Università degli Studi di Milano / Bicocca Facoltà di Economia MATEMATICA FINANZIARIA EcoCom A-Le / Li-Z Prova scritta del luglio SOLUZIONI Per gli studenti immatricolati entro il 7/8 (45cfu): L operazione finanziaria A = [(, 55, 65); (,, ) ha un unico tasso implicito, ed esso è compreso tra e ; b ha almeno tre tassi impliciti; c d (Profssa GCarcano) non ha tassi impliciti positivi, e non si può dire nulla su eventuali tassi impliciti negativi; ha un unico tasso implicito, ed esso è positivo Per gli studenti immatricolati nel 8/9 o 9/ (5cfu): Sono noti i seguenti tassi spot: R = 5%, R = %; allora, il tir di una obbligazione, scadente tra anni, cedola annua del 4% e rimborso, è tra 9% e %; b tra 7% e 8%; c tra % e %; d nessuna delle altre tre risposte è giusta Per gli studenti immatricolati entro il 7/8 (45cfu): Sull argomento tassi impliciti, si veda, ad esempio, dispensa Matematica Finanziaria, Datanova, pag 6 e seguenti A è un investimento in senso stretto (del tipo PICO), con somma dei ricavi (75) minore della somma dei costi (), pertanto, da ben noti fatti teorici, e senza bisogno di fare conti, ne deduciamo che A ha uno ed un solo tasso implicito, e tale tasso è negativo ( < i < ) Per gli studenti immatricolati nel 8/9 o 9/ (5cfu): P = 4 5 + 4 () = 39 39 = 4( + i) + 4( + i) = 4v + 4v v = 9847 i = tir = 99% Si consideri la forza d interesse δ(t) = t e la legge di capitalizzazione ad essa associata Allora a i = 47%; i = 53%; c f(t) = e t ; d f(t) = e t t f(t) = e δ(s)ds = e 5t i = f() = e 5 = 57 3 Nelle operazioni finanziarie del tipo investimento in senso stretto, il rea a nessuna delle altre tre risposte è giusta; b è sempre negativo; è positivo per i < i e negativo per i > i, ove i = tir; d è sempre positivo Si veda il materiale didattico (dispensa Matematica Finanziaria, Datanova, 4) 4 Se A = [P; t = [(P, P,, P n ); (t, t, {, t n ) è la generica operazione finanziaria, e I(P, t) un I t indice di preferenza, allora, la condizione k > se P k < I, k =,,, n, significa t k < se P k > meglio incassare prima, meglio pagare dopo; b meglio una posta maggiore, di una posta minore; c meglio pagare prima, meglio incassare dopo; d meglio una posta minore, di una posta maggiore
Si veda il materiale didattico 5 Quale delle seguenti relazioni non è corretta? (Attenzione: non fate conti, ma ragionate finanziariamente!) ( ) a s n i = us n i b pä n i = v p ä ) n i c pä n i = u (pa n i nessuna delle altre tre risposte è giusta Ragionate! 6(i) Si ricordi la definizione di scadenza media ( punto) e si dimostri che, nel regime commerciale, la scadenza media coincide con la scadenza media aritmetica ( punto) Dalla definizione di scadenza media (v materiale didattico) e dalla forma del fattore di sconto commerciale, si ha: Ck ( dt k ) = ( dz) C k z = tk C k C k = t (ii) Devo restituire un prestito di euro, con metodo francese, in 4 rate annue, tasso annuo di remunerazione del 4% Determinare l importo della rata R e delle quote capitali C k Attenzione: NON determinare tutto il piano di ammortamento, ma calcolare solo R e C k facendo il minor numero di conti possibili!! ( punti) Subito dopo il pagamento della seconda rata, mi aumentano il tasso di due punti; determinare la nuova rata ( punto) Si verifichino: la condizioni di equità elementare per l ammortamento nella versione iniziale e le condizioni di equità finanziarie per l ammortamento effettivamente realizzato ( punti) R = α 4 4 = C = Rv n = 5598(4) 4 = 4798 C = C u = 4798(4) = 4898 C 3 = C u = 4898(4) = 594 C 4 = C 3 u = 594(4) = 59788 4 = 5598 (4) 4 D = 4798 4898 = 39 6 R = R 3 = R 4 = 39α 6 = 39 = 56688 (6)
C + C + C 3 + C 4 = 4798 + 4898 + 594 + 59788 = = S condizione equità elementare soddisfatta R(4) + R(4) + R(4) (6) + R(4) (6) = = 5598(4) + 5598(4) + 56688(4) (6) + 56688(4) (6) = = condizione equità finanziaria soddisfatta È sufficiente verificare solo una delle due condizioni di equità finanziaria (in questo caso, quella iniziale), perché, come noto, in cc/ce, esse sono tra loro equivalenti 7 (i) Si determini, sia analiticamente, sia graficamente, l insieme S, chiusura convessa dei punti A = (, ), B = (, ) e C = (, ) ( punti) Si dia un esempio di funzione obiettivo lineare, per la quale C è l unica soluzione ottimale per il problema di minimizzazione vincolata nella regione ammissibile S, ed i punti del segmento di estremi A e B sono invece tutte le soluzioni ottimali del problema di massimizzazione ( punti) Per le definizioni coinvolte, si veda Programmazione Lineare, Datanova, Cap La chiusura convessa di un insieme X è il più piccolo insieme chiuso e convesso che contenga X; in questo caso, è l insieme di tutte le combinazioni convesse dei tre punti dati, che ne costituiscono i punti estremi (ricordare il Teorema di Minkowski): S = { (x, x ) IR : x, x + x, x x } S = { (x, x ) IR : α [ + β [ + γ [, α, β, γ, α + β + γ = } x y S A B C Basta considerare le rette di livello e si capisce che la funzione obiettivo soddisfacente le richieste è z = x x (vedi disegno)
x y S A B C (iii) Si risolva il seguente problema di programmazione lineare, senza utilizzare né il metodo delle rette di livello, né il metodo del simplesso: (4 punti) max z = x + x sub x x x x x j j =, La regione ammissibile del problema dato è 3 x x La regione ammissibile è non vuota e limitata, pertanto, dal Teorema fondamentale della programmazione lineare, per determinare la/le soluzione/i ottimali basta valutare l obiettivo sui vertici/punti estremi: z ([ =, z ([ =, z ([ = 4, z ([ 3 = 5
pertanto l unica soluzione ottimale è x = [ e l ottimo è z = 4 (iv) Si scriva e si risolva il problema duale del problema in (iii) (3 punti) Il problema duale del problema in (iii) è (D) min w = π + π π 3 sub π π + π π 3 π i i =,, 3 Dai risultati ottenuti su (P), e utilizzando il teorema di scarto complementare, si ha: x = > π = x = > π + π π3 = s 3 = > π3 = si ottiene quindi l unica soluzione ottimale π = 3, con ottimo w = 4 (= z )