Classificazione di sistemi dinamici Esercizi risolti 1 Esercizio (proposto il 16/11/2007, es. #12) Dato il sistema descritto dalle seguenti equazioni: x 1 (k +1) 2x 2 (k)+cos(u(k)) x 2 (k +1) x 1 (k) y(k) x 2 (k)+u(k) analizzare le proprietà del modello matematico, precisando se il sistema è statico o dinamico, a tempo continuo o discreto, SISO o MIMO, a dimensione finita o infinita, lineare o non lineare, tempo-variante o tempo-invariante, proprio o non proprio. Il sistema è: dinamico (il legame ingresso-uscita non è istantaneo) a tempo discreto (le equazioni di stato sono equazioni alle differenze) SISO (p #ingressi dim(u) 1,q #uscite dim(y) 1) a dimensione finita (n #variabili di stato dim(x) 2 < ) non lineare (per il termine non linearecos(u(k))) tempo-invariante (le equazioni di stato e di uscita sono a coefficienti costanti) non (strettamente) proprio (nell equazione di uscita compare l ingressou) 2 Esercizio (proposto il 02/02/2004, es. #1) Dato il sistema descritto dalle seguenti equazioni: ẋ 1 (t) x 2 (t)+3u 1 (t) ẋ 2 (t) 0.5x 1 (t)+u 2 (t) y(t) 2x 1 (t) u 1 (t) analizzare le proprietà del modello matematico, precisando se il sistema è statico o dinamico, a tempo continuo o discreto, SISO o MIMO, a dimensione finita o infinita, lineare o non lineare, tempo-variante o tempo-invariante, proprio o non proprio. c 2007 Politecnico di Torino 1
Il sistema è: dinamico (il legame ingresso-uscita non è istantaneo) a tempo continuo (le equazioni di stato sono equazioni differenziali) MIMO (p #ingressi dim(u) 2, q #uscite dim(y) 1) a dimensione finita (n #variabili di stato dim(x) 2 < ) non lineare (per il termine non linearex 1 (t) u 1 (t)) tempo-invariante (le equazioni di stato e di uscita sono a coefficienti costanti) non (strettamente) proprio (nell equazione di uscita compare l ingressou 1 ) 3 Esercizio (nuovo) Dato il sistema descritto dalle seguenti equazioni: ẋ 1 (t) t x 2 (t)+3u(t) ẋ 2 (t) 0.5x 1 (t)+u(t) y(t) 2x 1 (t) analizzare le proprietà del modello matematico, precisando se il sistema è statico o dinamico, a tempo continuo o discreto, SISO o MIMO, a dimensione finita o infinita, lineare o non lineare, tempo-variante o tempo-invariante, proprio o non proprio. Il sistema è: dinamico (il legame ingresso-uscita non è istantaneo) a tempo continuo (le equazioni di stato sono equazioni differenziali) SISO (p #ingressi dim(u) 1,q #uscite dim(y) 1) a dimensione finita (n #variabili di stato dim(x) 2 < ) lineare (le equazioni di stato e di uscita sono lineari inx 1, x 2, u) tempo-variante (per il terminet x 2 (t) avente il coefficiente non costantet) (strettamente) proprio (nell equazione di uscita non compare l ingressou) c 2007 Politecnico di Torino 2
Modellistica dei sistemi dinamici elettrici Esercizi risolti 1 Esercizio (proposto il 16/11/2007, es. #9) Si consideri il sistema dinamico elettrico riportato in figura, i cui componenti assumono i seguenti valori numerici: 10 3 H, C 10 6 F, R 1 10 3 Ω, R 2 9 10 3 Ω. i R 1 e + - v C C R 2 y Determinare le matrici A, B, C e D della rappresentazione in variabili di stato del sistema ẋ Ax+Bu, y Cx+Du, scegliendo come variabile di stato x [i, v C T e come variabile di ingressou e. Facendo riferimento alle variabili riportate nella figura seguente, i v i R R1 1 e + - i C v C C R 2 y le equazioni costitutive dei componenti con memoria (induttori e condensatori) sono: v (t) di (t) i C (t) C dv C(t) mentre le equazioni topologiche della rete elettrica sono: e(t) v (t)+v C (t) v C (t) R 1 i(t)+r 2 i(t) i (t) i C (t)+i(t) (equazione alla maglia di sinistra) (equazione alla maglia di destra) (equazione al nodo) Essendo state scelte come variabili di stato e d ingresso: [ [ i (t) x1 (t) x(t), u(t) e(t) v C (t) x 2 (t) c 2007 Politecnico di Torino 1
le equazioni di stato risultano essere: ẋ 1 (t) di (t) ẋ 2 (t) dv C(t) 1 C x 1(t) e l equazione d uscita è: v (t) e(t) v C(t) i C(t) C i (t) i(t) C 1 x 2(t)+ 1 u(t) f 1(t,x,u) x 1(t) C 1 C(R 1 +R 2 ) x 2(t) f 2 (t,x,u) y(t) R 2 i(t) R 2 v C (t) R 1 +R 2 v C (t) C(R 1 +R 2 ) R 2 R 1 +R 2 x 2 (t) g(t,x,u) Poiché i componenti hanno valori costanti, il sistema dinamico è TI con matrici: 1 0 [ 1 [ A 0 10 1 1 3 10 6 10 2, B 10 3 0 0 C C(R 1 +R 2 ) [ R 2 C 0 [ 0 0.9, D [0 R 1 +R 2 2 Esercizio (proposto il 24/11/2008, es. #12) Si consideri il sistema dinamico elettrico riportato in figura, i cui componenti assumono i seguenti valori numerici: 0.1 H, C 10 4 F, R 1 10Ω, R 2 990Ω, R 3 500Ω. R 1 R 2 R 1 R 2 i e + - v C C R 3 y Calcolare la funzione di trasferimento G(s) fra l ingresso E(s) {e(t)} e l uscita Y(s) {y(t)}. Facendo riferimento alle variabili riportate nella figura seguente, R 1 i R 2 i e + - i C v C v C R 3 y c 2007 Politecnico di Torino 2
le equazioni costitutive dei componenti con memoria (induttori e condensatori) sono: i C (t) C dv C(t) v (t) di (t) mentre le equazioni topologiche della rete elettrica sono: e(t) R 1 i(t)+r 2 i(t)+v C (t) v C (t) v (t)+r 3 i (t) i(t) i C (t)+i (t) Scegliendo come variabili di stato e d ingresso: [ [ vc (t) x1 (t) x(t) i (t) x 2 (t) le equazioni di stato risultano essere: ẋ 1 (t) dv C(t) ẋ 2 (t) di (t) e l equazione d uscita è: i C(t) C i(t) i (t) C (equazione alla maglia di sinistra) (equazione alla maglia di destra) (equazione al nodo), u(t) e(t) e(t) v C(t) C(R 1 +R 2 ) x 2(t) C 1 C(R 1 +R 2 ) x 1(t) 1 C x 1 2(t)+ C(R 1 +R 2 ) u(t) f 1(t,x,u) v (t) v C(t) R 3 i (t) 1 x 1(t) R 3 x 2(t) f 2 (t,x,u) y(t) R 3 i (t) R 3 x 2 (t) g(t,x,u) Poiché i componenti hanno valori costanti, il sistema dinamico è TI con matrici: 1 1 [ 1 [ A C(R 1 +R 2 ) C 10 10 1 R 4, B C(R 1 +R 2 ) 10 3 10 5000 0 0 C [ 0 R 3 [ 0 500, D [0 e la funzione di trasferimento è: G(s) C(sI A) 1 B +D [ 0 500 [ s+10 10 4 1 [ 10 +[0 10 s+5000 0 [ 0 500 [ [ 1 s+5000 10 4 10 (s+10)(s+5000)+10 5 10 s+10 0 50000 s 2 +5010s+150000 c 2007 Politecnico di Torino 3
3 Esercizio (proposto il 02/02/2004, es. #2) Si consideri il sistema dinamico elettrico riportato in figura, in cui compare un componentez N avente caratteristica statica non lineare: v Z (t) α i Z (t)+β i 3 Z (t). i R i Z v Z Z N C v C i Scrivere le equazioni di stato del sistema, scegliendo come variabile di statox [i, v C T e come variabile di ingressou i. Facendo riferimento alle variabili riportate nella figura seguente, i R i Z v i C v Z C Z N v C i le equazioni costitutive dei componenti con memoria (induttori e condensatori) sono: v (t) di (t) i C (t) C dv C(t) mentre le equazioni topologiche della rete elettrica sono: v C (t) v (t)+v Z (t) i(t) i (t)+i C (t) (equazione alla maglia) (equazione al nodo) Essendo state scelte come variabili di stato e d ingresso: [ [ i (t) x1 (t) x(t), u(t) i(t) v C (t) x 2 (t) ed osservando chei Z (t) i (t) x 1 (t), le equazioni di stato risultano essere: ẋ 1 (t) di (t) v (t) v C(t) v Z (t) x 2(t) α i Z(t)+β i 3 Z (t) α x 1(t) β x3 1 (t)+ 1 x 2(t) f 1 (t,x,u) ẋ 2 (t) dv C(t) i C(t) C i(t) i (t) C 1 C x 1(t)+ 1 C u(t) f 2(t,x,u) c 2007 Politecnico di Torino 4
Modellistica dei sistemi dinamici meccanici Esercizi risolti 1 Esercizio (proposto il 10/02/2003, es. #4) Nel sistema dinamico meccanico in rotazione riportato in figura, due corpi puntiformi (aventi momenti d inerzia J 1 e J 2 e posizioni angolari θ 1 e θ 2 ) sono collegati fra loro mediante uno smorzatore con coefficiente di attrito viscoso β. Il corpo J 1, su cui agisce una coppia esterna C, è collegato ad una parete fissa per mezzo di una molla torsionale con elasticità K. Ognuno dei due corpi è soggetto ad una coppia di attrito, caratterizzata rispettivamente da un coefficiente di attrito viscoso equivalenteβ 1 eβ 2. K C θ 1 β θ 2 J 1 J 2 Scrivere le equazioni del moto dei due corpi puntiformi. β 1 β 2 equazione del moto del corpo puntiforme d inerziaj 1 è pari a: [ J 1 θ1 (t) C(t) K(θ 1 (t) 0)+β( θ 1 (t) θ 2 (t))+β 1 ( θ 1 (t) 0) Kθ 1 (t) (β +β 1 ) θ 1 (t)+β θ 2 (t) C(t) J 1 θ1 (t)+(β +β 1 ) θ 1 (t)+kθ 1 (t) β θ 2 (t) C(t) mentre l equazione del moto del corpo puntiforme d inerziaj 2 è pari a: [ J 2 θ2 (t) β( θ 2 (t) θ 1 (t))+β 2 ( θ 2 (t) 0) β θ 1 (t) (β +β 2 ) θ 2 (t) J 2 θ2 (t)+(β +β 2 ) θ 2 (t) β θ 1 (t) 2 Esercizio (proposto il 21/02/2003, es. #6) Dato il sistema riportato in figura, in cui F(t) è la forza applicata al punto materiale di posizioney 0 (t), calcolare la funzione di trasferimentog(s) fraf(s) e la posizioney m (s). F K m β y 0 y m c 2007 Politecnico di Torino 1
equazione del moto del corpo puntiforme di massamèpari a: mÿ m (t) [K(y m (t) y 0 (t))+β(ẏ m (t) 0) Ky m (t)+ky 0 (t) βẏ m (t) mentre l equazione del moto del punto materiale di posizioney 0 (t) è pari a: 0ÿ m (t) 0 F(t) K(y m (t) y 0 (t)) F(t) Ky m (t)+ky 0 (t) Per determinare la funzione di trasferimento G(s), è sufficiente trasformare nel dominio di aplace le due equazioni del moto, ipotizzando condizioni iniziali nulle: ms 2 y m (s) Ky m (s)+ky 0 (s) βsy m (s) (ms 2 +βs+k)y m (s) Ky 0 (s) 0 F(s) Ky m (s)+ky 0 (s) Ky 0 (s) F(s)+Ky m (s) ed esplicitare quindi il rapporto fray m (s) ed F(s), sostituendo un equazione nell altra: (ms 2 +βs+k)y m (s) Ky 0 (s) F(s)+Ky m (s) (ms 2 +βs)y m (s) F(s) G(s) y m(s) F(s) 1 ms 2 +βs 3 Esercizio (proposto il 30/01/2002, es. #2) Un corpo puntiforme di massa M è collegato ad una cerniera mediante un asta rigida di lunghezza l e massa trascurabile, la cui posizione angolare è individuata dall angolo θ(t). Il pendolo così costituito è libero di muoversi vincolato in un semipiano orizzontale ( π/2 θ π/2) perpendicolare alla direzione su cui agisce il campo gravitazionale. Sulla massam agisce una forzaf(t) in direzione orizzontale e verso indicato nella figura sottostante. Sulla cerniera si originano una coppia di attrito viscoso, caratterizzata dal coefficiente β, ed una coppia elastica, caratterizzata dal coefficiente K. a forza F(t) e la velocità angolare θ(t) del pendolo costituiscono rispettivamente l ingresso e l uscita del sistema. F(t) M g & 0 θ O β, K Determinare il modello matematico in variabili di stato di tale sistema dinamico, scegliendo come variabile di stato x(t) θ(t), θ(t) e considerando i seguenti valori numerici [ T dei parametri: M0.2 kg, l0.5 m, β0.1 Nms/rad,K0.3 Nm/rad. c 2007 Politecnico di Torino 2
Poiché il campo gravitazionale è perpendicolare al piano su cui si muove il sistema dinamico, il contributo della forza peso è nullo ai fini dell equazione del moto del pendolo, che è data da: [ J θ(t) T F (t) K(θ(t) 0)+β( θ(t) 0) lf(t)cos(θ(t)) Kθ(t) β θ(t) in cui J Ml 2. Essendo state scelte come variabili di stato e d ingresso: [ [ θ(t) x1 (t) x(t), u(t) F(t) θ(t) x 2 (t) le equazioni di stato risultano essere: ẋ 1 (t) dθ(t) ẋ 2 (t) d θ(t) e l equazione d uscita è: θ(t) x 2 (t) f 1 (t,x,u) θ(t) 1 [ lf(t)cos(θ(t)) Kθ(t) β θ(t) Ml 2 K Ml 2x 1(t) β Ml 2x 2(t) 1 Ml cos(x 1(t)) u(t) 6x 1 (t) 2x 2 (t) 10cos(x 1 (t)) u(t) f 2 (t,x,u) y(t) θ(t) x 2 (t) g(t,x,u) c 2007 Politecnico di Torino 3
Modellistica dei sistemi dinamici elettromeccanici Esercizi risolti 1 Esercizio (proposto il 16/11/2007, es. #8) Nel sistema dinamico elettromeccanico riportato in figura, un motore elettrico in corrente continua comandato in armatura è collegato ad un carico mediante uno smorzatore rotazionale avente coefficiente di attrito viscosoβ 12. Un cuscinetto a sfera con coefficiente di attrito viscoso β 1 è calettato sull albero motore, caratterizzato dal momento d inerzia J 1 e dalla posizione angolare θ 1. Il carico è caratterizzato dal momento d inerzia J 2 e dalla posizione angolare θ 2. Si indichino con v a, i a, R a, a, v e, i e, R e, e la tensione, la corrente, la resistenza e l induttanza rispettivamente del circuito di armatura e di eccitazione. a f.e.m. indotta valeek e θ 1, mentre la coppia motrice valet m K m i a. i a v a i e v e R a R e a e T m motore in c.c., comandato in armatura β 1 β 12 J1 J2 e + θ 1, ω 1 θ 2, ω 2 cuscinetto a sfera albero motore Scrivere le sole equazioni dinamiche del sistema complessivo. equazione dinamica della maglia d armatura è: di a (t) v a (t) R a i a (t)+ a di a (t) a +e(t) R a i a (t)+ a di a (t) R a i a (t)+v a (t) K e θ 1 (t) equazione del moto dell albero motore d inerziaj 1 è: J 1 θ1 (t) T m (t) carico [ β 1 ( θ 1 (t) 0)+β 12 ( θ 1 (t) θ 2 (t)) K m i a (t) (β 1 +β 12 ) θ 1 (t)+β 12 θ2 (t) J 1 θ1 (t)+(β 1 +β 12 ) θ 1 (t) K m i a(t)+β 12 θ2 (t) mentre l equazione del moto del carico d inerziaj 2 è pari a: +K e θ 1 (t) J 2 θ2 (t) β 12 ( θ 2 (t) θ 1 (t)) β 12 θ2 (t)+β 12 θ1 (t) J 2 θ2 (t)+β 12 θ2 (t) β 12 θ1 (t) c 2007 Politecnico di Torino 1
2 Esercizio (proposto il 24/11/2008, es. #7) Si consideri il sistema dinamico elettromeccanico costituito da un motore elettrico a corrente continua con comando di eccitazione, il cui albero è collegato al sistema meccanico riportato in figura, costituito da una molla torsionale k, uno smorzatore rotazionale β ed un carico con momento d inerzia J. Si indichino con: v a ed i a la tensione e la corrente del circuito di armatura del motore; v e ed i e la tensione e la corrente del circuito di eccitazione del motore; θ 1 e θ 2 le posizioni angolari rispettivamente dell albero motore e del carico. Sul carico agisce inoltre una coppia di disturboc d. Scegliere opportunamente il vettore di statoxed il vettore di ingressou. Per un motore elettrico a corrente continua con comando di eccitazione, l equazione della maglia d eccitazione è dinamica: v e (t) R e i e (t)+ e di e (t) (in cui i e è una variabile di stato e v e è un ingresso), mentre l equazione della maglia di armatura è statica: v a (t) R a i a (t) R a i a v a in quanto si impone una corrente i a o una tensionei a costante. equazione del moto dell albero motore è: J 1 θ1 (t) T m (t) k(θ 1 (t) θ 2 (t)) K m i a kθ 1 (t)+kθ 2 (t) per cui θ 1 e θ 1 sono variabili di stato. equazione del moto del carico d inerziaj è pari a: J θ [ 2 (t) C d (t) k(θ 2 (t) θ 1 (t))+β( θ 2 (t) 0) C d (t)+kθ 1 (t) kθ 2 (t) β θ 2 (t) per cui θ 2 e θ 2 sono variabili di stato ec d è una variabile d ingresso. Pertanto una possibile scelta del vettore di statoxedel vettore d ingressouèla seguente: [ x i e,θ 1, θ 1,θ 2, θ T 2,u [ve,c d T c 2007 Politecnico di Torino 2
Modellistica dei sistemi dinamici termici Esercizi risolti 1 Esercizio (proposto il 16/11/2007, es. #2) Un sistema termico è costituito dai corpi omogenei 1, 2 e 3, aventi temperatura θ 1, θ 2 e θ 3 rispettivamente; l ambiente esterno si trova alla temperatura costante θ 0 200 K. e capacità termiche dei tre corpi sono date da C 1 2 J/K e C 2 C 3 1 J/K, mentre le conduttanze termiche fra i corpi e fra ciascun corpo e l ambiente esterno sono rispettivamente: K 12 2 W/K, K 23 1 W/K, K 10 K 20 K 30 2 W/K (si ricorda che la conduttanza termica K ij è pari a 1/R ij, ove R ij è la resistenza termica fra i corpi i e j). All interno del corpo 1 si trova un generatore di calore di potenzap 0 400 W. θ 1 θ 2 θ 3 θ 0 p 0 Determinare le equazioni dinamiche del sistema, valide per ogni istantet 0. equazione dinamica del corpo omogeneo 1 è: C 1 θ1 (t) +p 0 (t) [K 12 (θ 1 (t) θ 2 (t))+k 10 (θ 1 (t) θ 0 (t)) (K 12 +K 10 )θ 1 (t)+k 12 θ 2 (t)+k 10 θ 0 (t)+p 0 (t) θ 1 (t) K 12 +K 10 C 1 θ 1 (t)+ K 12 C 1 θ 2 (t)+ K 10 C 1 θ 0 (t)+ 1 C 1 p 0 (t) 2θ 1 (t)+θ 2 (t)+400 equazione dinamica del corpo omogeneo 2 è: C 2 θ2 (t) 0 [K 12 (θ 2 (t) θ 1 (t))+k 23 (θ 2 (t) θ 3 (t))+k 20 (θ 2 (t) θ 0 (t)) K 12 θ 1 (t) (K 12 +K 23 +K 20 )θ 2 (t)+k 23 θ 3 (t)+k 20 θ 0 (t) θ 2 (t) K 12 C 2 θ 1 (t) K 12 +K 23 +K 20 C 2 θ 2 (t)+ K 23 C 2 θ 3 (t)+ K 20 C 2 θ 0 (t) 2θ 1 (t) 5θ 2 (t)+θ 3 (t)+400 equazione dinamica del corpo omogeneo 3 è: C 3 θ3 (t) 0 [K 23 (θ 3 (t) θ 2 (t))+k 30 (θ 3 (t) θ 0 (t)) K 23 θ 2 (t) (K 23 +K 30 )θ 3 (t)+k 30 θ 0 (t) θ 3 (t) K 23 C 3 θ 2 (t) K 23 +K 30 C 3 θ 3 (t)+ K 30 C 3 θ 0 (t) θ 2 (t) 3θ 3 (t)+400 c 2007 Politecnico di Torino 1
2 Esercizio (proposto il 02/02/2004, es. #4) Un sistema termico è costituito da due corpi omogenei 1 e 2; all interno del corpo 1 è applicato un flusso di calore p E ; l ambiente esterno è a temperatura costante T rif 0 K. Gli stati del sistema sono dati dalle temperatureθ 1 eθ 2 dei due corpi omogenei, l ingresso è costituito dal flusso p E, mentre l uscita è data dalla temperatura θ 2. Determinare le matrici A, B, C e D del modello TI che descrive il sistema, assumendo che le capacità termiche dei due corpi siano date da C 1 C 2 2C 0 e le conduttanze termiche fra i due corpi e fra il corpo 2 e l ambiente esterno siano K 12 K 20 1/(0.5R), ove 0.5R è la resistenza termica fra i vari elementi. 2 1 P E T rif 0 equazione dinamica del corpo omogeneo 1 è: C 1 θ1 (t)(t) +p E (t) K 12 (θ 1 (t) θ 2 (t)) K 12 θ 1 (t)+k 12 θ 2 (t)+p E (t) θ 1 (t) K 12 θ 1 (t)+ K 12 θ 2 (t)+ 1 p E (t) C 1 C 1 C 1 1 θ 1 (t)+ 1 θ 2 (t)+ 1 p E (t) RC 0 RC 0 2C 0 equazione dinamica del corpo omogeneo 2 è: C 2 θ2 (t) 0 [K 12 (θ 2 (t) θ 1 (t))+k 20 (θ 2 (t) T rif (t)) K 12 θ 1 (t) (K 12 +K 20 )θ 2 (t)+k 20 T rif (t) θ 2 (t) K 12 θ 1 (t) K 12 +K 20 θ 2 (t)+ K 20 T rif (t) 1 θ 1 (t) 2 θ 2 (t) C 2 C 2 C 2 RC 0 RC 0 Scegliendo come variabili di stato e d ingresso rispettivamente: [ [ θ1 (t) x1 (t) x(t), u(t) p θ 2 (t) x 2 (t) E (t) le equazioni di stato risultano essere: ẋ 1 (t) 1 x 1 (t)+ 1 x 2 (t)+ 1 u(t) RC 0 RC 0 2C 0 ẋ 2 (t) 1 RC 0 x 1 (t) 2 RC 0 x 2 (t) c 2007 Politecnico di Torino 2
ẋ(t) Ax(t)+Bu(t) 1 [ 1 1 RC 0 1 2 equazione d uscita è data da: x(t)+ 1 C 0 [ 0.5 0 u(t) y(t) θ 2 (t) x 2 (t) y(t) Cx(t)+Du(t) [ 0 1 x(t)+[ 0 u(t) c 2007 Politecnico di Torino 3