme B: B A A B FIGURA 1 - Inclusione tra insiemi

9 8 Capitolo Primo 1.3 Nozioni di implicazione e di equivalenza Un insieme può essere individuato da una proprietà che ne caratterizza gli elementi. Prima di occuparci di proprietà degli insiemi è opportuno richiamare concetti e simboli ricorrenti. Innanzitutto, quando si vuole definire una data proprietà si stabilisce che essa è definita in un dato insieme S, detto insieme ambiente. Gli elementi di S per i quali è vera una data proprietà α costituiscono un sottoinsieme di S che si indica in questo modo: {x S : α} Sia data una proprietà α definita in un dato insieme S, per sintetizzare la frase per ogni x che appartiene a S per cui è vera la proprietà α, si usa la simbologia: x S : α dove il simbolo si chiama quantificatore universale, e si legge per ogni. Inoltre, la frase esiste un x che appartiene a S per cui è vera la proprietà α, si scrive usando la simbologia seguente: x S : α dove il simbolo si chiama quantificatore esistenziale, e si legge esiste. Siano α e β due proprietà definite in un insieme S se, ogni volta che α è vera per un elemento x di S, anche β è vera per quello stesso elemento, allora, si dice che la proprietà α implica la proprietà β e si usa una delle seguenti notazioni: α β; β α dove è il simbolo di implicazione. Ciò vuol dire che: {x S : α} {x S : β} Se esiste un elemento di S per il quale α è vera ma β è falsa, vale a dire se la proprietà α non implica la proprietà β, si usa la notazione: α β

10 Nozioni di teoria degli insiemi. I numeri 9 Inoltre, siano α e β due proprietà definite in un insieme S, se α implica β e nello stesso tempo β implica α, allora, si dice che le due proprietà α e β sono equivalenti, e si usa la seguente notazione: α β dove è il simbolo di equivalenza. Se esiste un elemento di S per il quale una delle due proprietà è vera mentre l altra è falsa, in altre parole, se α e β non sono equivalenti, si usa la notazione: α / β 2. OPERAZIONI SUGLI INSIEMI Siano A e B due sottoinsiemi di un insieme ambiente S, di seguito illustriamo le operazioni definite sugli stessi. 2.1 Unione Si dice unione dei due insiemi A e B, e si denota con il simbolo: A B (dove è il simbolo di unione), l insieme costituito dagli elementi che appartengono o ad A oppure a B, vale a dire l insieme costituito da quegli elementi ciascuno dei quali appartiene ad almeno uno dei due insiemi A e B, potendo appartenere uno o più elementi nello stesso tempo ad A e a B; per cui: A B = {x S : x A o x B} L operazione di unione di insiemi si può estendere ad un numero di insiemi qualsiasi. Infatti, siano A 1, A 2,, A n n insiemi, si definisce unione degli n insiemi considerati e si indica con: A 1 A 2 A n l insieme costituito da quegli elementi ciascuno dei quali appartiene ad almeno uno degli n insiemi considerati. I diagrammi seguenti rappresentano, nell area ombreggiata, tre possibili situazioni di unione di due insiemi, in cui, rispettiva-

11 10 Capitolo Primo mente, A e B hanno elementi in comune, oppure A e B non hanno alcun elemento in comune, infine la situazione in cui un insieme è contenuto nell altro, in quest ultimo caso l unione coincide con l insieme includente (ossia A B = B): A B A B A B A B B A A B con A B FIGURA 2 - Unione tra insiemi 2.2 Negazione Si dice negazione o complemento dell insieme A rispetto all insieme B e si denota con il simbolo: B A l insieme i cui elementi appartengono a B ma non ad A; per cui: B A = {x S : x B o x A} Se l insieme B coincide con l insieme ambiente S, allora l insieme S A si denota semplicemente con A. I diagrammi seguenti rappresentano, nell area ombreggiata, tre possibili situazioni relative alla differenza B A, in cui, rispettivamente, A e B hanno elementi in comune, oppure A e B non hanno alcun elemento in comune, infine la situazione in cui un insieme è

12 Nozioni di teoria degli insiemi. I numeri 11 contenuto nell altro, in tal caso la differenza coincide con l insieme vuoto: A B A B B A B A = B A B B A = con B A FIGURA 3 - Negazione di un insieme ESEMPIO Siano dati i due insiemi: A = {a, b, c, d, e} e B = {d, e, f, g} si considerino i seguenti insiemi: A B = {a, b, c, d, e, f, g} A B = {d, e} A B = {a, b, c} B A = {f, g} 2.3 Intersezione Si dice intersezione dei due insiemi A e B, e si denota con il simbolo: A B (dove è il simbolo di intersezione) l insieme costituito dagli elementi che appartengono e ad A e a B, vale a dire l insieme costituito da quegli

13 12 Capitolo Primo elementi che appartengono contemporaneamente ad A e a B; per cui: A B = {x S : x A o x B} Due insiemi che non hanno elementi in comune si dice che sono disgiunti o che hanno intersezione vuota. I diagrammi seguenti rappresentano, nell area ombreggiata, tre possibili situazioni di intersezione di due insiemi in cui, rispettivamente, A e B hanno elementi in comune, oppure A e B non hanno alcun elemento in comune, infine la situazione in cui un insieme è contenuto nell altro, in tal caso l intersezione coincide con l insieme incluso: A B A B A B A B = B A A B = A con A B FIGURA 4 - Intersezione tra insiemi

14 Nozioni di teoria degli insiemi. I numeri 13 Siano A, B e C tre sottoinsiemi di un insieme ambiente S, per le operazioni di unione e di intersezione appena considerate valgono le proprietà riportate nella tabella seguente: PROPRIETÀ UNIONE INTERSEZIONE Idempotenza A A = A A A = A Elemento neutro A = A A S = A Commutativa A B = B A A B = B A Associativa (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C) Distributiva A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) Valgono, inoltre, le seguenti uguaglianze di de Morgan: A B = A B A B = A B 3. PRODOTTO CARTESIANO Un altro concetto che nella teoria degli insiemi deve essere assunto come intuitivo è quello di coppia ordinata. Siano dati due insiemi A e B, la coppia ordinata di primo elemento a e di secondo elemento b (con a elemento di A e b elemento di B) si denota con il simbolo: (a, b) A differenza del simbolo {a, b}, che denota l insieme costituito dai due elementi a e b e in cui l ordine con cui sono scritti gli elementi non ha importanza, essendo {a, b} = {b, a}, nella coppia ordinata (a, b) l ordine con cui sono elencati i suoi elementi è basilare essendo (a, b) (b, a); per cui se (a, b) = (a', b'), deve essere, necessariamente, a = a' e b = b'. Inoltre, è possibile che i due insiemi A e B coincidano, nel senso che è possibile prelevare entrambi gli elementi di una coppia da un medesimo insieme.

15 14 Capitolo Primo ESEMPIO Siano dati i due insiemi A = {1, 2, 3} e B = {a, b, c} tutte le possibili coppie che si possono formare prendendo la prima componente da A e la seconda componente da B sono: (1, a) (1, b) (1, c) (2, a) (2, b) (2, c) (3, a) (3, b) (3, c) Si definisce prodotto cartesiano o prodotto combinatorio di due insiemi non vuoti A e B l insieme delle coppie ordinate (a, b) di elementi, con a A e b B, e si denota nel seguente modo: A B = {(a, b); a A, b B} Se almeno uno dei due insiemi è vuoto, allora anche il loro prodotto cartesiano è vuoto. Il prodotto cartesiano non è commutativo nel senso che l insieme A B è diverso dall insieme B A, escluso il caso in cui A = B, dove il prodotto cartesiano A A si denota con il simbolo A 2, e si chiama quadrato cartesiano. ESEMPIO Siano dati i due insiemi: A = {1, 2, 3} e B = {a, b, c} il prodotto A B = (1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c), (3, a), (3, b), (3, c),, mentre il prodotto B A = (a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (c, 1), (c, 2), (c, 3). Dalle nozioni di coppia ordinata di elementi e di prodotto cartesiano di due insiemi è possibile generalizzare considerando le nozioni di n-pla ordinata di elementi e di prodotto cartesiano di n insiemi, dove n è un numero naturale maggiore o uguale a 2. Siano dati n insiemi A 1, A 2,, A n, considerati nell ordine con cui sono scritti, con il simbolo: (a 1, a 2,, a n )

16 Nozioni di teoria degli insiemi. I numeri 15 si denota la n - pla ordinata di elementi, avente per primo elemento a 1 A 1, per secondo elemento a 2 A 2,, per n - esimo elemento a n A n,. Analogamente, con il simbolo: A 1 A 2 A n si denota il prodotto cartesiano degli n insiemi A 1, A 2,, A n, che è, appunto, l insieme delle n - ple ordinate (a 1, a 2,, a n ) di elementi, di cui il primo appartiene a A 1, il secondo a A 2,, l n - esimo a A n. In maniera analoga al caso di due insiemi se A 1 = A 2 = = A n = A il prodotto cartesiano A 1 A 2 A n si denota con il simbolo A n. 4. RELAZIONI TRA INSIEMI Individuare una relazione tra un insieme A e un insieme B equivale ad individuare un certo insieme di coppie di A B, ed esattamente quelle che soddisfano la relazione considerata. Si può definire, quindi, una relazione R da A a B un sottoinsieme di A B. Usando il linguaggio della teoria degli insiemi, invece di dire che la coppia (a, b) soddisfa la relazione R, si dice che la coppia (a, b) appartiene a R, in simboli (a, b) R. Considerata, quindi, una coppia ordinata (a, b) di elementi di S, per indicare che a è nella relazione R con b si usa la scrittura: a R b Per indicare, invece, che a non è nella relazione R con b, si usa la scrittura: a R b L ordine con cui gli elementi a e b della coppia (a, b) sono considerati per verificare se sono nella relazione R è importante in quanto non è detto che, siccome l elemento a è nella relazione R con l elemento b, anche l elemento b sia nella relazione R con a.

17 16 Capitolo Primo ESEMPIO Sia S l insieme delle rette dello spazio euclideo, si stabilisce una relazione di complanarità tra rette dicendo che, data una coppia ordinata (r, s) di rette dell insieme S, la retta r è nella relazione R con la retta s, se r è complanare con s. 4.1 Relazione di equivalenza Una relazione R tra coppie ordinate di elementi di un insieme S si dice relazione di equivalenza in S se gode delle seguenti proprietà: riflessiva a R a a S simmetrica a R b b R a transitiva a R b e b R c a R c Pertanto, se R è una relazione di equivalenza in S e se a R b, si dice che i due elementi sono equivalenti rispetto a R. ESEMPIO Il classico esempio di relazione di equivalenza in geometria è la relazione di parallelismo tra rette secondo cui, considerato l insieme S delle rette dello spazio euclideo, una retta r di tale insieme è nella relazione R con una retta s, se r è parallela a s. Stabilito che ogni retta è parallela a se stessa, la relazione di parallelismo appena enunciata gode delle proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva. Il sottoinsieme di S costituito da quegli elementi che sono equivalenti ad un elemento a si dice classe di equivalenza (rispetto a R) dell elemento a, e si denota con il simbolo [a]. L insieme di tutte le classi di equivalenza si dice insieme quoziente di S (rispetto a R) e si denota con il simbolo S/R. Gli elementi di S/R, vale a dire le classi di equivalenza, godono delle seguenti proprietà: ogni classe è non vuota; se due classi sono diverse, di conseguenza sono disgiunte, vale a dire [a] [a'] implica che [a] [a'] = ; ogni elemento a di S appartiene ad una classe di equivalenza e ad una sola.

18 Nozioni di teoria degli insiemi. I numeri Relazione d ordine Una relazione R tra coppie ordinate di elementi di un insieme S si dice relazione d ordine in S se gode delle seguenti proprietà: riflessiva a R a a S transitiva a R b e b R c a R c asimmetrica a R b e b R a a = b L insieme S si dice ordinato per mezzo di R. L ordinamento è totale se ogni elemento a è confrontabile con ogni elemento b, è, invece, parziale se ciò non si verifica. 5. I NUMERI In questa sede si darà una breve trattazione degli insiemi numerici. 5.1 Numeri naturali L insieme dei numeri naturali, indicati con la simbologia N {0, 1, 2, 3, }, è l insieme base dei numeri; esso è legato alla operazione del contare la quantità degli elementi di un insieme finito, ne rappresenta, cioè, la potenza. Nell insieme considerato sono definite: la relazione d ordine totale ; le operazioni di addizione e di moltiplicazione, con le loro proprietà. Dati due numeri naturali a e b, le operazioni di sottrazione e di divisione, indicate, rispettivamente, con a b e a / b sono definite solo se, per la prima a > b, per la seconda a è un multiplo di b. I numeri naturali presentano due significati fondamentali: quello di ordinale, che indica quale posto occupa un dato elemento in una successione ordinata, e quello di cardinale, che esprime la quantità. La prima classificazione dei numeri naturali è fornita dalla divisione per due: un numero naturale si dice pari se è divisibile per 2, se non è divisibile per 2 si dice dispari. In matematica, dato

19 18 Capitolo Primo un numero naturale n, il suo doppio è indicato con 2n; un numero dispari è indicato con 2n + 1. Solo le operazioni di moltiplicazione e di elevamento al quadrato conservano la parità, nel senso che il prodotto di due numeri pari (dispari) è pari (dispari), e il quadrato di un numero pari (dispari) è pari (dispari). Un altra tipologia di numeri naturali è quella dei numeri primi, sono tali i numeri interi divisibili solo per 1 e per se stessi. Sono numeri primi i numeri 2, 3, 5, 7, 11 etc. I numeri naturali o sono numeri primi o sono il prodotto di più numeri primi. 5.2 Numeri relativi L operazione di sottrazione non è sempre possibile nell insieme N dei naturali, perciò, la prima estensione del concetto di numero si verifica con l introduzione degli interi relativi, indicati con la simbologia Z = {, 3, 2, 1, 0, +1, +2, +3, }. Nell insieme considerato sono definite: la relazione d ordine totale ; le operazioni di addizione e di moltiplicazione, con le loro proprietà; l operazione di sottrazione, in quanto esiste lo zero e l opposto di ogni elemento. L operazione di divisione continua a non essere definita. 5.3 Numeri razionali L estensione del concetto di numero dai relativi Z ai razionali Q rende lecita sempre anche l operazione di divisione. Questo merita delle puntualizzazioni. Siano p e q due interi relativi, con q non nullo, nell insieme di tutte le frazioni p / q, le due frazioni p / q e p' / q' sono equivalenti se e solo se pq' = p'q; per cui, ogni numero razionale è rappresentato non solo da una frazione, ma da tutte le altre equivalenti ad essa. In geometria, il rapporto tra due grandezze commensurabili è un numero razionale.

20 Nozioni di teoria degli insiemi. I numeri 19 Nell insieme considerato sono definite: la relazione d ordine totale ; le operazioni di addizione e di moltiplicazione, con le loro proprietà; l operazione di sottrazione, in quanto esiste lo zero e l opposto di ogni elemento; l operazione di divisione di un qualsiasi numero razionale per un altro diverso da zero. p La rappresentazione decimale di un numero razionale r =, si q ottiene eseguendo la divisione di p per q, da cui si trae un numero con un allienamento decimale periodico. 5.4 Numeri reali L estensione dei numeri dall insieme dei razionali Q a quello dei reali R elimina due limiti tra loro strettamente correlati del primo insieme: l uno di carattere geometrico: i numeri razionali consentono di misurare solo grandezze commensurabili con una data unità di misura; l altro di carattere algebrico: la risoluzione di equazioni del tipo x 2 2 = 0 è ivi impossibile. Si consideri il quadrato di lato unitario, riportando col compasso la diagonale dello stesso su una retta orientata non si riesce a trovare un sottomultiplo contenuto un numero intero di volte nella diagonale. 0 1 r FIGURA 5 - Lunghezza del segmento 0r

21 176 Indice Generale 5. Asintoti di una curva... Pag Passaggi per lo studio del grafico di una funzione...» Ottimizzazione in economia...» 92 Capitolo Quinto: Integrali 1. Integrale indefinito...» Metodi di integrazione...» Integrale definito...» Teorema fondamentale del calcolo integrale...» Applicazioni degli integrali...» Applicazioni in economia...» 107 Capitolo Sesto: Serie ed equazioni differenziali 1. Serie numerica...» Serie geometrica...» Serie di funzioni...» Equazioni differenziali...» 115 Capitolo Settimo: Funzioni di due variabili. Limiti, continuità e derivate 1. Funzioni di due variabili e curve di livello...» Limiti e continuità di funzioni di due variabili...» Derivate parziali di funzioni di due variabili...» Elasticità di una funzione di due variabili...» Applicazioni in economia...» Funzioni omogenee...» Differenziale di una funzione di due variabili...» Il differenziale in economia...» Derivate parziali seconde di una funzione di due variabili...» La funzione di produzione Cobb - Douglas...» Richiami di calcolo matriciale...» Matrice hessiana...» Convessità e concavità di una funzione di due variabili...» 135 Capitolo Ottavo: Ottimizzazione di funzioni di due variabili. Applicazioni in economia 1. Generalità...» Massimi e minimi...» Condizioni del primo e del secondo ordine per l esistenza di estremi...» Applicazioni in economia...» Impresa in regime di concorrenza perfetta...» Impresa in regime di monopolio con impianti multipli...» 145 Capitolo Nono: Ottimizzazione vincolata. Applicazioni in economia 1. Generalità...» Metodo di sostituzione...» Metodo dei moltiplicatori di Lagrange...» Ottimizzazione vincolata in economia...» Teoria del consumo...» Teoria della produzione...» 165

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