Verifica n.1 disegnare curve, con valori assoluti e radicali luoghi geometrici (con retta, parabola, circonferenza) funzione omografica parabola aree (ellisse, segmento parabolico) formule goniometriche: somma e sottrazione, duplicazione ---------------------------------------------------------------------------------------- Esercizi assegnati prima della verifica: 1) Disegnare le seguenti curve: a) y = 4 b) y = 9 ) Disegnare sullo stesso piano cartesiano le curve di equazione y = 4 + 4 e 4 + y 4y = 0. Determinare l area della regione di piano delimitata dalle due curve. 3) Determinare il punto della conica di equazione + y 0 y + 1= 0 più vicino a P(-3; 5). 4) Sia A(; 0), B(4; k) e P il punto di intersezione tra la retta =k e la perpendicolare per B alla retta AB. Determinare l equazione del luogo geometrico descritto da P al variare di k. [Sol: + 8 y = ] 5) Le rette r ed s hanno equazione rispettivamente +my = 1 e m y =, dove m è un parametro reale. Determinare l equazione del luogo geometrico descritto dal punto di intersezione tra le due rette al variare di m. 6) Determinare il luogo geometrico dei centri delle funzioni omografiche del fascio k k y = [Sol. y +k = ] 3 7) Determinare l area della parte di piano compresa tra la parabola di equazione y = e y = + + 9 4 [Sol: 45]
3A Matematica - 7/01/016 ( a + ) + a 1) Determinare la funzione omografica del fascio y = passante per il punto P ( ;0), e a + 1 disegnarla. Determinare il luogo geometrico dei centri delle funzioni omografiche del fascio, e disegnarlo. [0 punti] ) Disegnare l ellisse di equazione 9 + 36 = 0 Determinare la parabola passante per l origine degli assi ed avente vertice nel punto V(-; 1). Determinare l area delle due regioni finite di piano delimitate dall ellisse e dalla parabola. [0 punti] 3) Disegnare le curve di equazione: a) y = + 3 b) y = 4 [0 punti] 4) Determinare le equazioni delle tangenti alla circonferenza + y + 4 6y = 0nei suoi punti di intersezione con l asse delle ascisse. [1 punti] Semplificare le seguenti espressioni, indicando i passaggi: α 5) 1 cos sinα (cos α ctgα) sinα + [10 punti] 6) cos α + sin α + cosα 3 6 + [8 punti] cos( + α) cos( α) + sin α 7) (1 tgα) cos( α) + cos α + sin( + α) sin( α) [10 punti] 8) 3 5 sen α cos α 6 3 α 3 3 tg α tg + α 4 4 sen [10 punti]
Verifica n. Retta / Parabola / Circonferenza Equazioni e disequazioni goniometriche Esercizi di geometria analitica assegnati prima della verifica: Determinare l equazione della circonferenza che passa per i punti A(1; -1), B(0; ), C(-3; 1). Sol: + + 4=0 Determinare l equazione delle circonferenze passanti per A(0;), B(;) e tangente alla retta = 7. Sol: + 4=0 + 5 +6=0 Determinare l equazione della circonferenza passante per (0;0), per (-1;1) e che stacca sulla retta + =0 una corda lunga. Sol: 4 +4 3 1 =0 Determinare l equazione della circonferenza concentrica a quella di equazione + 8 +=0 e tangente alla retta +=0. Sol: + 8 4=0 Determinare l equazione di una retta parallela all asse y in modo che la corda staccata su di essa dalla circonferenza di equazione + 8 8=0 abbia lunghezza 8. Sol: =1 oppure =7 Determinare l equazione di una retta passante per (; 7) sulla quale la circonferenza di equazione + +8 =0 stacca una corda di lunghezza 4 3. Sol: 3 4 +=0 oppure 15 8 +6=0 Esercizi per il corso di recupero: 1) Determinare l'equazione in forma esplicita della retta perpendicolare a y = 4 + 5e passante per A(-;3) ) Determinare l'equazione in forma esplicita della retta parallela a y 3 = 0e passante per l origine degli assi. 3) Si considerino le due rette in forma implicita: r : + y = 0 s : 3y 3 = 0 a) Scrivere le rette in forma esplicita. b) Determinare il loro punto di intersezione 4) a) Determinare il punto C della retta y = equidistante da A(4;) e da B(1;1). b) Determinare il punto D tale che il quadrilatero ACBD sia un rombo. c) Determinare l area del rombo. 5) Tra tutte le rette parallele a = + 1 y trovare (se esistono) quelle che distano 5 dal punto P(3;). 6) Un rettangolo ha tutti i vertici nel primo quadrante. Due vertici consecutivi sono i punti A(1;) e B(3;1). Trovare gli altri due vertici sapendo che l area del rettangolo è 10 5. 7) Dato il punto P(;0) trovare i punti A e B sulla retta y= che formano con P un triangolo isoscele di base AB e lato 4. 8) Trovare i punti (se esistono) della parabola di equazione y = 6 + 13 equidistanti da A(0;) e B(4;0). 9) a) Scrivere l equazione della parabola, con asse parallelo all asse y, avente vertice in V(5/; 9/4) e passante per A(1;0). b) Determinare l ulteriore punto H d intersezione tra la parabola e la retta passante per A parallela alla bisettrice del primo e terzo quadrante. c) Determinare l area del triangolo AVH. 10) Trovare la lunghezza del segmento individuato sulla retta y = 3 3 dalla parabola y = 3 + 5.
11) Determinare gli eventuali punti sulla parabola di equazione y = 3 4 distanti 5 dalla retta y = + 1 1 a) Scrivere l equazione della parabola verticale passante per A(-4;0) e avente vertice in V(-;). b) Scrivere l equazione della retta parallela all asse sulla quale la parabola stacca una corda di lunghezza uguale a. 13) Determinare l equazione della circonferenza con centro sulla retta y =, passante per A(;0) e B(-;4) 14) Determinare l equazione della retta tangente alla circonferenza + y 4 0 = 0 nel suo punto di coordinate (5;1) 15) Si consideri il fascio di circonferenze di equazione + y + ( k ) + ky + k 3 = 0 b) con centro sull asse Y c) passanti per P(1;0) d) con raggio minore di 16) Si consideri il fascio di circonferenze di equazione + y ( k + 4) + ky + k + 3 = 0. b) con centro sulla retta y = c) con raggio uguale a 5 d) che non intersecano l asse Y 17) Determinare il punto della circonferenza di equazione + y 4 + y + 3 = 0 più vicino a P(4;-3) 18) Determinare l equazione della circonferenza con centro in C(-;-1) e tangente alla retta y = 3 + 1 19) Determinare l equazione della retta r tangente alla circonferenza + y 4 0 = 0 nel suo punto di coordinate (5;-5). Determinare l equazione dell altra tangente parallela ad r 0) Si consideri il fascio di circonferenze di equazione + y 4k + ( k ) y + = 0 b) con centro sulla bisettrice del primo e terzo quadrante c) con raggio uguale a 6 d) che staccano una corda di lunghezza 7 sull asse delle X 1) Si consideri il fascio di circonferenze di equazione ( k + 1) + ( k + 1) y 4( k ) y = 0 a) che racchiudono un area uguale a b) che staccano sull asse Y una corda di lunghezza 4 c) Determinare per quale valore di k si ottiene dal fascio non una circonferenza ma una retta. d) Sia γ la circonferenza che si ottiene per k=0. Determinare il punto di γ più vicino a P(3;1). ) Determinare l equazione della circonferenza avente un diametro di estremi A(-3; 4) e B(1; 8). Determinare la circonferenza con centro in A e raggio uguale a 4. Determinare gli eventuali punti di intersezione tra e. 3) Si consideri il fascio di circonferenze di equazione + y ( k + 3) + ( k ) y k 3 = 0. Determinare gli eventuali valori di k per cui si ottengono circonferenze: a) con centro sulla retta y = b) passanti per il punto P(3; -1) c) che non intersecano l asse d) che staccano una corda di lunghezza 37 sulla retta di equazione y = 1
3A Matematica - 0/03/016 1) Determinare l equazione della circonferenza passante per i punti A(-1; 3), B(-4; 0) e con centro sulla retta di equazione y = 4. Determinare l equazione della retta t, tangente alla circonferenza e passante per il punto B. [0 punti] ) Si consideri il punto C(3; -). Determinare sulla retta di equazione y = 3 due punti A e B che abbiano distanza 5 da C. Determinare l area del triangolo ABC. [0 punti] 3) Risolvere le seguenti equazioni: a) sin + sin = 0 [4 punti] b) cos + cos + 1 = 0 [4 punti] c) cos = sin + sin 4 [6 punti] d) 4cos ( ) + 8sin + 5 = 0 [6 punti] e) sin + 7cos + 3sincos = 4 [8 punti] 4) Risolvere le seguenti disequazioni: a) cos 0 [6 punti] b) cos 3sin > 0 [6 punti] 5) Risolvere le seguenti disequazioni con compreso nell intervallo [0, ]: sin a) 3 sin4 + cos4 < [8 punti] b) > 0 1 tan [1 punti] --------------------------------------------- Verifica n.3 Equazioni e disequazioni goniometriche Trigonometria