Da quanto discusso fino ad ora si comprende che il problema matematico tipico della meccanica dei solidi è così impostato:

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1 Cap. 5 SOLIDO ELASTICO E TEOREMI ENERGETICI 5. IL SOLIDO ELASTICO ED I TEOREMI ENERGETICI 5. INTRODUZIONE Da quanto dscusso fno ad ora s comprende che l problema matematco tpco della meccanca de sold è così mpostato: DATI: olume occupato dal soldo b forze d volume assegnate n Condzon al contorno: $f forze assegnate sulla porzone d superfce $u spostament assegnat sulla porzone d superfce TROARE n ogn punto d ( x, x, x3 ) camp d spostament, deformazon e tenson: u u ( x, x, x ) ( x, x, x ) 3 3 ( x, x, x ) 3 (5.) che sano soluzone del seguente problema al contorno: Equlbro, + b 0 n n fˆ n ' (5.)

2 Cap. 5 SOLIDO ELASTICO E TEOREMI ENERGETICI Congruenza u uˆ ( u + u ),, su n (5.3) Come s vede, a fronte d 9 equazon dfferenzal alle dervate parzal, occorre determnare le 5 funzon ncognte (5.). In alcun cas partcolar l numero delle funzon ncognte da determnare s rduce tanto da consentre la rsoluzone del problema (5.),(5.3). S tratta de problem così dett statcamente determnat, mutuando l lnguaggo della statca de corp rgd. In generale però l problema non s può rsolvere se non s tene conto della partcolare natura materale del soldo. In altr termn, mentre le equazon (5.) e (5.3) valgono n ogn contnuo a prescndere dal partcolare materale d cu è costtuto, per poter rsolvere problem concret occorre descrvere l comportamento de sngol materal attraverso opportune relazon che sano n grado d ndvduare le partcolar class d process che cascuno d ess è n grado d compere. Tal relazon prendono l nome d equazon costtutve e, nella formulazone pù semplce, legano l tensore della tensone con quello della deformazone : ( ) (,,h,,,3) (5.4) h Le (5.4), che n generale sono non-lnear, rappresentano la pù generale relazone per descrvere l comportamento d un materale elastco, l quale è percò caratterzzato dalla propretà che la generca componente d tensone è determnata dal valore che assumono tutte le component h d deformazone. S not che per un materale elastco non ha alcuna nfluenza la stora deformatva subta dal materale prma che esso venga sottoposto alla nostra osservazone. Partcolare mportanza rveste per le applcazon nell ngegnera l caso n cu le equazon costtutve (5.4) sano lnear, ossa quando sa possble scrvere le (5.4) nella forma: C[ ] (5.5) essendo C una applcazone lneare che trasforma lo spazo de tensor n quello de tensor ossa, lo spazo de tensor del secondo ordne n se stesso ; C è qund un tensore del 4 ordne. La (5.5), se passamo dalla notazone assoluta, alle component con rfermento ad una e, e, e, dvene: base ortonormale [ 3] C (5.6) h h

3 Cap. 5 SOLIDO ELASTICO E TEOREMI ENERGETICI 3 La (5.6) è una generalzzazone della famosa legge d R. Hooe l quale nel 676 dede l prmo contrbuto n tema d equazon costtutve. Egl condensò le sue esperenze sulle molle d orolog nella relazone d proporzonaltà (ut tenso sc vs): F u ossa E Questa relazone, che ogg può apparre del tutto scontata, ha avuto una notevole mportanza metodologca n quanto dmostrò la possbltà d msurare la forza, ossa la tensone, attraverso msure d spostament, ossa d deformazon. Inoltre provò l nvaranza della legge costtutva rspetto al sstema d rfermento. La (5.6) descrve pertanto l comportamento d un materale elastco lneare, e deve la sua estesa fortuna alla crcostanza che quas tutt materal da costruzone, se poco sollectat, sono rconducbl ad essa. Essa tuttava è pur sempre la descrzone d un materale deale che non esste a rgore n natura ed n tal senso sarebbe pù corretto parlare d stato elastco anzché d soldo elastco o d materale elastco. 5. IL SOLIDO ELASTICO LINEARE Abbamo vsto nel precedente paragrafo che l soldo o, per meglo dre, lo stato elastco lneare, è descrtto dalla relazone d proporzonaltà, generalzzazone della legge d Hooe, (,, h,,,3) C (5.7) h h n cu C h sono le component, n un rfermento ortonormale, d un tensore del 4 ordne, detto tensore d elastctà. Svluppando la (5.7) con rfermento ad es. ad una partcolare componente d, s ottene: 3 C3 + C3 + C C3 + C3 + C C + C + C

4 Cap. 5 SOLIDO ELASTICO E TEOREMI ENERGETICI 4 Essendo un tensore del 4 ordne, le component C h d C sono Le component effettvamente dstnte s rducono però a 36 per la smmetra d ed che, come è noto, presentano cascuno solo se component dstnte. I coeffcent C h non dpendono dalla deformazone ma, eventualmente, dalla poszone della partcella materale. Quando cò accade s parlerà d materal eterogene. Quando vceversa le C h non dpendono dal punto dremo che l materale è omogeneo, le component C h sono qund n tal caso delle costant per tutto l corpo. Anche l comportamento pù semplce, ossa quello elastco lneare, mplca qund la conoscenza d ben 36 costant materal che sono evdentemente dffcl da valutare soprattutto quando s pens che cò può esser fatto solo spermentalmente. Il numero d tal costant tuttava s rduce quando l materale presenta partcolar propretà d smmetra nella rsposta, ossa delle smmetre nel suo comportamento. Questa eventualtà, che s verfca nella maggor parte de cas d nteresse tecnco (5.), verrà analzzata n manera pù approfondta nel paragrafo seguente. 5.. Propretà d smmetra nella rsposta d un materale Al fne d descrvere eventual smmetre nella rsposta d un materale s vuole ora studare (Fg.5.) quello che accade nell ntorno nfntesmo d un punto ndvduato dal O, x, x, x vettore poszone x nel rfermento cartesano ( ) 3. S supponga d applcare un campo d spostament u( y) n un punto y a dstanza nfntesma da x. S consder po l punto y* ndvduato da: ( y* x) Q ( y x) (5.8) essendo Q un tensore ortogonale, ed l campo d spostament u* ( y* ) legato ad u( y) dallo stesso tensore ortogonale Q : u* ( y* ) Q u( y) (5.9) (5.) Accade spesso n pratca d poter consderare l potes d comportament smmetrc vste le propretà d smmetra della natura crstallna del materale e la possbltà d modfcare, attraverso una lavorazone dall avanzato rlevo tecnologco, l comportamento de materal stess nelle vare drezon.

5 Cap. 5 SOLIDO ELASTICO E TEOREMI ENERGETICI 5 Fg. 5. In sostanza, l vettore ( y* x) e l campo d spostament u ( y ) vettore ( y x) ed l campo d spostament ( ) * * non sono altro che l ux, ruotat d Q. In generale la rsposta del materale nel punto x è dversa nelle due drezon consderate; se però l materale presenta delle smmetre potremmo avere la stessa rsposta. È facle verfcare, rcordando la regola d dervazone delle funzon composte, che: u T * Q u y Q uq Q uq (5.0) n cu denota l gradente. Se nella (5.0) consderamo solo la parte smmetrca, che come è noto concde con l tensore delle deformazon, s pervene a : * Q Q T (5.) Resta così provato che ed descrvono la stessa deformazone n x. Ora se Q è una trasformazone d smmetra per l materale (ossa se l materale presenta la stessa rsposta nelle due drezon) s può affermare che [ ] rappresentano lo stesso stato d tensone e qund deve valere la da cu: C e C [ ] * Q Q T (5.)

6 Cap. 5 SOLIDO ELASTICO E TEOREMI ENERGETICI 6 e qund: [ * ] [ ] C Q C Q T [ ] [ ] T T CQ Q QC Q (5.3) che rappresenta qund la condzone necessara affnché Q sa una trasformazone d smmetra. S può dmostrare che le trasformazon d smmetra costtuscono un gruppo G e che se Q G allora anche Q G ; noltre l prodotto d due trasformazon d smmetra è ancora una trasformazone d smmetra (qund l tensore I, d componentδ n un rfermento ortonormale verfca la condzone I G ). Indcando con O l gruppo de tensor ortogonal s parla d soldo elastco lneare sotropo se G O : questo corrsponde al massmo grado d smmetra n quanto per ogn trasformazone ortogonale (per ogn rotazone) è valda la (5.3) e qund l comportamento del materale è lo stesso per qualsas drezone (5.) ; nel caso n cu questo non sa verfcato l materale s dce ansotropo. Il gruppo G presenta nfnt sottogrupp ma è stato dmostrato (Coleman & Noll) che sottogrupp propr sono n grado d descrvere tutt materal che presentano smmetre e che d quest descrvono tutte le class d crstall note. Hanno un grande rlevo partcolar class d materal ansotrop: materal elastco lnear trasversalmente sotrop per qual la relazone (5.3) è I R ϕ che è generato dal, e valda quando Q appartene al sottogruppo propro ( ) tensore untaro I e da una rotazone d un angolo ϕ attorno ad una drezone e; materal elastco lnear ortotrop per qual la relazone (5.3) è valda quando π π π Q appartene al sottogruppo propro ( R R R ) rspetto a tre pan ortogonal d normal,,.,, che è generato delle rflesson Passando dalle condzon d assenza d smmetra, alla ortotropa, alla sotropa trasversale per arrvare alla sotropa l numero delle costant ndpendent necessare a descrvere l comportamento elastco lneare s rduce rspettvamente da 36 a 9, a 5 per fnre a. (5.) S pens d poter solare de provn ntorno al medesmo punto ma prendendo materale secondo drezon dverse: effettuando ad esempo una prova d trazone s otterrebbero, n campo elastco, medesm dagramm tensone - deformazone su tutt provn prelevat.

7 Cap. 5 SOLIDO ELASTICO E TEOREMI ENERGETICI Il soldo elastco lneare sotropo S può dmostrare che per un soldo elastco lneare sotropo valgono le seguent 3 propretà: a) ad una dlatazone unforme corrsponde uno stato d tensone sferco : [ ] [ ] ei C C ei 3 KeI 3 KeI b) ad una deformazone che sa uno scorrmento puro corrsponde uno stato d tensone tangenzale puro (sono nulle le tenson normal): C [ ] µ µ c) ad una deformazone devatorca (a tracca nulla) (5.3) corrsponde uno stato d tensone anch esso devatorco: 0 [ ] o con t r o 0 C µ o µ o S dmostra che le tre propretà sopra evdenzate sono anche condzon necessare e suffcent affnché l soldo elastco lneare sa sotropo. Infatt, basandos sulle stesse tre propretà è ora possble dmostrare che un soldo elastco lneare è sotropo se e solo se l suo legame costtutvo è espresso dalla: [ ] C µ + λ t r I (5.4) che vene anche ndcata come equazone d Lamé (85) e dove l numero delle component del tensore d elastctà che defnscono l comportamento del materale s è rdotto alle sole due λ e µ (prma e seconda costante d Lamé). Per dmostrare la suffcenza della (5.4) s può scrvere per ogn tensore ortogonale Q : [ ] Q C Q µ Q Q + λ tr QI Q T T T (5.3) Ad esempo le deformazon a volume costante.

8 Cap. 5 SOLIDO ELASTICO E TEOREMI ENERGETICI 8 ma, se s osserva che (5.4) : T T ( Q Q ) ( Q Q ) ( I ) ( ) tr tr tr tr Q I Q T s ha: [ ] T µ T + λ tr ( T ) [ T ] Q C Q Q Q Q Q I C Q Q che è la condzone d sotropa d un materale (5.4) stante l arbtraretà d Q. La (5.4) rappresenta anche la condzone necessara, nfatt, scomponendo l tensore nelle due part sferca e devatorca, s ha: + 3 tr I o da cu, rcordando le propretà a) e c) vste n precedenza, derva che: C 3 + o o [] C ( tr ) I C[ ] 3K ( tr ) I + µ 3 K K 3 ( tr ) I + µ ( tr ) I µ + µ ( tr )I e, se s pone: λ K µ 3 s ha: 3 C [ ] µ + λ tr I che conclude la dmostrazone. L equazone costtutva (5.4) può anche essere nvertta per esprmere n funzone d. Infatt da essa s ottene mmedatamente: (5.4) la prma uguaglanza è possble n quanto, date due matrc A e B, vale la: tr (A B) tr (B A)

9 Cap. 5 SOLIDO ELASTICO E TEOREMI ENERGETICI 9 e da questa, consderando che: µ ( λ tr I ) ( ) tr µ tr + λ 3 tr µ + 3 λ tr s ottene la relazone nversa cercata: λ tr I (5.5) µ µ + 3 λ dove s assume µ 0 e µ + 3 λ Sgnfcato fsco delle prncpal costant elastche a) S è vsto che, se lo stato d deformazone n un punto è uno scorrmento puro: , l corrspondente stato d tensone è d tpo tangenzale puro: con τ espressa da: 0 τ 0 τ τ µ µ γ dove γ è lo scorrmento (dlatazone angolare) e µ prende, per l sgnfcato che così assume, l nome d modulo d elastctà tangenzale ed ha le dmenson d una tensone. Nella letteratura tecnca tale modulo è ndcato con G. b) Se nvece lo stato d deformazone n un punto è una dlatazone unforme : e I

10 Cap. 5 SOLIDO ELASTICO E TEOREMI ENERGETICI 0 lo stato d tensone corrspondente è d tpo drostatco s 3Ke I n cu è facle vedere che: 3 K µ + 3λ dove prende l nome d modulo d elastctà cubca ed ha le dmenson d una tensone. c) S consder ora lo stato d tensone monoassale: Utlzzando le equazon costtutve nella forma (5.5) è mmedato verfcare che le unche component d deformazone non nulle sono: µ λ µ λ µ + 3λ λ µ + λ + 3 µ µ 3λ µ ( µ 3λ) (a) + + λ µ µ λ λ µ ( µ 3λ) (b) + 33 Se s ntroduce l modulo d elastctà normale, o modulo d Young E, dato da: ( + 3 ) µ µ λ E µ + λ (5.6) l equazone (a) dventa: E che esprme la dlatazone lneare nella drezone longtudnale n peno accordo con la legge d Hooe E. La costante E, che ha le dmenson d una tensone, deve essere postva (E > 0) perché a trazon (tenson postve) corrspondano allungament. S defnsce nfne l coeffcente d Posson o coeffcente d dlatazone trasversale medante:

11 Cap. 5 SOLIDO ELASTICO E TEOREMI ENERGETICI 33 ν λ ( µ + λ) (5.7) n cu l ultma uguaglanza è una mmedata conseguenza delle (b) e da cu dscende: ν ν E 33 e qund l tensore della deformazone corrspondente allo statod tensone monoassale n esame s rduce a : 0 0 E ν 0 0 E ν 0 0 E È facle provare che, n termn delle costant E, ν, la (5.5) dvene : [( ) I ] + ν ν δ (5.8) E con I tr. Lo stato d tensone monoassale consderato è quello che s determna n ogn punto d un asta rettlnea soggetta a forza normale d trazone. Il caso spermentale d rfermento potrebbe essere l seguente (Fg. 5.): un asta d lunghezza l, n seguto all applcazone d una forza normale N nella drezone dell asse x s deforma varando la sua lunghezza d l ; l area d base, nzalmente d superfce A, subsce una varazone A :

12 Cap. 5 SOLIDO ELASTICO E TEOREMI ENERGETICI Fg. 5. S possono qund determnare spermentalmente le grandezze: e qund ottenere l valore d E medante: N l ; A l E tg ϕ E mmedato trovare anche una relazone tra E, µ, ν. S consder nfatt, partendo dalla (5.6), l rapporto : E µ + 3λ µ + λ λ λ + + µ µ + λ µ + λ µ + λ µ + λ da cu, rcordando l espressone (5.7), s gunge mmedatamente a: che è la relazone cercata. E + ν (5.9) µ Delle cnque costant elastche che s sono defnte ( K, λ, µ G, E, ν ) E e ν sono quelle d pù facle determnazone spermentale per cu verranno pù spesso utlzzate nel seguto. Nella tabella seguente vengono ndcat valor d E e ν per alcun materal. E ν Calcestruzz 5-40 N/mm Accao 06 N/mm 0.30 Allumno 70 N/mm 0.36 Rame 0 N/mm 0.35

13 Cap. 5 SOLIDO ELASTICO E TEOREMI ENERGETICI 3 In ultmo, rcordando che per un soldo elastco lneare sotropo sono solamente due le costant ndpendent necessare a descrvere l legame costtutvo, s raccolgono nella seguente tabella le relazon tra le vare costant elastche fno ad ora ntrodotte. COSTANTI λ, µ K, µ µ, ν E, ν E, µ λ µ K 3λ µ 3 K µ 3 µν ν νe ( + ν)( ν) E + ( ν) ( E ) µ µ 3µ E + µ ( + ν) E Eµ 3 ( ν ) 3 ( ν ) 33 ( µ E) E µ ( 3λ + µ ) 9 Kµ + ( νµ ) ν λ + µ 3 + µ λ 3 K µ E µ λ µ 3 + µ µ ( ) + ( ) 5.3 SOLIDO ELASTICO SECONDO GREEN Il problema della determnazone del numero de parametr necessar a descrvere l comportamento d un materale, n partcolare d un soldo elastco lneare, generò una dsputa durata dvers decenn. Naver e Cauchy basarono loro stud sulla teora molecolare che, come osservò Posson, portava alla determnazone d un valore costante del coeffcente d contrazone trasversale (ν 0.5), ndpendentemente dal materale. S doveva ammettere qund, seguendo quella teora, che l comportamento del materale potesse essere descrtto da una sola costante. Esperenze successve svluppate da rcercator ngles e tedesch portarono alla determnazone d valor d ν dvers da 0.5 per materal metallc qual accao e ottone, suggerendo d abbandonare defntvamente la teora molecolare. Un contrbuto fondamentale al problema venne nel 839 da G. Green (793-84) che, modfcando tutta l mpostazone del problema, dmostrò come, per descrvere l comportamento d un soldo elastco, lneare, omogeneo e sotropo, sano necessare due costant. L potes d elastctà, gà ntrodotta n precedenza, comporta l esstenza d uno stato naturale prefssato a partre dal quale l soldo s può deformare sotto l azone d forze e al quale rtorna quando ne vene lberato, ndpendentemente dalle modaltà segute nell applcare e nel toglere le forze stesse. Il comportamento a cu s fa rfermento è quello

14 Cap. 5 SOLIDO ELASTICO E TEOREMI ENERGETICI 4 tpco d sstem a trasformazon completamente reversbl per qual l energa spesa nella deformazone vene ntegralmente resttuta n accordo con l prncpo d conservazone dell energa. Partendo da questa potes, concett general sull energa potenzale, gà ntrodott n quel perodo da Laplace, portarono Green ad ammettere l esstenza d una funzone d stato dpendente solo dagl estrem della trasformazone e non dal percorso seguto. Le propretà meccanche d un materale elastco possono qund essere descrtte da uno scalare Φ, chamato energa potenzale elastca per untà d volume, ovvero denstà d energa d deformazone, funzone solo delle grandezze che defnscono lo stato naturale e da quelle che determnano la deformazone Energa potenzale elastca Sa s una curva parametrca nello spazo delle deformazon che descrva la stora della deformazone nell ntorno nfntesmo d un punto P del contnuo e che s possa esprmere analtcamente medante: ( ) essendo α l parametro e con ( α ) A ( α ) α ; α0 α α (a) e B. 0 Possamo dre che la curva (a) rappresenta un processo d deformazone che ha nzo n A e termna n B (v. fgura). Supponamo che la lnea d deformazone s sa contnua e regolare, eventualmente a tratt, e che ad essa corrsponda, nello spazo delle tenson, l processo tensonale ( α) ( α); α α α C h h 0

15 Cap. 5 SOLIDO ELASTICO E TEOREMI ENERGETICI 5 Ne consegue che l lavoro (nterno) d deformazone computo, per untà d volume, lungo s s può esprmere medante: ϕ ( s ) α 0 α d dα dα In generale, senza potes sulla natura del soldo, l valore d ϕ ( ) (5.0) s dpende dal percorso seguto fra gl estrem A e B. L potes d elastctà, come gà accennato, portò Green ad ammettere l esstenza d una funzone potenzale per l energa d deformazone elastca, o Φ, per modo che l ncremento d lavoro è dato propro dal anche denstà d energa, ( ) dfferenzale totale della Φ( ) ( ) dalla quale, per l ndpendenza delle d dφ d (5.), s rcava la Φ (5.) dove, nella dervazone, Φ( ) deve essere consderata funzone delle nove component della deformazone senza tenere conto della smmetra d. La (5.) è la relazone cercata che lega tenson e deformazon e coè l equazone costtutva del materale. S mostra faclmente che, utlzzando la funzone denstà d energa sopra defnta, l lavoro d deformazone è ndpendente dal percorso seguto nella deformazone ed è solo funzone degl estrem della trasformazone. Esprmendo la tensone ne termn della (5.) s ha nfatt ϕ α α ( s ) d d ( ) [ ] [ ( )] [ ( )] Φ d α Φ α Φ α Φ α 0 (5.3) α0 dα α0 Se s consdera l seguente svluppo ( ) s può affermare che l termne d d + d (5.4) d rappresenta l dfferenzale totale d una funzone ( ), essendo la dfferenza d due dfferenzal, Φ $ detta energa potenzale elastca

16 Cap. 5 SOLIDO ELASTICO E TEOREMI ENERGETICI 6 complementare o denstà d energa complementare, ntrodotta per la prma volta da Castglano nel 875. Dalla ( ) dφ $ d (5.5) con l potes d ndpendenza delle nove component d, s ottene Φ $ (5.6) che rappresenta l nversone delle (5.) Esstenza d una denstà d energa potenzale elastca S è gà avuto modo d vedere che lo stato elastco lneare è descrtto dalla relazone (5.7): C l l n cu C l è l tensore d elastctà. S dmostra ora che le seguent tre proposzon sono equvalent: a) l lavoro che s compe n un processo d deformazone descrtto da una curva chusa s è nullo. b) l tensore d elastctà C è smmetrco (5.5). c) la denstà d energa è espressa dalla Φ ( ) C l l (5.7) se s assume come stato naturale quello a deformazone nulla e che, n questo stato, c sa assenza d tenson, ossa le autotenson sano nulle. a) b) (5.5) Il tensore C è smmetrco se: A C [B] B C [A] ossa se AC l Bl Bl Cl A qualunque sano tensor dopp smmetrc A e B. In component qund C è smmetrco se C l C l

17 Cap. 5 SOLIDO ELASTICO E TEOREMI ENERGETICI 7 Il lavoro nullo lungo una curva chusa s mplca che l tensore d elastctà C è smmetrco o coè ϕ ( ) s 0 C C : l l S consderno due tensor smmetrc qualunque A e B e la curva chusa: s ha allora che: ( ) cosα A + snα B 0 α π Consderato anche che: (cos α ) C A + snα C B l l l l d dα snα A +cos α B segue che la funzone ntegranda (5.0) ha la seguente espressone: d dα ( snα snαcos α) A C A sn α A C B + l l l l + (cos α cos α) B C A + snα cosα B C B Integrando e ntroducendo l potes a) ϕ ( s o ) ϕ o ( s ) da cu dscende: l l l l 0, s ha: π d dα π BCl Al π ACl B l 0 0 dα A C l B l B Cl Al che per l arbtraretà d A e B dmostra la smmetra d C. b) c) Se l tensore d elastctà C è smmetrco allora la denstà d energa è espressa dalla (5.7):

18 Cap. 5 SOLIDO ELASTICO E TEOREMI ENERGETICI 8 Dalle equazon costtutve per lo stato elastco lneare s ha : C C l l l l da cu per l potes d smmetra d C, s ottene: l l e, n vrtù delle (5.): Φ l C C l l Questa relazone, per l teorema d Schwartz, garantsce la contnutà delle dervate Φ ; c sono qund le condzon per lo svluppo n sere d Mac-Laurn l Φ parzal mste d ( ) della funzone Φ( ) che, arrestato a termn del ordne, fornsce : Φ Φ( ) Φ( 0) Φ l 0 l doveφ ( 0 ) è l energa potenzale elastca per 0 mentre l termne: Φ 0 o rappresenta lo stato d tensone n assenza d deformazone e prende l nome d autotensone. o Nell potes d assenza d autotenson, 0, la denstà d energa è qund espressa dalla (5.7): Φ ( ) C l l a meno d una costante addtva, nessenzale Φ ( 0 ), che può suppors nulla. S not che a no nteressano le dervate d Φ ( ). c) a)

19 Cap. 5 SOLIDO ELASTICO E TEOREMI ENERGETICI 9 Se la denstà d energa esste ed n partcolare è espressa dalla (5.7) allora l lavoro lungo una curva chusa s è nullo. La dmostrazone d questa asserzone è banale se s utlzza l espressone (5.3) per l calcolo del lavoro. Un soldo elastco lneare per cu valga l potes d Green s dce soldo perelastco o d Green altrment vene detto soldo d Cauchy. Nel soldo perelastco la smmetra del tensore d elastctà C porta alla rduzone del numero delle costant necessare a descrvere la legge costtutva del materale: le costant elastche effettvamente ndpendent (dstnte) passano da 36 a (5.6). Se C è nvertble e s pone K C s può scrvere: K l l dove K è ancora un tensore smmetrco e qund s può defnre la denstà d energa complementare: Φ $ ( ) K l l (5.8) Attraverso delle semplc sosttuzon s può dmostrare che: ( ) Φ $ ( ) Φ (5.9) nfatt è: $ Φ( ) Kl l Cl l Φ( ) Se, ad esempo, s rconsdera la prova d trazone del 5..3 la denstà d energa è : ( ) Φ che è rappresentata dall area colorata n fgura 5.3: (5.6) In una matrce smmetrca d ordne n le component dstnte sono: n (n+)/.

20 Cap. 5 SOLIDO ELASTICO E TEOREMI ENERGETICI 0 Fg Isotropa ed perelastctà S è vsto che l legame costtutvo d un soldo elastco lneare sotropo è espresso dalla (5.4) che, scrtta n component, da luogo a: dove I C µ + λ I δ (5.30) l l tr rappresenta l nvarante prmo del tensore della deformazone. S può ora dmostrare che l tensore d elastctà presente nella (5.30) è smmetrco, ossa che l soldo elastco lneare sotropo è perelastco. Infatt con rfermento ad una generca coppa d tensor dopp smmetrc A e B s ha: e qund: [ ] C B µ B + λ I δ [ ] B AC B µ A B + λ I A δ B µ A B + λ I AIB µ B A + λ I ABδ BC A (5.3) che dmostra la smmetra d C data l arbtraretà de tensor dopp smmetrc A e B (v. nota (5.5) al punto 5.3.). E facle ora calcolare la denstà d energa potenzale elastca medante la (5.7): [ ] Φ ( ) Cll ( µ + λ I δ) µ + λ I (5.3)

21 Cap. 5 SOLIDO ELASTICO E TEOREMI ENERGETICI Iperelastctà e dsuguaglanze a pror sulle costant elastche La forma quadratca per l energa potenzale elastca espressa dalla (5.7) deve essere defnta postva n quanto rappresenta l energa necessara per deformare l soldo. Sfruttando questa propretà è possble dedurre alcune lmtazon sulle costant elastche. Infatt la denstà d energa d deformazone Φ scrtta nel caso sotropo e facendo uso della scomposzone d nella parte devatorca ed n quella sferca : dà luogo alla seguente espressone: + I δ 3 o o o [ ][ ] Φ µ + λ I µ + I δ + I δ + λi 3 3 o o µ o o µ + λ µ I + λ I µ + I > 0 che deve rsultare postva per qualunque precedente dsequazone dventa: 0 0. Pertanto se assumamo la Φ µ > 0 µ > 0 (a) mentre, se s consdera una dlatazone unforme, s ha: Φ µ + 3λ I > 0 µ + 3λ > 0 (b) 6 Rconsderando po lo stato d tensone monoassale (prova d trazone) del punto 5..3, la denstà d energa vale: da cu s rtrova la condzone: ( ) Φ E (c) E > 0 Rcordando ora le espresson d E e ν n funzone d µ e λ:

22 Cap. 5 SOLIDO ELASTICO E TEOREMI ENERGETICI E ( + 3 ) µ µ λ µ + λ ν λ ( µ + λ) e osservando che: µ µ + 3λ ν, + ν µ + λ ( µ + λ) e che percò s può scrvere: E + ν, µ E ν µ + 3λ n vrtù delle (a), (b) e (c) rsulta che devono essere verfcate le lmtazon: ossa ( + ν ) > 0 ( ν ) > 0 che rappresentano lmt teorc per l coeffcente d Posson ν. Se s rcorda però l tensore della deformazone: < ν < (5.33) ν ν corrspondente allo stato d tensone monoassale (prova d trazone) del punto 5..3, s osserva che almeno ne materal da costruzone rsulta: > 0 ν < 0 < 0 ν > 0

23 Cap. 5 SOLIDO ELASTICO E TEOREMI ENERGETICI 3 da cu s deduce, per l coeffcente d Posson ν, l lmte nferore, fscamente accettable, ν > 0. I lmt pratc d ν rsultano percò: 0 <ν < 0.5 (5.34) S osserva nfne che l valore lmte ν 0.5 non può essere raggunto. In tal caso nfatt non sarebbe possble nvertre la (5.8). 5.4 IL PROBLEMA DELL EQUILIBRIO ELASTICO LINEARE Con rfermento al soldo elastco-lneare che nzalmente occupa l volume sano dat: l tensore elastctà C b b x le forze d volume ( ) le forze d superfce f $ su gl spostament d superfce $u su x 3 f b O x x x e sono part complementar della superfce che racchude l volume. La soluzone del problema dell equlbro elastco consste nel determnare, n corrspondenza de dat assegnat, per ogn punto x d, lo spostamento u, la deformazone, la tensone tal che rsultno soddsfatte le seguent equazon: Equazon d congruenza ( u u ) n, +, (5.35)

24 Cap. 5 SOLIDO ELASTICO E TEOREMI ENERGETICI 4 Equazon costtutve µ + λi δ (5.36) Equazon ndefnte d equlbro (Cauchy), + b 0 n (5.37) Condzon al contorno: n fˆ su (5.38) u uˆ su (5.39) S tratta qund d rsolvere un problema al contorno d tpo lneare msto, dacché le equazon sono lnear e le condzon al contorno rguardano sa le forze sa gl spostament. Rsultano po nteressant due cas partcolar, e, n cu rspettvamente l problema è rcondotto alle sole forze (non sono assegnat gl spostament) ed a sol spostament (non sono assegnate le forze); ne prossm due paragraf esprmeremo le equazon date rspettvamente n termn d sole component d spostamento e d sole tenson. S not che le forze d volume b b( x) e le forze d superfce f $ f $ ( x) sono assegnate sulla confgurazone nzale del soldo, mentre l equlbro sotto queste forze è raggunto nella confgurazone deformata. Poché però gl spostament sono, per potes, pccol, l errore che s ntroduce con questa approssmazone è da rteners trascurable. Del resto, a proposto delle equazon costtutve : C l l s deve a rgore sottolneare una certa nconsstenza. Infatt nella defnzone del tensore d deformazone è stato assunto che le component d spostamento u sono funzon delle coordnate ( x, x, x3) del soldo nella confgurazone nzale ndeformata. ceversa nella defnzone del tensore degl sforz s è fatto rfermento alla confgurazone equlbrata e qund alle coordnate ( x, x, x3 ) del soldo nella confgurazone deformata. Naturalmente se gl spostament u e le dervate u, sono pccol allora valor (,, 3 ) e ( x x x3) x x x,, dfferscono d una quanttà trascurable.

25 Cap. 5 SOLIDO ELASTICO E TEOREMI ENERGETICI 5 s ha: Per avere un dea della approssmazone operata s può osservare che, posto: xh xh + uh x x h x h x δ h x h u + x h δ x h h u + x x h h x u + x x h h e percò, l approssmazone: x x h sgnfca rtenere trascurabl le dervate dello spostamento rspetto all untà Il problema elastostatco n termn d spostament Per gungere alle equazon del problema elastco n termn d spostament u, s sosttusce alla tensone, nell equazone ndefnta d equlbro (5.37), la sua espressone provenente dall equazone costtutva (5.36), s ottene così: µ + λ I δ + b 0,, sfruttando anche l equazone d congruenza e notando che : s ottene: Osservando che e che noltre I ( u, + u, ) u, µ u + µ u + λ u δ + b 0,,, u δ u,, u u u,,,

26 Cap. 5 SOLIDO ELASTICO E TEOREMI ENERGETICI 6 u, u essendo l operatore d Laplace, s ottene la formulazone del problema elastostatco n termn d sol spostament: µ u + ( λ + µ ) u, + b 0 (5.40) Le tre equazon così ottenute sono note come equazon d Naver (Lous Mare Henr ) (87). Alle equazon d Naver occorre assocare le corrspondent condzon al contorno costtute solo dalle (5.39), nel caso d, oppure da queste nseme alle ( ) µ u + u n + λ u n f$ su (5.4),,, nel caso pù generale del problema msto. Integrando l sstema d equazon dfferenzal s arrva alla soluzone n termn d spostament u u ( x) da qual è facle ottenere sa l tensore della deformazone che quello della tensone. Dervando le (5.40) rspetto alla varable x s ottene: e qund µ u + ( λ + µ ) u + b 0,,, ( λ + µ ) u + b 0 ( λ + µ ) I + b 0 n quanto u, u, I,. Proseguendo, s può scrvere,,,, ( λ + µ ) I + b, 0 (5.4) che, ove rsult b, 0 ed ammettendo ( λ + µ ) 0, dventa e, se s rcorda che I ( µ + 3 λ ) I, anche: I 0 (5.43a) I 0 (5.43b)

27 Cap. 5 SOLIDO ELASTICO E TEOREMI ENERGETICI 7 Resta così provato che gl nvarant I e I quando b cos t, sono funzon armonche Il problema elastostatco n termn d tenson S parte dalle equazon esplcte d congruenza: + +, h h, h,, h (a) per arrvare, n modo concettualmente analogo a quanto vsto nel paragrafo precedente, alle equazon del problema elastostatco n termn d sole component d tensone. Sosttuendo nfatt nelle (a) alle deformazon la loro espressone data dall equazone d legame nella forma (5.8): [( ) I ] + ν + ν ν δ E E ν I + ν s ottengono le seguent equazon: δ ν ν I δ + I δ + ν + ν, h, h h,, h ν ν I δ + I + ν + ν h,, h, h, h Come gà osservato, d tal 8 equazon solamente 6 sono ndpendent. Un modo per ottenerle consste nel contrarre la prma coppa d ndc (ponendo ) pervenendo così, dopo avere ordnato termn, a: ν ν ( I δ I δ I δ I δ ), h h, h,, h, h, h, h, h o anche: δ ( δ ) ν I, +,, I, + I + ν h h h h h h (5.44) avendo utlzzato le seguent uguaglanze: I ; I δ 3 I ; I δ I δ I, h, h, h, h, h, h, h

28 Cap. 5 SOLIDO ELASTICO E TEOREMI ENERGETICI 8 Fn qu s è tenuto conto delle equazon d congruenza e d quelle costtutve; ora è facle controllare che le (5.44) possono essere ulterormente semplfcate utlzzando le equazon d equlbro scrtte per le coppe d ndc,h ed, come qu d seguto rportate: + b 0 + b 0 h, h, Queste dervate rspettvamente rspetto a ed h, s traducono nelle: b b h, h,, h, h che, sosttute nelle (5.44) e po rordnando, portano alle: ( δ ) ν I, + + b, + b, I, + I + ν h h h h h h h + I + ν, h b h, + b, h ν Iδ + ν h (5.45) Rcordando po: I ( + 3λ)I I I /(µ 3λ) µ + e che, per la (5.4) s può scrvere : λ + µ ( λ + µ ) I I b, µ + 3λ da cu: + µ 3 λ I λ + µ b, e qund, rcordando le relazon tra costant elastche, con facl passagg s trova: ν λ µ 3λ λ ν + ν I + µ + 3λ λ + µ b λ + µ b ν b,,,

29 Cap. 5 SOLIDO ELASTICO E TEOREMI ENERGETICI 9 Sosttuendo quest ultmo rsultato nella (5.45) s ottengono le equazon d Beltram, Donat, Mchell (5.7) : ν h + I, h bh, + b, h + b, δ h (5.46) + ν ν nella loro forma generale e che, nel caso partcolare d forze d volume costant, s semplfcano nelle : + I 0 h + ν, (5.47) h Le equazon (5.47) sono quelle che verranno maggormente utlzzate n quanto le forze d volume, quando non sono costant o assumbl tal, n molt cas possono essere consderate come forze d superfce. La lcetà d questa assunzone, che l rgore analtco vorrebbe negata, è però dmostrata dalle applcazon tecnche. Le (5.46) scrtte per esteso dvengono: ν + I, b, b, b, b, ν ν ν + I + + b b ν ν + b + b ν + I + + b b ν ν + b + b + I, b + (, + b, ) ν 3 + I, 3 ( b, 3 + b3, ) + ν 3 + I, 3 ( b, 3 + b3, ) + ν ( ) 3 3 ( ),,,, 3, 3 ( ) 33, 33 3, 3,, 3, 3 Per determnare lo stato d tensone n un corpo elastco occorre pertanto rsolvere l sstema d equazon (5.46) soggette alle condzon al contorno (5.38). (5.7) Queste equazon furono ottenute da Beltram (89) nel caso b 0 e da Donat (894) e Mchell (900) nel caso generale. Esse sono note come equazon d Beltram-Mchell, sebbene Donat le abba scoperte se ann prma d Mchell.

30 Cap. 5 SOLIDO ELASTICO E TEOREMI ENERGETICI I TEOREMI CLASSICI DELLA ELASTICITÀ LINEARE Al punto 5.4. abbamo vsto che la soluzone d un problema elastostatco mplca la soluzone d un problema al contorno lneare msto, defnto n un domno nel quale sano assegnat l tensore elastctà C h, le forze d volume b, le forze d superfce f $ su e gl spostament d superfce $u su. x 3 f b O x x x e sono tal che ossa sono part complementar della superfce che racchude l volume. Rsolvere l problema elastostatco sgnfca determnare, n corrspondenza de dat assegnat, per ogn punto x d, lo spostamento u, la deformazone, la tensone tal che rsultno soddsfatte le seguent equazon (5.35), (5.36), (5.37), (5.38), (5.39), che ora scrvamo per semplctà qu d seguto n notazone assoluta: Equazon d congruenza sym u n Equazon costtutve µ + λi n Equazon d equlbro dv + b 0 n Condzon sulle forze Condzon sugl spostament n fˆ su u uˆ su Come cas partcolar abbamo: Problema agl spostament: quando è vuoto e le condzon al contorno s rducono a: u uˆ su Problema alle forze : quando è vuoto e le condzon al contorno s rducono a:

31 Cap. 5 SOLIDO ELASTICO E TEOREMI ENERGETICI 3 n fˆ su Per l problema così mpostato è possble dmostrare alcune propretà general delle soluzon, senza che cò rcheda la preventva soluzone delle equazon. S tratta d: ) Prncpo d sovrapposzone degl effett ) Teorema d Clapeyron (o del lavoro d deformazone) 3) Teorema d unctà (o teorema d Krchhoff) 4) Teorema d Bett (o prncpo d recproctà) 5) Teorema d Maxwell Prncpo d sovrapposzone degl effett Dcamo che un campo d spostament, deformazon e tenson [ u,, ] defnt n costtuscono uno stato elastco se, oltre ad essere suffcentemente regolar (ammssbl), soddsfano le equazon: ( u, u, ) l l, + C + b 0 n noltre: f α su così defnto restano assocate le forze d volume b e le forze f agent su tutta la superfce che racchude. S può qund dre che Come s vede allo stato elastco [ u,, ] [ b, f ] sono le forze esterne assocate allo stato elastco [ u,, ] defnto n. Il prncpo d sovrapposzone degl effett, ovverosa l prncpo d sovrapposzone degl stat elastc, può essere dmostrato (5.8) consderando due dstnt stat elastc e le corrspondent forze esterne : (5.8) Notare che quando, come n questo caso, qualche asserzone vene dmostrata cessa d essere un prncpo ed assume pù propramente la dzone d teorema.

32 Cap. 5 SOLIDO ELASTICO E TEOREMI ENERGETICI 3 se α e β sono due scalar, allora: { u,, } { b, f} { u,, } { b, f} { αu+ βu, α+ β, α+ β } è uno stato elastco a cu corrspondono le forze esterne { α b+ βb, α f + β f} come s verfca faclmente attraverso la sosttuzone delle grandezze nelle equazon d equlbro, congruenza e legame. E mportante notare che l prncpo d sovrapposzone degl effett non è applcable a qualsas grandezza; occorre fare attenzone, ad esempo, nel rcorrerv quando s opera con l energa d deformazone. Infatt, rcordando l espressone (5.7) della denstà d energa elastca, possamo defnre l energa elastca totale posseduta dal corpo che occupa l volume medante U { } Φ ] d [ C h h d (5.48) Se ora la deformazone è ottenuta come somma d due deformazon + ~, talchè s possa porre + ~, l lavoro d deformazone alla fne rsulta { ~ } C ( + ~ )( + ~ d U + h h h ) C h h d + C ~ h ~ h d + + C ~ d + C ~ d h h che, sfruttando la smmetra del tensore C, dventa: h h

33 Cap. 5 SOLIDO ELASTICO E TEOREMI ENERGETICI 33 { + } U[ ] + U[ ~ ] + U ~ C ~ d (5.49) h La relazone così trovata prova che per l energa elastca U{ } degl effett. h non vale la sovrapposzone Se s raddoppa la deformazone non è detto qund che raddopp anche l energa d deformazone: occorre tenere conto del termne d accoppamento tra due stat d deformazone che è propro l ntegrale che compare nella (5.49). Esste solo un caso n cu vale l prncpo d sovrapposzone degl effett per l energa elastca e coè quello n cu gl stat d deformazone sono tra loro energetcamente ortogonal come accade, ad esempo, quando due tensor della deformazone sono uno devatorco e l altro sferco. In tal caso nfatt l termne d accoppamento è nullo. In conclusone possamo enuncare l prncpo d sovrapposzone degl effett nel seguente modo: applcando contemporaneamente ad uno corpo elastco lneare pù sstem d forze, s producono spostament, deformazon e tenson ugual alla somma d quelle prodotte separatamente da cascun sstema d forze o anche, n altre parole, ad una combnazone lneare d stat elastc s assoca una combnazone lneare delle corrspondent forze Teorema d Clapeyron (o del lavoro d deformazone) Abbamo vsto che l lavoro nterno per untà d volume ϕ( s ) lavoro specfco, n un processo d deformazone ( α) dalla (5.0):, che abbamo chamato con α α α, è dato 0 ϕ ( s ) α 0 α d dα dα Partendo da questa espressone è facle esprmere l lavoro d deformazone L d che s compe quando l soldo d volume vene sottoposto ad un processo d deformazone b, f medante: conseguente all applcazone d forze esterne [ ] ( ) Ld ϕ s d Ammettendo l esstenza d una denstà d energa d deformazone Φ ( ), possamo scrvere (5.3):

34 Cap. 5 SOLIDO ELASTICO E TEOREMI ENERGETICI 34 L [ ( ) Φ ( 0 )] Φ 0 essendo ( α) ( α0 ) d,. 0 Supponendo ora che l processo d deformazone abba nzo n ndeformato) e s concluda quando precedente espressone del lavoro d deformazone L d dvene: d (deformazone fnale) e che sa ( ) 0 (stato Φ 0 0, la ( ) l l { } Ld Φ d C d d U (a) In queste uguaglanze s è fatto uso delle (5.48) e (5.30). L d rappresenta qund l lavoro necessaro per deformare un soldo elastco dallo stato ad un certo stato fnale ndvduato dal tensore d deformazone naturale ( ). Questo lavoro è ovvamente computo dalle forze esterne [ b f ], applcate al soldo. Avendo mplctamente supposto che l processo d deformazone a cu è sottoposto l soldo è puramente meccanco, ossa che tutto l lavoro delle forze esterne L f s trasform n energa d deformazone, possamo scrvere l blanco energetco: L f L b) d Questo blanco presuppone che le forze esterne sano applcate statcamente ossa n manera tale che s possano escludere effett dnamc che, a causa degl nevtabl smorzament, provocherebbero una dsspazone d energa. Consderamo ora un corpo elastco che occup l volume, n equlbro sotto le b, f. Sano u,, gl spostament, le deformazon e le tenson corrspondent alla soluzone dell equlbro elastco. Propro con rfermento al sstema d forze e tenson certamente equlbrato: b, f, ed al sstema d spostament e deformazon certamente congruente: u, s scrve l equazone de lavor vrtual:

35 Cap. 5 SOLIDO ELASTICO E TEOREMI ENERGETICI 35 b u d + f u da d Il secondo membro esprme, per la a), l doppo del lavoro d deformazone L d, e per la b) possamo scrvere: L f L + d d b u d f u da essendo L f l lavoro delle forze esterne. Rsulta così mmedata l enuncazone del teorema d Clapeyron (Paolo Emlo) (85): Lf b u d + f u da (5.50) l lavoro computo dal sstema d forze applcate ad un corpo elastco lneare è uguale alla metà del lavoro che le forze stesse comprebbero se agssero fn dall nzo con la loro ntenstà fnale. È ovvo che l rsultato acqusto è rferto a sold elastc dotat d energa d deformazone (sold perelastc). Un semplce esempo d applcazone del teorema d Clapeyron è rappresentato nella fgura seguente Nel dagramma P-u è rportata la relazone d proporzonaltà carco - frecca. Da questo dagramma dscende mmedatamente che l lavoro computo da P per deformare la trave è rappresentato dall area colorata. S not che l carco raggunge l suo valore fnale P solo quando la frecca ha raggunto l suo valore fnale u.

36 Cap. 5 SOLIDO ELASTICO E TEOREMI ENERGETICI Teorema d Krchhoff (o teorema d unctà) (859) La dmostrazone d questo teorema vene condotta per assurdo. Supponamo nfatt che alle medesme forze esterne b, f$ assegnate rspettvamente n e su ed a medesm vncol cnematc $u assegnat su corrspondano due dstnte soluzon. allora le funzon: [ u,, ] [ u,, ] u u u a) dfferenza tra le due soluzon, per l prncpo d sovrapposzone degl effett, devono essere la soluzone corrspondente a dat omogene, ossa: u$ 0 su f$ 0 su b) b 0 n Il teorema d Clapeyron (5.50), applcato alla soluzone dfferenza a) e b) fornsce: L f [ ] C d 0 0 Ld U h h e coè s annulla l lavoro d deformazone: l unco caso che permette tale crcostanza, essendo la denstà d energa per potes, una funzone quadratca defnta postva, è la condzone 0, vale a dre: da cu dscende mmedatamente: 0

37 Cap. 5 SOLIDO ELASTICO E TEOREMI ENERGETICI 37 Per quanto attene agl spostament, è noto che ess sono determnat a meno d eventual mot rgd del soldo ; ovverosa alla deformazone corrsponderà l campo d spostament: u u + u essendo u 0 un campo d spostament rgd ( 0 0). Se l soldo è suffcentemente vncolato su n manera tale da mpedre mot rgd, avremo u 0 0 e qund: u u Resta così provata l unctà della soluzone del problema msto elastostatco Teorema d Bett (o teorema d recproctà) Sa [ u,, ] la soluzone del problema elastostatco, n un soldo perelastco d volume, corrspondente al sstema d forze equlbrate [ f, b ] e [ u,, ] quella relatva a [ f, b ] anch esse equlbrate. Il prncpo de lavor vrtual scrtto assocando al prmo sstema d forze e tenson l sstema d spostament e deformazon del secondo è: b u d + f u da d a) mentre se s assoca al secondo sstema d forze e tenson l sstema d spostament e deformazon del prmo s ha b u d + f u da d b) entramb vald n quanto due sstem d forze e due d spostamento rspettano equlbro e congruenza per essere soluzon del problema elastostatco. La smmetra del tensore C asscura che [ ] [ ] C C e qund sono ugual second membr da a) e b) e per conseguenza dovranno esserlo anche prm:

38 Cap. 5 SOLIDO ELASTICO E TEOREMI ENERGETICI 38 b u d + f u da b u d + f u da (5.5) Questa equazone esprme l teorema d Bett (87), noto anche come I Teorema d Recproctà per cu l lavoro che un sstema d forze equlbrate (a) compe per effetto degl spostament causat da un secondo sstema d forze anch esse equlbrate (b), concde con l lavoro del sstema d forze (b) per effetto degl spostament dovut al sstema d forze (a), coè: L ab L ba I due termn della (5.5) prendono anche l nome d lavoro mutuo (o ndretto). Se supponamo d applcare l sstema d forze (b) quando l soldo ha gà raggunto l equlbro sotto l sstema d forze (a), è evdente che l lavoro delle forze (a) è propro espresso dal prmo membro della (5.5) n quanto queste hanno gà raggunto la loro ntenstà fnale quando s producono gl spostament corrspondent al secondo sstema d forze. S può qund enuncare l teorema d Bett nel seguente modo : l lavoro eseguto dalle forze (a) durante l applcazone delle forze (b) è uguale al lavoro che le forze (b) compono durante l applcazone delle forze (a). ale la pena d annotare che le deformazon prodotte dalle forze esterne s sovrappongono a quelle eventual propre dello stato naturale (coazon) senza rcevere alcuna nfluenza e pertanto l teorema d Bett mantene la sua valdtà anche n presenza d coazon Teorema d Maxwell Nel caso partcolare n cu due sstem d forze (a) e (b) consderat nel paragrafo precedente sono rdott a due sole forze concentrate F a e F b applcate rspettvamente ne punt A e B, l teorema d Bett s rduce a: F u F a Ab b u Ba n cu con u Ab e u Ba s sono ndcat rspettvamente lo spostamento d A prodotto da F b lungo la drezone d F a e lo spostamento d B prodotto da F a lungo la drezone d F b (Fg. 5.4).

39 Cap. 5 SOLIDO ELASTICO E TEOREMI ENERGETICI 39 Fg. 5.4 Assumendo F F ed ndcando con α e β le drezon d F a e F b s ha allora a b u Ab u (5.5) Ba che rappresenta l teorema d Maxwell (864): "lo spostamento d un punto A, valutato n una drezone arbtrara α, provocato da una forza untara agente n un punto B secondo una qualsas drezone β, è uguale allo spostamento d B, valutato nella drezone β, provocato da una forza untara agente n A secondo la drezone α ". Applcando l teorema d Maxwell ad una trave n cu A e B sano due punt qualsas del suo asse (Fg. 5.4) ed α e β concdono con versore dell asse y, s ha : u u ; u u Ab Ba Ca Ac Nella fg. 5.5 sono ndcat gl ass della trave nella confgurazone nzale rettlnea e nella confgurazone deformata, nota come lnea elastca.

40 Cap. 5 SOLIDO ELASTICO E TEOREMI ENERGETICI 40 Fg. 5.5 E qund mmedata conseguenza che gl spostament prodott da una forza untara vaggante ( Fb, Fc,... ) sulla trave n una determnata sezone A, s possono leggere drettamente sulla lnea elastca prodotta dalla F a, ossa da una forza untara applcata propro nella sezone A. Per tale motvo la lnea elastca n a) concde con la lnea d nfluenza (5.9) dello spostamento u A. E facle dmostrare che l teorema d Maxwell contnua a valere se s consderano coppe e rotazon n luogo d forze e spostament. 5.6 PRINCIPI ARIAZIONALI 5.6. Prncpo d stazonaretà per l energa potenzale In questo e nel successvo punto s vuole caratterzzare, con due classc prncp d mnmo, la soluzone de problem d equlbro elastco lneare mpostat nel punto 5.4. n forma dfferenzale. S tratta del prncpo della mnma energa potenzale e della mnma energa complementare. Attraverso d ess s apre la strada per la rcerca d soluzon numerche de problem al contorno mst dell elastostatca. Incomncamo col dmostrare due prncp d stazonaretà. Sa dato un soldo elastco lneare con tensore elastctà C smmetrco ed assegnate: b b x nel volume, le forze d volume ( ) (5.9) Se la trave è percorsa da un carco concentrato untaro vertcale, s chama lnea d nfluenza d un determnato effetto (ad es. lo spostamento vertcale) un dagramma tale che la sua ordnata letta sotto le vare poszon del carco msur l valore dell effetto provocato dal carco untaro vaggante.

41 Cap. 5 SOLIDO ELASTICO E TEOREMI ENERGETICI 4 le forze d superfce f $ su gl spostament d superfce $u su x 3 f b O x x x Come gà assunto n 5.4., e sano part complementar della superfce che racchude l volume. Sano [ u, ] un campo d spostament e deformazon congruent defnt n. Rsultano pertanto soddsfatte le equazon d congruenza (5.35) e le condzon al contorno (5.39): ( u u ) n, +, (5.35) u u$ su (5.39) Inoltre al campo d deformazone resta assocato, attraverso l tensore d elastctà C l campo d tensone dato dalla relazone: C (5.6) h h Il campo s [ u,, ] che soddsfa oltre alla congruenza anche l equazone costtutva (5.6) vene chamato stato elastco cnematcamente ammssble. Con queste premesse e supponendo noltre che le forze esterne sano conservatve, possamo defnre l seguente funzonale: J ) b u d f u da (5.53) ' Ψ [ u, ] U{ }

42 Cap. 5 SOLIDO ELASTICO E TEOREMI ENERGETICI 4 dove U{ } carch (5.0). e Ψ sono rspettvamente l energa d deformazone ed l potenzale de Il funzonale Ju [ ], prende l nome d energa potenzale e, come s evnce dalla defnzone (5.53), è espresso come somma dell energa d deformazone e del potenzale delle forze esterne, supposte conservatve. La varazone prma d Ju [, ] può essere espressa medante : δ Ju [, ] Ju [ δu, δ ] Ju [, ] + + (5.54) dove δu e δ sono varazon del campo congruente [ u, ] sul quale è defnto l funzonale J e percò geometrcamente ammssbl nel senso che sono soddsfatte le relazon: δ ( δu, + δu, ) n (a) δu δu$ 0 su (b) Svluppando l espressone d δ J s ottene: δ J [ u, ] U{ + δ } b ( u + δ u ) d f ( u + δ u ) da ' ) U { } + b u d + ' ) f u da (5.55) In vrtù della (5.49), per un soldo elastco lneare d Green, s può scrvere: { } { } { } U + δ U + U δ + Chhδ d (5.0) Anzché al funzonale J c s può rferre alla energa potenzale totale : ) ) E C u, U b u d f u da f u da [ ] { } Infatt per la (b) è mmedato verfcare che δ E δj C. 44 3

43 Cap. 5 SOLIDO ELASTICO E TEOREMI ENERGETICI 43 e, assumendo d poter trascurare l termne U{ δ } ordne e, posto: s pervene a: C h h U{ + δ } U{ } + δ d, n quanto nfntesmo del secondo Sosttuendo l espressone così ottenuta nella (5.55), svluppando e semplfcando le operazon v contenute s gunge a: δ J [ u, ] δ d b δ u d ' ) f δ u da (5.56) Appare così evdente che la condzone d stazonaretà per l energa potenzale [ ] Ju, : concde con l prncpo de lavor vrtual: [ ] δ J u, 0 (5.57) δ d b δ u d + ' ) f δ u scrtto per l campo d spostament e deformazon δu, δ, che, per le potes fatte è certamente congruente. Segue pertanto che dovrà rsultare verfcato l equlbro, ossa: da, + b 0 n n fˆ su

44 Cap. 5 SOLIDO ELASTICO E TEOREMI ENERGETICI 44 S può qund affermare che nella classe delle funzon congruent (5.35) e (5.39) l funzonale energa potenzale Ju [, ] rsulta stazonaro n corrspondenza della soluzone (prmo prncpo d stazonaretà) (5.) Prncpo d stazonaretà per l energa complementare Il ragonamento seguto fno a questo punto a partre dalla defnzone del funzonale J per un campo d spostament e deformazon congruente, può, parallelamente, condurs per un funzonale K defnto su camp d forze e tenson equlbrat. Sa dato un soldo elastco lneare con tensore elastctà C smmetrco ed assegnate: le forze d volume b b( x) le forze d superfce f $ su nel volume, gl spostament d superfce $u su Sano [, b, f ) ] un campo forze e tenson equlbrato per modo che rsultano soddsfatte le equazon d equlbro (5.37) e le condzon al contorno (5.38): Possamo defnre l funzonale energa complementare :, + b 0 n (a) n fˆ su (b) K [, f ] U { } '' ) f u da (5.58) dove le f date da n f su (c) sono le reazon vncolar (5.). (5.) Questo rsultato notevole s dmostra anche per un soldo elastco non lneare (5.) Anzché al funzonale K (5.58) c s può rferre alla energa complementare totale : E, f U f u ) da bud fuda ) [ ] { } K Infatt per le (c) e (d) è mmedato verfcare che δ E K δk

45 Cap. 5 SOLIDO ELASTICO E TEOREMI ENERGETICI 45 La varazone prma d K[ f ], può essere espressa medante: [, ] [ +, + ] [, ] δk f K δ f δf K f dove [δ, δf ] sono varazon del campo equlbrato [, b, f ) ] sul quale è defnto l funzonale K e percò statcamente ammssbl, ovvero equlbrate nel senso che sono soddsfatte le relazon: δ ( ), 0 n (δ b 0 ) (d) δ f δ f ) 0 su (e) È facle provare che, svluppando l espressone d δ K s pervene a: δ K [ ] ), { } Φ[ ] ) f δu δ f u da δ d δ f u da '' ) '' ) Φ ) d δ f u da δ d δ f u ) '' Appare così evdente che la condzone d stazonaretà per l energa complementare [ f ] K, : δ K concde con l prncpo de lavor vrtual: [ f ] '' da, 0 (f) δ d δ f '' ) u da 0 scrtto per l campo d forze e tenson [δ, δf ] che, per le potes fatte, è certamente equlbrato. Segue pertanto che dovrà rsultare verfcata la congruenza, ossa: ( u u ) n, +,

46 Cap. 5 SOLIDO ELASTICO E TEOREMI ENERGETICI 46 u u$ su S può qund affermare che nella classe delle forze e tenson equlbrate l funzonale K rsulta stazonaro n corrspondenza della soluzone PRINCIPI DI MINIMO Prncpo della mnma energa potenzale Abbamo vsto che n corrspondenza d uno stato elastco [ u,, ] è possble defnre l funzonale energa potenzale: J [, ] { } u U - b u d - fˆ u da (5.53) purché lo stato α [ u,, ] sa cnematcamente ammssble. Supporremo po che l tensore d elastctà C h oltre ad essere smmetrco sa anche defnto postvo. Detto A l'nseme d tutt gl stat cnematcamente ammssbl s può dmostrare l seguente teorema: Prncpo della mnma energa potenzale Se α A è soluzone del problema msto enuncato n (5.4), allora: ovverosa: J [ α] < [ α ] J [ α] mn ' J per α A dove l'uguaglanza vale solo se α α a meno d mot rgd. Dmostrazone: Per lo stato cnematcamente ammssble α α - α è mmedato verfcare che: 0 ( u, + u, ) n (a) 0 Ch h ) ) u u u o su (b) (c)