Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica previsioni 2003/04 LU 1/3 Esempi di vita reale : calcolo delle probabilità, statistica descrittiva e statistica inferenziale. Lancio dado/moneta: definizione classica. Esempio urna. Interpretazione frequentista: la legge dei grandi numeri deve essere un teorema della nostra teoria. ME 3/3 Evoluzione di una popolazione: la necessità di una teoria assiomatica. Esperimento aleatorio, spazio campionario, spazio degli eventi, eventi elementari. Linguaggio insiemi < > eventi. Caso finito: probabilità uniforme. Proprietà della probabilità uniforme. Esempi con urne: es1, es2. VE 5/3 Esercitazioni: calcolo combinatorio, probabilità in spazi uniformi. LU 8/3 Esempi con Ω numerabile o non numerabile: problema di costruzione della P e di F (cenno alle decomposizioni paradossali). Definizione generale di spazio degli eventi come σ algebra (caso al più numerabile: P(Ω)). Definizione assiomatica di probabilità. Proprietà che seguono dagli assiomi. Esercizio: non si può definire su N una P con tutti gli elementi equiprobabili. ME 10/3 Probabilità caso discreta/continuo. Continuità dal di sotto. Osservazione: su un insieme numerabile P è definita una volta scelta la P di ogni elemento. Definizione di probabilità condizionata. P ( B) è una funzione di probabilità. Teorema delle probabilità totali. Esempio due urne. VE 12/3 Formula di Bayes. Esempio bevitori pressione alta. Test clinici: esempio test Elisa. Coppia di eventi indipendenti. Indipendenza: verificare oppure assumere? Esercitazioni: probabilità, probabilità condizionata, legge probabilità totali. 1
LU 15/3 Esempio di eventi che non è evidente che siano indipendenti. Definizione di famiglia indipendente. Controesempio di Bernstein. Variabili aleatorie. Definizione di funzione caratteristica (o indicatrice) di un insieme. Definizione di v.a. discreta, densità discreta. ME 17/3 Esempi: uniforme discreta, B(p), B(n,p). Nomenclatura: processo limitato o illimitato di Bernoulli. Distribuzione geometrica: definizione tramite densità. Definizione funzione di densità discreta (non necessariamente associata ad una v.a.). Esempi di applicazione del modello di Bernoulli. VE 19/3 Probabilità indotta da una densità, probabilità indotta da una variabile aleatoria (legge). Costruzione dello spazio canonico. Esercitazioni: Bayes, indipendenza, processo di Bernoulli. LU 22/3 Binomiale negativa, ipergeometrica, Poisson. Teorema approssimazione di Poisson per la binomiale. Proiezioni di lucidi con densità binomiali, geometriche, Poisson e teorema di approssimazione. Paradosso della scimmia: in un processo di Bernoulli qualsiasi sequenza comparirà prima o poi. ME 24/3 Valore atteso di una v.a. discreta. Osservazioni. Esempio lotteria. Proprietà. Valore atteso di Y = g(x). Valore atteso di uniforme discreta, Bernoulli, binomiale, binomiale negativa, Poisson. Calcolo sul paradosso della scimmia. VE 26/3 Valore atteso ipergeometrica e binomiale negativa. Definizione, proprietà e significato della varianza. Esercitazioni: modelli discreti, valore atteso, Poisson. LU 29/3 Varianza di Bernoulli, binomiale, geometrica e Poisson. V.a. diverse possono avere la stessa legge. Definizione di v.a. generale, perché basta richiedere che (X r) F. Definizione di v.a. continua, densità continua (sia di v.a. che in generale). ME 31/3 Densità uniforme su un intervallo, P (X = t) = 0, definizione e proprietà della funzione di ripartizione. Funzione di ripartizione e 2
probabilità su intervalli. Densità normale standard, uso delle tavole di Φ. Proiezioni lucidi con densità e funzioni di ripartizione. VE 2/4 Esercitazioni: v.a. continue, funzione di ripartizione. LU 5/4 Esercitazioni: uniforme continua, normali. ME 7/4 Normali generiche, come ottenerle dalle standard, funzione di ripartizione. Esempi di applicazione del modello normale. Distribuzioni esponenziali e Gamma. Valore atteso, valore atteso di g(x) e varianza per v.a. continue. Osservazioni sulla funzione Gamma. Processo di Poisson. Confronto fra processo di Bernoulli e processo Poisson. PASQUA VE 16/4 Valore atteso e varianza di esponenziale e gamma. teorema processo di Poisson. Esercitazioni: Correzione esercizi lasciati nelle vacanze. Enunciato LU 19/4 Dimostrazione teorema per Poisson. Calcolo per i modelli visti. Disuguaglianza di Chebicev, esempio di calcolo e raffronto con esponenziale. ME 21/4 Costruzione canonica di (Ω, F, P ) e X per densità continue. Esempi/esercizi/riepilogo. VE 23/4 I COMPITINO LU 26/4 Vettori aleatori: definizione di funzione di ripartizione congiunta. Come ricavare le f.d.r. marginali dalla congiunta. Vettori discreti e continui, densità (discrete/continue) congiunte e marginali. Esempio vettore discreto coi tetraedri. ME 28/4 Esempio di diverse congiunte con uguali marginali. Dalle densità congiunta alle marginali. Esempio vettore continuo: uniforme. Esempio di vettore non continuo con componenti continue. Indipendenza di 2 v.a. e di n v.a.; proprietà equivalenti alla definizione. 3
VE 30/4 Esempio asta/custodia. Valore atteso di funzioni di vettori: definizione ed esempi. Conseguenze dell indipendenza per valore atteso del prodotto e varianza della somma. Covarianza di due v.a., coefficiente di correlazione. Esempio di scorrelate ma non indipendenti. Esercitazioni: correzione compitino, vettori, somma di v.a. indipendenti, assenza di menoria. LU 3/5 Distribuzione di v.a. che sono funzioni di v.a. note; somma di v.a. indipendenti; distribuzione del max e del min. Trasformazione lineare di vettori continui, esempio su uniforme. ME 5/5 Il quadrato di una normale std è una chi-quadro/ Vettori gaussiani: definizioni e proprietà. Lucido vettore normale std bidimensionale. VE 7/5 Famiglia (di cardinalità qualsiasi) di v.a. indipendenti. Legge grandi numeri. Legge grandi numeri: dimostrazione e proiezione lucidi. Enunciato del teorema del limite centrale. Esercitazioni: vettori aleatori, trasformazioni. LU 10/5 Teorema del limite centrale: esempio sulla moneta. Statistica inferenziale: introduzione. Popolazione obiettivo. Modello statistico. ME 12/5 Campione casuale, statistica, stimatore, stimatore non distorto. Media campionaria e varianza campionaria e loro non distorsione. Problema del campionamento (reimmissione/non reimmissione). VE 14/5 Stimatori asintoticamente non distorti. Stimatori consistenti in media quadratica. Rischio quadratico; stimatori preferibili. Metodo dei momenti. Introduzione al metodo della massima verosimiglianza. Esercitazioni: vettori, tlc e lgn. LU 17/5 Metodo della massima verosimiglianza. Esempio con U(θ 0.5, θ + 0.5). ME 19/5 Esercitazioni: stimatori dei momenti, stimatori di max verosimiglianza. 4
VE 21/5 Intervalli di confidenza. Intervallo per la media di una pop. normale con varianza nota. Intervallo per la media di una pop. normale con varianza incognita. Intervalli per grandi campioni. LU 24/5 Intervalli per frequenze (pop. bernoulliana). Metodo della quantità pivotale. Intervalli con la quantità pivotale. ME 26/5 Test d ipotesi: introduzione. Test: regione critica, tipi di errore, scelta di H 0, potenza di un test, livello, p value. Test sulla media per popolazioni normali: introduzione. GI 27/5 Test per popolazioni normali. Test per la media di grandi campioni; test di confronto di due medie. VE 28/5 Esercitazioni: intervalli di confidenza con la quantità pivotale, intervalli per frequenze. LU 31/5 Test per frequenze. Test χ 2 di adattamento (per discrete con un numero finito di valori). Test χ 2 di adattamento (per continue, quando raggruppare le classi, etc) e di indipendenza. MA 8/6 Esercitazioni ME 9/6 Esercitazioni VE 11/6 II COMPITINO 5