8.1 - Legge di Faraday dell induzione elettromagnetica

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1 DUE ESPEIMENTI 8.0-Introduzione 8.0-Introduzione Abbiamo visto nei precedenti come le cariche siano origine sia di campi elettrici che di campi magnetici. A parte questa connessione tra i due campi a livello di statica apparentemente non vi è nessuna connessione. Gli esperimenti di Faraday e di Henry misero in evidenza che in situazioni variabili nel tempo il collegamento emerge Legge di Faraday dell induzione elettromagnetica Legge di Faraday dell induzione elettromagnetica Induzione elettromagnetica Sappiamo che una spira percorsa da corrente e immersa in un campo magnetico è soggetta ad un momento torcente. Proviamo ad immaginare una situazione simmetrica ovvero una spira (senza corrente) soggetta a momento torcente ed immersa in campo magnetico. Quando si muove che succede? i dovremmo aspettare una situazione simmetrica ovvero comparirà una corrente nella spira. Il teorema che spiega questa situazione è descritto dalla legge di Faraday Due esperimenti 31.2 Due esperimenti I due esperimenti che saranno alla base della legge di Faraday sono i seguenti: abbiamo una spira collegata ad un amperometro ed un magnete permanente. Se entrambi sono fermi non si osserva nessun passaggio di corrente (perchè non c è generatore di fem). Tuttavia appena avviciniamo il magnete alla spira (o lo allontaniamo) compare una corrente. Le osservazioni stabiliscono che: 1. c è corrente solo se c è un moto relativo tra spira e magnete; 2. un movimento più veloce fornisce una corrente più intensa; ap8-vol II-Legge Faraday-Lenz 1

2 3. il verso della corrente dipende anche dal segno del polo magnetico che si muove (tra i due poli la situazione si inverte) Questa corrente che compare nella spira si chiama indotta e attribuiamo la corrente ad una fem nel circuito che chiameremo fem indotta Un secondo esperimento riguarda due spire vicine tra loro una delle quali è collegata ad un generatore di fem tramite un interruttore. Appena colleghiamo la spira, se la corrente è variabile con il tempo si osserva una fem indotta sull altra spira. Viceversa se la corrente è stazionaria non c è fem indotta. 2 Legge dell induzione di Faraday Legge dell induzione di Faraday La legge di Faraday spiega le precedenti osservazioni mettendo in relazione la quantità di linee di campo (ovvero il flusso) che attraversano la spira e in particolare la variazione nel tempo di questa quantità con la fem indotta. Questo concetto lo si può esprimere nel seguente modo: definiamo il flusso del campo magnetico attraverso una superficie di area A (che è quella della spira) come Φ B = B da il flusso si misura in Weber (Wb) 1 Weber=1 T m 2 e la legge di Faraday la enunciamo come La fem indotta in una spira è uguale alla derivata temporale, cambiata di segno, del flusso magnetico attraverso la spira ovvero E = dφ B o in altre parole E d s = dφ B. La precedente inoltre è da moltiplicare per N se abbiamo N spire sovrapposte E = N dφ B. Questa variazione si può ottenere in diversi modi che producono sempre una variazione di flusso nel tempo: varia B con il tempo; varia l area della spira o la parte di area immersa nel campo magnetico; varia l orientazione della spira rispetto al campo magnetico; varia il flusso di B (ad esempio per un moto relativo) Parte I Legge di Lenz ap8-vol II-Legge Faraday-Lenz 2

3 3 POBLEMA 31.3 Legge di Lenz Legge di Lenz La corrente indotta dalla spira ha un verso tale che il campo magnetico generato dalla stessa corrente indotta si oppone alla variazione di campo magnetico che l ha prodotta. La legge di Lenz è quella che motiva il segno meno, ed è dovuta al principio di conservazione dell energia. Infatti se per assurdo non fosse così (ovvero la corrente indotta fosse favorevole) allora il campo magnetico dovuto alla corrente indotta sarebbe esattamente parallelo al centro della spira a quello esterno. Ma una spira percorsa da corrente è equivalente ad un dipolo magnetico, quindi in questo caso la spira attirerebbe a se il magnete accelerandolo e quindi con un aumento di energia cinetica. Se così fosse avremmo una violazione della conservazione dell energia. Pertanto nella realtà la situazione è quella in figura 3 Problema 31.3 Problema 31.3 Abbiamo una spira rettangolare di larghezza L=3 m e altezza H=2 m. Il campo è variabile e non uniforme con espressione B = 4 t 2 x 2 ed entrante nel foglio. Qual è modulo e direzione della fem indotta per t=0.1 s? Dobbiamoprima calcolare il flusso di B, Φ B = B d ABeAsono in questo caso paralleli ed uscenti. Per vedere quale da dobbiamo considerare, notiamo che B dipende solo da x quindi ricordando che nel calcolo dei ap8-vol II-Legge Faraday-Lenz 3

4 3 POBLEMA 31.3 flussi bisogna scegliere l elemento infinitesimo su cui B sia uniforme in questo caso l elemento deve essere una striscia parallela all asse y (x=costante) la cui area sarà da = Hdx. Pertanto Φ B = L 0 B Hdx = L 0 4t2 x 2 Hdx = 4t 2 H[ x3 3 ]L 0 = 72t2 Solo adesso possiamo procedere alla derivazione rispetto al tempo! E = dφ B = 72 2t = 144 t Pertanto al tempo di 0.1 s si ha E = 14.4 V Il flusso si deve opporre alla variazione di B (entrante) che aumenta con il tempo, quindi il verso della corrente sarà coerente con un campo magnetico indotto che si oppone a B ovvero uscente quindi il verso della corrente è antiorario 8.2-origine della fem indotta e del campo elettrico indotto 8.2-origine della fem indotta e del campo elettrico indotto Esplicitiamo la legge di Faraday per evidenziare meglio il legame tra E e B: E i = E i d s = B û n dσ t dove in base alle considerazioni fatte per il flusso di B nel precedente capitolo, Σ è una qualunque superficie che si appoggi alla linea. Analizziamo quindi ora alcune delle situazioni che portano alla realizzazione dell equazione di sopra a partire dalla situazione in cui B è fisso e la variazione di flusso deriva dal movimento di un conduttore. onduttore in movimento in regione con campo magnetico uniforme onduttore in movimento in regione con campo magnetico uniforme Supponiamo ad esempio una spira viene levata da una regione con campo Σ ap8-vol II-Legge Faraday-Lenz 4

5 3 POBLEMA 31.3 magnetico come in figura Se tiriamo la spira a velocità costante bisogna applicare una forza F e la potenza necessaria a questo movimento è P = F v. Muovendo la spira però cambia il flusso quindi avremo une fem indotta. Indichiamo con x la parte di spira immersa nel campo allora Φ B = B L x per cui E = dφ = B L dx = B L v. Per trovare la corrente dobbiamo sapere la resistenza del circuito e i = E = B L v. Qual è la forza necessaria a muovere la spira a velocità costante? Appena si muove la spira circola corrente allora su ogni spira compare una forza di Lorenz per cui sui tre lati in figura compariranno le forze con i versi in figura. hiaramente la forza netta si oppone (legge di Lenz) al movimento che comporta una variazione di flusso di B. Per avere una velocità costante occorre una forza che sia uguale e opposta a F 1 in figura e F 1 = ilb = B2 L 2 v. Quindi la potenza meccanica spesa per questo moto è P = Fv = B2 L 2 v 2 e quella spesa sulla resistenza del circuito è P = i 2 = B2 L 2 v 2 ovvero esattamente uguali. In definitiva il lavoro per spostare la spira nel campo magnetico è convertito in energia termica (eff. Joule). Esattamente identica è la situazione in cui la spira è sotituita da una sbarra che si muove su un binario. Secondo esempio: circuito fisso, campo B variabile nel tempo Secondo esempio: circuito fisso, campo B variabile nel tempo Vediamo il secondo caso, in cui il circuito è fisso ma B è variabile nel tempo. Anche in questo caso la legge di Faraday produce un risultato. Supponiamo sia una spira circolare allora si ha Φ(B) = BΣ = Bπr 2 per cui si ottiene che E i = E i d s = 2πrE i = dφ(b) = πr 2 B t ap8-vol II-Legge Faraday-Lenz 5

6 3 POBLEMA 31.3 da cui E i = 1 2 rdφ(b) Da notare che questo campo elettrico indotto esiste anche in assenza di un circuito conduttore nel quale poi scorra una corrente. Infatti se mettessimo un elettrone libero nel punto in cui si riscontra il campo di sopra esso verrebbe accelerato, tuttavia la differenza sostanziale rispetto ai campi elettrostatici, risiede nel fatto che linee di campo si richiudono e tale campo non è conservativo. 8.3-Applicazioni della legge di Faraday 8.3-Applicazioni della legge di Faraday Attrito elettromagnetico-freno elettromagnetico onsideriamo la situazione in cui una sbarretta si muove in una regione con campo magnetico uscente, la sbarretta si muove nel verso positivo dell asse x con velocità costante v. Indichiamo con la resistenza del circuito ed r quella della sbarretta. Abbiamo che E = dφ = B L dx = B L v per cui la corrente nel circuito è i = E +r = BLv +r una forza di Lorentz data da F = i L B = B2 L 2 r+ ma sulla barretta agirà v quindi per procedere a velocità costante occorre una F ext = F possiamo pensare la F agente sulla barretta come una forza frenante sul movimento della barretta che per essere mantenuta a velocità costante necessita di un forza esterna che deve spendere una potenza pari a P = F v = B2 L 2 r+ v2 generatore di corrente alternata onsideriamo una spira rettangolare che ruoti con velocità angolare ω attorno ad un asse verticale passante per il suo centro. All istante t generico la spira forma un angolo θ con la direzione del campo magnetico per cui il flusso è Φ(B) = B û n dσ = BΣcosθ = BΣcos(ωt) per cui la fem indotta dalla sua rotazione è Σ E i = dφ(b) = ωbσsin(ωt) (1) la fem indotta quindi ha una variazione sinusoidale con una pulsazione coincidente con la velocità angolare. correnti Foucalt -to be updated (vedi libro)-content... ap8-vol II-Legge Faraday-Lenz 6

7 3 POBLEMA 31.3 Legge di Felici Legge di Felici Legge di Felici Se una spira di resistenza viene mossa in un campo magnetico in essa scorre corrente data i = E = 1 dφ(b) se allora vogliamo calcolare la carica che è complessivamente fluita nella spira tra due istanti di tempo dobbiamo integrare: q = t2 t 1 i = 1 t2 dφ(b) t 1 = 1 t2 dφ = Φ 1 Φ 2 t 1 relazione che è detta legge di Felici in altre parole la carica che è fluita non dipende dalla specifica legge con cui varia il flusso ma solo dalla variazione complessiva. La legge permette una semplice misura di flussi o di campi magnetici attraverso le bobine per esempio: se abbiamo una bobina di N spire, B uniforme il flusso è Φ = NBΣ. Se togliamo la bobina dalla zona in cui c è campo magnetico si avrà Φ = 0 per cui la variazione complessiva è q = Φ 1 = NBΣ B = q nσ 8.4 Autoinduzione 8.4 Autoinduzione Qualunque circuito percorso da corrente produce un campo magnetico che si può dedurre utilizzando la legge di Ampere-Laplace. Il flusso di questo campo è ovviamente anche concatenato a se stesso, per cui in questi casi si parla di autoflusso e quindi sarebbe dato da: Φ(B) = Σ ( µ 0 i 4π d s û r r 2 ) û n dσ dove Σ è una qualunque superficie (aperta) che abbia come contorno. Di conseguenza sia B che il suo flusso vengano ad essere dipendenti dalla i del circuito per cui possiamo scrivere complessivamente: Φ(B) = Li L = Φ(B) i ap8-vol II-Legge Faraday-Lenz 7

8 3 POBLEMA 31.3 ed L viene detto il coefficiente di autoinduzione o induttanza Unità di misura di L:[L] = weber ampere = henry Notare che nel calcolo di L se la spira ha N avvolgimenti il flusso va moltiplicato per N. Esempio 8.4 Induttanza di un solenoide Esempio 8.4 Induttanza di un solenoide Induttanza di un solenoide Per il solenoide B = µ 0 n i e B è diretto secondo l asse quindi NΦ B = N B A = (n L)µ 0 n i A per cui L = µ 0 n 2 L A (L la lunghezza del solenoide ed A la sua sezione). Induttanza toroide Per il toroide B = µ 0Ni 2πr ed è solo attraverso la sua sezione. Supponiamo la sezione rettangolare di lati a(altezza) e b(nella direzione radiale), allora per una spira si ha Φ(B) = +b µ 0 Ni 2πr (adr) = µ 0Nai 2π ln +b da moltiplicare per N. Di conseguenza L = NΦ(B) i = µ 0N 2 a 2π ln +b Nei circuiti caratterizzati da un valore di L, comparendo una autoinduzione allora quando la corrente nel circuito non è costante si ha una variazione di flusso nel tempo e quindi una fem indotta secondo la legge di Faraday-Lenz: E L = dφ(b) = L di Il dispositivo che possiede un valore di L è detto induttore. Un prototipo di questo è il solenoide ed il simbolo dell induttore (o induttanza) ricorda il solenoide Un circuito con induttanza non nulla è detto induttivo e ha un comportamento circuitale che vediamo nella prossima sezione. ap8-vol II-Legge Faraday-Lenz 8

9 IUITI L Parte II ircuiti L ircuiti L Nel circuito in alto abbiamo inizialmente il circuito staccato, quindi i=0. Appena colleghiamo tramite l interruttore, il circuito -L, la corrente aumenta e l induttanza risponde con una fem autoindotta opposta come in figura Dalla legge delle maglie troviamo chee i L d i = 0 che è un eq. differenziale simile a quella del circuito. La soluzione è i = E t τ (1 e L ) che parte da valore nullo per arrivare lentamente al valore a regime (dopo 5 volte τ L ) i = E. Il valore di τ L = L Energia immagazzinata Energia immagazzinata L equazione di prima E = i+l d i si può utilizzare per vedere la potenza erogata: infatti moltiplichiamo ambo i membri per la corrente i otteniamo P = E i = i 2 + L i d i = P + P L. Quindi la potenza immagazzinata nell induttoreèp L = Li d i pertantol energiaimmagazzinataèp = d U L d U L = P = L i d i Se integriamo sull intero processo (da i=0 al valore finale di i) si ottiene che U L = i =i i =0 du L = i =i i =0 L i d i = 1 2 L i2 che è l energia immagazzinata nell induttore e necessaria a creare il campo magnetico al suo interno. Dal momento che nei solenoidi il campo magnetico ap8-vol II-Legge Faraday-Lenz 9

10 IUITI L è interno al solenoide, possiamo trovare l espressione della densità di energia che è u L = B2 2µ 0 (basta esplicitare L del solenoide ideale per verificarlo) Mutua induzione Mutua induzione Analogamente all auto induzione come indicato nel primo paragrafo due spire vicine generano l una sull altra una fem indotta. Possiamo definire quindi il coeff. di auto-induzione in analogia con L e chiamarlo M M 21 = N 2 Φ 21 i 1 il coeff. dovuto alla spira 2 sulla spira 1 e viceversa (M 21 = M 12 ). 8.7 Legge di Ampere-Maxwell 8.7 Legge di Ampere-Maxwell Nel vuoto il campo magnetico soddisfa la condizione B d s = µ 0 i c con i c la corrente concatenata alla linea su cui è calcolata la circuitazione di B. ome abbiamo visto in precedenza per il calcolo della corrente si considera il flusso di j attraverso una superficie che si appoggia alla linea, non dipendendo dalla specifica superficie quando siamo in condizione di stazionarietà Abbiamo visto che un limite a questa situazione avviene nel circuito quando si carica il condensatore, situazione per la quale abbiamo visto dφ(e) è necessario definire la corrente di spostamento i s = ǫ 0. Mettendo insieme questa considerazione si arriva alla legge di Ampere-Maxwell: dφ(e) B d s = µ 0 (i c +ǫ 0 ) che stabilisce come i campi magnetici possano essere prodotti sia da correnti di conduzione che da variazioni temporali di flusso di campo elettrico. Se esaminiamo il caso in cui non ci sono correnti di conduzione si ha questa situazione: B d s = ǫ 0 µ 0 dφ(e) = 1 c 2 dφ(e) ap8-vol II-Legge Faraday-Lenz 10

11 IUITI L essendo c 2 = 1 ǫ 0 µ 0 la velocità della luce al quadrato. E possiamo notare che questa equazione è simmetrica a E d s = dφ(b) 8.8- Le equazioni di Maxwell 8.8- Le equazioni di Maxwell agionando proprio sulla simmetria matematica delle equazioni ad uno scambio dei campi E con B, Maxwell intuì l esistenza delle equazioni che completavano la descrizione dei fenomeni elettro-magnetici estendendole alle situazioni dinamiche nel tempo. Le equazioni di Maxwell in forma integrale sono le seguenti: E û n dσ = q Σ ǫ 0 B û n dσ = 0 Σ E d s = dφ(b) dφ(e) B d s = µ 0 (i+ǫ 0 ) La cui simmetria delle equazioni è ancora più evidente quando consideriamo la situazione nel vuolo (q=0,i=0) 8.9-equazioni di Maxwell in forma differenziale 8.9-equazioni di Maxwell in forma differenziale La forma differenziale delle equazioni la troviamo applicando i teoremi della divergenza: le leggi di Gauss: E = ρ ǫ 0, B = 0 ap8-vol II-Legge Faraday-Lenz 11

12 IUITI L Per le altre applichiamo il teorema di Stokes: E d s = E û n dσ = B û n dσ = Σ t Σ B Σ t û ndσ E = B t che è la forma locale della legge di Faraday e la versione locale della legge di Ampere-Maxwell con passaggi simili diventa E B = µ 0 ( j +ǫ 0 t ) = µ 0 j + 1 E c 2 t onservazione della carica (dall eq. di Maxwell) onservazione della carica (dall eq. di Maxwell) Tra le proprietà dell operatore abbiamo che applicarlo scalarmente al rotore produce un risultato nullo: B = 0 per cui applicando la divergenza all intera eq. di Ampere-Maxwell si ottiene: 0 = j +ǫ 0 t E Per cui usando la prima delle equazioni di Maxwell si ottiene: j = ρ t che è detta equazione di continuità che è sostanzialmente il teorema di conservazione della carica (integrando entrambi i membri viene evidente). Equazioni di Maxwell e propagazione dei campi Equazioni di Maxwell e propagazione dei campi Le equazioni di maxwell costuiscono un insieme di eq. differenziali (esempi visti nell e nell L) che hanno delle soluzioni generali che rappresentano la propagazione dei campi in forma di onde, già dimostrabile nel caso in cui q=0 e i=0. Queste soluzioni prevedono anche una propagazione nel vuoto dei campi elettrici e magnetici, e la soluzione è descritta da un onda che trasporta con se i campi elettrici e magnetici. Parleremo pertanto di onda elettromagnetica la quale (per il solo fatto di avere i campi elettrici e magnetici) trasporta energia. Dalla soluzione di queste equazioni ap8-vol II-Legge Faraday-Lenz 12

13 IUITI L quindi discendono le proprietà delle onde elettromagnetiche in particolare c = 1 µ0 ǫ 0 = m/s è la loro velocità di propagazione (ovvero la velocità della luce) nel vuoto e risolvendole si derivano anche le relazioni tra i campi e le leggi dell ottica. ap8-vol II-Legge Faraday-Lenz 13