Studio di funzione Si dice che una variabile dipendente y è funzione di una variabile indipendente quando esiste un legame di natura qualsiasi che ad ogni valore di faccia corrispondere uno e uno solo valore di y. y = f() Esempio: retta y = m + q Studio di funzione: i passi iniziali Determinare il campo di esistenza Intersezione con gli assi Valori agli estremi del campo di esistenza Segno della funzione
Determinazione del campo di esistenza Si definisce campo di esistenza (dominio) di una funzione l insieme dei valori che posso assegnare alla variabile indipendente in modo da poter calcolare il valore della variabile dipendente y. Per determinare il campo di esistenza dobbiamo considerare tre casi: funzione fratta: devo porre il denominatore diverso da zero funzione con radicale ad indice pari: il termine sotto radice deve essere maggiore o uguale a zero funzione logaritmica: l'argomento del logaritmo deve essere strettamente maggiore di zero Esempi: y = + 1 2 y = 3 2 Poiche' la radice è definita solo per valori non negativi del radicando, il termine sotto radice dovrà essere maggiore od uguale a zero 3 > da cui segue > 3
Intersezione con gli assi Si tratta di calcolare le coordinate dei punti in cui la funzione incontra gli assi cartesiani, ovvero Asse y: l equazione è X= Asse : l equazione è Y= Esempio y = 2 4 B Y = ^ 2-4 Intersezione con asse y si ottiene mettendo = Ovvero y = 4 Y 15 1 Intersezione con asse si ottiene mettendo y= 2 4 = da cui ricaviamo = ±2 5-4 -2 2 4-5 X -1
Valore agli estremi del campo di esistenza Se il dominio di esistenza coincide con l insieme dei numeri reali basta verificare il limite della funzione a + e a (per che tende a ± ) y = lim f y = lim f + Se la funzione non è definita in un punto bisogna calcolare il limite (destro e sinistro) per che tende a lim f Esempio: y = 2 y = y = lim + lim 2 = + 2 = y y=/(-2) 4 2-2 -1 1 2 3 4 5-2 -4
Segno della funzione Serve per individuare in quali regioni del piano passa la funzione. A tale scopo si pone y> e si vede per quali valori di è soddisfatta questa relazione, la funzione sarà positiva nell intervallo in cui è soddisfatta la diseguaglianza y> e negativa dove non è soddisfatta. Esempio: B y = 2 4 poniamo y > ovvero 2 4 > questa diseguaglianza è soddisfatta per > 2; < 2 Y Y = ^ 2-4 15 1 5-4 -2 2 4-5 X -1
Alcuni particolari tipi di funzione Discutiamo alcune funzioni particolari: funzioni periodiche funzioni pari e dispari Funzione periodica: f = f + h Funzione pari: f = f y = 2 Funzione dispari: f = f y = 3 B B Y = ^ 2 Y = ^ 3 Y 2 Y 8 6 15 4 2 1-4 -2 2 4-2 X 5 X -4-6 -4-2 2 4-8
Funzioni pari e dispari Come determinare graficamente la parità di una funzione: Per verificare se una funzione è pari o dispari graficare f, f, f e osservare se f = f( ) (la funzione è pari), oppure f = f( ) (la funzione è dispari)
Alcune operazioni di simmetria Data una funzione f() cosa rappresentano le seguenti funzioni f f f = 2 2 4 f f f f f() -f() y 3 2 f() f(-) y 25 2 1 15-4 -2 2 4 6 8-1 1 5-2 -4-2 2 4 6 8-3 -5-1
Alcune operazioni di simmetria Data una funzione f() cosa rappresentano le seguenti funzioni f + k f +k f = 2 2 4 f f 3 f f 3 y 6 f() f()-3 y 3 5 25 f() f(-3) 4 2 3 2 15 1 5 1-4 -2 2 4 6 8-1 -4-2 2 4 6-5 -1
Esercitazione Siano date le seguenti 3 funzioni: y = 1 2 y = 3 3 y = 42 8 2 4 Per ogni funzione: _disegnare il grafico scegliendo opportunamente l intervallo delle a partire dagli zeri e dal campo di esistenza; _determinare graficamente le intersezioni con gli assi; _verificare che gli zeri determinati graficamente sono corretti riportando per il confronto in una tabella i valori determinati graficamente e i valori degli zeri teorici; _verificare graficamente se si tratta di una funzione pari o dispari o nessuno dei due casi. Scrivere una relazione con Word in cui riporterete i grafici generati per ciascuna funzione, le formule utilizzate, le intersezioni con gli assi e la tabella degli zeri, il campo di esistenza e il valore della funzione agli estremi del campo di esistenza, lo studio effettuato per determinare la eventuale parità della funzione. Nella relazione giustificare la scelta della e la scelta degli estremi in y del grafico.