1 COMPITI PER IL RECUPERO DELLA CARENZA FORMATIVA (E RIPASSO) MATEMATICA III - VE
Scheda 1: Fondamenti di geometria analitica 1. Determina il punto P dell asse y che forma con A(; ) e B(; ) un triangolo isoscele sulla base AB.. Determina per quali valori di a il punto medio del segmento AB, avente per estremi i punti A(a 1; a) e B(5 a; 1 a), ha ascissa uguale all ordinata. A) a = B) a = C) a =. Di un parallelogramma ABCD si conoscono il vertice A( ; ) e i punti medi M(; 1) ed N( 1; 0), rispettivamente del lato AB e del lato AD. Determina le coordinate dei vertici B e C e l area del parallelogramma.. Determina per quali valori di k il punto P( k; k + k ) appartiene al secondo quadrante. a) k < 0 b) k < c) k > 5. Nel piano cartesiano i punti A(1; 1), B(; 0), C(; ) e D(0; ) sono vertici di: A. un rettangolo B. un quadrato C. un rombo 6. Determina l estremo B del segmento AB, noto l estremo A(; 9) e il punto medio M(6; 6) di AB. 7. Dati i punti A( ; ), B(; k), C(h ; ), D( ; ), determina h e k in modo che il quadrilatero ABCD sia un parallelogramma. Determina poi la sua area. 8. Determina perimetro e area del triangolo ABC di vertici A( 1; ), B(; 1), C(; ). 9. Determina le coordinate del punto A', simmetrico di distanza tra A e A'. A ; 1 rispetto a 1 P ;. Determina quindi la 10. Determina il punto P, appartenente al semiasse delle ascisse negative, la cui distanza dal punto 1 Q ; 0 sia uguale a. 11. Il triangolo di vertici A( 1; 1), B(; 0), C(; 6) è rettangolo. Vero Falso 1. Stabilisci quali delle seguenti affermazioni sono VERE: A) Se A ha coordinate intere e B ha coordinate intere, anche il punto medio di AB ha coordinate intere. B) Se P' è il simmetrico di P rispetto all asse x, allora il punto medio di PP' appartiene all asse x. C) Se il punto medio del segmento AB è l origine, allora A e B sono simmetrici rispetto all asse x o rispetto all asse y. D) Se P' è il simmetrico di P rispetto all asse y, allora il punto medio di PP' appartiene all asse y.
E) Se A è nel primo quadrante e B è nel primo quadrante, anche il punto medio di AB è nel primo quadrante. Scheda 1: Soluzioni 1.. A 7 P 0; 10. B(6; 0); C(8; ); area = 8. C 5. C 6. B(8; ) 7. h =, k = ; area = 18 8. Perimetro = + 1 + 5; area = 15 9. A 5 ; 5 ; d = 1 10. 8 P ; 0 11. Vero 1. B-D-E Scheda : Piano cartesiano: retta 1. Ogni retta della prima colonna è perpendicolare a una retta della seconda colonna. Riordina la prima colonna in modo da ottenere le associazioni corrette. a) 6x y 9 = 0 a) x = 10 b) y = x b) y = x c) y =,5x + 1,5 c) x + y + 1 = 0 d) y = d) y = 0, x + 0,5 e) x + = 0 e) y = 0 f) x = y + 9 x,5y + = 0. Determina le coordinate dei vertici del parallellogramma avente per lati le rette di equazioni: x y = 0; x y + = 0; x + y 1 = 0; x + y + = 0.. Di un triangolo ABC si sa che A(; 1) e C(; ) e che la retta AB ha equazione y = x + 5. Qual è l equazione della retta che congiunge i punti medi di AC e BC? a) y = x + 8 b) y = x + 8 c) y = x. Determina per quale valore di a il punto P(a + 1; a) appartiene alla retta di equazione x + y 1 = 0. 5. Scrivi l equazione della retta r passante per P(0; ) e parallela alla retta s di equazione x y + 5 = 0. Determina quindi la distanza tra la retta r e la retta s.
6. Scrivi le equazioni delle rette rappresentate nella figura. 7. Determina l area del triangolo formato dal grafico della funzione y = x + con gli assi cartesiani. 8. Determina l espressione analitica della funzione lineare a tratti di cui è rappresentato il grafico. 9. Una funzione lineare è definita da un equazione in cui il coefficiente angolare è. L angolo che la retta forma con il semiasse positivo delle ascisse è acuto. Vero Falso 10. Determina per quale valore di k le rette di equazioni x y + 1 = 0 e 9x + ky + 1 = 0 sono parallele. 11. Dati i punti A(0; 1) e C(; 1), determina i restanti vertici del rombo ABCD, di diagonale AC, sapendo che B appartiene alla bisettrice del primo e terzo quadrante. Scheda : Soluzioni 1. D-C-F-A-E-B. (1; 0), ( 1; ),. A. a = 0 10 ;, 8 ; 5. 0 d = 0 6. Retta rossa: x = ; retta verde: y = ; retta blu: y = x
7. 1 8. 9. Falso 10. k = 11. y = x 1 y = x < x y = x altrove B ; ; 8 D ; 5 Scheda : Piano cartesiano: parabola 1. Scrivi l equazione della parabola, con asse parallelo all asse y, che ha vertice in V(; ) e passa per P(0; 0).. Determina il fuoco e la direttrice della seguente parabola: y = x +. Scrivi l equazione della retta tangente alla parabola di equazione x = y 6y 1 nel suo punto di intersezione con l asse x.. Nella seguente figura sono stati tracciati i grafici delle parabole di equazioni y = a 1 x, y = a x e y = a x. Quale delle relazioni tra i coefficienti a 1, a, a è corretta? A. a <0< a 1 < a B. a < a < 0 < a 1 C. a < a < a 1 < 0 D. 0 < a < a < a 1
5. Che cosa si può dire delle equazioni delle parabole rappresentate in figura? 6 1. Hanno tutte lo stesso coefficiente di x.. Hanno tutte lo stesso termine noto.. Nessuna delle altre risposte è corretta. Hanno tutte lo stesso coefficiente di x. 6. Una parabola ha come asse la retta di equazione x = e passa per il punto ( ; ); quale dei seguenti è sicuramente un punto della parabola? a) Nessuno degli altri b) (7; ) c) (5; ) d) (6; ) 7. Determina l equazione della parabola rappresentata in figura: 8. Determina la misura della corda AB staccata dalla retta di equazione y = x + sulla parabola di equazione y = x. Scheda : Soluzioni 1. y = x x
... A 5. C 6. B F 0; 1 1 y = x 6 6 ; direttrice: 7. 1 5 y = x + x 5 y = 7 8. AB = 5 Scheda : Piano cartesiano: circonferenza 1. Determina per quali valori di k l equazione x + y kx + = 0: a) rappresenta una circonferenza con il centro sull asse y; b) rappresenta una circonferenza passante per P(1; 1).. Determina l area del quadrilatero avente per vertici i punti di intersezione della circonferenza x + y x = 0 con gli assi cartesiani.. Quale delle seguenti equazioni del tipo x + y + ax + by + c = 0 NON rappresenta una circonferenza? A) x + y x y = 0 B) x + y x y 7 = 0 C) x + y x y +7 = 0 D) x + y x y + = 0. Associa, riordinando la seconda colonna, a ciascun punto della prima colonna l equazione nella seconda colonna che esprime il passaggio della circonferenza di equazione x + y + ax + by + c = 0 per tale punto: a) P O (0; 0) + a + c = 0 b) P(0; ) 8 a + b + c = 0 c) P( ; ) c = 0 d) P(; 0) b + c = 0 5. Scrivi l equazione della circonferenza concentrica alla circonferenza di equazione x + y x + 6y = 0 e passante per P(; ). 6. Scrivi l equazione della circonferenza in forma normale che abbia centro in 5 C ; e raggio. 7. Determina quali di queste affermazioni sono VERE: A)Esistono sempre due rette orizzontali tangenti a una circonferenza. B)Se la distanza di una retta dal centro della circonferenza di equazione x + y x = 0 è, allora la retta è esterna alla circonferenza. C)Una retta verticale non può essere tangente a una circonferenza. D)Se la distanza di una retta dal centro della circonferenza di equazione x + y x 5 = 0 è, allora la retta è tangente alla circonferenza.
Scheda : Soluzioni 1. a) Impossibile; b). 10. C. D-C-A-B 5 k = 5. x + y x + 6y + 1 = 0 6. x + y 10x + 6y + 9 = 0 7. A-B-D 8 Esercizi preliminari alla scheda 5 Vero o falso? 1. l equazione x + = 5 è impossibile V F. l equazione x = 5 è impossibile V F. l equazione x +1 = x equivale a x 1 = x + V F. l equazione x + = 1 ammette due soluzioni distinte V F 5. l equazione x = 1 ammette due soluzioni distinte V F 6. l equazione x = 0 ammette due soluzioni distinte V F Risolvi le seguenti equazioni. 7. x + x = x 1 8. x 1 = x 9. x x = x 10. x 1 x 1 = Scheda 5: Disequazioni irrazionali 1. Determina le condizioni di esistenza per la seguente disequazione: x x + 1 + > x 1 x.. Completa correttamente la soluzione del seguente sistema: x < 1 x x x + > + 1. Trova la soluzione della seguente disequazione irrazionale: x x > x +.. Trova la soluzione della seguente disequazione irrazionale: 5 x + x.
9 5. Trova la soluzione della seguente disequazione irrazionale: x x + < 1 x. 6. Trova la soluzione della seguente disequazione irrazionale: x x + 5 < x. 1 1 1 7. Trova la soluzione della seguente disequazione irrazionale: x x x x. 8. Trova la soluzione della seguente disequazione irrazionale: x 1 > 0 x + 8. x x < x x. 9. Trova la soluzione della seguente disequazione irrazionale: + 1 1 Scheda 5: Soluzioni 1. 0 x < 1. < x. Impossibile. 5. 1 9 x 1 < x x 6. Impossibile 7. 5 x < 0 < x < 8. < x < 1 x > 1 9. x > 1 Scheda 6: Disequazioni irrazionali e con valore assoluto 1. Trova la soluzione della seguente disequazione con valori assoluti:. Trova la soluzione della seguente disequazione con valore assoluto: x x + 1 x 1. x + 1 x.. Trova la soluzione della seguente disequazione con valore assoluto: x 1 8.. Trova la soluzione della seguente disequazione con valore assoluto: x x+ < x x. 5. Trova la soluzione della seguente disequazione con valore assoluto: x x+1 > x.
10 6. Trova la soluzione della seguente disequazione con valore assoluto: x x x 1. 7. Trova la soluzione della seguente disequazione con valore assoluto: x x 1. Scheda 6: Soluzioni 1. x R. 1 x 5 x. x. 5. x < 1 < x < x > 6. 7. x 1 x x Scheda 7: Funzioni circolari, Formule goniometriche 1. Calcola i valori delle restanti funzioni goniometriche di α: sin α = < α <. Semplifica la seguente espressione goniometrica: sin ( x) 1 sin ( + x) 7 + + sin( x) cos( + x) sin( + x). Semplifica la seguente espressione goniometrica: [( a b)cos180 + ( a + b)sin 90 ] + b sin 70. Semplifica la seguente espressione goniometrica: (sin15 cos15 ) (sin150 cos150 ) (sin60 cos60 ) + (sin5 cos5 ) (sin10 cos10 ) 5. Calcola i valori delle restanti funzioni goniometriche di α. 7 cosα = 8 < α < 6. Trasforma la seguente espressione in un altra equivalente che contenga solo sinα: cos α cos α 7. Semplifica la seguente espressione goniometrica: [ 1 + tan( α ) tan( + α ) cos ] sin α cos( α ) cos( + α )
11 8. Determina per quali valori di k esiste un angolo α tale che cos α = k 1. 9. Semplifica la seguente espressione goniometrica: sin cos sin 6 6 cos tan tan Scheda 7: Soluzioni 1. 5 co s α = ; 5 tan α = 5. sinx cosx. b 5. 15 sin α = ; 15 tan α = 8 7 6. s i n s i n 7. cos α α α 8. k 9. Scheda 8: grafici di funzioni Costruisci il grafico delle seguenti funzioni: y = x x +5 y = x x +5 y = sinx y = sin( x + ) y = sinx + y = cosx + 1
Scheda 9: goniometria 1 1. Semplifica la seguente espressione goniometrica: 7 7 sin + α + cos(6 α) + tan + α cos α + sin + α + sin ( α ). Risolvi la seguente equazione: sin x =.. Traccia il grafico della funzione y = sinx e quello della retta di equazione y = nell intervallo [, ], quindi determina algebricamente le coordinate dei punti A e B di intersezione tra retta e funzione goniometrica.. Quali delle seguenti sono soluzioni dell equazione: cotx = 0? A) + k B) 5 + k C) + k D) 5 + k 5. Determina per quale valore di k l equazione ksinx cosx = sin x + cos x ammette come soluzione x =. 6. Determina il dominio (campo di esistenza) della seguente funzione reale di variabile reale: 1 1 y = + sin x cos x. 7. Risolvi la seguente equazione: 8cosx + = 0. 8. Risolvi la seguente equazione: sin( x) + sinx = 1. 9. Risolvi la seguente equazione: tan x = sin + cos. 6 10. Risolvi la seguente equazione: sin x cos x = 0. 11. Quale tra le seguenti è la soluzione dell equazione 5sinx = 6 nell intervallo [0, ]? A) arcsin 1 B) arcsin 5 6 C) arcsin 6 5 D) Nessuna
Scheda 9 SOLUZIONI 1 1. (1 + cosα).. x = + k x = + k 1 A ; ; 6 5 A ; 6. B-C 5. k = 6. k x 7. x = + k x = + k 8. 7 11 x = + k x = + k 6 6 9. x = + k 10. x = + k 6 11. D Scheda 10: trasformazioni geometriche 1. Dati i punti A(1, ), B(, 0), C( 1, ), determina: a. le coordinate dei punti A', B', C' rispettivamente simmetrici di A, B e C rispetto al punto P(, 1) ; b. il perimetro e l area dei triangoli ABC e A B C, dopo averli rappresentati. Verifica inoltre che i due triangoli hanno lo stesso perimetro e la stessa area. Che cosa si può dedurre? c. le equazioni della simmetria rispetto alla retta r passante per B e parallela all asse y; determina inoltre il punto Q simmetrico del punto Q( 1, ) rispetto a r; d. i vertici del corrispondente del triangolo A'B'C' nella traslazione di vettore r r v ( 1, ) ; determina inoltre, sempre nella traslazione di vettore v ( 1, ), l equazione della curva corrispondente di quella di equazione x + y = ; e. i corrispondenti di A, B e C nella omotetia di equazioni x = x y = y e trova il rapporto tra i perimetri dei due triangoli omotetici. Che cosa si osserva?
f. le equazioni della dilatazione con centro nell origine che trasforma i vertici A, B e C nei corrispondenti punti di coordinate 1 1, 1,, 0,,.. Determina l equazione della parabola corrispondente di quella di equazione y = x mediante: a. la traslazione di vettore v r ( 0, ) ; b. la simmetria rispetto all asse x; c. la simmetria rispetto alla retta y =. Scheda 11 1. Quante soluzioni ammette l equazione tanx = nell intervallo [0, ]? A) Una B) Nessuna C) Infinite D) Due. Risolvi la seguente equazione: tan x =. 6. Risolvi la seguente equazione: sin x cos x = 0.. Determina le coordinate dei punti A e B di intersezione del grafico della funzione y = sinx con la retta di equazione y = nell intervallo [0, ]. 5. Risolvi la seguente equazione: sin x cos x 1 = 0. 6. Sia α [0, ] una delle soluzioni di un equazione della forma cosx = m, con 1 < m < 1; quale dei seguenti insiemi rappresenta tutte le soluzioni dell equazione? A) [±α + k] B) [α + k] C) [α + k] D) [α + k, α + k] 1 7. Risolvi la seguente equazione: x x. tan tan + = 0 8. Risolvi la seguente equazione: sin x + sin( + x) 1 = 0. 9. Quali delle seguenti sono affermazioni VERE? A) L equazione tanx = non ha soluzioni reali B) L equazione sinx = non ha soluzioni reali C) L insieme delle soluzioni dell equazione tan x = è S = + k D) L insieme delle soluzioni dell equazione sinx = 1 è S = + k E) L equazione sinx = non ha soluzioni reali
Scheda 11 SOLUZIONI 15 1. A... 5. 6. A 7. 8. + k 9 1 1 x = + k x = + k A ;, 5 B ; 1 x = + k x = + k 1 1 x = + k x = + k 6 5 1 1 x = + k x = + k x = + k 6 6 9. B-D