TEORIA E PROGETTO DI COSTRUZIONI E STRUTTURE: ARCHITETTURA AMBIENTALE SEZIONE A APPELLO No. (1//01) Tema A ESERCIZIO 1 (punti 30) - Data la struttura di figura, si chiede di: a. effettuare l analisi cinematica (); b. determinare le reazioni vincolari esterne ed interne (10); c. tracciare i diagrammi delle azioni interne (6+4+8). ESERCIZIO (punti 15) - Sia data la sezione in parete sottile riferita alla linea media di figura soggetta al momento flettente M y incognito, momento che tende le fibre inferiori. DATI: h = 6a, b = 3a, sia a = 10 mm, t = 1 mm (spessore costante), a = 45, f y = ±400 Mpa, g =.0. Si chiede: a. determinare la posizione d G del baricentro G sull asse y e spiegare perché il gli assi x ed y sono principali d inerzia. [3] b. Calcolare i momenti d inerzia I xx, I yy, I ss, i semiassi r x e r y dell ellisse centrale d inerzia. [7] c. Note la tensione di snervamento f y ed il coefficiente di sicurezza g, determinare il massimo valore che può assumere M y, eseguendo la verifica per s z. [3] d. Tracciare il diagramma della tensione normale s z lungo x. [] Esercizio 3 (punti 15) - 3a. Dimostrare il teorema di trasporto (Huygens) per i momenti di inerzia. Per lo stato tensionale di figura (valori assoluti in Mpa): 3b. si indichi quali sono le componenti di tensione s 11, s, s 1 = s 1 e si scriva la matrice delle tensioni. 3c. Si calcolino le tensioni principali e se ne determinino le direzioni. 3d. Si tracci il cerchio di Mohr, indicando su di esso le direzioni principali e la tensione tangenziale massima. [4+3+4+4] 1
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TEORIA E PROGETTO DI COSTRUZIONI E STRUTTURE: ARCHITETTURA AMBIENTALE SEZIONE A APPELLO No. 1//01 Tema B Risolvere gli esercizi contrassegnati con X. ESERCIZIO 1 (punti 30) - Data la struttura di figura, si chiede di: a. effettuare l analisi cinematica (); b. determinare le reazioni vincolari esterne ed interne (9); c. tracciare i diagrammi delle azioni interne (5+5+9). ESERCIZIO (punti 15) - Sia data la sezione in parete sottile riferita alla linea media di figura soggetta al momento flettente M y incognito, momento che tende le fibre inferiori. DATI: h = 6a, b = 4a, sia a = 150 mm, t = 15 mm (spessore costante), a = 45, f y = ±450 Mpa, g = 1.5. Si chiede: a. determinare la posizione d G del baricentro G sull asse y e spiegare perché il gli assi x ed y sono principali d inerzia. [3] b. Calcolare i momenti d inerzia I xx, I yy, I ss, i semiassi r x e r y dell ellisse centrale d inerzia. [7] c. Note la tensione di snervamento f y ed il coefficiente di sicurezza g, determinare il massimo valore che può assumere M y, eseguendo la verifica per s z. [3] d. Tracciare il diagramma della tensione normale s z lungo x. [] ESERCIZIO 3 (punti 15) - 3a. Dimostrare la formula che fornisce le tensioni principali s 1, s per lo stato piano di sforzo. [4] 3b. Calcolare le tensioni principali per lo stato di sforzo s 11 = -15.0, s =, s =. 5 (Mpa) e le deformazioni e 11, e, 4 1 - e 1 con E = 50000 Mpa, n = 0.5; tracciare il cerchio di Mohr ed indicare su esso le direzioni principali. [7]. 3c. Lavoro, energia potenziale e piano inclinato: il corpo materiale puntiforme di peso G = 10000 newton è spostato da A a B in cima al piano inclinato alla quota z = 10 m. Qual è l energia potenziale gravitazionale che assume in B? Definire il lavoro di una forza. Esprimere il lavoro che la forza orizzontale F H deve compiere per spostare il corpo a A a B e trovarne il valore. [4] 7
ESERCIZIO 1 TEMA B a. La struttura è isostatica non labile: i vincoli esterni in A e B sono chiaramente ben messi; la struttura è costituita da un circolo chiuso con 3 svincoli (triangolo isostatico generalizzato). In altro modo può essere vista come un arco a 3 cerniere non allineate, ACDB, impostato sulla trave cerniera e carrello AB. b. c. 8
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TEORIA E PROGETTO DI COSTRUZIONI E STRUTTURE: ARCHITETTURA AMBIENTALE SEZIONE A APPELLO No. 1//01 Tema C Risolvere gli esercizi contrassegnati con X. ESERCIZIO 1 (punti 30) - Data la struttura di figura, si chiede di: a. effettuare l analisi cinematica (); b. determinare le reazioni vincolari (9); c. tracciare i diagrammi delle azioni interne (4+5+10). ESERCIZIO (punti 14) - La trave a mensola di fig. A ha la sezione a corona circolare in acciaio di fig. B ed è soggetta alla forza eccentrica P (newton) nell estremo libero. DATI: L = 4000 mm, R = 00 mm (misurato alla circonferenza media), t = 15 mm, e = 50 mm, s = ±50 Mpa. Si chiede: a. esprimere in funzione di P le azioni interne nella trave (V x, M y e T, momento torcente). [3] b. Calcolare il momento d inerzia I x,= I yy = I ss rispetto ad un asse diametrale, il raggio r del cerchio centrale d inerzia e spiegare perché ogni asse diametrale è principale. [5] c. Nota la tensione ammissibile, determinare il massimo valore che può assumere P e, quindi, M y, eseguendo la verifica per s z. [4] d. Tracciare lungo x il diagramma della tensione normale s z causata da M y. [] Esercizio 3 (punti 16) - Per lo stato tensionale di figura (valori assoluti in Mpa): 3a. si indichi quali sono le componenti di tensione s 11, s, s 1 = s 1 e si scriva la matrice delle tensioni. 3c. Si calcolino le tensioni principali e se ne determinino le direzioni. 3d. Si determini il vettore sforzo fr n attraverso le sue componenti s e t per la giacitura formante un angolo a = 45 con x 1. 3e. Si tracci il cerchio di Mohr, n nt indicando su di esso le direzioni principali ed punto ( ) n t nt [3+4+3+3+3] s,. 3f. Si ricavi la formula per s n. 13
ESERCIZIO 1 TEMA C a. La struttura è isostatica non labile: la struttura è costituita dall arco a 3 cerniere non allineate ABC con vincolo a terra in A e cerniera in C sulla mensola DC, elemento di per sé ben vincolato. b. c. È immediato dire che la reazione R A è nulla: sulla trave AB non agiscono carichi verticali ed il ql pattino in B non ne trasmette. Allora R D =. H A + HD - ql = 0; ql equilibrio alla rotazione della strutturarispettoa RDL + M D - 3 ql L - = 0 ql M D =. 3 ql ql ql Equilibrio alla rotazione di ABC rispetto a C: H A L - - = 0 H A = ql H D =. 6 3 3 ql ql Equilibrio alla rotazione di BC rispetto a C: MC - = 0 MC =. 6 6 qx' V AB ( x') = ql - qx' si annulla per x ' = L. M ( ') ' max. 3 3 AB x = qlx - M = ql 3 9 14
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TEORIA E PROGETTO DI COSTRUZIONI E STRUTTURE: ARCHITETTURA AMBIENTALE SEZIONE A APPELLO No. 1//01 Struttura: punti Tema D Risolvere gli esercizi contrassegnati con X. ESERCIZIO (punti 15) - Sia data la sezione di figura (la sezione non è in parete sottile) soggetta al momento flettente negativo M y incognito (momento che tende le fibre superiori). DATI: a = 18 cm, t = 6 cm, a = 45, f y = ±0.15 newton/cm, g = 1.5. Si chiede: a. determinare la posizione d del baricentro G sull asse x e spiegare perché il gli assi x ed y sono principali d inerzia. [3] b. Calcolare i momenti d inerzia I xx, I yy, I ss, i semiassi r x e r y dell ellisse centrale d inerzia. [7] c. Note la tensione di snervamento f y ed il coefficiente di sicurezza g, determinare il massimo valore che può assumere M y, eseguendo la verifica per s z. [3] d. Tracciare il diagramma della tensione normale s z lungo x. [] ESERCIZIO 3 (punti 15) - 3a. Dimostrare la prima formula di Cauchy per lo stato di tensione in un punto P di un corpo solido. [4] 3b. Calcolare le tensioni principali per lo stato di sforzo s 11 = -15.0, s =, s =.5 (Mpa) e le deformazioni e 11, e, e 1 con E = 50000 Mpa, n = 0.5; tracciare il 4 1 - cerchio di Mohr ed indicare su esso le direzioni principali. [7]. 3c. Lavoro, energia potenziale e piano inclinato: il corpo materiale puntiforme di peso G = 10000 newton è spostato da A a B in cima al piano inclinato alla quota z = 10 m. Qual è l energia potenziale gravitazionale che assume in B? Definire il lavoro di una forza. Esprimere il lavoro che la forza orizzontale F H deve compiere per spostare il corpo a A a B e trovarne il valore. [4] 19
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ESERCIZIO 3: vedere Esercizio 3 del tema B. 1