Università di Trento - Corso di Laurea in Ingegneria Civile e Ingegneria per l Ambiente e il Territorio - 08/9 Corso di Analisi Matematica - professore Alberto Valli 7 foglio di esercizi - 7 novembre 08 grafici, massimi/minimi, Taylor 7. Esercizio - Studiate le seguenti funzioni dominio, iti, segno, continuità, derivabilità, crescenza/decrescenza, punti di massimo e di minimo assoluto e relativo, convessità/concavità e tracciate di ciascuna un grafico qualitativo: i ii + e iii log +. i Si consideri la funzione f =. dom f = { R 0} = [,] ; Il dominio è simmetrico rispetto all origine e f = f studiare f su [0,] ; [,]. Dunque, per la parità di f, basta Non c è bisogno di calcolare nessun ite. Inoltre f 0 su [, ] e f = 0 se e solo se = 0, ± ; f è continua essendo composizione e prodotto di funzioni continue. dom f = ],[\{0} e f = = dom f Per 0 < <, f =. Poiché f è continua in = 0 si ha f +0 = f = ; per simmetria, = 0 risulta essere un punto + angoloso. Poiché f è continua in = si ha f = f = dunque = è un punto con tangente verticale. Inoltre f = 0 = 0 = = Dunque per 0 < <, f 0 se e solo se 0 < < per f e vale f =., pertanto = è un punto di massimo relativo dom f = ],[\{0} ; Per 0 < <, f = 4 = +. Ora = e = > ; quindi il segno di f è f < 0 per ogni ]0,[. Nella figura sotto è rappresentato il grafico della funzione f.
ii Si consideri la funzione f = + e. Si osserva che dom f = R \ {} ; f =, f = 0, Segno di f : f 0 per. f = +, si ottiene y = e + e asintoto obliquo per f, per ± ; + f = +, dunque = è un asintoto verticale per f ; + dom f = dom f, f = e + + e = e + = e In particolare f = 0 e inoltre f = 0 = 0, Segno di f e. Poiché > 0, si ha che f 0 per 0 cioè 0 e. Dunque = 0 è un punto di massimo relativo per f e f 0 =, mentre = è un punto di minimo relativo per f e f = 4e. dom f = dom f, f = e 5 4 Segno di f. Per quanto abbiamo appena calcolato, f 0 per 5,. Nella figura a destra è rappresentato il grafico di f. iii Si consideri la funzione f = log + dom f = R \ {,} ;. Si osserva che
la funzione è dispari, quindi ci iteremo a studiarla su [0,[ ],+ [ ; f = 0, y = 0 asintoto orizzontale per f, per + ; + f = +, Segno di f : f = +, dunque = è un asintoto verticale per f ; + f > 0 + > + < oppure + > + + + + < 0 oppure < 0 oppure > 0 > oppure 0 < < > 0 f è continua nel suo dominio dom f = dom f, f = + + + = Segno di f. Si ha che f > 0 per 0 < <. dom f = dom f, f = Segno di f. f 0 per [0,[ ],+ [. Nella figura sotto è rappresentato il grafico di f. 4, in particolare f = 0 per = 0. 7. Esercizio - Per ciascuna delle seguenti funzioni, trovate, se esistono, i punti e i valori di massimo e minimo assoluto e relativo in R nel caso i, in,0] nel caso ii, in R nel caso iii: i f = + + 9 + + 9, ii f = + +, iii f = 4 5.
i La funzione è definita per + + 9 0. Cercando l eventuale annullamento si ha + + 9 = 0 per = ± 9 6 Quindi + + 9 > 0 per ogni R, e l insieme di definizione di f è R. Inoltre osserviamo che Calcoliamo la derivata f di f : f =, f =. + radici non reali f = + + + 9 + + 9 + 9 + + 9 = + + 9 Quindi f è crescente per 9 > 0, cioè < e >, è decrescente per < <. Dunque = è un punto di massimo relativo e si ha f = 4, = è un punto di minimo relativo e si ha f = 8. Inoltre: 9 f = 4 > = f, pertanto il punto è un punto di massimo assoluto per f in R: ma f = 4 + R. f = 8 9 < = f, pertanto il punto è un punto di minimo assoluto per f in R: min f = 8 R 9. Nella figura sotto si vede rappresentato il grafico di f. ii Per 0 si ha > 0 e > 0, per cui la funzione è definita in ],0]. In particolare + + se 0; f = + + se <. Si ha f 0 =, f =, f = Calcoliamo la derivata f di f : + per < < 0, f = + f cresce per < < 0. per <, f = + + = + + + =. = + + + = + > 0. dunque = + =. 4
Si ha = 0 per = ± ; siccome >, si ha > 0 per <. Quindi f < 0 e f decresce per <. Lo studio del segno di f per < si vede nella figura sulla destra. In conclusione = è un punto di minimo e il minimo è f = vale f 0 =. Nella figura che segue si vede riportato il grafico di f., = 0 è un punto di massimo e il massimo iii Si ha f = { 5 + 6 se, 5 + 4 se < < Calcoliamo la derivata f di f : per, la derivata vale f = 5 e f 0 per 5. Dunque f cresce per 5 e decresce per e 5. per < < la derivata vale f = 5 e f 0 per 5. Quindi f decresce per < < Riassumiamo lo studio del segno di f nella figura sulla destra. In conclusione f decresce per 5 e cresce per 5, e = 5 è punto di minimo assoluto, con valore di minimo f 5 = 4. Siccome f = +, non esiste massimo assoluto. ± Nella figura sotto è rappresentato il grafico della funzione f. 5
7. Esercizio - Per ciascuna delle seguenti funzioni, trovate, se esistono, i punti e i valori di massimo e minimo assoluto e relativo in R nel caso i, in [0,+ nel caso ii: se < + i f = 4 se < 0, ii f = + 4 se 0 e se. + + se 0, i Studiamo la continuità. La funzione f, per come è definita, è sicuramente continua su R \ {,0}, pertanto controlliamo la continuità della funzione nei punti = e = 0. Si ha f = 5 4 = 5 6, f = f + = 5 6. Dunque f è continua in =. Si ha invece che = 0. f = 4 e Studiamo ora cosa accade per ±. f = f 0 =, dunque f è discontinua, con discontinuità di salto, in + f =, f =. + Calcoliamo la derivata f di f. 6
f = + + se < se < 0 + 4 se > 0, Studiamo il segno di f. Per < si ha f > 0 se e solo se + < 0 cioè < <, dunque f cresce per < < e decresce per <,. Per < < 0 si ha f < 0 dunque f decresce su tale intervallo. Per > 0 la derivata si annulla per = e = ed è positiva per < <. Dunque f cresce per < < e decresce per 0 < < e >. Riassumiamo lo studio del segno della derivata nel disegno sotto. Dunque, in conclusione, non c è minimo assoluto poiché f =, il valore massimo assoluto è assunto + in = 0 e =. Il punto = è un punto di minimo relativo, con valore ; il punto = massimo relativo, con valore 5 6 ; il punto = è un punto di minimo relativo, con valore 7. Nella figura sotto si vede rappresentato il grafico della funzione f. è un punto di ii Si osserva che f 0 = 0 e f =. Inoltre + f = 0 per la funzione f è un esponenziale di esponente negativo e base >, che quindi tende a 0.... Calcoliamo la derivata f di f. 6 + 4 se 0 < f = e se >. Si noti che f = 0 per =,. In particolare, nella figura sotto si vede lo studio del segno di f. 7
In conclusione; 0 è punto di minimo assoluto, con valore f 0 = 0 ; è punto di massimo assoluto, con valore f = ; è un punto di massimo relativo con valore f = 5 ; è punto di minimo relativo, con valore f = 4 ; Nella figura sotto si vede rappresentato il grafico di f. 7.4 Esercizio - Per ciascuna delle seguenti funzioni, determinate il polinomio di Taylor centrato in 0 = 0 di ordine nel caso i, di ordine 5 nel caso ii, di ordine nel caso iii: i f = + sin ii f = log + sin iii f = cose. i Ricordiamo che Le derivate di +t valgono sin = 6 + o per 0. +t = +t, +t = 4 +t, +t = 8 +t 5, quindi Dunque +t = + t t 8 + t 6 + ot per t 0. f = + sin = + 6 + o 6 + o = + + o 8 + o + 6 + o = + 8 48 + o 8 + 6 + o 6 + o In conclusione il polinomio ricercato è P = + 8 48. 8
ii In questo caso si ricordi che log + = + + o per 0; sin =! + o4 per 0. Quindi f = log + sin =! + o4! + o4 +! + o4 + o = 4 + 6 5 + o 6 Dunque il polinomio ricercato è P 5 = 4 + 6 5. iii Si ricorda che Pertanto e = + + + o per 0; cos = + o per 0. f = cose = + + o + o = + o Quindi il polinomio ricercato è P = 7.5 Esercizio - Calcolate i seguenti iti utilizzando la regola di de l Hôpital: i sin + tg + tg, ii, iii 6. i Facendo le derivate al numeratore e al denominatore basta fare il ite di e ancora cos +, sin + 6 = 6 6 + = 7 6. ii Analogamente, facendo le derivate al numeratore e al denominatore basta fare il ite di tg +, e con un altro passo tg + tg + 6 = 6 + =. 9
iii Conviene porre t = e fare il ite t tgt t 0 t. Facendo le derivate al numeratore e al denominatore si passa a tg t t 0 t =. 7.6 Esercizio - Calcolate i seguenti iti: i + log logsin, ii e log cos, iii sin sin sin tg. i Si osserva che + log logsin è del tipo, pertanto possiamo applicare il Teorema di de l Hôpital. [log] + [logsin] = + dunque per il teorema sopra nominato, si conclude che + = sin cos + log logsin =. sin cos = ii Le funzioni presenti a numeratore e denominatore suggeriscono di calcolare questo ite utilizzando gli sviluppi di Taylor. Ricordiamo a tal proposito i seguenti sviluppi di Taylor in = 0 Pertanto e log cos = e = + + + o per 0; log = + o per 0; sin = + o per 0. + + o + o + o = + o + o + o iii Anche per il calcolo di questo ite utilizziamo gli sviluppi di Taylor delle funzioni coinvolte in = 0. Infatti sin = 6 + o per 0, = Pertanto tan = + + o per 0, sin sin sin tg = = [ 6 6 + o6 ] 6 + o + 6 + o6 6 6 + o6 6 6 + o6 + 4 + o4 6 = + o6 6 + o6 6 + o6 =. 0
7.7 Esercizio - Calcolate i seguenti iti utilizzando gli sviluppi di Taylor: i e sin e sin cos, ii log cos log + sin, iii sin + log cos. i Una possibilità è quella di calcolare il ite utilizzando gli sviluppi di Taylor. Conosciamo che e = + + o, cos = + o per 0. Dunque sin = 6 + o, log + = + o per 0; e = + o, sin = 4 + o4 per 0. cos = 9 + o, logcos = logcos + = 9 + o per 0; Pertanto si ha che e sin + o + 4 = + o4 + o log cos 9 + = o 9 + o = 4 9 Il calcolo del ite poteva anche essere effettuato utilizzando per due volte il Teorema di de l Hôpital. Derivando numeratore e denominatore si ottiene e sincos cos sin che è ancora una forma indeterminata. Derivando un altra volta senza considerare il termine cos per 0 si ottiene e + 4 e cos + sin 4 per 0 9 cos 9 ii Possiamo calcolare il ite utilizzando gli sviluppi di Taylor delle funzioni coinvolte, come nel caso precedente. Dunque si ha log + = 9 + o, sin = 6 + o per 0; Pertanto e sin = + + o, cos = + o per 0; e sin cos log + sin = + + o + + o 9 + o + 6 + o = + o 9 + o =. Un altra strategia per calcolare il ite in ii è quella di usare il iti notevoli e il Teorema di de l Hôpital come segue. Si consideri il numeratore e sin + cos = esin sin sin + cos 4 = e sin sin sin + 4 cos Allora e sin cos = + =
Per cui si riscrive e sin cos log + sin = e sin cos log + sin Il primo fattore, come abbiamo visto, tende a, il secondo, con de l Hôpital, equivale a + cos Applicando una seconda volta il teorema di de l Hôpital, si ha + = 9 + sin Pertanto e sin cos log + sin = = 9. iii Calcoliamo il ite utilizzando gli sviluppi di Taylor delle funzioni sin, log +, cos già viste negli esercizi precedenti. Per cui sin = 6 + o = 4 + o4 = 4 + o 4 log = 94 + o4, cos = 94 + o4 = 9 4 + o 4 In conclusione: sin + log cos 4 94 = + o4 9 4 + o 4 = 9 = 9. 4 + o 4 4 + o 4 7.8 Esercizio - Utilizzando la formula di Taylor e svolgendo i conti algebrici con la calcolatrice trovate l espressione decimale approssimata dei seguenti valori con approssimazione 0 4 : i cos, ii e, iii log. i Il resto in forma di Lagrange di ordine N + nello sviluppo di Taylor di centro 0 del coseno è dato da per > 0 con cos = N k=0 k k! k + R N+. Dunque R N+ = N+ sin N+, 0 < <, N +! sin R N+ = N +! N +!.
Siccome 8! = 400 > 0 4, per avere N+! 0 4 basta e avanza... che sia N = 4 con questa scelta si ha che l errore risulta minore di 9!, quindi minore di 0 5. Quindi l approssimazione richiesta migliore di quella richiesta, con errore minore di 0 5... è data da: cos + 4 70 + 400 = 785 400 = 457 8064 = 0.54005.... [Con la calcolatrice si ottiene cos = 0.5400...] ii Il resto in forma di Lagrange di ordine N + nello sviluppo di Taylor di centro 0 dell esponenziale è dato da per > 0 R N+ = e N +! N+, 0 < <, con e = N k=0 k! k + R N+. Dunque R N+ e = N +! N+ N +! N, poiché e e. Siccome 6! = 70, 5 =, 70 = 040 > 0 4, per avere N+! N 0 4 basta che sia N = 5. Quindi l approssimazione richiesta è data da: e + + 4 + 6 8 + 4 6 + 0 = 6 840 =.648697.... [Con la calcolatrice si ottiene e =.6487...] iii Il resto in forma di Lagrange di ordine N + nello sviluppo di Taylor di centro 0 di log + è dato da per > 0 R N+ = N N + + N+ N+, 0 < <, con log + = N k= k+ k + R N+. Dunque k R N+ = N + N+ + N+ N + N+, poiché +. Siccome 0 = 04, 0 04 = 040 > 0 4, per avere N+ N+ 0 4 basta che sia N = 9. Quindi l approssimazione richiesta è data da: log 4 + 8 4 6 + 5 6 64 + 7 8 8 56 + 9 5 = 667 6450 = 0.4055... [Con la calcolatrice si ottiene log = 0.405465...]