Appunti di Geometria

ISTITUTO COMPRENSIVO N.7 - VIA VIVALDI - IMOLA Via Vivaldi, 76-40026 Imola (BOLOGNA) Centro Territoriale Permanente: Istruzione Degli Adulti - IDA Appunti di Geometria Scuola Secondaria di I Grado - Ex Licenza Media Indice 1 Introduzione 2 1.1 Enti Geometrici Fondamentali..................................... 2 1.2 Definizioni Importanti......................................... 2 1.3 Posizione reciproca di due rette.................................... 3 2 Angoli 4 2.1 Misurare un angolo........................................... 5 2.2 Classificazione degli Angoli...................................... 5 3 Poligoni 7 3.1 Classificazione dei Poligoni...................................... 8 3.2 Triangoli................................................. 10 3.2.1 Classificazione in base ai lati................................. 10 3.2.2 Classificazione in base agli angoli............................... 11 3.2.3 Triangolo: perimetro e area.................................. 11 3.3 Quadrilateri e loro classificazione................................... 12 3.3.1 Trapezio............................................. 12 3.3.2 Trapezio: perimetro e area.................................. 13 3.3.3 Parallelogrammo........................................ 13 3.3.4 Parallelogrammo: perimetro e area.............................. 14 3.3.5 Rettangolo........................................... 14 3.3.6 Rettangolo: perimetro e area................................. 15 3.3.7 Rombo............................................. 15 3.3.8 Rombo: perimetro e area................................... 16 3.3.9 Quadrato............................................ 16 3.3.10 Quadrato: perimetro e area.................................. 17 A Equivalenze 17 A.1 Misure Lineari............................................. 17 A.1.1 Misure di Lunghezza...................................... 17 A.1.2 Misure di Capacità....................................... 17 A.1.3 Misure di Massa........................................ 18 A.2 Misure di Superficie.......................................... 18 Bibliografia 18 1

1 Introduzione 1.1 Enti Geometrici Fondamentali Punto Matematico Non ha dimensione e occupa una posizione. Si indica con le lettere maiuscole dell alfabeto latino: A, B, C, D,... Retta Ha una dimensione: la lunghezza. Si indica con le lettere minuscole dell alfabeto latino: a, b, c, d,... Contiene infiniti punti. Piano Ha due dimensioni: la lunghezza e larghezza. Si indica con le lettere minuscole dell alfabeto greco: α (alfa), β (beta),... Contiene infiniti punti e infinite rette. Osservazione. Per un punto passano infinite rette. Per due punti passa una e una sola retta. Per un punto passano infiniti piani. Per due punti passano infiniti piani, quindi per una retta passano infiniti piani. Per tre punti non allineati passa uno e un solo piano. 1.2 Definizioni Importanti Definizione (Semiretta). Ognuna delle parti in cui una retta rimane divisa da un suo punto. 2

Definizione (Segmento). Parte di retta limitata da due suoi punti detti estremi del segmento. Definizione (Segmenti consecutivi). Due segmenti si dicono consecutivi se hanno un estremo in comune. (Nella figura l estremo in comune è il punto B) Definizione (Segmenti adiacenti). Due segmenti si dicono adiacenti se sono consecutivi e appartengono alla stessa retta. 1.3 Posizione reciproca di due rette Definizione (RETTE INCIDENTI). Due rette r e s si dicono incidenti quando hanno un punto in comune. Due rette r e s incidenti si dicono perpendicolari se dividono il piano in quattro parti uguali fra loro. Gli angoli che si formano sono di 90. Definizione (RETTE COINCIDENTI). Due rette r e s si dicono coincidenti quando hanno infiniti punti in comune. 3

Definizione (RETTE PARALLELE). Due rette r e s si dicono parallele quando non hanno nessun punto in comune e appartengono allo stesso piano; e si scrive r s. Definizione (RETTE SGHEMBE). Due rette r e s si dicono sghembe quando non hanno nessun punto in comune e non appartengono allo stesso piano. 2 Angoli Definizione (Angolo). Ognuna delle due parti di piano limitata da due semirette che hanno la stessa origine. L origine delle semirette si chiama vertice dell angolo. Le due semirette sono dette lati dell angolo. 4

Definizione (Angolo Convesso e Angolo Concavo). Si chiama angolo concavo la parte di piano che contiene i prolungamenti dei due lati; si chiama angolo convesso la parte di piano che non contiene i prolungamenti dei due lati. 2.1 Misurare un angolo La misura di un angolo si chiama ampiezza. Per misurare l ampiezza di un angolo è necessario scegliere un altro angolo come unità di misura e contare quante volte è contenuto nell angolo dato. Come angolo-unità di misura si sceglie il grado che è la 360-esima parte dell angolo giro. Lo strumento che si usa per misurare l ampiezza di un angolo si chiama GONIOMETRO (o rapportatore). 2.2 Classificazione degli Angoli NULLO misura 0 ACUTO misura meno di 90 RETTO misura 90 OTTUSO misura più di 90 e meno di 180 PIATTO misura 180 5

CONCAVO misura più di 180 e meno di 360 GIRO misura 360 Definizione (Angoli consecutivi). Due angoli si dicono consecutivi se hanno il vertice e un lato in comune. Definizione (Angoli adiacenti). Due angoli si dicono adiacenti se hanno il vertice e un lato in comune, quindi sono consecutivi, e se gli altri due lati appartengono alla stessa retta. La loro somma è sempre 180. Definizione (Angoli Complementari). Due angoli si dicono complementari tra loro se la loro somma è un angolo retto, cioè 90. Definizione (Angoli Supplementari). Due angoli si dicono supplementari tra loro se la loro somma è un angolo piatto, cioè 180. 6

Definizione (Angoli opposti al vertice). Due angoli si dicono opposti al vertice se i lati dell uno sono i prolungamenti dei lati dell altro. Due angoli opposti al vertice sono uguali. 3 Poligoni Definizione (Figura geometrica). Si chiama figura geometrica un insieme di punti. Definizione (Poligono). Un poligono è figura geomerica piana formata da segmenti consecutivi (non intrecciati) in cui il primo estremo coincide con l ultimo e dalla parte di piano da essi limitata. Definizione (Perimetro di un poligono). Il perimetro di un poligono è la somma dei suoi lati. Il perimetro si indica con 2p. Il perimetro della figura sopra è 2p = AB + BC + CD + DE + EA Definizione (Area di un poligono). L Area di un poligono è la misura della sua superficie ( la parte che si può verniciare ). 7

Somma interna degli angoli di un poligono Per il calcolare della somma interna degli angoli di un poligono di n lati si usa la seguente formula: (n 2) 180 Definizione (Diagonale). Segmento che unisce due vertici opposti. Numero diagonali di un poligono Il numero delle diagonali di un poligono di n lati si può calcolare con la seguente formula: 3.1 Classificazione dei Poligoni n (n 3) 2 TRIANGOLO ha 3 lati, 3 vertici e 3 angoli QUADRANGOLO o QUADRILATERO ha 4 lati, 4 vertici e 4 angoli PENTAGONO ha 5 lati, 5 vertici e 5 angoli 8

ESAGONO ha 6 lati, 6 vertici e 6 angoli ETTAGONO ha 7 lati, 7 vertici e 7 angoli OTTAGONO ha 8 lati, 8 vertici e 8 angoli DECADONO ha 10 lati, 10 vertici e 10 angoli DODECAGONO ha 12 lati, 12 vertici e 12 angoli 9

Definizione (Poligono Regolare). Un poligono che ha tutti i lati uguali si chiama equilatero. Un poligono che gli angoli uguali si chiama equiangolo. Un poligono che è equilatero e equiangolo si chiama regolare. ESEMPIO DI ESAGONO REGOLARE 3.2 Triangoli 3.2.1 Classificazione in base ai lati TRIANGOLO EQUILATERO ha tutti i lati uguali ha tre angoli uguali a 60 TRIANGOLO ISOSCELE ha due lati uguali ha due angoli uguali TRIANGOLO SCALENO ha tutti i lati diversi ha tre angoli diversi 10

3.2.2 Classificazione in base agli angoli TRIANGOLO ACUTANGOLO ha tre angoli acuti TRIANGOLO OTTUSANGOLO ha un angolo ottuso e due angoli acuti TRIANGOLO RETTANGOLO ha un angolo retto e due angoli acuti Osservazione. Un triangolo può essere classificato sia in base ai lati che in base agli angoli: TRIANGOLO RETTANGOLO ISOSCELE 3.2.3 Triangolo: perimetro e area PERIMETRO 2p AREA A 2p = b + l 1 + l 2 b = 2p (l 1 + l 2 ) l 1 = 2p (b + l 2 ) l 2 = 2p (l 1 + b) A = b h 2 b = A 2 h h = A 2 b 11

3.3 Quadrilateri e loro classificazione 3.3.1 Trapezio Il trapezio ha due, e solamente due, lati paralleli: AB DC. Caratteristica: gli angoli adiacenti (vicini) a uno stesso lato sono supplementari (la loro somma è 180 )  + ˆD = 180 e Ĉ + ˆB = 180 Classificazione Trapezi TRAPEZIO SCALENO ha i lati obliqui diversi: TRAPEZIO ISOSCELE ha i lati obliqui uguali BC = AD. Sono uguali anche: gli angoli adiacenti alle basi  = ˆB e Ĉ = ˆD; gli angoli A ˆDH = KĈB; le diagonali AC = DB; le proiezioni dei lati obliqui sulla base maggiore AH = KB. AB DC Si ha anche che AH = KB =. 2 12

TRAPEZIO RETTANGOLO ha uno dei lati obliqui perpendicolare alle basi AD AB e AD DC: Il lato obliquo AD è altezza del trapezio. 3.3.2 Trapezio: perimetro e area PERIMETRO 2p 2p = B + l 1 + b + l 2 B = 2p (l 1 + b + l 2 ) b = 2p (B + l 1 + l 2 ) l 1 = 2p (B + b + l 2 ) l 2 = 2p (B + l 1 + b) AREA A A = (B + b) h 2 B = A 2 b h b = A 2 B h h = A 2 B + b B + b = A 2 h 3.3.3 Parallelogrammo Il parallelogrammo ha i lati a due a due paralleli: AB CD e AD BC. Caratteristiche: i lati paralleli sono uguali AB = CD e AD = BC; gli angoli opposti sono uguali  = Ĉ e ˆB = ˆD; gli angoli adiacenti (vicini) a uno stesso lato sono supplementari (la loro somma è 180 )  + ˆB=180 ˆB + Ĉ=180 Ĉ + ˆD=180 ˆD + Â=180 13

le diagonali vengono tagliate a metà dal loro punto di intersezione AO = OC e DO = OB; ciascuna diagonale divide il parallelogramma in due triangoli uguali; 3.3.4 Parallelogrammo: perimetro e area PERIMETRO 2p AREA A 2p = b + l + b + l = 2 b + 2 l = 2 (b + l) A = b h b = A h b = 2p: 2 l l = 2p: 2 b h = A b 3.3.5 Rettangolo Il rettangolo ha quattro angoli retti  = ˆB = Ĉ = ˆD = 90. Base e altezza di chiamano anche dimensioni del rettangolo. Caratteristiche: i lati opposti sono uguali e paralleli: AB = CD e AD = BC AB CD e AD BC gli angoli adiacenti (vicini) a uno stesso lato sono supplementari (la loro somma è 180 )  + ˆB=180 ˆB + Ĉ=180 Ĉ + ˆD=180 ˆD + Â=180 le diagonali sono uguali AC = BD e vengono tagliate a metà dal loro punto di intersezione AO = OC = DO = OB; ciascuna diagonale divide il rettangolo in due triangoli uguali. 14

3.3.6 Rettangolo: perimetro e area PERIMETRO 2p AREA A DIAGONALE d 2p = b + h + b + h = 2 b + 2 h = 2 (b + h) b = 2p: 2 h h = 2p: 2 b A = b h b = A h h = A b d = b 2 + h 2 3.3.7 Rombo Il rombo ha quattro lati uguali AB = BC = AC = DA. Caratteristiche: i lati opposti sono paralleli: AB CD e AD BC ; gli angoli opposti sono uguali  = Ĉ e ˆB = ˆD; gli angoli adiacenti (vicini) a uno stesso lato sono supplementari (la loro somma è 180 )  + ˆB=180 ˆB + Ĉ=180 Ĉ + ˆD=180 ˆD + Â=180 le diagonali sono perpendicolari AC BD (formano 4 angoli di 90 ); le diagonali vengono tagliate a metà dal loro punto di intersezione AO = OC e DO = OB; ciascuna diagonale divide il rombo in triangoli uguali; le diagonali dividono gli angoli del rombo in due angoli uguali. 15

3.3.8 Rombo: perimetro e area PERIMETRO 2p AREA A DIAGONALI d e D 2p = l + l + l + l = 4 l l = 2p: 4 A = D d 2 A = l h l = A h D = A 2 d d = A 2 D h = A l 3.3.9 Quadrato Il quadrato ha quattro lati uguali AB = BC = AC = DA e quattro angoli retti  = ˆB = Ĉ = ˆD = 90. Caratteristiche: i lati opposti sono paralleli: AB CD e AD BC gli angoli adiacenti (vicini) a uno stesso lato sono supplementari (la loro somma è 180 )  + ˆB=180 ˆB + Ĉ=180 Ĉ + ˆD=180 ˆD + Â=180 le diagonali sono uguali AC = BD e vengono tagliate a metà dal loro punto di intersezione AO = OC = DO = OB; le diagonali sono perpendicolari AC BD (formano 4 angoli di 90 ); 16

ciascuna diagonale divide il quadrato in triangoli uguali; le diagonali dividono gli angoli del quadrato in angoli uguali a 45 ; il quadrato è un poligono regolare. 3.3.10 Quadrato: perimetro e area PERIMETRO 2p AREA A DIAGONALE d 2p = l + l + l + l = 4 l l = 2p: 4 A = l l = l 2 A = d d 2 l = A = d2 2 d = l 2 + l 2 = 2 l 2 d = A 2 A Equivalenze A.1 Misure Lineari A.1.1 Misure di Lunghezza km hm dam m dm cm mm NOME Chilometro Ettometro Decametro Metro Decimetro Centimetro Millimetro SIMBOLO km hm dam m dm cm mm A.1.2 Misure di Capacità hl dal l dl cl ml NOME Ettolitro Decalitro Litro Decilitro Centilitro Millilitro SIMBOLO hl dal l dl cl ml 17

A.1.3 Misure di Massa 00 Mg 00 kg hg dag g dg cg mg NOME Megagrammo (tonnellata) Chilogrammo Ettogrammo Decagrammo Grammo Decigrammo Centigrammo Milligrammo SIMBOLO Mg kg hg dag g dg cg mg A.2 Misure di Superficie 0 km 2 0 hm 2 0 dam 2 0 m 2 0 dm 2 0 cm 2 0 0 0 0 0 0 mm 2 NOME SIMBOLO Chilometro quadrato km 2 Ettometro quadrato hm 2 Decametro quadrato dam 2 Metro quadrato m 2 (oppure mq) Decimetro quadrato dm 2 Centimetro quadrato cm 2 Millimetro quadrato mm 2 Riferimenti bibliografici [Agnesi, Baldi e Locatelli, 2007] L. Agnesi, M. Baldi e A. Locatelli ABC della GEOMETRIA, volume A, Ghisetti e Corvi Editori. [Flaccavento, 2000] G. Flaccavento Romano, Invito alla matematica Geometria A, Fabbri Editore. [Genovese, Manzone Bertone e Rinaldi, 2005] T. Genovese, L. Manzone Bertone, G. Rinaldi GEOMETRIA, volume a, Lattes Editore. [Zibetti, L. Tonolini e F. Tonolini, 2005] G. Zibetti, L. Tonolini e F. Tonolini Viaggio nella matematica - Moduli di Geometria, volume 1, Minerva Italica. 18