Progettazione di un unità di apprendimento: Le travi reticolari

Scuola di Specializzazione Interateneo per la Formazione degli Insegnanti della Scuola Secondaria del Veneto IX ciclo - indirizzo SAT a.a. 2008/2009 Progettazione di un unità di apprendimento: Le travi reticolari Abilitazione: A016-Relatrice: Valentina Salomoni-SVT: Carlo Sasso Specializzanda: Michela Antonello, Matr. R11270 1

TITOLO DELL UNITA DI APPRENDIMENTO: Le travi reticolari Abstract Si propone con questo elaborato un esempio di Progettazione di un unità di apprendimento per la DISCIPLINA di Costruzioni, Disegno e Tecnologia delle Costruzioni-A016 destinata alla CLASSE 3 di una Scuola Secondaria Superiore per Geometri. Il lavoro che si pone come un esercizio di analisi, ricerca e rielaborazione, riguarda in particolare un tema della disciplina di COSTRUZIONI. La programmazione del percorso di apprendimento progettato: un unità di apprendimento- Le travi reticolari, fa riferimento alle indicazioni ministeriali per quanto riguarda in particolare i contenuti, i prerequisiti e gli obiettivi di apprendimento e le correlazioni multidiscilinari. Indice 1. Finalità. 2. Collocazione curricolare. 3. Collocazione temporale dell Ud.A e Programmazione annuale. 4. Collegamenti multidisciplinari. 5. Articolazione temporale dell Unità di apprendimento. 6. Obiettivi didattici. 7. Prerequisiti. 8. Contenuti. 9. Metodologie adottate. 10. Tempi e modi. 11. Sviluppo dell intervento didattico. 12. Controllo dei processi di insegnamento/apprendimento. 13. Modalità di Verifica-Valutazione 13.1. Verifica formativa. 13. 2. Modalità di valutazione-verifica formativa. 13.3. Verifica sommativa 13.4. Modalità di valutazione-verifica sommativa. 14. Livelli di valutazione. 15. Interventi di recupero. Bibliografia 2

1. Finalità L intervento didattico si pone l obiettivo di trasmettere allo studente le principali conoscenze e competenze relative alle travi reticolari, portandolo a conoscere e a saper classificare le specifiche tipologie di travi e e a riconoscerne anche gli archetipi e la loro concezione strutturale nella storia. Alla fine del percorso le competenze acquisite dovrebbero portare gli alunni a : riconoscere il modello reticolare strettamente indeformabile; a saper applicare il metodo grafico e analitico dell equilibrio dei nodi e a saper determinare lo schema interpretativo di una trave reticolare con il posizionamento di puntoni e tiranti. 2. Collocazione curricolare Il contesto scolastico Il tipo di scuola in cui si intende proporre il seguente intervento didattico l Istituto Tecnico per Geometri. Tale intervento didattico si colloca all interno della disciplina di Costruzioni, Disegno e Tecnologia delle Costruzioni. Le ore curricolari previste per settimana per la disciplina di Costruzioni sono 4. Quindi in totale 132 ore annuali. La classe in cui si intende operare con l unità di apprendimento Le travature reticolari è la 3 dell Istituto Tecnico per Geometri. 3. Articolazione temporale dell Unità di apprendimento PROGRAMMAZIONE ANNUALE L orario settimanale riferito alla Classe 3 della Scuola Secondaria di Secondo grado, è di 4 ore settimanali destinate a Costruzioni. Si prevedono quindi i tempi necessari per sviluppare il programma nella tabella qui sotto riferita all intera progranmmazione dell anno scolastico,in moduli e unità di apprendimento. COSTRUZIONI Tempi/Moduli U.A. Contenuti 1Quadrimestre Modulo A SETTEMBRE OTTOBRE U.d.A 1 Le forze Ud A.2 - Forze e momenti. - I vettori. - Somma e differenza di vettori. - La coppia. 3

OTTOBRE NOVEMBRE Modulo B Geometria delle masse DICEMBRE GENNAIO 2 Quadrimestre Modulo C L equilibrio statico FEBBRAIO MARZO APRILE Modulo D MAGGIO Sistemi di forze: Il calcolo analitico Ud.A 3. Sistemi di forze. Il calcolo grafico Ud.A 1 Sistemi di masse e massa totale U.d A.2 Baricentro U.da A3 Inerzia Ud.1 I vincoli U.d 2 Reazioni vincolari degli elementi isostatici Ud.3 Le travi reticolari Ud. 1 Le caratteristiche di Sollecitazione - Momento di un vettore rispetto a un punto P. - Teorema di Varignon. - Momento di una coppia. - Scomposizione di vettori. - Scomposizione di coppia. - Poligono funicolare. - Sistema di vettori con risultante nullo. - Sistema di vettori con risultante e momento risultanti nulli. - Vettori paralleli. - Sistemi di masse. - Massa totale. - Lunghezza delle linee. - Area delle sezioni. - Risultante dei carichi distribuiti. - Baricentri di figure piane. - Il momento statico. -Baricentro di una spezzata. - Baricentro di un triangolo. -Baricentro di un quadrilatero irregolare. -Baricentri di figure piane scomponibili in rettangoli e rettangoli. -I momenti del secondo ordine: il momento d inerzia assiale. -Il momento d inerzia polare e centrifugo (definizioni). -Il teorema di trasposizione. -Il baricentro dei momenti statici o centro relativo. -I sistemi continui. Momenti d inerzia di figure piane. -Figure scomponibili in rettangoli, triangoli e cerchi. Equilibrio delle forze. L equilibrio dei corpi. - I vincoli. - Le strutture isostatiche, iperstatiche e labili: il computo dei vincoli. - Condizioni di equilibrio. -Elementi rigidi: - Sistema di equilibrio; -Sistema di riferimento. -elementi articolati: -metodo della risoluzione in serie; -metodo delle equazioni ausiliarie. - Il modello reticolare. Definizione di Puntoni e tiranti. - Tipologie di travi reticolari. - Il controllo dell indeformabilità dei corpi reticolari. - Corpo reticolare indeformabile-corpo reticolare deformabile. - Calcolo delle tensioni delle aste mediante il Metodo dei nodi. -Esempio di risoluzione di una trave reticolare in forma analitica. - Esempio di risoluzione di una trave in forma grafica - Le caratteristiche di sollecitazione: M, N, T. Travi isostatiche ad asse rettilineo. I diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione. La costruzione grafica della parabola. La trave appoggiata. La trave a mensola. La trave ad asse inclinato. La ricerca del momento massimo. 4

La trave Gerber. 4. Collegamenti multidisciplinari L intervento didattico prevede come collegamenti multidisciplinari la trattazione di alcuni argomenti riferiti alla disciplina di Storia dell Architettura e a quella di Materiali-Tecnolgia e Progettazione delle Costruzioni che verranno progettati in parallelo con quelli dell unità di apprendimento Le travi reticolari, relativi alla disciplina di Costruzioni. Dall analisi dei programmi ministeriali all interno della stessa disciplina di Tecnologia e Progettazione i contenuti trattati nei moduli di Storia dell Architettura e materiali sono quelli qui sotto indicati: Per quanto riguarda la Storia dell Architettura i programmi ministeriali propongono la trattazione dei seguenti argomenti: Relativamente alla classe 3 Geometri per la disciplina di Storia dell Architettura: Storia dell Architettura1: Modulo A -Storia dell Architettura Greca e Romana. Modulo B-Storia dell Architettura Romanica. Modulo C-Storia dell Architettura Gotica. Relativamente alla classe 4 Geometri per la disciplina di Storia dell Architettura: Storia dell Architettura 2: Modulo A- Architettura Rinascimentale. ModuloB Architettura Barocca. Modulo C-Interventi urbanistici del 500-600-700. Relativamente alla classe 3 Geometri per la disciplina di Tecnologia- Materiali da costruzione: U.dA 1. Pietre: Proprietà fisiche, caratteristiche tecnico costruttive, requisiti di lavorazione e impiego. Ud.A 2. Mattoni: Proprietà fisiche, caratteristiche tecnico costruttive, requisiti di lavorazione e impiego. Ud.A 3.Pietre artificiali: Proprietà fisiche, caratteristiche tecnico costruttive, requisiti di lavorazione e impiego. Ud.A 4. Le travi in Legno: Proprietà fisiche, caratteristiche tecnico costruttive, requisiti di lavorazione e impiego. Ud.A 5: Calcestruzzi: problemi della confezione, del trasporto, della posa in opera, controlli in laboratorio ed in cantiere. U.d A 6: Acciai da costruzione di produzione industriale, acciai da cemento armato e per carpenteria metallica, tipi di profilati, caratteristiche di resistenza e lavorabilità. 5

Gli approfondimenti verranno svolti durante le ore di Storia dell Architettura e di Tecnologia- Materiali e saranno progettati come delle unità di apprendimento che verteranno su: Le capriate in legno: storia del calcolo e della concezione strutturale. Gli archetipi delle strutture reticolari: Da Apollodoro al Palladio ai ponti dell Ottocento, dal legno all acciaio. Questa scelta si propone perché gli studenti approfondiscano i contenuti, proposti durante il corso di Costruzioni, collegandoli ai sistemi costruttivi nella Storia dell Architettura e ai Materiali che li rappresentano. Sarà anche un tentativo di dare continuità ad un percorso che spesso risulta disomogeneo e lacunoso nel passaggio da un anno scolastico ad un altro, soprattutto per quanto riguarda la Storia dell Architettura. Con quest intervento invece si rafforzano dei contenuti trattati durante il 3 anno e se ne anticipano degli altri da trattare durante il 4 anno. 5. Articolazione temporale dell Unità di apprendimento-sintesi L intervento è stato pensato come un unità di apprendimento dal titolo: Le travi reticolari e si colloca all interno di un modulo da sviluppare durante il secondo quadrimestre, articolato in questo modo con gli opportuni collegamenti multidisciplinari: Disciplina Unità di apprendimento Tempi Costruzioni Unità di apprendimento 3 : Le travi reticolari 2 Quadrimestre Aprile 6 ore Storia dell Architettura 1 Modulo -C- Unità di apprendimento 3: Le capriate in legno: storia del calcolo e della concezione strutturale. Unità di apprendimento 4: Gli archetipi delle strutture reticolari. 2 Quadrimestre Aprile-Maggio 1 ora 2 Quadrimestre Aprile-Maggio Tecnologia delle costruzioni-materiali Unità di apprendimento 4: Le travi in Legno: Proprietà fisiche, caratteristiche tecnico costruttive, requisiti di lavorazione e 2 ore 2 Quadrimestre Aprile-Maggio 3 ore impiego. 6. Obiettivi didattici Conoscenze 6

Conoscere gli elementi reticolari. Conoscere il modello reticolare del sistema di bielle. Conoscere le reazioni esterne e gli sforzi nelle aste. Conoscere il metodo dell equilibrio dei nodi: -risoluzione analitica; -risoluzione grafica. Capacità Saper riconoscere un corpo reticolare. Saper distinguere le aste tese e le aste compresse. Saper riconoscere un corpo reticolare indeformabile. Saper riconoscere un corpo reticolare deformabile. Competenze Saper determinare la direzione degli sforzi nelle aste. Saper eseguire l analisi statico cinematica di una struttura reticolare indeformabile. Saper applicare il metodo analitico dell equilibrio dei nodi. Saper determinare lo schema interpretativo di una trave reticolare con il posizionamento di puntoni e tiranti. 7. Prerequisiti I prerequisiti necessari per la comprensione dell Unità di apprendimento, risultano: Conoscenze Conoscere i principi generali della statica (forza, spostamento, vincoli). Conoscere i principali contenuti della Geometria delle Masse. Conoscere le forze, i vincoli. Conoscere le reazioni vincolari e l equilibrio statico. Le reazioni vincolari degli elementi isostatici. Capacità Saper rappresentare un vettore. Saper eseguire operazioni con i vettori. Saper risolvere problemi elementari di Geometria delle Masse. Saper rappresentare graficamente le forze, i vincoli e le reazioni vincolari. Competenze Saper descrivere un vettore e comprendere il suo significato. 7

Saper descrivere i concetti fondamentali della Geometria delle Masse. Saper descrivere la rappresentazione grafica di forze, vincoli e reazioni vincolari. Si specifica che non si intende fare una verifica dei prerequisiti in quanto questi sono già stati valutati in precedenti unità di apprendimento. Si procederà a richiamare e rafforzare quanto appreso nell unità precedente con una lezione frontale dialogata con la quale si faranno degli esampi riguardanti in particolare: le reazioni vincolari e l equilibrio statico; le reazioni vincolari degli elementi isostatici. 8. Contenuti L intervento didattico proposto riguarda lo studio degli elementi reticolari e sarà volto a mostrare gli elementi reticolari nella realtà costruttiva, analizzando nello specifico i seguenti contenuti: Il modello reticolare. Definizione di Puntoni e tiranti. Tipologie di travi reticolari. Il controllo dell indeformabilità dei corpi reticolari. Corpo reticolare indeformabile-corpo reticolare deformabile Analisi statico cinematica di una struttura reticolare indeformabile. Calcolo delle tensioni delle aste mediante il Metodo dei nodi. 1. Esempio di risoluzione di una trave reticolare in forma analitica. 9. Metodologie adottate Lezione frontale partecipata: La lezione viene condotta determinando in una prima fase l argomento che si andrà a spiegare ed esplicitando gli obiettivi, condividendo poi i saperi preesistenti prima di passare al corpo dell esposizione che dovrà avere uno sviluppo ordinato e coerente. L uso degli esempi servirà a chiarire l argomento trattato e la partecipazione delllo studente servirà ad apportare idee, richieste di chiarimenti, esposizioni ed esperienze personali ed esercizi applicativi individuali. Si procederà anche attraverso la presesentazione di un supporto multimediale (Power Point) che aiuterà la chiarezza espositiva. 10. Tempi e modi 8

L intervento didattico proposto avrà l articolazione riportata nella tabella sottostante. Illustrazione dettagliata delle fasi dell Unità di apprendimento Luogo/ attività/ tempi In classe Fase 1 Definizione delle strutture reticolari. Il modello reticolare. Definizione di Puntoni e tiranti. Tipologie di travi reticolari. 1 ora In classe Fase 2 -Il controllo dell indeformabilità dei corpi reticolari. -Corpo reticolare indeformabile-corpo reticolare deformabile. -Analisi statico cinematica di una struttura reticolare indeformabile. 1 ora In classe Fase 3 Verifica formativa Analisi statico cinematica di una struttura reticolare indeformabile. 1 ora In classe Fase 4 - Calcolo delle tensioni delle aste mediante il Metodo dei nodi. -Esempio di risoluzione di una trave reticolare in forma analitica. 1 ora In classe; Fase 5 -Esercizio assegnato dal docente. (Metodo dei nodi in forma analitica). 1 ora Metodologie Lezione frontale partecipata. Lezione frontale partecipata. Verifica formativa - Lezione frontale partecipata. - Lezione frontale partecipata. Materiali e supporti didattici - file powerpoint; - libro di testo; - file powerpoint; - libro di testo. -Fogli bianchi calcolatrice ; -fotocopie fornite dal docente. - file powerpoit; - libro di testo. Fogli bianchi, calcolatrice,libro di testo. Ruolo docente Il docente proietta le immagini delle diapositive in power point, sullo schermo, cercando di coinvolgere gli studenti con una lezione dialogata. Il docente proietta le immagini delle diapositive in power point, sullo schermo, cercando di coinvolgere gli studenti con una lezione dialogata. Il docente fa una dimostrazione alla lavagna di una risoluzione di esercizio sull esempio di quello precedentemente mostrato nelle diapositive. Propone la verifica da svolgere in classe in un ora. Fornisce le fotocopie a ciascun alunno con copia della verifica da risolvere. Il docente proietta le immagini delle diapositive in power point, sullo schermo, cercando di coinvolgere gli studenti con una lezione dialogata Il docente esegue un esecizio alla lavagna. Ruolo studente Gli studenti prendono visione dei contenuti delle diapositive e prendono appunti sul quaderno. Rispondono alle domande del docente in base alle loro conoscenze pregresse(prerequisiti). Gli studenti prendono visione dei contenuti delle diapositive e prendono appunti sul quaderno. Rispondono alle domande del docente in base alle loro conoscenze pregresse. Gli studenti eseguono la verifica. Gli studenti prendono visione dei contenuti delle diapositive e prendono appunti sul quaderno. Rispondono alle domande del docente in base alle loro conoscenze pregresse. Gli studenti prendono appunti sulla risoluzione dell esercizio fornita dal docente. In classe; Fase 6 Verifica sommativa 1 ora In classe -Verifica sommativa Fogli bianchi calcolatrice ; -fotocopie fornite dal docente. Il docente fornisce le fotocopie a ciascun alunno con copia della verifica da risolvere. Gli studenti eseguono la verifica. 9

11. Sviluppo dell intervento didattico Fase 1 Le strutture reticolari Molto diffuse nella realtà costruttiva,realizzate in legno, acciaio o cemento armato, le strutture reticolari hanno il vantaggio di coprire notevoli luci con caratteristiche di grande leggerezza. Un corpo reticolare è in generale costituito da un insieme di aste collegate tra loro in corrispondenza dei nodi in modo da formare un insieme indeformabile. Corpi reticolari strettamente indeformabili che si comportano quindi come corpi rigidi, concorrono a formare elementi reticolari rigidi o articolati. 10

Il modello reticolare Si dice corpo reticolare un corpo costituito da un insieme di aste collegate tra loro in corrispondenza di punti detti nodi. Lo studio, qui limitato ai corpi piani, fa riferimento ad un particolare modello reticolare che può essere chiamato modello del sistema di bielle. Esso si basa su alcune ipotesi semplificative: I nodi sono considerati cerniere perfette. Le aste sono caricate solo da forze concentrate in corrispondenza delle cerniere stesse. Le aste sono scariche: le forze esterne (carichi e reazioni vincolari) agiscono solo nei nodi. Le strutture reticolari possono essere: rigide se formate da un unico corpo reticolare. articolate se formate da più corpi reticolari, collegati da cerniere interne. Il calcolo può essere condotto imponendo le sole condizioni di equilibrio in tutti i casi in cui l elemento: sia formato da corpi reticolari strettamente indeformabili; sia isostatico. Definizione di puntoni e tiranti Le reazioni interne degli elementi reticolari sono chiamate tensioni delle aste. Le aste sono bielle e nella maggior parte dei casi, sono ad asse rettilineo. Di conseguenza: La direzione delle reazioni interne, ossia la direzione degli sforzi delle aste, coincide con quella delle aste stesse. 11

Fd b a Fc c Fc d f g Fd Fd Fc Asta compressa c Fd d Fd Fc Asta tesa Fig. 1 Come si può notare con riferimento alla figura 1, supponiamo di separare dalla trave reticolare le due aste c e d : compariranno le forze che le aste stesse e il resto della trave si trasmettono reciprocamente attraverso i nodi. Le aste separate dalla trave sono soggette alle forze F c che rappresentano gli sforzi trasmessi dai nodi alle aste. Per l equilibrio dell asta c sappiamo che i due sforzi F c trasmessi all asta dai due nodi devono avere intensità uguale e opposta. Gli sforzi F c comprimono l asta: l asta c compressa si dice puntone. Contemporaneamente la trave privata dell asta d è soggetta alle azioni della forza F d che rappresentano gli sforzi trasmessi dalle aste ai nodi. Gli sforzi F d tendono l asta: l asta d tesa si dice tirante. Quindi con riferimento alla trave, si dice che un asta è compressa quando lo sforzo entra nel nodo, che è tesa quando lo sforzo esce dal nodo. Convenzionalmente, si usa attribuire segno positivo agli sforzi di trazione e segno negativo a quelli di compressione. 12

Tipologie di travi reticolari A falde inclinate Capriata semplice Capriata con saettoni Capriata inglese Capriata Polonceau Trave a Shed Le capriate più comuni sono i tipi di Inglese e Polonceau. Capriata Inglese La capriata inglese è una capriata relizzata con una struttura reticolare composta da correnti superiori inclinati, da un corrente inferiore orizzontale e da aste di parete consistenti in montanti ortogonali al corrente inferiore e diagonali disposti in modo alternato in modo da risultare compressi. Capriata Polonceau La capriata tipo Polonceau, è una capriata realizzata con una struttura reticolare composta da 2 correnti superiori inclinati, su questi correnti si realizzano poi due strutture reticolari aventi la geometria di una coapriata inglese disposte con il colmo verso l interno della capriata stessa e collegati tra loro da un elemento teso che costituisce la parte centrale del corrente inferiore. 13

A correnti paralleli Trave Mohniè Trave Howe Trave Neville Capriata Mohniè La capriata tipo Mohniè è una capriata realizzata con una struttura reticolare composta da un corrente superiore orizzontale o poco inclinato, da un corrente inferiore orizzontale e da aste di parete consistenti in montanti ortogonali al corrente inferiore e diagonali disposti in modo da risultare tesi. Una variazione di questa tipologia di trave avviene qualora il corrente superiore non sia orizzontale ed i montanti possono essere soggetti a caratteristiche di sollecitazione diverse da quelle del caso di corrente superiore orizzontale. Si parla in questo caso di: Capriata tipo Mohniè a falde inclinate. 14

Fase 2 Controllo dell indeformabilità dei corpi reticolari 5 6 Un corpo reticolare è indeformabile quando si comporta come un corpo rigido e ha quindi lo stesso numero di gradi di libertà: N L=3 3 4 Per collegare rigidamente i primi tre nodi 1,2,3 sono sufficienti 3 aste. 2 Per collegare rigidamente i tre nodi successivi 4,5,6 occorre aggiungere ogni volta almeno due aste. 1 2 1 Collegati i primi 3 nodi, per collegare gli altri nodi occorrono altre 2(n-3) aste. Si può quindi affermare che per collegare rigidamente i primi tre nodi, per collegare gli altri n-3, nodi, occorrono altre 2(n-3) aste. Di conseguenza, per collegare rigidamente n nodi, occorre un numero minimo di a di aste pari a: a=3+2(n-3)=3+2n-6=2n-3 Il numero di aste sufficiente a collegare in modo rigido gli n nodi di un corpo reticolare è: a=2n-3 (1) 15

Struttura reticolare indeformabile Asta sovrabbondante sosovrabbondante campo iperstatico campo labile n=10 a=2n-3 = 17 Consideriamo una struttura reticolare indeformabile, avente un numero di aste e di nodi pari a n=10; a =2n-3=17. Sappiamo che il numero di aste strettamente sufficiente a collegare in modo rigido gli n nodi di una struttura reticolare è: a=2n-3 Ma questa condizione non è sufficiente a garantire l indeformabilità: è anche necessario controllare che la disposizione delle aste sia efficace. Struttura reticolare deformabile n=10 a=2n-3=17 Infatti come si può notare in questa struttura il numero di nodi n è sempre uguale a 10 e il n di aste è 17, ma in questo caso la disposizione delle aste non è efficace e la struttura risulta labile. 16

Analisi statico-cinematica Consideriamo una sturttura reticolare indeformabile Consideriamo lo schema della struttura assegnata come una struttura costituita da un solo tronco o reticolo indeformabile. Con riferimento al tronco costituito da a aste e n nodi se risulta: a k > a k=2n k-3 Le aste i k= a k- a k rappresentano il grado di indeterminazione statico interno della travatura reticolare o aste sovrabbondanti (che si calcola per ogni tronco). it = ik1 + ik2 + ik3 + ikn Si determinano poi il grado di labilità l della struttura e il grado di indeterminazione statico che indicheremo con i *. La conoscenza di quest ultimo consente di valutare il grado di indeterminazione statico i della struttura reticolare: i = it+ i * 17

Esempio 1 B C D E F A L I H G La struttura assegnata può immaginarsi composta da due tronchi 1 e 2, rappresentati rispettivamente dai reticoli indeformabili ABDI e DFGH, collegati per mezzo di una cerniera in D e aventi i valori: a 1 =10, n 1 = 6 a 2 =7, n 2 = 5 ; Per lo schema 1-2 si ha: l=0, i *= 0 dove l è il grado di grado di labilità della struttura e il grado di indeterminazione statico che abbiamo indicato con i *. Sapendo che: i 1 = a 1 -a 1 =10-9 =1 e i 2 = a 2 -a 2 = 7-7= 0 Quindi: i T =i 1 +i 2 =1 In definitiva risulta : l = 0, i = it+ i * = 1 La struttura è 1 volta iperstatica. 18

Fase 4 Calcolo delle tensioni delle aste Presentiamo uno dei metodi fondamentali per il calcolo degli sforzi delle aste di travature reticolari che ricorduiamo sono: Il metodo dei nodi. Il metodo delle sezioni (Ritter). Il metodo dei nodi Tale metodo permette di determinare lo sforzo normale di una generica asta richiedendo su ciascun nodo il soddifacimento della condizione di equivalenza a zero delle forze ivi agenti e, quindi ivi concorrenti. Pertanto, in tal caso è sufficiente che risulti: R=0 Dove con R si indica la risultante delle azioni esterne attive e reattive applicate sul singolo nodo. Il problema si risolve imponendo le condizioni di equivalenza a zero delle forze agenti sul nodo canonico ( nodo nel quale concorrono due aste aventi sforzo assiale non ancora determinato) in forma analitica. In tal caso conviene assegnare verso positivo (uscente dal nodo) alle azioni che le aste esercitano sul nodo ed imporre su ciascun nodo canonico la condizione R=0 con riferimento a due direzioni mutuamente ortogonali, ad esempio una orizzontale e l altra verticale. Così facendo le aste cui corrispondono valori negativi degli sforzi sono puntoni, in caso contrario, sono tiranti. Tale tecnica dev essere poi via via utilizzata per ogni nodo, tenendo conto del segno dello sforzo precedentemente calcolato dalle diverse aste. Quindi con riferimento al problema in esame, che vedremo nell esempio qui riportato, occorre innanzitutto valutare le reazioni vincolari.per semplicità di calcolo, i moduli delle forze F 1 e F 2 Si assumono rispettivamente pari a F e 2F. 19

Fase 5 Esempio 2 Risoluzione in forma analitica F B C D 2F H a A A V a G E V e y y z Assegnato un verso positivo (uscente dal nodo) alle azioni che le aste esercitano sul nodo ed imponiamo su ciascun nodo canonico la condizione R=0. Ci riferiamo a due posizioni mutuamente ortogonali(verticale e orizzontale). Le aste cui corrispondono valori negativi degli sforzi sono puntoni. Quelle cui corrispondono valori positivi sono tiranti. Calcoliamo le reazioni vincolari Ricordiamo le equazioni cardinali della statica: FY=0 Fz=0 Mx=0 Procederemo poi risolvendo ogni nodo con due sole equazioni di equilibrio. Ciò posto,avremo: F - V a+v e=0, 20

H a- 2F=0, 2Fl -Fl-V e2l=0, Che risolte forniscono: H a=2f, V a=3/2f, V e=f/2 Nodo E Calcolate le reazioni vincolari è ora possibile applicare per via analitica il metodo dei nodi. N EG N ED VE - NED = 0 - NEG=0, Da cui: NED=VE= F /2, NEG=0 V E L asta ED è pertanto un tirante, L asta EG è scarica. Nodo D N DC N DG α =π/4 2F N DE =F/2 NDGsenα+F/2 = 0 - NDGcosα- NDC- 2F=0, E quindi: NDG= - 2 /2 F, NDG= -3 /2F Le aste DG e DC pertanto Sono puntoni 21

Nodo C N CB F N CD = -3/2F -N CB- 3/2F= 0 F+NCG=0, Da cui: NCB= - 3/2 F, NCG= - F N CG Le aste CB e CG sono puntoni Nodo B N BA N BC = -3/2F N BG α =π/4 NBGcosα+NBA= 0 NBGsen α - 3/2F=0 Da cui: NBG= 3 2/2F, NBA= - 3/2 F L asta AB è un puntone, l asta BG è un tirante. 22

Nodo A H A =2F N AB = -3/2F V A =3/2F N AG L unica incognita è rappresentata dallo sforzo normale nell asta AG, quindi: NAG+2F=0 Da cui: NAG= - 2F L asta AG è un puntone Nodo G N GB= 3 2 F 2 NGA= -2F NGC= - F G NGD= - 2 F 2 NGE=0 Verifichiamo i risultati ottenuti considerando le azioni agenti sul nodo G. Posto R=0: -NGB 2 /2 - NGC - NGD 2 /2 =0 (1a) -NGA - NGB 2/2 - NGD 2/2 - NGE = 0 (1b) 23

Quindi la sostituzione nelle 1a e 1b dei valori precedentemente calcolati dimostrano che le stesse equazioni rappresentano delle identità,che attestano quindi la bontà dei risultati conseguiti. B P C P D P T P P T A A P G G S E Scriviamo quindi a seconda dei risultati ottenuti lo schema interpretativo della trave con le aste corrispondenti con P che indica puntone,t,tirante, S un asta scarica. 12. Accertamento delle competenze e controllo dei processi di insegnamento/apprendimento Tempi Strumenti e modalità di verifica Obiettivi di apprendimento Fase 3 1 ora Verifica formativa Conoscenze: Conoscere gli elementi reticolari. Conoscere il modello reticolare del sistema di bielle. Conoscere le reazioni esterne e gli sforzi nelle aste. Capacità: Saper riconoscere un corpo reticolare. Saper distinguere le aste tese e le aste compresse. 24

Fase 6 1 ora Verifica sommativa Obiettivi di apprendimento: Competenze: -Saper eseguire l analisi statico cinematica di una struttura reticolare indeformabile. -Saper applicare il metodo analitico dell equilibrio dei nodi. -Saper determinare lo schema interpretativo di una trave reticolare con il posizionamento di puntoni e tiranti. 13. Modalità di Verifica-valutazione 13.1. Verifica formativa 1. Indica se le seguenti affermazioni sono vere o false Contrassegna le affermazioni che ritieni corrette( ogni domanda può ammettere più di una risposta ) 2. Un elemento strutturale isostatico a. Nel piano tutti gli elementi strutturali hanno V F a. Può essere articolato. 3 gradi di libertà. b.le cerniere interne sottraggono sempre due V F b. E sempre equilibrato. gradi di libertà. c.per impedire i movimenti rigidi occorre un grado V F c. Ha sempre tre gradi di libertà. di vincolo esterno almeno pari al grado di libertà. d.nella realtà esistono solo tre tipi di vincolo. V F d. Ha sempre tre gradi di vincolo esterno. e.la biella è un vincol doppio. V F 3. In un elemento articolato si può scrivere il sistema di equilbrio f.il sistema di equilibrio è sempre formato da tre V F a. Per l intero elemento strutturale. equazioni. g.il sistema di equilibrio può essere scritto solo V F b. Per tutti i corpi rigidi. per gli elementi isostatici. h.il sistema di equilibrio calcola le reazioni V F c. Solo per uno dei corpi rigidi componenti. vincolari solo se l elemento è isostatico. Punteggio d. Al massimo per tre corpi rigidi componenti. 1.Totale punteggio max 8 ottenuto.. 2-3 Totale punteggio max 8 Punteggio ottenuto Contrassegna le affermazioni che ritieni corrette( ogni domanda può ammettere più di una risposta ) 4. Le reazioni vincolari di un elemento strutturale simmetrico e simmatricamente caricato sono 6. Con il solo sistema di equilibrio si possono determinare le reazioni vincolari a. Verticali. a. Di tutti gli elementi strutturali. b. Simmetriche. b. Degli elementi labili. c. Uguali. c. Degli elementi isostatici. d. Nulle. d. Degli elementi iperstatici. 5. Le reazioni vincolari di un elemento strutturale simmatrico 7. Gli elementi reticolari. sono: a. Verticali a. Possono essere rigidi o articolati. b. Simmatriche b. Possono essere isostatici o iperstatici. c. Uguali c. Si risolvono sempre con l equilibrio. d. Nulle d. Si risolvono con il solo equilibrio se sono isostatici. 4-5 Tot. punteggio max..4 Punteggio ottenuto... 6-7 Tot. punteggio max 8 Punteggio ottenuto.. 13.2. Modalità di valutazione relativa alla verifica formativa Ad ogni risposta corretta si assegna un punteggio pari a 2 punti. Ad ogni risposta sbagliata: 0 punti. 25

Soluzioni: Affermazioni vere: 1,a,d,f,h. Affermazioni corrette: 2,a,b; 3,a,b; 4,c;5,b; 6,a;7,a,b,d; Griglia di valutazione: Domande Punteggio max. Indicatori 1. 8 2 4 -Comprensione della consegna 3 4 -Correttezza. 4 2 -Completezza. 5 2 -Uso corretto della simbologia 6 2 Rigore formale. 7 6 Conoscenza e utilizzo del linguaggio Tot max X=xpunt.parzialex10/28 specifico della disciplina. 28 13.3. Verifica sommativa Verifica-3 Istituto Geometri- 2 Quadrimestre- In uscita NOME.. CLASSE.. COGNOME Esercizio N 1: Effettua l analisi statico-cinematica della seguente struttura Totale punteggio max 4.. Punteggio ottenuto. 26

Esercizio N 2 : Effettua il calcolo delle tensioni delle aste della seguente struttura, mediante il metodo dei nodi. Totale punteggio max..6.. Punteggio ottenuto. Valutazione Totale punteggio massimo 10 Totale punteggio ottenuto 13.4. Modalità di valutazione relativa alla verifica sommativa ELEMENTI DI VALUTAZIONE INDICATORI E RELATIVI PUNTEGGI Esecuzione dell Esercizio 1 L esecuzione dell esercizio è eseguita correttamente ed esaurientemente in ogni sua parte. L esecuzione è sufficientemente corretta secondo la teoria di riferimento e riporta formule quasi sempre corrette ma in maniera superficiale. L esecuzione dimostra una scarsa conoscenza della teoria di riferimento e le formule riportate non sono corrette. L esecuzione dimostra una non conoscenza della teoria di riferimento e delle procedure. 3-4 punti 2 punti 1 punto 0 punti 27

Esecuzione dell Esercizio 2 L esercizio è eseguito correttamente in ogni sua parte. Ottima conoscenza della teoria di riferimento e delle procedure, si riportano formule in maniera precisa e corretta. L esercizio è stato svolto correttamente con buona conoscenza della teoria di riferimento e delle procedure. A volte le formule riportate non sono sempre accompagnate dalle grandezze di riferimento. L esecuzione è sufficientemente corretta, le procedure sono applicate in maniera abbastanza corretta. Le formule riportate sono quasi sempre corrette ma in maniera superficiale. L esecuzione dimostra una scarsa conoscenza della teoria di riferimento. Le procedure applicate non sono corrette e le formule riportate non sono corrette. L esecuzione dimostra una non conoscenza della teoria di riferimento e delle procedure. 5-6 punti 4 punti 3 punti 1-2 punti 0 punti 14. Livelli di valutazione (relativi alle verifiche) Livello Descrizione della prestazione 0-4(decimi) Mancato raggiungimento degli obiettivi previsti,esecuzione non accettabile di procedure. 5(decimi) Conoscenza/applicazione frammentaria di lessico/procedure. 6(decimi) Livello di sufficienza Conoscenza essenziale e applicazione accettabile di procedure previste. 7(decimi) Conoscenza discreta e applicazione rigorosa anche se poco approfondita delle procedure previste. 8(decimi) Conoscenza organica e applicazione soddisfacente delle procedure previste. 9-10(decimi) Conoscenza consistente e applicazione coerente delle procedure previste anche con capacità di rielaborazione personale. 15. Interventi di recupero Si propongono interventi di recupero nel caso in cui gli obiettivi siano stati conseguiti nella quasi totalità della classe, nel caso in cui siano stati parzialmente raggiunti e nel caso in cui non siano stati raggiuti. Per ogniuna di queste tipologie si procederà con le modalità di recupero qui sotto riportate: 28

PERCENTUALE DI ALUNNI CHE HANNO SUPERATO LE MODALITÀ DI RECUPERO VERIFICHE SOMMATIVE > 80% Recupero in itinere 50% < n < 80% Rafforzamento di alcuni contenuti con una/due lezioni 20% < n < 50% Attivazione di un corso di recupero pomeridiano < 20% Si progetta nuovamente l unità didattica sulla base di opportune analisi Bibliografia S. Di Pasquale-C.Messina-L.Paolini-B.Furiozzi: Corso di COSTRUZIONI edizione modulare 1-2 - Ed. LE MONNIER. Vera Zavanella: Strutture Calcolo Progetto Volume A -Scienza delle costruzioni- Ed. Zanichelli. Giancarlo Bilotti: Lezioni di Statica -Ed.Libreria- Progetto Padova. Fiorino Tessaro,Dispense del corso di Processi e metodologie dell insegnamento-ssis IX ciclo A.A. 2007/2008; Umberto Margiotta, Dispense del Corso di Teoria dell istruzione e programmazione didattica SSIS IX ciclo A.A. 2007/2008; Ivana Padoan, Dispense del Corso di Psicopedagogia dell insegnamento, SSIS IX ciclo A.A. 2007/2008; Massimo Guarnieri, Dispense del Corso di Didattica dello sviluppo tecnologico, SSIS IX ciclo A.A. 2007/2008; Luigi Lentini, Dispense del Corso di Logica e filosofia della scienza, SSIS IX ciclo A.A. 2008/2009;Fiorino Tessaro, Dispense del Corso di Organizzazione scolastica e contesti educativi, SSIS IX ciclo A.A. 2008/2009; Stefano Boraso, Dispense del Corso di Didattica del disegno tecnico, SSIS IX ciclo A.A. 2008/2009; Valentina Salomoni, Dispense del Corso di Didattica del disegno e di progettazione delle Costruzioni, SSIS IX ciclo A.A. 2008/2009; Carmelo Maiorana, Dispense del Corso di Didattica di progettazione delle costruzioni 1, SSIS IX ciclo A.A. 2008/2009. 29

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