5. Dinamica dei fluidi:

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1 5. Dinamica dei fluidi: Un modo per descrivere il moto di un fluido potrebbe essere quello di suddividere il fluido in particelle piccolissime d volume e seguire il moto di ciascuna di esse. In questo caso dovremmo dare le coordinate di ciascuna particella e seguirne il comportamento in funzione del tempo, per descrivere il moto del fluido. E chiaro che questo è un metodo molto laborioso. Vi è un procedimento più conveniente sotto molti aspetti, cioè quello di rinunciare al tentativo di descrivere la storia di ciascuna particella fluida e invece determinare la densità e la velocità del fluido in ciascun punto dello spazio e in ogni istante. Questa è la strada che scegliamo noi: descriviamo il moto del fluido precisando la densità e la velocità come funzioni delle coordinate spaziali (x,y,z) e del tempo τ. In sostanza concentreremo la nostra attenzione su quanto succede in un dato punto in un dato istante anziché a quanto sta succedendo ad una determinata particella fluida. Ogni grandezza, per esempio la pressione p, impiegata per descrivere lo stato del fluido, avrà in ogni istante, un valore definito in ciascun punto del fluido. Anche in questo modo tuttavia, pur se l attenzione viene concentrata su un punto dello spazio anziché su una particella di fluido, non potremo evitare di seguire le particelle fluide nel loro moto, almeno per piccoli intervalli di tempo. Questo perché, in ultima analisi, è alle particelle e non ai punti dello spazio, che si applicano le leggi della meccanica. Per comprendere bene la natura delle semplificazioni che faremo, consideriamo innanzi tutto alcune caratteristiche generali del moto dei fluidi.. Il moto di un fluido può essere stazionario o non stazionario; nel primo caso la velocità del fluido è in ogni punto costante nel tempo (cioè può variare da punto a punto ma in ogni punto non varia nel tempo), il contrario se il moto è non stazionario.. Un fluido in moto può essere comprimibile o incomprimibile, cioè a densità variabile o costante. I liquidi generalmente vengono considerati incomprimibili, i gas solo in determinate condizioni. 3. Il fluido può essere viscoso o non viscoso. La viscosità nel moto di un fluido è l analogo dell attrito nel moto dei solidi. In certi casi, come nei problemi di lubrificazione, essa è estremamente importante; spesso però è trascurabile. 53

2 La viscosità crea delle forze tangenziali tra gli strati di fluido che scorrono l uno sull altro, col risultato di dissipare energia meccanica. Noi ci occuperemo di studiare il moto di fluidi incomprimibili, non viscosi, e in regime stazionario. Essendo il regime stazionario, se noi tracciamo il percorso di una particella, cioè tracciamo la linea che unisce i punti in cui la particella si porterà lungo il suo tragitto, e poi ripetiamo la cosa per tutte le particelle, tracceremo quello che si chiama tubo di flusso, composto da tutte quelle linee dette linee di flusso, che costituiscono le traiettorie delle particelle del fluido. Nessuna particella di fluido può durante il moto attraversare i contorni di un tubo di flusso e il tubo si comporta come un condotto della stessa forma. Il fluido che entra da un estremità del tubo deve uscire tutto dall altra. Q P A A Tubo di flusso 5. Equazione di continuità: Nella figura precedente è rappresentato un tubo di flusso. Si considerino le due sezioni P e Q del tubo di flusso, aventi area A e A rispettivamente. In corrispondenza delle due sezioni il fluido si muoverà con due velocità differenti, indichiamole con w e w. Nel tempuscolo τ una piccola parte di fluido si sposta approssimativamente di uno spazio pari a w τ. Allora la massa che attraversa la sezione P nel tempo τ è approssimativamente pari a: m m& ρ A w τ lim τ 0 m τ ρ A w 54

3 La grandezza m& è detta flusso di massa o portata in massa, e rappresenta la massa che nell unità di tempo attraversa la sezione di area A. L unità di misura è kg/s. Allo stesso modo per la sezione Q scriveremo: m m& ρ A w τ lim τ 0 m τ ρ A w Nelle relazioni della portata massica ρ e ρ sono le densità di massa del fluido nelle condizioni e rispettivamente [kg/m 3 ]. Ora, poiché le pareti del tubo sono impermeabili al fluido e non vi sono nell interno né sorgenti né pozzi dove il fluido possa essere creato o distrutto, la massa che attraversa nell unità di tempo ogni sezione del tubo deve essere la stessa. Dunque il flusso di massa in P è uguale a quello in Q: m & & ρa w ρ A w m Estendendo il discorso a tutte le altre sezioni del tubo di flusso, si può dire che: ρaw costante Questo risultato esprime il Principio di conservazione della massa nella dinamica dei fluidi. Se il fluido in moto è incomprimibile, allora ρ resterà costante, e il principio di conservazione si semplifica in: Awcostante Il prodotto Aw misura il flusso di volume, o portata volumetrica, che si misura in m 3 /s. Si noti che dalla Awcostante si deduce che la velocità di flusso varia in modo inversamente proporzionale alla sezione: w è più grande laddove il tubo è più stretto e viceversa. Nel disegno sopra sarà quindi w>w. Si può ottenere un altro interessante risultato applicando la seconda legge del moto al fluido compreso tra le sezioni P e Q. Una particella che ha in P la velocità w deve subire una decelerazione per arrivare in Q con velocità minore w. Quindi tutta la massa fluida è soggetta ad una accelerazione negativa quando passa da P a Q; tale decelerazione può essere causata da una differenza di pressione o dalla forza di gravità. Se il tubo di flusso è orizzontale, la forza di gravità non può produrre cambiamenti di velocità. In questo caso possiamo concludere che se il moto stazionario è orizzontale, la pressione è maggiore laddove la velocità è minore. 55

4 5. Equazione di Bernoulli: Come tutte le equazioni della dinamica dei fluidi, l equazione di Bernoulli non costituisce un nuovo principio, ma è derivabile come conseguenza delle leggi della meccanica newtoniana. Risulta comodo ricavarla dal teorema dell energia cinetica, poiché essenzialmente essa rappresenta la formulazione del teorema di conservazione dell energia nel caso del moto di un fluido. Consideriamo un fluido non viscoso e incomprimibile che si muove di moto stazionario lungo il tubo di flusso disegnato nella figura che segue. w p A w l p A (a) z z l w p A w l p A z z l (b) 56

5 La porzione di tubo rappresentata in figura ha, nella sua parte iniziale, una sezione A costante e orizzontale e si trova ad un altezza z rispetto ad un certo livello di riferimento. Il tubo poi gradualmente si allarga e si innalza finche, infine, sulla destra vi è di nuovo una parte orizzontale a sezione costante A ed ad una altezza z. Concentriamo la nostra attenzione sulle porzioni di fluido tratteggiata e in rosso: queste porzioni di fluido costituiscono il nostro sistema e ne vogliamo studiare il moto che lo fa passare dalla configurazione disegnata in (a) a quella (b). Il teorema dell energia cinetica afferma che il lavoro compiuto dalla forza risultante agente sul sistema uguaglia la variazione di energia cinetica del sistema. Dalla figura le forze che compiono lavoro sul sistema sono le forze di pressione pa e pa agenti rispettivamente agli estremi sinistro e destro del fluido, e la forza di gravità. L effetto risultante dallo scorrimento del fluido nel condotto, come si può vedere confrontando le figure (a) e (b), è il sollevamento della quantità di fluido in rosso. La quantità di fluido tratteggiata resta invariata durante il moto del fluido. Possiamo calcolare nel modo seguente il lavoro L compiuto dalle forze agenti sul sistema: ) Il lavoro delle forze di pressione pa è pa l; ) Il lavoro delle forze di pressione pa è pa l; si noti che esso è negativo, il che significa che tale lavoro è compiuto dal sistema. 3) Il lavoro compiuto sul sistema dalla forza di gravità, dovuto al sollevamento della porzione di fluido in rosso dalla quota z a z, è mg(z-z), dove m è la massa del fluido contenuta in quell area in rosso. Anch esso è negativo poiché è compiuto dal sistema contro la forza di gravità. Il lavoro L compiuto sul sistema dalla forza risultante si calcola sommando questi 3 termini, ovvero: L pa l p A l mg(z z) Ma A l A l è il volume del fluido dell elemento in rosso e quindi lo possiamo scrivere come m / ρ, se con ρ si indica la densità costante del fluido. Ricordiamo che i due elementi di fluido hanno la stessa massa, dato che nel porre A abbiamo supposto il fluido incomprimibile. Con questa ipotesi l A l abbiamo: 57

6 m L (p p ) mg(z z) ρ La variazione di energia cinetica dell elemento di fluido è: mw mw Per il teorema dell energia cinetica si può scrivere: o anche: mw p mw (p m p ) mg(z ρ + ρw + ρgz p + ρw + ρgz poiché gli indici e si riferiscono a due punti qualunque del tubo, possiamo eliminarli e scrivere semplicemente: z ) p + ρw + ρgz costante Questa relazione è l equazione di Bernoulli, rigorosamente applicabile solo a moti stazionari, dato che le grandezze che intervengono devono essere valutate lungo la stessa linea di flusso; quindi la costante che compare a secondo membro non è la stessa per tutte le linee di flusso. Nella nostra figura la linea di flusso è quella che giace sull asse del tubo di flusso. Se però il flusso è irrotazionale (cioè non ci sono moti angolari delle particelle di fluido), si può dimostrare che la costante è uguale per tutte le linee di flusso. La legge di variazione della pressione con l altezza è contenuta come caso particolare nell equazione di Bernoulli. Infatti, se il fluido è a riposo, ww0, e l eq. di Bernoulli diviene: p ρgz p + ρgz + ossia p ρg(z z ) p L equazione di Bernoulli contiene termini che hanno tutti le dimensioni di una pressione. La pressione p + ρgz, che sarebbe presente anche se non vi fosse moto, si chiama pressione statica; il termine ½ρw viene detto pressione dinamica. L equazione di Bernoulli può essere modificata introducendo un termine correttivo empirico che tenga conto della viscosità del fluido. Se il fluido è viscoso, 58

7 su di esso agiscono forze di attrito in modo che una parte del lavoro compiuto, che nel caso di fluido non viscoso appariva come variazione di energia cinetica, appare ora come energia termica del fluido. Inoltre, se nel tratto di condotto compreso tra le sezioni considerate è presente un organo meccanico che fa o riceve un lavoro dal fluido (ad esempio una pompa), nell equazione di Bernoulli occorrerà aggiungere un termine che tenga conto di questo ulteriore lavoro scambiato. Quindi nel caso più generale di fluido viscoso con scambio di lavoro meccanico tra le sezioni di ingresso ed uscita, l equazione di Bernoulli si esprime come segue: ( p p) + ρ(w w ) + ρg(z z) + ρgh' E, +ρgh A, 0 dove con h E, si indica il carico motore, ossia il contributo dovuto al lavoro esterno netto scambiato tra il sistema e l esterno, con ha, si indica il carico d attrito dovuto alla viscosità del fluido. Entrambi questi termini sono espressi in metri. Pensiamo ad esempio ad un circuito che collega due serbatoi, costituito da una tubazione dentro cui circola una certa portata acqua, messa in movimento mediante una pompa inserita nel circuito stesso. La pompa compie un lavoro sul fluido e fornisce ad esso una certa energia che serve a compensare le perdite lungo il circuito. Noto il carico motore della pompa h E, attraverso l equazione di Bernoulli, la potenza W della pompa si calcola cose segue: mgh' W & η E, η : rendimento della pompa ( ) pompa 59

8 Per quando riguarda il carico d attrito ha,, questo rappresenta le perdite dovute alla viscosità del fluido, che genera attrito con le pareti del condotto. L attrito genera delle perdite di pressione (che devono essere compensate dal lavoro esterno), pari a: pag ρ ha, 5.3 Cadute di pressione nelle tubazioni e loro valutazione Si è soliti fare una distinzione tra le resistenze dovute allo scorrimento del fluido nella tubazione rettilinea vera e propria (cadute di pressione distribuite, per attrito) e le resistenze provocate al passaggio del fluido attraverso valvole, curve, raccordi, e impedimenti locali in genere (cadute di pressione accidentali, per variazioni - anche brusche - di velocità e direzione). Nei vari tratti di tubazione componenti un dato circuito si verificherà sempre una caduta di pressione per attrito ed, in generale, un certo numero di cadute di pressione per resistenze diverse (accidentali). Richiamiamo, nel seguito, le formule relative al calcolo delle suddette cadute di pressione. Cadute di pressione distribuite L'analisi dimensionale e l'esperienza pratica hanno consentito di esprimere la caduta di pressione distribuita per unità di lunghezza nella forma: p l A f d w g γ dove : pa caduta di pressione per attrito in Pa f coefficiente d'attrito (adimensionale) l lunghezza della tubazione in m d diametro interno del condotto supposto circolare in m γ peso specifico del fluido in N/m3 g accelerazione di gravità in m/s w velocità del fluido in m/s 60

9 Il coefficiente di attrito f dipende dal regime di moto (turbolento o laminare) e può esprimersi con la relazione: ove: Re wd/ν è il numero di Reynolds ; f f ν µ/δ è la viscosità cinematica, m²/s µ è la viscosità dinamica, kg/m s ε è la scabrezza della tubazione, m δ è la densità del fluido, kg/m 3 ε Re, d Il fattore d attrito in regime di moto laminare vale, com'è noto: f 64/Re Quando il regime di moto nelle tubazioni è turbolento, si può utilizzare, per il calcolo di f, l'equazione di Colebrook: f - log 0 ε.5 + d Re f 3.7 la quale, essendo un'equazione implicita in f, non è agevolmente risolubile senza l'aiuto di un mezzo di calcolo adeguato. Pertanto per il dimensionamento delle tubazioni in pratica si sono utilizzate, e si utilizzano ancor oggi, opportuni diagrammi o tabelle nei quali, generalmente e per ogni tipo di fluido, sono riportati le velocità del fluido, il diametro della tubazione, la portata e la caduta di pressione per metro di lunghezza della tubazione stessa. Poiché la densità e la viscosità cinematica dei fluidi variano con la temperatura, ciascuno di questi diagrammi è relativo a un ben definito fluido e a un valore di temperatura. Tali mezzi cartacei consentono, note che siano due grandezze, la determinazione delle altre due. Occorre qui osservare che, sebbene le cadute di pressione debbano esprimersi nel Sistema Internazionale in Pa (cioè in N/m²), tuttavia sulle tabelle e sui nomogrammi spesso si trovano espresse nella tradizionale unità di mm di colonna d'acqua la quale però, si noti bene, dev essere considerata una misura di pressione e non di lunghezza! Per la correttezza dei calcoli è essenziale ricordare che al battente di un mm di colonna d'acqua corrisponde una pressione: p γ h con γ 9.8 x 0 3 [N/m 3 ] e h 0-3 [m] 6

10 da cui : p mm H O 9.8 x 0 3 x [Pa] Concludendo, mm di colonna d'acqua è pari a 9.8 [Pa], valore che ai fini pratici, può essere arrotondato a 0 [Pa]. Ovviamente, il fatto di parlare di mm di colonna d'acqua non è in alcun modo connesso al fatto che il fluido defluente sia acqua; si parla di caduta di pressione espressa in mm di colonna d'acqua anche per deflussi d'aria, o di qualunque altro fluido. Occorre inoltre rilevare che nei manuali spesso perdita di carico e caduta di pressione sono considerati sinonimi il che non è corretto perché i carichi sono lunghezze e debbono essere misurati in metri. E quindi necessario un attento esame del grafico o della tabella utilizzati per non commettere errori. La figura che segue riporta un esempio di tali nomogrammi: si noti che esso è riferito all acqua alla temperatura di 80 C; se venisse utilizzato per un valore di temperatura molto diverso (ad es. 0 C) si commetterebbero degli errori significativi. 6

11 Quando il calcolo della caduta di pressione riguarda tratti di rete complessi (con variazioni da tratto a tratto del diametro, della velocità di deflusso, ecc.) l analisi viene eseguita suddividendo il circuiti in tronchi omogenei. Indicando la caduta di pressione totale per unità di lunghezza ( ossia la caduta dell'intero tratto di rete considerato) con la lettera R, si ha: w i pa R f i i li di g ove il pedice i individua le caratteristiche del generico tratto i-esimo di rete. γ Cadute di pressione accidentali o concentrate Le cadute di pressione concentrate sono quelle che si verificano quando il fluido defluisce attraverso raccordi, valvole, gomiti, rubinetterie, curve ecc. Queste perdite rappresentano spesso una notevole frazione della totale caduta di pressione del circuito. Per la loro valutazione si utilizzano i seguenti due metodi: metodo della lunghezza equivalente In base a detto metodo, un raccordo, una valvola o qualsivoglia altro organo in grado di provocare una resistenza concentrata, viene considerato equivalente ad una certa lunghezza di tubazione diritta, che provochi la stessa caduta di pressione. In altre parole, per ogni tipo e diametro di raccordo o di valvola si assegna una "lunghezza equivalente": moltiplicando tale lunghezza per la caduta di pressione unitaria relativa ad una tubazione dello stesso diametro (del raccordo o della valvola), percorsa dalla stessa portata di fluido, si determina la caduta di pressione desiderata. Apposite tabelle o grafici consentono di determinare tali lunghezze equivalenti, nei più comuni casi della pratica. metodo dell'altezza cinetica o metodo dei fattori Consiste nell'esprimere la caduta di pressione in funzione del termine cinetico locale, secondo la relazione: w pa z γ g 63

12 dove z è un fattore (coefficiente adimensionale di forma) relativo al particolare tipo di resistenza accidentale considerata, praticamente indipendente da altri fattori (quali velocità e viscosità del fluido) e fornito da apposite tabelle, come quella seguente. Indicando con Z la caduta di pressione complessiva di un tratto di rete comprendente un certo numero di resistenze accidentali, si ha: Z z j j w j g γ j Sommando le cadute di pressione distribuite e concentrate si calcolano le cadute di pressione complessive di tutta la rete. Infine un'osservazione relativa alla geometria del condotto. Nelle formule che precedono si è fatto generalmente riferimento a condotti di sezione circolare. Ciò nonostante, tali formule sono applicabili anche a condotte con sezione diversa da quella circolare, in quanto è sempre possibile trovare un condotto a sezione circolare equivalente, che presenti cioè la stessa caduta di pressione per unità di lunghezza di quello considerato. Il diametro "equivalente" di questi condotti a sezione non circolare è espresso da relazioni semiempiriche. 64

13 5.4 Applicazione dell equazione di Bernoulli al dimensionamento di una rete idrica: Il circuito idraulico di un impianto di riscaldamento di un edificio a tre piani è assimilabile allo schema illustrato in figura. Nell impianto sono presenti, in un unico anello, pompa, caldaia, corpi scaldanti, tubazioni di collegamento, raccordi, vaso di espansione,. Si hanno a disposizione i seguenti dati di progetto: - n. 0 caloriferi con perdite di carico per ciascuno pari a Pa; - perdite di caldaia di Pa; - n. 70 gomiti a m di tubi saldati di collegamento da ½ pollice (Di5 mm, ε60 µm) - sviluppo in altezza dell impianto: 3 m - portata massica m& 0. kg/s - temperatura media dell acqua circolante T75 C Determinare la potenza della pompa (rendimento η0.8). V. CALDAIA Soluzione Integrando l equazione di Bernoulli tra la sezione e coincidenti (come indicato in figura): 65

14 h p ( z z ) ( w w ) ( p p ) + h' E, g ρg p p 0 (le sezioni e sono coincidenti) A, z z 0 (le sezioni e sono coincidenti) w w m& w ρ A H0 (le sezioni e sono coincidenti) ρ H0 m& πd π m 0.57 s h A, w f g L D + z z * 70 (gomiti a 90 ) Äp conc 0 * Pa ε 60 *0 d 5 * ν(80 C) + ν(70 C) ν(75 C) * *0 6 Re wd ν 0.57 *5 * *0 3.9 *0 3 > 000 moto turbolento f h A, + h' E, 0 w g f L D + z + h' E, Äp + ρg conc 0 h' E, w g f L D Äp + z ρg conc * 9.8 mgh' & P η E, * * 9.8 * W m 66