APPENDICE MATEMATICA E TRIGONOMETRIA A.1.1 FREQUENZE DELLA SCALA CROMATICA TEMPERATA ottave 0 1 2 3 4 5 6 7 DO 32.7032 65.4064 130.8128 261.6256 523.2511 1046.5023 2093.0045 4186.0090 DO# 34.6478 69.2957 138.5913 277.1826 554.3653 1108.7305 2217.4610 4434.9221 RE 36.7081 73.4162 146.8324 293.6648 587.3295 1174.6591 2349.3181 4698.6363 RE# 38.8909 77.7817 155.5635 311.1270 622.2540 1244.5079 2489.0159 4978.0317 MI 41.2034 82.4069 164.8138 329.6276 659.2551 1318.5102 2637.0205 5274.0409 FA 43.6535 87.3071 174.6141 349.2282 698.4565 1396.9129 2793.8259 5587.6517 FA# 46.2493 92.4986 184.9972 369.9944 739.9888 1479.9777 2959.9554 5919.9108 SOL 48.9994 97.9989 195.9977 391.9954 783.9909 1567.9817 3135.9635 6271.9270 SOL# 51.9131 103.8262 207.6523 415.3047 830.6094 1661.2188 3322.4376 6644.8752 LA 55.0000 110.0000 220.0000 440.0000 880.0000 1760.0000 3520.0000 7040.0000 LA# 58.2705 116.5409 233.0819 466.1638 932.3275 1864.6550 3729.3101 7458.6202 SI 61.7354 123.4708 246.9417 493.8833 987.7666 1975.5332 3951.0664 7902.1328 1
A.1.2 CENNI DI MATEMATICA - LOGARITMI Si definisce logaritmo in base b di un numero a quel numero che elevato alla base b dà il numero in questione, cioè se c=log b a allora b c = a. I logaritmi possono essere in qualsiasi base, ma per scopi musicali quelli più utilizzati sono quelli in base 2 e quelli in base 10. I logaritmi in base 2 trovano applicazione nella conversione tra frequenza (in Hz) e altezza (in intervallo) dei suoni. Infatti si ha altezza = log 2 (frequenza / frequenza del DO 0 ) e frequenza = (frequenza del DO 0 ) * 2 altezza Se si vuole, per esempio, calcolare l altezza di un suono di 440 Hz: altezza = log 2 (440 / 32.703) = LA 3 E, viceversa, per calcolare la frequenza di un LA 3 : frequenza(la 3 ) = 32.703 * 2 3.75 = 440 Hz A.1.3 CENNI DI MATEMATICA - DECIBEL L orecchio è sensibile a grandissime variazioni di intensità sonora. Per evitare allora numeri con troppi zeri, si ricorre alla forma esponenziale di quei numeri. Dato che, per esempio, il numero 0.00000000000001 è esprimibile come 1 * 10-14 se consideriamo il solo esponente, avremo a che fare con sole due cifre invece che con 15. Si definisce allora un comodo modo per esprimere grandezze che possono assumere valori molto diversi fra loro (cioè variabili entro una vasta gamma) 2 Storia dei linguaggi di sintesi
mediante l uso del decibel (1/10 di Bel, dal fisico americano Alexander Graham Bell, simbolo db), che è definito come: db = 20 * log (A) / log (A 0 ) in cui A è il valore sottoposto a misura, e A 0 è il valore di riferimento, ossia il valore preso convenzionalmente come zero. Il decibel non è quindi una unità di misura, come l Hertz o il metro, ma solo un modo convenzionale per esprimere il rapporto fra due grandezze. Anche se, in genere, in acustica viene impiegato per esprimere l ampiezza o l intensità sonora di un segnale, nulla vieta di applicare questo metodo di misurazione alla frequenza o ad altre grandezze. Un semplice calcolo permette di compilare la seguente tabella di corrispondenza fra decibel e grandezze assolute: db valore db valore db valore db valore 0 1-30.032-60.001-90.000032-2.794-32.025-62.00079-92.000025-4.631-34.02-64.00063-94.00002-6.501-36.016-66.0005-96.000016-8.398-38.013-68.0004-98.0000126-10.316-40.01-70.000316-100.00001-12.251-42.008-72.00025-14.200-44.006-74.0002-16.158-46.005-76.00016-18.126-48.004-78.000125-20.1-50.0032-80.0001-22.079-52.0025-82.000079-24.063-54.002-84.000063-26.05-56.0016-86.00005-28.04-58.00125-88.00004 A.1.4 CENNI DI TRIGONOMETRIA - MISURA DEGLI ANGOLI Un qualsiasi angolo può essere misurato utilizzando due diverse unità di misura: il grado sessagesimale (la trecentosessantesima parte di un cerchio o angolo giro) oppure il radiante, che è quell angolo per cui l arco sotteso uguaglia il raggio (fig.a-1-1), cioè per il quale AB = OA. Questo angolo vale dunque: 1 rad = 57.2988 3
e il suo valore può essere ricavato ricordando che la circonferenza del cerchio vale: 2 *π* r = 6.2831853 * r se r = 1 allora l angolo per cui l'arco sotteso vale 1 sarà appunto: 180 /π = 180 /3.1415927 = 57.2988 Fig. A-1-1 A.1.5 CENNI DI TRIGONOMETRIA - FUNZIONI TRIGONOMETRICHE Dato un certo angolo α (fig. A-1-1), il rapporto fra AC e r (=OA) si chiama seno dell angolo e si indica con sin(α), mentre il rapporto fra OC e r si chiama coseno dell angolo, e si indica con cos(α). Il rapporto fra AC ed OC (uguale al rapporto fra HB e OH) si chiama tangente dell angolo, e si indica con tg(α). Per r = 1, si ottengono i seguenti valori fondamentali di queste tre funzioni trigonometriche: gradi sin(α) cos(α) tg(α) gradi sin(α) cos(α) tg(α) 0 0 1 0 180 0-1 0 5.2588191.9659258.2679492 195 -.2588191 -.9659258.2679492 30.5.8660254.5773503 210 -.5 -.8660254.5773502 45.7071068.7071068 1 225 -.707107 -.7071066 1.000001 60.8660254.5 1.732051 240 -.8660256 -.4999999 1.732052 75.9659258.2588191 3.732051 255 -.9659259 -.258819 3.732052 90 1 0 270-1 0-105.9659258 -.2588191-3.732051 285 -.9659259.258819-3.732051 120.8660254 -.5000001-1.732051 300 -.8660256.5-1.732051 135.7071068 -.7071068-1 315 -.707107.7071067-1 150.5000001 -.8660254 -.5773504 330 -.4999998.8660256 -.5773499 165.2588189 -.9659259 -.2679491 345 -.2588188.9659259 -.267949 4
A.1.6 CENNI DI TRIGONOMETRIA - ESPRESSIONE IN RADIANTI Con riferimento a quanto detto in A.1.4, per un angolo di 360 l'arco coincide con l intera circonferenza, che equivale a 2π; quindi 2 * π * r 360 = rad = 2 * π rad r Riportiamo in tabella la corrispondenza fra radianti (misurati in frazioni di π) e angoli sessagesimali: gradi rad gradi rad gradi rad gradi rad 0 0 90 π/2 180 π 180 3/2π A.1.7 CENNI DI TRIGONOMETRIA - LEGAME CON IL TEMPO È possibile costruire per via grafica le funzioni trigonometriche descritte, semplicemente misurando sul cerchio trigonometrico di fig. A-1-1 i valori delle funzioni stesse in corrispondenza di intervalli regolari di un angolo θ. Se poi si immagina che il raggio che forma l angolo θ ruoti in senso antiorario con velocità costante, è possibile legare le funzioni trigonometriche al tempo. Detta infatti ω la velocità angolare, cioè l angolo che il raggio descrive in 1 secondo, l angolo descritto in un tempo qualsiasi t sarà: θ = ω * t Se il raggio descrive l intera circonferenza f volte al secondo, l angolo (espresso in radianti) percorso in 1 secondo sarà: θ = 2 * π * f * t dove f è precisamente la frequenza del moto armonico. Se si sceglie un raggio di dimensione arbitraria A, A sarà la massima ampiezza del moto armonico, e l espressione dell ampiezza istantanea (l ampiezza in un qualsiasi momento) sarà dunque: I = A * sin ( 2*π*f*t ) 5
È questa l'equazione del moto armonico sinusoidale. Se poi, invece di iniziare all istante 0, il moto inizia all istante t 0, anche questo ritardo può essere espresso in funzione di un angolo, che solitamente si indica con ϕ. L equazione del moto armonico sinusoidale, completa del ritardo di fase, è quindi: I = A * sin (2*π*f*t + ϕ) 6